高考數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第十一節(jié) 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用課件 理.ppt

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第十一節(jié) 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用,1.函數(shù)的單調性與導數(shù) (1)設函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內可導 若 f(x)0 ,則f(x)在這個區(qū)間內是增函數(shù); 若 f(x)0 或 f(x)0 時,f(x)在相應區(qū)間上是增函數(shù), 當 f(x)0 時,f(x)在相應區(qū)間上是減函數(shù).,,,,,,,,2.函數(shù)的極值與導數(shù) (1)函數(shù)的極小值與極小值點 若函數(shù)y=f(x)在點x=a的函數(shù)值f(a)比它在點x=a附近其他點的函數(shù)值都小,f(a)=0;而且在點x=a附近的左側 f(x)0 ,則點a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點,f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值. (2)函數(shù)的極大值與極大值點 若函數(shù)y=f(x)在點x=b的函數(shù)值f(b)比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值都大,f(b)=0;而且在點x=b附近的左側 f(x)0 ,右側 f(x)0,右側f(x)0,那么f(x0)是極小值.,,,,,3.函數(shù)的最值與導數(shù) (1)函數(shù)最值的概念 設函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內可導,函數(shù)f(x)在[a,b]上一切函數(shù)值中的最大(最小)值,叫做函數(shù)y=f(x)的最大(最小)值. (2)求函數(shù)最值的步驟 設函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內可導,求f(x)在[a,b]上的最值,可分兩步進行: (1)求函數(shù)y=f(x)在(a,b)內的極值; (2)將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值. 4.常用的數(shù)學方法與思想 分類討論思想、數(shù)形結合思想、轉化化歸思想.,1.(2016鄭州一中調研)函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a,b),導函數(shù)在(a,b)內的圖象如下圖所示,則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內的極大值點有 ( ),A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 1.B 【解析】對導函數(shù)的圖象研究發(fā)現(xiàn)其函數(shù)值正負構成是(+,-),(-,+),(+,-),所以可畫出原函數(shù)的大致圖象,數(shù)形結合,易知其在開區(qū)間(a,b)內有兩個極大值點.,,,,,,,【變式訓練】 (2015廣東高考)設a1,函數(shù)f(x)=(1+x2)ex-a. (1)求f(x)的單調區(qū)間; (2)證明:f(x)在(-∞,+∞)上僅有一個零點. 【解析】(1)f(x)=(1+x2)ex-a, f(x)=2xex+(1+x2)ex=(2x+1+x2)ex=(1+x)2ex≥0, 故函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(-∞,+∞). (2)由題意可得,f(0)=(1+02)e0-a=1-aae0-a=0, 根據(jù)零點存在定理,由于f(0)f(a)0,故f(x)在(0,a)內存在零點. 結合(1)中所得f(x)在(-∞,+∞)上單調遞增, 由此可得,f(x)在(-∞,+∞)上僅有一個零點.,,,,,,(2015南通三模)設函數(shù)f(x)=x2+bln(x+1). (1)若x=1時,函數(shù)f(x)取最小值,求實數(shù)b的值; (2)若函數(shù)f(x)在定義域上是單調函數(shù),求實數(shù)b的取值范圍. 【解題思路】①注意定義域優(yōu)先;②利用單調性確定最值對應的自變量的取值;③分單調遞增與遞減討論. 【參考答案】(1)由x+10得x-1, ∴f(x)的定義域為(-1,+∞). 對x∈(-1,+∞),都有f(x)≥f(1), ∴f(1)是函數(shù)f(x)的最小值,故有f(1)=0,,,【變式訓練】 (2015張掖診斷)已知函數(shù)f(x)=(ax2+x-1)ex,其中e是自然對數(shù)的底數(shù),a∈R. (1)若曲線f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率為4e,求切線方程; (2)試求f(x)的單調區(qū)間并求出當a0時f(x)的極小值. 【解析】(1)∵f(x)=(2ax+1)ex+(ax2+x-1)ex=[ax2+(2a+1)x]ex, ∴f(1)=(3a+1)e=4e,解得a=1. ∴f(1)=e, ∴切點坐標為(1,e). ∴切線方程為y-e=4e(x-1). 即所求切線方程為4ex-y-3e=0.,與導數(shù)有關的不等式恒成立與存在性兩大問題的求解策略 由不等式恒成立或存在性求參數(shù)范圍是每年高考的命題熱點、難點,綜合性強,難度高,通常以兩種情況體現(xiàn):(1)不等式恒成立問題求參數(shù)范圍;(2)不等式存在性問題求參數(shù)范圍.,1.不等式恒成立問題求參數(shù)范圍 典例1 (2015北京通州區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)=ae-x-x+1,a∈R. (1)若對任意x∈(0,+∞),f(x)0恒成立,求a的取值范圍;,【參考答案】(1)由f(x)0, 所以g(x)在(0,+∞)上單調遞增. 所以-1g(x), 所以a≤-1.,2.不等式存在性問題求參數(shù)范圍 典例2 (2015新課標全國卷Ⅰ)設函數(shù)f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整數(shù)x0使得f(x0)0,則a的取值范圍是( ),,,1.(2014新課標全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零點x0,且x00,則a的取值范圍是 ( ) A.(2,+∞) B.(-∞,-2) C.(1,+∞) D.(-∞,-1) 1.B 【解析】當a=0時,顯然不滿足條件,故a≠0;由f(x)=ax3-3x2+1可得f(x)=3ax2-6x,由f(x)=0可得x=0或,,2.(2015山東高考)設函數(shù)f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中a∈R. (1)討論函數(shù)f(x)極值點的個數(shù),并說明理由; (2)若?x0,f(x)≥0成立,求a的取值范圍.,