高考數(shù)學專題復習導練測 第八章 高考專題突破四 高考中的立體幾何問題課件 理 新人教A版.ppt

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數(shù)學 A（理）,第八章 立體幾何,,高考專題突破四 高考中的立體幾何問題,考點自測,高考題型突破,練出高分,B,D,B,,,解析,設點A到平面PBC的距離為h. ∵D，E分別為PB，PC的中點，,例1 (2014安徽)如圖，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側(cè)棱長均為2 .點G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，平面GEFH ⊥平面ABCD，BC∥ 平面GEFH. (1)證明：GH∥EF；,題型一 空間點、線、面的位置 關(guān)系,解析,思維升華,思維點撥,例1 (2014安徽)如圖，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側(cè)棱長均為2 .點G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，平面GEFH ⊥平面ABCD，BC∥ 平面GEFH. (1)證明：GH∥EF；,題型一 空間點、線、面的位置 關(guān)系,解析,思維升華,思維點撥,(1)證明GH∥EF，只需證明EF∥平面PBC，只需證明BC∥EF，利用BC∥平面GEFH即可；,例1 (2014安徽)如圖，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側(cè)棱長均為2 .點G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，平面GEFH ⊥平面ABCD，BC∥ 平面GEFH. (1)證明：GH∥EF；,題型一 空間點、線、面的位置 關(guān)系,解析,思維升華,思維點撥,證明 因為BC∥平面GEFH， BC?平面PBC， 且平面PBC∩平面GEFH＝GH， 所以GH∥BC. 同理可證EF∥BC， 因此GH∥EF.,解析,思維升華,思維點撥,高考對該部分的考查重點是空間的平行關(guān)系和垂直關(guān)系的證明，一般以解答題的形式出現(xiàn)， 試題難度中等，但對空間想象能力和邏輯推理能力有一定的要求，在試卷中也可能以選擇題或者填空題的方式考查空間位置關(guān)系的基本定理在判斷線面位置關(guān)系中的應用．,例1 (2014安徽)如圖，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側(cè)棱長均為2 .點G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，平面GEFH ⊥平面ABCD，BC∥ 平面GEFH. (1)證明：GH∥EF；,題型一 空間點、線、面的位置 關(guān)系,解析,思維升華,思維點撥,(2)若EB＝2，求四邊形GEFH的 面積．,(2)若EB＝2，求四邊形GEFH的 面積．,解析,思維升華,思維點撥,(2)求出四邊形GEFH的上底、下底及高，即可求出面積．,(2)若EB＝2，求四邊形GEFH的 面積．,解 如圖，連接AC，BD交于點O，BD交EF于點K，連接OP，GK. 因為PA＝PC，O是AC的中點， 所以PO⊥AC， 同理可得PO⊥BD. 又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面內(nèi)， 所以PO⊥底面ABCD.,解析,思維升華,思維點撥,(2)若EB＝2，求四邊形GEFH的 面積．,又因為平面GEFH⊥平面ABCD， 且PO?平面GEFH，所以PO∥平面GEFH. 因為平面PBD∩平面GEFH＝GK， 所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD， 從而GK⊥EF. 所以GK是梯形GEFH的高． 由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，,解析,思維升華,思維點撥,(2)若EB＝2，求四邊形GEFH的 面積．,解析,思維升華,思維點撥,(2)若EB＝2，求四邊形GEFH的 面積．,所以GK＝3.,解析,思維升華,思維點撥,高考對該部分的考查重點是空間的平行關(guān)系和垂直關(guān)系的證明，一般以解答題的形式出現(xiàn)， 試題難度中等，但對空間想象能力和邏輯推理能力有一定的要求，在試卷中也可能以選擇題或者填空題的方式考查空間位置關(guān)系的基本定理在判斷線面位置關(guān)系中的應用．,解析,思維升華,思維點撥,(2)若EB＝2，求四邊形GEFH的 面積．,跟蹤訓練1 (2013江蘇)如圖，在三棱錐 S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC， AS＝AB.過A作AF⊥SB，垂足為F，點E，G分別 是棱SA，SC的中點． 求證：(1)平面EFG∥平面ABC；,,證明 由AS＝AB，AF⊥SB知F為SB中點， 則EF∥AB，F(xiàn)G∥BC，,跟蹤訓練1 (2013江蘇)如圖，在三棱錐 S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC， AS＝AB.過A作AF⊥SB，垂足為F，點E，G分別 是棱SA，SC的中點． 求證：(1)平面EFG∥平面ABC；,,又EF∩FG＝F，AB∩BC＝B， 因此平面EFG∥平面ABC.,(2)BC⊥SA.,,證明 由平面SAB⊥平面SBC，且AF⊥SB， 知AF⊥平面SBC，則AF⊥BC. 又BC⊥AB，AF∩AB＝A，則BC⊥平面SAB， 又SA?平面SAB，因此BC⊥SA.,例2 (2014廣東)如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如圖(2)折疊，折痕EF∥DC. 其中點E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿 EF折疊后點P疊在線段AD上的點記為M， 并且MF⊥CF. (1)證明：CF⊥平面MDF；,題型二 平面圖形的翻折問題,例2 (2014廣東)如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如圖(2)折疊，折痕EF∥DC. 其中點E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿 EF折疊后點P疊在線段AD上的點記為M， 并且MF⊥CF. (1)證明：CF⊥平面MDF；,題型二 平面圖形的翻折問題,,思維點撥 折疊后，MD與平面CDEF的垂直關(guān)系不變．,例2 (2014廣東)如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如圖(2)折疊，折痕EF∥DC. 其中點E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿 EF折疊后點P疊在線段AD上的點記為M， 并且MF⊥CF. (1)證明：CF⊥平面MDF；,題型二 平面圖形的翻折問題,,證明 因為PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD， 所以PD⊥AD. 又因為ABCD是矩形，CD⊥AD，PD與CD交于點D， 所以AD⊥平面PCD.又CF?平面PCD， 所以AD⊥CF，即MD⊥CF. 又MF⊥CF，MD∩MF＝M，所以CF⊥平面MDF.,例2 (2014廣東)如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如圖(2)折疊，折痕EF∥DC. 其中點E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿 EF折疊后點P疊在線段AD上的點記為M， 并且MF⊥CF. (1)證明：CF⊥平面MDF；,題型二 平面圖形的翻折問題,,平面圖形的翻折問題，關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況．一般地翻折后還在同一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個平面上的性質(zhì)發(fā)生變化．,例2 (2)求三棱錐M－CDE的體積．,例2 (2)求三棱錐M－CDE的體積．,,思維點撥 折疊后，MD與平面CDEF的垂直關(guān)系不變．,例2 (2)求三棱錐M－CDE的體積．,,解 因為PD⊥DC，BC＝2，CD＝1，∠PCD＝60，,例2 (2)求三棱錐M－CDE的體積．,,例2 (2)求三棱錐M－CDE的體積．,,思維升華 平面圖形的翻折問題，關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況．一般地翻折后還在同一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個平面上的性質(zhì)發(fā)生變化．,跟蹤訓練2 已知四邊形ABCD是矩形，AB＝1，BC＝ ，將△ABC沿著對角線AC折起來得到△AB1C且頂點B1在平面ACD上的射影O恰落在邊AD上，如圖所示． (1)求證：平面AB1C⊥平面B1CD；,,證明 ∵B1O⊥平面ABCD，CD?平面ABCD， ∴B1O⊥CD，,,又CD⊥AD，AD∩B1O＝O，∴CD⊥平面AB1D， 又AB1?平面AB1D，∴AB1⊥CD， 又AB1⊥B1C，且B1C∩CD＝C， ∴AB1⊥平面B1CD， 又AB1?平面AB1C，∴平面AB1C⊥平面B1CD.,,(2)求三棱錐B1－ABC的體積 . 解 由于AB1⊥平面B1CD，B1D?平面ABCD， 所以AB1⊥B1D，,例3 (2014四川)在如圖所示的多面體中，四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形． (1)若AC⊥BC，證明： 直線BC⊥平面ACC1A1；,題型三 線面位置關(guān)系中的存 在性問題,解析,思維點撥,例3 (2014四川)在如圖所示的多面體中，四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形． (1)若AC⊥BC，證明： 直線BC⊥平面ACC1A1；,題型三 線面位置關(guān)系中的存 在性問題,先證明AA1⊥平面ABC，可得AA1⊥BC，利用AC⊥BC，可以證明直線BC⊥平面ACC1A1；,解析,思維點撥,例3 (2014四川)在如圖所示的多面體中，四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形． (1)若AC⊥BC，證明： 直線BC⊥平面ACC1A1；,題型三 線面位置關(guān)系中的存 在性問題,證明 因為四邊形ABB1A1和ACC1A1都是矩形， 所以AA1⊥AB，AA1⊥AC. 因為AB，AC為平面ABC內(nèi)兩條相交的直線， 所以AA1⊥平面ABC.,解析,思維點撥,例3 (2014四川)在如圖所示的多面體中，四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形． (1)若AC⊥BC，證明： 直線BC⊥平面ACC1A1；,題型三 線面位置關(guān)系中的存 在性問題,因為直線BC?平面ABC，所以AA1⊥BC. 又由已知，AC⊥BC，AA1和AC為平面ACC1A1內(nèi)兩條相交的直線，所以BC⊥平面ACC1A1.,解析,思維點撥,思維點撥,思維升華,(2)設D，E分別是線段BC，CC1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使直線DE∥平面A1MC？請證明你的結(jié)論．,解析,(2)設D，E分別是線段BC，CC1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使直線DE∥平面A1MC？請證明你的結(jié)論．,思維點撥,思維升華,解析,取AB的中點M，連接A1M，MC，A1C，AC1，A1C與AC1交于點O，證明四邊形MDEO為平行四邊形即可．,思維點撥,思維升華,解析,(2)設D，E分別是線段BC，CC1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使直線DE∥平面A1MC？請證明你的結(jié)論．,解 取線段AB的中點M，連接A1M，MC，A1C，AC1，設點O為A1C，AC1的交點． 由已知，點O 為AC1的中點．,思維點撥,思維升華,解析,(2)設D，E分別是線段BC，CC1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使直線DE∥平面A1MC？請證明你的結(jié)論．,連接MD，OE，則MD，OE分別為△ABC，△ACC1的中位線，,思維點撥,思維升華,解析,(2)設D，E分別是線段BC，CC1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使直線DE∥平面A1MC？請證明你的結(jié)論．,連接OM，從而四邊形MDEO為平行四邊形，則DE∥MO. 因為直線DE?平面A1MC，MO?平面A1MC， 所以直線DE∥平面A1MC. 即線段AB上存在一點M(線段AB的中點)，使直線DE∥平面A1MC.,思維點撥,思維升華,解析,對于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設存在，然后在這假設條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進行推理論證，尋找假設滿足的條件，若滿足則肯定假設，若得出矛盾的結(jié)論則否定假設．,(2)設D，E分別是線段BC，CC1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使直線DE∥平面A1MC？請證明你的結(jié)論．,跟蹤訓練3 如圖，在直四棱柱ABCD－ A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB， AD⊥DC，AB∥DC. (1)求證：D1C⊥AC1；,,證明 在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，連接C1D， ∵DC＝DD1，∴四邊形DCC1D1是正方形， ∴DC1⊥D1C.,跟蹤訓練3 如圖，在直四棱柱ABCD－ A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB， AD⊥DC，AB∥DC. (1)求證：D1C⊥AC1；,,又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D， ∴AD⊥平面DCC1D1， 又D1C?平面DCC1D1，,跟蹤訓練3 如圖，在直四棱柱ABCD－ A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB， AD⊥DC，AB∥DC. (1)求證：D1C⊥AC1；,∴AD⊥D1C. ∵AD?平面ADC1，DC1?平面ADC1，且AD∩DC1＝D， ∴D1C⊥平面ADC1， 又AC1?平面ADC1，∴D1C⊥AC1.,,解 假設存在點E，使D1E∥平面A1BD. 連接AD1，AE，D1E， 設AD1∩A1D＝M， BD∩AE＝N，連接MN， ∵平面AD1E∩平面A1BD＝MN，,(2)問在棱CD上是否存在點E，使D1E∥平面A1BD.若存在，確定點E位置；若不存在，說明理由．,,要使D1E∥平面A1BD，可使MN∥D1E， 又M是AD1的中點，則N是AE的中點． 又易知△ABN≌△EDN， ∴AB＝DE. 即E是DC的中點． 綜上所述，當E是DC的中點時， 可使D1E∥平面A1BD.,思維點撥,思維升華,題型四 空間向量與立體幾何,解析,例4 (2014遼寧)如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC ＝120， E，F(xiàn)分別為AC， DC的中點． (1)求證：EF⊥BC； (2)求二面角E－BF－C的正弦值．,可以B為原點，建立空間直角坐標系，用向量法．,題型四 空間向量與立體幾何,例4 (2014遼寧)如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC ＝120， E，F(xiàn)分別為AC， DC的中點． (1)求證：EF⊥BC； (2)求二面角E－BF－C的正弦值．,思維點撥,思維升華,解析,題型四 空間向量與立體幾何,例4 (2014遼寧)如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC ＝120， E，F(xiàn)分別為AC， DC的中點． (1)求證：EF⊥BC； (2)求二面角E－BF－C的正弦值．,方法一 (1)證明 如圖(1)，過E作EO⊥BC，垂足為O，連接OF. 由題意得△ABC≌△DBC，可證出△EOC≌△FOC. 即FO⊥BC. 又EO⊥BC，EO∩FO＝O，因此BC⊥平面EFO. 又EF?平面EFO，所以EF⊥BC.,(1),思維點撥,思維升華,解析,題型四 空間向量與立體幾何,例4 (2014遼寧)如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC ＝120， E，F(xiàn)分別為AC， DC的中點． (1)求證：EF⊥BC； (2)求二面角E－BF－C的正弦值．,(2)解 如圖(1)，過O作OG⊥BF，垂足為G，連接EG. 由平面ABC⊥平面BDC，從而EO⊥平面BDC. 又OG⊥BF，EO⊥BF，所以BF⊥平面EGO， 所以EG⊥BF. 因此∠EGO為二面角E－BF－C的平面角．,(1),思維點撥,思維升華,解析,題型四 空間向量與立體幾何,例4 (2014遼寧)如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC ＝120， E，F(xiàn)分別為AC， DC的中點． (1)求證：EF⊥BC； (2)求二面角E－BF－C的正弦值．,思維點撥,思維升華,解析,題型四 空間向量與立體幾何,例4 (2014遼寧)如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC ＝120， E，F(xiàn)分別為AC， DC的中點． (1)求證：EF⊥BC； (2)求二面角E－BF－C的正弦值．,方法二 (1)證明 由題意，以B為坐標原點，在平面DBC內(nèi)過B作垂直于BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內(nèi)過B作垂直BC的直線為z軸，建立如圖(2) 所示的空間直角坐標系，,(2),思維點撥,思維升華,解析,題型四 空間向量與立體幾何,例4 (2014遼寧)如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC ＝120， E，F(xiàn)分別為AC， DC的中點． (1)求證：EF⊥BC； (2)求二面角E－BF－C的正弦值．,思維點撥,思維升華,解析,題型四 空間向量與立體幾何,例4 (2014遼寧)如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC ＝120， E，F(xiàn)分別為AC， DC的中點． (1)求證：EF⊥BC； (2)求二面角E－BF－C的正弦值．,(2)解 如圖(2)，平面BFC的一個法向量為n1＝(0,0,1)． 設平面BEF的法向量為n2＝(x，y，z)，,(2),思維點撥,思維升華,解析,題型四 空間向量與立體幾何,例4 (2014遼寧)如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC ＝120， E，F(xiàn)分別為AC， DC的中點． (1)求證：EF⊥BC； (2)求二面角E－BF－C的正弦值．,思維點撥,思維升華,解析,題型四 空間向量與立體幾何,例4 (2014遼寧)如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC ＝120， E，F(xiàn)分別為AC， DC的中點． (1)求證：EF⊥BC； (2)求二面角E－BF－C的正弦值．,用向量法解決立體幾何問 題，可使復雜問題簡單化，使推理論證變?yōu)橛嬎闱蠼?，降低思維難度使立體幾何 問題“公式”化，訓練的 關(guān)鍵在于“歸類、尋法”．,思維點撥,思維升華,解析,跟蹤訓練4 在如圖所示的幾何體中，底面ABCD 為菱形，∠BAD＝60，AA1綊DD1綊CC1∥BE， 且AA1＝AB，D1E⊥平面D1AC，AA1⊥底面ABCD. (1)求二面角D1－AC－E的大?。?,解 設AC與BD交于點O，如圖所示建立空間直 角坐標系O－xyz，設AB＝2，,,∵D1E⊥面D1AC，∴D1E⊥CA，D1E⊥D1A，,,設平面EAC的法向量為m＝(x，y，z)，,令z＝1，y＝3，m＝(0,3,1)．,,所以所求二面角的大小為45.,,解 假設存在點P滿足題意．,,故存在點P使A1P∥面EAC，此時D1P∶PE＝3∶2.,1.(2014重慶)某幾何體的三視圖如圖所示， 則該幾何體的表面積為( ) A.54 B.60 C.66 D.72 解析 由俯視圖可以判斷該幾何體的底面為 直角三角形，由正視圖和側(cè)視圖可以判斷該幾何體是由直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直的棱柱)截取得到的.,,,2,3,4,5,6,7,8,,1,在長方體中分析還原，如圖(1)所示， 故該幾何體的直觀圖如圖(2)所示.,,,2,3,4,5,6,7,8,,1,答案 B,,,2,3,4,5,6,7,8,,1,2.已知m，n分別是兩條不重合的直線，a，b分別垂直于兩不重合平面α，β，有以下四個命題： ①若m⊥α，n∥b，且α⊥β，則m∥n； ②若m∥a，n∥b，且α⊥β，則m⊥n； ③若m∥α，n∥b，且α∥β，則m⊥n； ④若m⊥α，n⊥b，且α⊥β，則m∥n. 其中正確的命題是( ) A.①② B.③④ C.①④ D.②③,,,3,4,5,6,7,,8,1,2,解析 對于①，b⊥β，n∥b，∴n⊥β，∵m⊥α，且α⊥β，∴m⊥n，∴①錯誤；對于②，∵a，b分別垂直于兩不重合平面α，β，α⊥β，∴a⊥b，∵m∥a，n∥b，∴m⊥n，∴②正確；對于③，∵n∥b，b⊥β，∴n⊥β，∵m∥α，α∥β，∴m⊥n，∴③正確；對于④，∵m⊥α，b⊥β，α⊥β，∴m⊥b，∵n⊥b，∴m∥n或m⊥n或m，n相交，∴④不正確.所以②③正確. 答案 D,,,3,4,5,6,7,,8,1,2,3.如圖梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E、F分別是AB、CD的中點，將四邊形ADFE沿直線EF進行翻折，給出四個結(jié)論： ①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC； ④平面DCF⊥平面BFC. 在翻折過程中，可能成立的結(jié)論是________.(填寫結(jié)論序號),,,4,5,6,7,,8,1,2,3,解析 因為BC∥AD，AD與DF相交不垂直，所以BC與DF不垂直，則①不成立； 設點D在平面BCF上的射影為點P，當BP⊥CF時就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，可使條 件滿足，所以②正確；當點P落在BF上時， DP?平面BDF，從而平面BDF⊥平面BCF， 所以③正確；,,,4,5,6,7,,8,1,2,3,因為點D的射影不可能在FC上，所以平面DCF⊥平面BFC不成立，即④錯誤.故答案為②③. 答案 ②③,,,4,5,6,7,,8,1,2,3,4.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E 是棱BC的中點，點F是棱CD上的動點，當 ＝______時，D1E⊥平面AB1F. 解析 如圖，連接A1B，則A1B是D1E在平面 ABB1A1內(nèi)的射影. ∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1， 又∵D1E⊥平面AB1F?D1E⊥AF.,,,5,6,7,,8,1,2,3,4,連接DE，則DE是D1E在底面ABCD內(nèi)的射影， ∴D1E⊥AF?DE⊥AF. ∵ABCD是正方形，E是BC的中點， ∴當且僅當F是CD的中點時，DE⊥AF， 即當點F是CD的中點時，D1E⊥平面AB1F，,答案 1,,,5,6,7,,8,1,2,3,4,5.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G， H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證： (1)B，C，H，G四點共面； 證明 ∵GH是△A1B1C1的中位線，∴GH∥B1C1. 又B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G四點共面.,,,6,7,,8,1,2,3,4,5,(2)平面EFA1∥平面BCHG.,證明 ∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，∴EF∥BC， ∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. ∵A1G與EB平行且相等， ∴四邊形A1EBG是平行四邊形，,,,6,7,,8,1,2,3,4,5,∴A1E∥GB. ∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.,,,6,7,,8,1,2,3,4,5,6.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中， E是棱DD1的中點.在棱C1D1上是否存在一點F， 使B1F∥平面A1BE？并證明你的結(jié)論. 解 在棱C1D1上存在點F，使B1F∥平面A1BE. 因為平面ABB1A1∥平面DCC1D1，所以A1B與 平面A1EB和平面DCC1D1的交線平行， 如圖所示，,,,7,,8,1,2,3,4,5,6,取CD的中點G，連接EG，BG， 則EG，BG就是平面A1BE分別與平面DCC1D1和平面ABCD的交線. 取C1D1的中點F，CC1的中點H， 連接HF，B1F，B1H. 因為HF∥EG， 所以HF∥平面A1EB.,,,7,,8,1,2,3,4,5,6,因為A1B1∥C1D1∥HE，所以A1，B1，H，E四點共面， 又平面BB1C1C∥平面AA1D1D， 所以B1H∥A1E，從而B1H∥平面A1EB， 因為B1H∩HF＝H， 所以平面B1HF∥平面A1EB， 所以B1F∥平面A1EB.,,,7,,8,1,2,3,4,5,6,7.(2014福建)在平面四邊形ABCD中，AB＝BD ＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.將△ABD沿BD 折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖所示. (1)求證：AB⊥CD； 證明 ∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面 BCD＝BD，AB?平面ABD，AB⊥BD， ∴AB⊥平面BCD. 又CD?平面BCD，∴AB⊥CD.,,,,8,1,2,3,4,5,6,7,(2)若M為AD中點，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值. 解 過點B在平面BCD內(nèi)作BE⊥BD，如圖. 由(1)知AB⊥平面BCD，BE?平面BCD， BD?平面BCD， ∴AB⊥BE，AB⊥BD.,,,,8,1,2,3,4,5,6,7,設平面MBC的法向量n＝(x0，y0，z0)，,,,,8,1,2,3,4,5,6,7,取z0＝1，得平面MBC的一個法向量n＝(1，－1,1). 設直線AD與平面MBC所成角為θ，,,,,8,1,2,3,4,5,6,7,8.如圖所示，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，四邊形ABDE是直角 梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD＝ AE＝2， O，M分別為CE，AB的中點. (1)求證：OD∥平面ABC；,,,,8,1,2,3,4,5,6,7,證明 取AC中點F，連接OF，F(xiàn)B. ∵F是AC中點，O為CE中點，,∴四邊形BDOF是平行四邊形，∴OD∥FB. 又∵FB?平面ABC，OD?平面ABC， ∴OD∥平面ABC.,,,,8,1,2,3,4,5,6,7,(2)求直線CD和平面ODM所成角的正弦值； 解 ∵平面ABDE⊥平面ABC，平面ABDE∩平面ABC＝AB，DB?平面ABDE，且BD⊥BA， ∴DB⊥平面ABC. ∵BD∥AE，∴EA⊥平面ABC.,,,,8,1,2,3,4,5,6,7,如圖所示，以C為原點，分別以CA，CB所在直 線為x，y軸，以過點C且與平面ABC垂直的直線 為z軸，建立空間直角坐標系. ∵AC＝BC＝4，∴C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,4,0)， D(0,4,2)，E(4,0,4)，O(2,0,2)，M(2,2,0)，,,,,8,1,2,3,4,5,6,7,設平面ODM的法向量為n＝(x，y，z)，,令x＝2，得y＝1，z＝1.∴n＝(2,1,1). 設直線CD和平面ODM所成角為θ，,,,,8,1,2,3,4,5,6,7,,,,8,1,2,3,4,5,6,7,(3)能否在EM上找一點N，使得ON⊥平面ABDE？ 若能，請指出點N的位置，并加以證明； 若不能，請說明理由. 解 當N是EM中點時，ON⊥平面ABDE. 方法一 取EM中點N，連接ON，CM， ∵AC＝BC，M為AB中點，,,,,8,1,2,3,4,5,6,7,∴CM⊥AB. 又∵平面ABDE⊥平面ABC，平面ABDE∩平面ABC＝AB，CM?平面ABC，∴CM⊥平面ABDE. ∵N是EM中點，O為CE中點， ∴ON∥CM，∴ON⊥平面ABDE.,,,,8,1,2,3,4,5,6,7,方法二 由(2)設N(a，b，c)，,即(a－2，b－2，c)＝λ(4－a，－b,4－c)，,,,,8,1,2,3,4,5,6,7,,,,8,1,2,3,4,5,6,7,∴當N是EM的中點時，ON⊥平面ABDE.,,,,8,1,2,3,4,5,6,7,