高考數(shù)學一輪總復習 第五章 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和課件.ppt

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第五章 數(shù) 列,第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和,,1．理解等差數(shù)列的概念． 2．掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式． 3．能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關系，并能用有關知識解決相應的問題． 4．了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關系.,[要點梳理] 1．等差數(shù)列的定義 如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示． 2．等差數(shù)列的通項公式 如果等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，那么它的通項公式是an＝a1＋(n－1)d.,,,,,,,,,,,4．等差數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項公式的推廣：an＝am＋_________，(n，m∈N＋)． (2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N＋)，則_______________.,(n－m)d,ak＋al＝am＋,(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為___. (4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列． (5)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差為___的等差數(shù)列．,2d,md,7．等差數(shù)列的最值 在等差數(shù)列{an}中，a10，d0，則Sn存在最___值． 質(zhì)疑探究：等差數(shù)列通項公式與前n項和公式的推導分別用了什么方法？ 提示：前者用的是疊加法，后者用的是倒序相加法．,大,小,[基礎自測] 1．給出下列命題： ①若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列． ②數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N＋，都有2an＋1＝an＋an＋2. ③等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的． ④數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù)．,⑤等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù)． 其中正確的命題是( ) A．①② B．②③ C．③④ D．④⑤ [解析] ①錯誤．若這些常數(shù)都相等，則這個數(shù)列是等差數(shù)列；若這些常數(shù)不全相等，這個數(shù)列就不是等差數(shù)列． ②正確．如果數(shù)列{an}為等差數(shù)列，根據(jù)定義an＋2－an＋1＝an＋1－an，即2an＋1＝an＋an＋2；反之，若對任意n∈N＋，都有2an＋1＝an＋an＋2，則an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝…＝a2－a1，根據(jù)定義數(shù)列{an}為等差數(shù)列．,③正確．當d0時為遞增數(shù)列；d＝0時為常數(shù)列；d0時為遞減數(shù)列． ④錯誤．根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，只有當d≠0時，等差數(shù)列的通項公式才是n的一次函數(shù)，否則不是．,[答案] B,2．(2015·海淀質(zhì)檢)等差數(shù)列{an}中，a2＝3，a3＋a4＝9，則a1a6的值為( ) A．14 B．18 C．2 D．27 [答案] A,3．在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則該數(shù)列前11項和S11等于( ) A．58 B．88 C．143 D．176 [答案] B,4．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項和，a7－a5＝4，a11＝21，Sk＝9，則k＝________.,[答案] 3,考向一 等差數(shù)列基本量的計算 例1 (1)(2013·安徽高考)設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，S8＝4a3，a7＝－2，則a9＝( ) A．－6 B．－4 C．－2 D．2,,(2)(2015·石家莊市質(zhì)檢)已知等差數(shù)列{an}滿足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n＞3)，Sn＝100，則n的值為( ) A．8 B．9 C．10 D．11 思路點撥 在等差數(shù)列{an}的an，Sn，a1，d，n的五個量中，知其三，求其二．,互動探究 本例(1)中，已知條件不變，則Sn＝________.,[答案] －n2＋11n,拓展提高 ①此類問題的通法是把條件轉(zhuǎn)化為a1與d的方程(組)，進而可求其它問題． ②結合性質(zhì)求解，可簡化計算． 活學活用1 (1)(2015·荊州市調(diào)研)公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a4是a3與a7的等比中項，且S10＝60，則S20＝( ) A．80 B．160 C．320 D．640,[答案] C,(2)(2015·鄭州市質(zhì)檢)等差數(shù)列{an}的前7項和等于前2項和，若a1＝1，ak＋a4＝0，則k＝________.,[答案] 6,思路點撥 由題設條件構造(an＋1－an)－(an－an－1)的值，并累加求和．,拓展提高 等差數(shù)列的四個判定方法 (1)定義法：證明對任意正整數(shù)n都有an＋1－an等于同一個常數(shù)． (2)等差中項法：證明對任意正整數(shù)n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可遞推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根據(jù)定義得出數(shù)列{an}為等差數(shù)列． (3)通項公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p對任意正整數(shù)n恒成立，根據(jù)定義判定數(shù)列{an}為等差數(shù)列．,(4)前n項和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根據(jù)Sn，an的關系，得出an，再使用定義法證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列． 提醒：等差數(shù)列主要的判定方法是定義法和等差中項法，而對于通項公式和前n項和公式的方法主要適合在選擇題中簡單判斷.,考向三 等差數(shù)列的性質(zhì)及應用 例3 (1)(2014·重慶高考)在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，則a7＝( ) A．5 B．8 C．10 D．14 (2)(2015·武漢市聯(lián)考)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，{an}的前n項和為Sn，則使得Sn達到最大的n是( ) A．18 B．19 C．20 D．21,[解析] (1)由題意，得a1＋2d＋a1＋4d＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，解得d＝1，所以a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.故 選B. (2)a1＋a3＋a5＝105?a3＝35，a2＋a4＋a6＝99?a4＝33，則{an}的公差d＝33－35＝－2，a1＝a3－2d＝39，Sn＝－n2＋40n，因此當Sn取得最大值時，n＝20.,(3),[答案] (1)B (2)C (3)D (4)5,拓展提高 利用等差數(shù)列性質(zhì)的常見題型與求解策略：,思想方法12 函數(shù)思想在等差數(shù)列前n項和的最值中的應用 典例 在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝20，前n項和為Sn，且S10＝S15，求當n取何值時，Sn取得最大值，并求出它的最大值． 審題視角 由a1＝20及S10＝S15可求得d，進而求得通項，由通項得到此數(shù)列前多少項為正，或利用Sn是關于n的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值的方法求解．,,方法點睛 求等差數(shù)列前n項和的最值，常用的方法：①利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負轉(zhuǎn)折項；②利用性質(zhì)求出其正負轉(zhuǎn)折項，便可求得和的最值；③將等差數(shù)列的前n項和Sn＝An2＋Bn (A、B為常數(shù))看做二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．,即時突破 已知等差數(shù)列{an}的首項a1＝20，公差d＝－2，則前n項和Sn的最大值為________．,[答案] 110,[思維升華] 【方法與技巧】,1．等差數(shù)列的判斷方法 (1)定義法：an＋1－an＝d (d是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列． (2)等差中項法：2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N＋)?{an}是等差數(shù)列． (3)通項公式：an＝pn＋q(p，q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列． (4)前n項和公式：Sn＝An2＋Bn (A、B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列．,2．方程思想和化歸思想：在解有關等差數(shù)列的問題時可以考慮化歸為a1和d等基本量，通過建立方程(組)獲得解． 3．在遇到三個數(shù)成等差數(shù)列問題時，可設三個數(shù)為(1)a，a＋d，a＋2d；(2)a－d，a，a＋d；(3)a－d，a＋d，a＋3d等，可視具體情況而定．,【失誤與防范】,1．當公差d≠0時，等差數(shù)列的通項公式是n的一次函數(shù)，當公差d＝0時，an為常數(shù)． 2．公差不為0的等差數(shù)列的前n項和公式是n的二次函數(shù)，且常數(shù)項為0.若某數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項不為0的二次函數(shù)，則該數(shù)列不是等差數(shù)列，它從第二項起成等差數(shù)列．,