2019-2020年高中數(shù)學 第二章 §5 第二課時 直線與平面的夾角應用創(chuàng)新演練 北師大版選修2-1 .doc

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2019-2020年高中數(shù)學 第二章 5 第二課時 直線與平面的夾角應用創(chuàng)新演練 北師大版選修2-1 1．已知直線l的一個方向向量為a＝(1,1,0)，平面α的一個法向量為μ＝(1,2，－2)，則直線l與平面α夾角的余弦值為(　　) A.　　　　　　　　　 B．－ C． D. 解析：cos〈a，μ〉＝＝＝，則直線l與平面α的夾角θ的正弦值sin θ＝|cos〈a，μ〉|＝，cos θ＝. 答案：A 2．已知長方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是邊長為4的正方形，長方體的高為AA1＝3，則BC1與對角面BB1D1D夾角的正弦值等于(　　) A. B. C. D. 解析：建立如圖所示的空間直角坐標系，∵底面是邊長為4的正方形，AA1＝3，∴A1(4,0,0)，B(4,4,3)，C1(0,4,0)． 而面BB1D1D的法向量為＝＝(－4,4,0)， ∴BC1與對角面BB1D1D所成角的正弦值即為|cos〈，〉|＝＝＝. 答案：C 3.如圖所示，點P是△ABC所在平面外的一點，若PA、PB、PC與平面α的夾角均相等，則點P在平面α上的投影P′是△ABC的(　　) A．內心 B．外心 C．重心 D．垂心[ 解析：由于PA，PB，PC與平面α的夾角均相等，所以這三條由點P出發(fā)的平面ABC的斜線段相等，故它們在平面ABC內的投影P′A，P′B，P′C也都相等，故點P′是△ABC的外心． 答案：B 4．如果一個正方體的十二條棱所在的直線與一個平面的夾角都相等，記作θ，那么sin θ的值為(　　) A. B . C. D．1 解析：由于兩條平行直線和同一平面的夾角相等，則在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面A1BC1滿足和十二條棱所在的直線夾角相等，如圖．建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，則可得＝(1,1,0)，＝(0,1,1)．平面BA1C1的一個法向量n＝(1，－1,1)又＝(0,0,1)則sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝. 答案：B 5．正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線BC1與平面A1BD夾角的正弦值是________． 解析：如圖，以DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，易證是平面A1BD的一個法向量． ＝(－1,1,1)，＝(－1,0,1)． cos〈，〉＝＝. 所以BC1與平面A1BD夾角的正弦值為. 答案： 6.如圖所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都相等，D是A1C1的中點，則直線AD與平面B1DC夾角的正弦值為________． 解析：不妨設正三棱柱ABC－A1B1C1的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標系， 則C(0,0,0)，A(，－1,0)，B1(，1,2)，D， 則＝(，－，2)，＝(，1,2)， 設平面B1DC的法向量為 n＝(x，y,1)，由 解得n＝(－，1,1)． 又∵＝， ∴sin θ＝|cos〈，n〉|＝. 答案： 7．如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，點D是A1B1的中點． 求直線AD和平面ABC1夾角的正弦值． 解：如圖所示，設O是AC的中點，以O為原點建立空間直角坐標系．不妨設AA1＝，則AB＝2，相關各點的坐標分別是A(0，－1,0)， B(，0,0)，C1(0,1，)， D. 易知＝(，1,0)，＝(0,2，)，＝. 設平面ABC1的一個法向量為n＝(x，y，z)， 則有 解得x＝－y，z＝－y. 故可取n＝(1，－，)． 所以cos〈n，〉＝＝＝. 即直線AD和平面ABC1夾角的正弦值為. 8.如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60，∠BCA＝90，點D在棱PB上． (1)求證：BC⊥平面PAC； (2)當D為PB的中點時，求AD與平面PAC夾角的余弦值． 解：如圖，以A為原點建立空間直角坐標系， 設PA＝a，由已知可得 A(0,0,0)，B，C，P(0,0，a)． (1)證明：∵＝(0,0，a)，＝(a,0,0)， ∴＝0，∴BC⊥AP. 又∵∠BCA＝90，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC. (2)∵D為PB的中點， ∴D，＝，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴＝(a,0,0)是平面PAC的一個法向量． ∴cos〈，〉＝＝＝， 設AD與平面PAC的夾角為θ， 則sin θ＝，cos θ＝. ∴AD與平面PAC夾角的余弦值為.