2019-2020年高二數(shù)學(xué)上 第7章《數(shù)列》學(xué)案(1) 滬教版.doc
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2019-2020年高二數(shù)學(xué)上 第7章《數(shù)列》學(xué)案(1) 滬教版 ★★★高考在考什么 【考題回放】 1.設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=-7,且滿足an+1=an+2(n∈N),則a1+a2+…… +a17= 153 . 2.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若=,則=( A ) (A) (B) (C) (D) 3.已知數(shù)列、都是公差為1的等差數(shù)列,其首項(xiàng)分別為、,且 ,.設(shè)(),則數(shù)列的前10項(xiàng)和等于( C ) (A)55 (B)70 ?。–)85 ?。―)100 4.在等比數(shù)列中,,前項(xiàng)和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列,則等于( C ) (A) (B) (C) (D) 5. 若干個(gè)能唯一確定一個(gè)數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“基本量”.設(shè){an}是公比為q的無窮等比數(shù)列,下列{an}的四組量中:①S1與S2; ②a2與S3; ③a1與an; ④q與an. 其中一定能成為該數(shù)列“基本量”的是第 ①④ 組.(寫出所有符合要求的組號) 6.設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng),且,記. (I)求a2,a3; (II)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列,并證明你的結(jié)論; (III)(理)求. 【專家解答】 (I)a2=a1+= a+,a3=a2 =a+; (II)∵ a4 = a3+=a+, ∴ a5=a4=a+, 所以b1=a1-=a-, b2=a3-= (a-), b3=a5-= (a-), 猜想:{bn}是公比為的等比數(shù)列.證明如下: 因?yàn)閎n+1=a2n+1-=a2n-= (a2n-1-)=bn, (n∈N*) 所以{bn}是首項(xiàng)為a-, 公比為的等比數(shù)列 (III)(理). ★★★高考要考什么 【考點(diǎn)透視】 本專題主要涉及等差(比)數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和及其性質(zhì),數(shù)列的極限、無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和. 【熱點(diǎn)透析】 高考對本專題考查比較全面、深刻,每年都不遺漏.其中小題主要考查 間相互關(guān)系,呈現(xiàn)“小、巧、活”的特點(diǎn);大題中往往把等差(比)數(shù)列與函數(shù)、方程與不等式,解析幾何 等知識(shí)結(jié)合,考查基礎(chǔ)知識(shí)、思想方法的運(yùn)用,對思維能力要求較高,注重試題的綜合性,注意分類討論. ★★★突破重難點(diǎn) 【范例1】已知等差數(shù)列前三項(xiàng)為a,4,3a,前n項(xiàng)和為Sn,Sk = 2550. (Ⅰ) 求a及k的值; (Ⅱ) 求(…). 解析(Ⅰ)設(shè)該等差數(shù)列為{an},則a1 = a,a2 = 4,a3 = 3a,Sk = 2550. 由已知得a+3a = 24, 解得a1 = a = 2,公差d = a2-a1= 2. 由得 ,解得 k = 50. ∴ a = 2,k = 50. (Ⅱ)由得Sn= n (n+1), ∴ , ∴ . 【點(diǎn)睛】錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法等等是常用的數(shù)列求和方法. 【文】是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,已知的等比中項(xiàng)為,的等差中項(xiàng)為1,求數(shù)列的通項(xiàng). 解析 由已知得, 即 , 解得或 或 經(jīng)驗(yàn)證 或 均滿足題意,即為所求. 【點(diǎn)睛】若是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,則數(shù)列也是等差數(shù)列.本題是以此背景設(shè)計(jì)此題. 【范例2】已知正項(xiàng)數(shù)列{an},其前n項(xiàng)和Sn滿足10Sn=an2+5an+6且a1, a3, a15成等比數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an . 解析 ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3. 又10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2), ② 由①-②得 10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0 ∵an+an-1>0 , ∴an-an-1=5 (n≥2). 當(dāng)a1=3時(shí),a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比數(shù)列∴a1≠3; 當(dāng)a1=2時(shí), a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n-3. 【點(diǎn)睛】求數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的基本問題,一般有三種類型:(1)已知數(shù)列是等差或等比數(shù)列,求通項(xiàng),破解方法:公式法或待定系數(shù)法;(2)已知Sn,求通項(xiàng),破解方法:利用Sn-Sn-1= an,但要注意分類討論,本例的求解中檢驗(yàn)必不可少,值得重視;(3)已知數(shù)列的遞推公式,求通項(xiàng),破解方法:猜想證明法或構(gòu)造法。 【文】已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且. (1)求、的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式; (2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和. 解析 (1)當(dāng)時(shí),. 而為等比數(shù)列,得,即,從而. 又. (2), 兩式相減得, 因此,. 【范例3】下表給出一個(gè)“三角形數(shù)陣”: , ,, … … … … 已知每一列的數(shù)成等差數(shù)列;從第三行起,每一行的數(shù)成等比數(shù)列,每一行的公比都相等.記第i行第j列的數(shù)為aij ( i≥j, i, j∈N*). (1) 求a83; (2) 試寫出a ij關(guān)于i, j的表達(dá)式; (3) 記第n行的和為An,求 解析 (1)由題知成等差數(shù)列,且,所以公差。 又成等比數(shù)列,且.又公比都相等,∴每行的公比是. ∴. (2)由(1)知,,∴. (3). 【點(diǎn)睛】在新穎背景——數(shù)表中運(yùn)用數(shù)列知識(shí). 【文】在等比數(shù)列{a n}中,前n項(xiàng)和為Sn,若Sm,Sm+2,Sm+1成等差數(shù)列,則am, am+2, am+1成等差數(shù)列 (1)寫出這個(gè)命題的逆命題;(2)判斷逆命題是否為真,并給出證明 解析(1)逆命題:在等比數(shù)列{an}中,前n項(xiàng)和為Sn,若am, am+2, am+1成等差數(shù)列,則 Sm,Sm+2,Sm+1成等差數(shù)列 (2)設(shè){an}的首項(xiàng)為a1,公比為q. 由已知得2am+2= am + am+1 ∴2a1qm+1=a1+a1qm ∵a1≠0 q≠0 ,∴2q2-q-1=0 , ∴q=1或q=- 當(dāng)q=1時(shí),∵Sm=ma1, Sm+2= (m+2)a1,Sm+1= (m+1)a1, ∴Sm+Sm+1≠2 Sm+2, ∴Sm,Sm+2,Sm+1不成等差數(shù)列 當(dāng)q=-時(shí), , ∴Sm+Sm+1=2 Sm+2 , ∴Sm,Sm+2,Sm+1成等差數(shù)列 綜上得:當(dāng)公比q=1時(shí),逆命題為假;當(dāng)公比q≠1時(shí),逆命題為真 【點(diǎn)睛】逆命題中證明需分類討論是本題的亮點(diǎn)和靈活之處. 【范例4】已知數(shù)列在直線x-y+1=0上. (1) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)若函數(shù) 求函數(shù)f (n)的最小值; (3)設(shè)表示數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和. 試問:是否存在關(guān)于n 的整式g(n), 使得對于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立?若存在,寫出g(n)的解析式,并加以證明;若不存在,說明理由. 解析 (1)在直線x-y+1=0上 (2) , , . (3), . …………………………………… 故存在關(guān)于n的整式使等式對于一切不小2的自然數(shù)n恒成立. 【點(diǎn)睛】點(diǎn)在直線上的充要條件是點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直線的方程,即得遞推式.第(3)小題的探索性設(shè)問也是本題的升華. 【變式】設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列,. (Ⅰ)當(dāng)時(shí),請?jiān)跀?shù)列中找一項(xiàng),使得成等比數(shù)列; (Ⅱ)當(dāng)時(shí),若滿足, 使得是等比數(shù)列,求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 解析(Ⅰ)設(shè)公差為,則由,得 ∵成等比數(shù)列,∴ 解得.故成等比數(shù)列. (Ⅱ),∴,故. 又是等比數(shù)列, 則,∴, 又,∴,∴ 【點(diǎn)睛】等差數(shù)列中尋找等比子數(shù)列是數(shù)列的重要內(nèi)容. ★★★自我提升 1.在等差數(shù)列中,,則( A ) (A) (B) (C) (D)-1或1 2.(理)已知數(shù)列的值為( C ) (A) (B) (C)1 (D)-2 (文)直角三角形三邊成等比數(shù)列,公比為,則的值為( D ) (A) (B) (C) (D) 3.設(shè){a n}為等差數(shù)列,a 1>0 ,a 6+ a 7>0, a6 a 7<0,則使其前n項(xiàng)和Sn>0成立的最大自然數(shù)n是( B ) (A)11 (B)12 (C)13 (D)14 4.三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,且,則的取值范圍是( D ) (A) (B) (C) (D) 5.令a n為的展開式中含xn項(xiàng)的系數(shù),則數(shù)列{a n}的前n項(xiàng)和為__________. 6.這是一個(gè)計(jì)算機(jī)程序的操作說明: (1)初始值為x=1,y=1,z=0,n=0; (2)n=n+1(將當(dāng)前n+1的值賦予新的n) (3)x = x+2(將當(dāng)前的x=2的值賦予新的x) (4)y =2 y (將當(dāng)前2y的值賦予新的y) (5)z = z + x y(將當(dāng)前z+xy的值賦予新的z) (6)如果z>7000,則執(zhí)行語句(7),否則回語句(2)繼續(xù)進(jìn)行; (7)打印n,z; (8)程序終止. 由語句(7)打印出的數(shù)值為 n=8,z=7682?。? 7.已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),其導(dǎo)函數(shù)為,數(shù)列的前n項(xiàng)和為,點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上. (Ⅰ) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (Ⅱ) 設(shè),是數(shù)列的前n項(xiàng)和,求使得對所有都成立的最小正整數(shù)m; 解析 (Ⅰ)設(shè)二次函數(shù)f (x)=ax2+bx (a≠0),則=2ax+b,又=6x-2,得a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x. 又因?yàn)辄c(diǎn)均在函數(shù)的圖像上,所以=3n2-2n. 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-=6n-5. 當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=312-2=61-5,所以,an=6n-5 () (Ⅱ)由(Ⅰ)得知==, 故Tn===(1-). 因此,要使(1-)<()恒成立的m,必須且僅須滿足≤,即m≥10,所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10. 【文】設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1及公差d都為整數(shù),前n項(xiàng)和為Sn.. (Ⅰ)若a11=0,S14=98,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)若a1≥6,a11>0,S14≤77,求所有可能的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. 解析:(Ⅰ)由S14=98得2a1+13d=14, 又a11=a1+10d=0,故解得d=-2,a1=20. 因此,{an}的通項(xiàng)公式是an=22-2n,n=1,2,3… (Ⅱ)由得即 由①+②得-7d<11。即d>-. 由①+③得13d≤-1,即d≤-. 于是-<d≤-, 又d∈Z,故d=-1,將④代入①②得10<a1≤12. 又a1∈Z, 故a1=11或a1=12. 所以,所有可能的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,… 8.(理)數(shù)列{}的前項(xiàng)和滿足: (1)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式; (2)數(shù)列{}中是否存在三項(xiàng),它們可以構(gòu)成等差數(shù)列?若存在,請求出一組適合條件的項(xiàng);若不存在,請說明理由. 解析:(1)當(dāng)時(shí)有: 兩式相減得: ∴數(shù)列{}是首項(xiàng)6,公比為2的等比數(shù)列. 從而 (2)假設(shè)數(shù)列{}中存在三項(xiàng),它們可以構(gòu)成等差數(shù)列, 因此只能是, 即 、、均為正整數(shù), ∴(*)式左邊為奇數(shù)右邊為偶數(shù),不可能成立。 因此數(shù)列{}中不存在可以構(gòu)成等差數(shù)列的三項(xiàng)。 【文】在等差數(shù)列中,,前項(xiàng)和滿足, (Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)記,求數(shù)列的前項(xiàng)和. 解析(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為,由得, 所以,即,所以. (Ⅱ)由,得.故, 當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí),, 即.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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