協(xié)方差和相關系數(shù)的計算.ppt

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3.3.1 協(xié)方差和相關系數(shù),問題 對于二維隨機變量(X ，Y )：,已知聯(lián)合分布,邊緣分布,這說明對于二維隨機變量，除了每個隨機變量各自的概率特性以外，相互之間可能還有某種聯(lián)系．問題是用一個什么樣的數(shù)去反映這種聯(lián)系．,數(shù),Y 之間的某種關系．,反映了隨機變量X ，,定義 稱,協(xié)方差．記為,稱,為(X，Y)的協(xié)方差矩陣．,可以證明協(xié)方差矩陣為半正定矩陣．,協(xié)方差和相關系數(shù)的定義,為X，Y的,若D (X) 0， D (Y) 0 ，稱,為X，Y 的相關系數(shù)，記為,事實上，,若,稱 X，Y 不相關．,—— 利用函數(shù)的期望或方差計算協(xié)方差,若(X，Y)為離散型，,若(X，Y)為連續(xù)型，,協(xié)方差和相關系數(shù)的計算,,,,求 cov (X，Y)，?XY ．,例1 已知 X，Y 的聯(lián)合分布為：,,,,,X,Y,pij,1 0,1 0,p 0,0 q,0 p 1 p + q = 1,解,,,例2 設 ( X ，Y ) ~ N ( ?1，?12，?2，?22，?)， 求 ?XY ．,解,若 ( X，Y ) ~ N (?1，?12，?2，?22，?)，則X，Y相互獨立,,X，Y 不相關．,例3 設 X，Y 相互獨立，且都服從 N (0，? 2)，U = aX + bY，V= aX - bY，a，b為常數(shù)，且都不為零，求?UV ．,解,由,,,,而,故,繼續(xù)討論：a，b 取何值時，U，V 不相關？ 此時，U，V 是否獨立？,協(xié)方差的性質(zhì),當D(X ) 0， D(Y ) 0 時，當且僅當,時，等式成立,—Cauchy-Schwarz不等式．,協(xié)方差和相關系數(shù)的性質(zhì),,,,,,證明 令,對任何實數(shù) t ，,,即,等號成立,有兩個相等的實零點,,即,,又顯然,,,即,即Y 與X 有線性關系的概率等于1，這種線性關系為,相關系數(shù)的性質(zhì),Cauchy-Schwarz不等式的等號成立．,即Y 與X 有線性關系的概率等于1，這種線性關系為,,,,,,,,X，Y 不相關,,,,X，Y 相互獨立,,X，Y 不相關．,若 X，Y 服從二維正態(tài)分布，X，Y 相互獨立,,X，Y 不相關．,,在例1中已知 X ，Y 的聯(lián)合分布為,例4 設 ( X，Y ) ~ N (1，4；1，4；0.5)，Z = X + Y，求 ? XZ．,解,定義 設X1，…，Xn為n個r.v.，記bij=cov(Xi，Xj)，i，j=1，2，…，n．則稱由bij組成的矩陣為隨機變量X1，…，Xn的協(xié)方差矩陣B．即,以前講過的n維正態(tài)分布的形式中就有協(xié)方差矩陣．,3.3.2 協(xié)方差矩陣,顯然,bii=DXi，i =1，2，…，n bik=bki，i，k =1，2，…，n．,故協(xié)方差矩陣B是對稱矩陣．由柯西-許瓦茲不等式有,如果我們記,則有,因此B為,稱為列隨機向量X的數(shù)學,的方差，其中,期望．,對任意實數(shù)t1，…，tn，有,如果記t=(t1，…，tn)?，上式即為,證明 設,協(xié)方差矩陣的性質(zhì),,的概率密度函數(shù)，則,以及,分別為,這表示B是非負定的，由矩陣論的二次型理論知，對任意正整數(shù)k(1?k?n)，有,如果X1，… ，Xn相互獨立，則B為對角矩陣．,證明 因為X1，… , Xn相互獨立，所以當k?I時，,,所以B為對角矩陣．,作業(yè) P208 習題三,35，36,