2019-2020年高三數(shù)學(xué)上 16.5《二項(xiàng)式定理》教案(滬教版).doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)上 16.5《二項(xiàng)式定理》教案(滬教版) 一、教學(xué)目標(biāo): 使學(xué)生掌握二項(xiàng)式定理及其證明(數(shù)學(xué)歸納法),培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和揭示事物內(nèi)在客觀規(guī)律能力和邏輯推理能力。通過(guò)介紹“楊輝三角”,對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義教育。 二、教學(xué)重、難點(diǎn): 重點(diǎn):二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)及證明 難點(diǎn):二項(xiàng)式定理的證明 三、教學(xué)過(guò)程: (一)新課引入: 810=(7+1)10=710+79+…+7+ =2(733+c133732+…+c32337+2 (提問(wèn)):若今天是星期一,再過(guò)810天后的那一天是星期幾? 在初中,我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3=(a+b)2(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3 (提問(wèn)):對(duì)于(a+b)4,(a+b)5 如何展開(kāi)?(利用多項(xiàng)式乘法) (再提問(wèn)):(a+b)100又怎么辦? (a+b)n(n∈N+)呢? 我們知道,事物之間或多或少存在著規(guī)律。這節(jié)課,我們就來(lái)研究(a+b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式的規(guī)律性 (二)新課: (如何著手研究它的規(guī)律呢)?采用從特殊到一般(不完全歸納)的方法。 規(guī)律:(a+b)1=a+b (a+b)2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2 (a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 根據(jù)以上的歸納,可以想到(a+b)n的展開(kāi)式的各項(xiàng)是齊次的,它們分別為an, an-1b, an-2b2,…,bn,展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律,可以列表: (a+b)1 1 1 (a+b)2 1 2 1 (a+b)3 1 3 3 1 (a+b)4 1 4 6 4 1 (a+b)5 1 5 10 10 5 1 (這表是我國(guó)宋代楊輝于1261年首次發(fā)現(xiàn)的,稱為楊輝三角,比歐洲至少早了三百年。) 如何從組合知識(shí)得到(a+b)4展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù) (a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b) (1)若每個(gè)括號(hào)都不取b,只有一種取法得到a4即種 (2)若只有一個(gè)括號(hào)取b,共有種取法得到a3b (3)若只有兩個(gè)括號(hào)取b,共有種取法得到a2b2 (4)若只有三個(gè)括號(hào)取b,共有種取法得到ab3 (5)若每個(gè)括號(hào)都取b,共有種取法得b4 ………… ∴ (a+b)n=an+an-1b+…+an-rbr+…+bn(n∈N+) 以上我們采用不完全歸納法得到,不一定可靠,若要說(shuō)明正確,須加以證明(數(shù)學(xué)歸納法)。 證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=(a+b)1=a+b 右邊=a1+b1=a+b ∴ 等式成立 (2)假設(shè)n=k時(shí),等式成立,即(a+b)k=ak+ak-1b+…+ak-rbr+…bk 那么當(dāng)n=k+1時(shí) (分散難點(diǎn)作法) 以 (a+b)4(a+b)與(a+b)k(a+b)進(jìn)行類比 (a+b)4(a+b)=(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)(a+b) =(a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4)+(a4b+a3b2+ a2b3+ab4+b5) 由組合數(shù)性質(zhì)知 = += += += += = 則(a+b)5=a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5 (a+b)k+1=(a+b)k(a+b)=(ak+ak-1b+…+ak-rbr+…+bk)(a+b)=(ak+1+akb+…+ak-r+1br+…+abk)+(akb+ak-1b2+…+ak-rbr+1+…+bk+1) =ak+1+(+)akb+…+(+)ak-rbr+1+…+(+)abk+bk+1 由組合數(shù)性質(zhì)得,= +=,…+=,+=,= ∴(a+b)k+1=ak+1+akb1+…+ak-rbr+1+…+abk+bk+1,即等式成立。 根據(jù)(1)(2)可知,等式對(duì)于任意n∈N+都成立。 一、指出:這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理(板書(shū)),它的特點(diǎn): 1.項(xiàng)數(shù):共有(n+1)項(xiàng) 2.系數(shù):依次為,,,…,…,其中(r=0,1,2,…n)稱為二項(xiàng)式系數(shù) 說(shuō)明:二項(xiàng)式系數(shù)與展開(kāi)中某一項(xiàng)系數(shù)是有區(qū)別的。例如:(1+2x)6展開(kāi)式中第3項(xiàng)中系數(shù)為22=60而第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是=15。 3.指數(shù):an-rbr指數(shù)和為n,a的指數(shù)依次從n遞減到0,b的指數(shù)依次從0遞增到n。 三、小結(jié): (1)二項(xiàng)式定理(a+b)n=an+an-1b+…+an-rbr+…+bn是通過(guò)不完全歸納法,并結(jié)合組合的概念得到展開(kāi)式的規(guī)律性,然后用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。 (2)二項(xiàng)式定理的特點(diǎn):1.項(xiàng)數(shù) 2.系數(shù) 3.指數(shù) 四、作業(yè)- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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