高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二章 概率、隨機(jī)變量及其概率分布 12.4 離散型隨機(jī)變量及其概率分布課件 理.ppt

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,第十二章 概率、隨機(jī)變量及其概率分布,§12.4 離散型隨機(jī)變量及其概率分布,,,內(nèi)容索引,,,,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),題型分類 深度剖析,易錯(cuò)警示系列,思想方法 感悟提高,練出高分,,,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),1.離散型隨機(jī)變量的概率分布 (1)隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量叫做隨機(jī)變量；所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量. (2)一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個(gè)值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則稱表,,知識(shí)梳理,1,為離散型隨機(jī)變量X的概率分布表，具有如下性質(zhì)： ①pi 0，i＝1,2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝____. 離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的 . 2.兩點(diǎn)分布 如果隨機(jī)變量X的概率分布表為,其中0p1，則稱離散型隨機(jī)變量X服從 .,≥,1,概率之和,兩點(diǎn)分布,,答案,3.超幾何分布 一般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M(M≤N)件次品.從中任取n (n≤N)件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么,P(X＝r)＝ (r＝0,1,2，…，l). 即,其中l(wèi)＝min(M，n)，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. 如果一個(gè)隨機(jī)變量X的概率分布具有上表的形式，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.,,答案,判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”) (1)拋擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機(jī)變量.( ) (2)離散型隨機(jī)變量的概率分布描述了由這個(gè)隨機(jī)變量所刻畫(huà)的隨機(jī)現(xiàn)象.( ) (3)某人射擊時(shí)命中的概率為0.5，此人射擊三次命中的次數(shù)X服從兩點(diǎn)分布.( ) (4)從4名男演員和3名女演員中選出4名，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布.( ) (5)離散型隨機(jī)變量的概率分布中，隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率之和可以小于1.( ) (6)離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的.( ),√,√,×,√,×,√,思考辨析,,答案,1.袋中有3個(gè)白球、5個(gè)黑球，從中任取2個(gè)，可以作為隨機(jī)變量的是________. ①至少取到1個(gè)白球； ②至多取到1個(gè)白球； ③取到白球的個(gè)數(shù)； ④取到的球的個(gè)數(shù).,解析 ①②表述的都是隨機(jī)事件， ④是確定的值2，并不隨機(jī)； ③是隨機(jī)變量，可能取值為0,1,2.,③,,考點(diǎn)自測(cè),2,,解析答案,1,2,3,4,5,2.(教材改編)從標(biāo)有1～10的10支竹簽中任取2支，設(shè)所得2支竹簽上的數(shù)字之和為X，那么隨機(jī)變量X可能取得的值有________個(gè).,解析 X可能取得的值有3,4,5，…，19共17個(gè).,17,,解析答案,1,2,3,4,5,3.隨機(jī)變量X的概率分布如下：,其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|＝1)＝________.,解析 ∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c.,,解析答案,1,2,3,4,5,4.隨機(jī)變量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X4)＝0.3，則n＝________.,解析 P(X4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3),10,,解析答案,1,2,3,4,5,5.(教材改編)一盒中有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)新的、3個(gè)舊的，從盒中任取3個(gè)球來(lái)用，用完后裝回盒中，此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量， 則P(X＝4)的值為_(kāi)_____.,解析 由題意知取出的3個(gè)球必為2個(gè)舊球、1個(gè)新球，,,1,2,3,4,5,解析答案,返回,,題型分類 深度剖析,(1)求a；,解 由概率分布的性質(zhì)，,＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，,,,題型一 離散型隨機(jī)變量的概率分布的性質(zhì),,解析答案,,解析答案,思維升華,,(1)利用概率分布中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時(shí)要注意檢驗(yàn)，以保證每個(gè)概率值均為非負(fù)數(shù). (2)求隨機(jī)變量在某個(gè)范圍內(nèi)的概率時(shí)，根據(jù)概率分布，將所求范圍內(nèi)各隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的概率相加即可，其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式.,思維升華,設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為,求：(1)2X＋1的概率分布； (2)|X－1|的概率分布.,跟蹤訓(xùn)練1,,解析答案,解 由概率分布的性質(zhì)知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3. 首先列表為,從而由上表得兩個(gè)概率分布為 (1)2X＋1的概率分布,,解析答案,(2)|X－1|的概率分布,命題點(diǎn)1 與排列組合有關(guān)的概率分布的求法,例2 (2015·重慶改編)端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤(pán)中裝有10個(gè)粽子，其中豆沙粽2個(gè)，肉粽3個(gè)，白粽5個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同.從中任意選取3個(gè). (1)求三種粽子各取到1個(gè)的概率； 解 令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個(gè)”，,,,題型二 離散型隨機(jī)變量概率分布的求法,,解析答案,(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽的個(gè)數(shù)，求X的概率分布. 解 X的所有可能值為0,1,2，,綜上知，X的概率分布為,,解析答案,命題點(diǎn)2 與互斥事件有關(guān)的概率分布的求法,例3 某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：,試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變)，設(shè)某天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)有該商品3件，當(dāng)天營(yíng)業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率.,(1)求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率；,,解析答案,(2)記X為第二天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求X的概率分布. 解 由題意知，X的可能取值為2,3.,P(X＝3)＝P(當(dāng)天商品銷售量為0件)＋P(當(dāng)天商品銷售量為2件)＋P(當(dāng)天商品銷售量為3件),所以X的概率分布為,,解析答案,命題點(diǎn)3 與獨(dú)立事件(或獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn))有關(guān)的概率分布的求法,(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率； (2)記X為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求X的概率分布.,,解析答案,思維升華,解 用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”.,(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4) ＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)·P(A3)P(A4),,解析答案,思維升華,(2)X的可能取值為2,3,4,5. P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2),P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3),P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4),,解析答案,思維升華,故X的概率分布為,,思維升華,,求離散型隨機(jī)變量X的概率分布的步驟：①理解X的意義，寫(xiě)出X可能取的全部值；②求X取每個(gè)值的概率；③寫(xiě)出X的概率分布. 求離散型隨機(jī)變量的概率分布的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量所取值對(duì)應(yīng)的概率，在求解時(shí)，要注意應(yīng)用計(jì)數(shù)原理、古典概型等知識(shí).,思維升華,(1)4支圓珠筆標(biāo)價(jià)分別為10元、20元、30元、40元. ①?gòu)闹腥稳∫恢?，求其?biāo)價(jià)X的概率分布； 解 X的可能取值分別為10,20,30,40，且取得任一支的概率相等， 故X的概率分布為,跟蹤訓(xùn)練2,,解析答案,②從中任取兩支，若以Y表示取到的圓珠筆的最高標(biāo)價(jià)，求Y的概率分布. 解 根據(jù)題意，Y的可能取值為20,30,40，,所以Y的概率分布為,,解析答案,(2)(2015·安徽改編)已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過(guò)檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束. ①求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率；,解 記“第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品”為事件A.,,解析答案,②已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用(單位：元)，求X的概率分布. 解 X的可能取值為200,300,400.,故X的概率分布為,,解析答案,(1)求白球的個(gè)數(shù)；,解 記“從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球”為事件A， 設(shè)袋中白球的個(gè)數(shù)為x，,,,題型三 超幾何分布,,解析答案,(2)從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的概率分布. 解 X服從超幾何分布，,于是可得其概率分布為,,解析答案,思維升華,,超幾何分布描述的是不放回抽樣問(wèn)題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù).超幾何分布的特征是：①考察對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體數(shù)X的概率分布.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型.,思維升華,(2015·天津改編)為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加.現(xiàn)有來(lái)自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名，其中種子選手3名.從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽. (1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2 名種子選手，且這2名種子選手來(lái)自同一個(gè)協(xié)會(huì)”，求事件A發(fā)生的概率；,跟蹤訓(xùn)練3,,解析答案,(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的概率分布. 解 隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4.,所以，隨機(jī)變量X的概率分布為,,解析答案,返回,,易錯(cuò)警示系列,,典例 (14分)盒子中有大小相同的球10個(gè)，其中標(biāo)號(hào)為1的球3個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的球4個(gè)，標(biāo)號(hào)為5的球3個(gè).第一次從盒子中任取1個(gè)球，放回后第二次再任取1個(gè)球(假設(shè)取到每個(gè)球的可能性都相同).記第一次與第二次取得球的標(biāo)號(hào)之和為ξ.求隨機(jī)變量ξ的可能取值及其概率分布.,易錯(cuò)分析 由于隨機(jī)變量取值情況較多，極易發(fā)生對(duì)隨機(jī)變量取值考慮不全而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.,,易錯(cuò)警示系列,17.隨機(jī)變量取值不全致誤,,溫馨提醒,解析答案,返回,易錯(cuò)分析,規(guī)范解答 解 由題意可得，隨機(jī)變量ξ的可能取值是2,3,4,6,7,10. [4分] P(ξ＝2)＝0.3×0.3＝0.09，,P(ξ＝4)＝0.4×0.4＝0.16，,P(ξ＝10)＝0.3×0.3＝0.09. [10分],,溫馨提醒,解析答案,故隨機(jī)變量ξ的概率分布為,[14分],,溫馨提醒,,(1)解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清隨機(jī)變量的取值，正確應(yīng)用概率公式. (2)此類問(wèn)題還極易發(fā)生如下錯(cuò)誤：雖然弄清隨機(jī)變量的所有取值，但對(duì)某個(gè)取值考慮不全面. (3)避免以上錯(cuò)誤發(fā)生的有效方法是驗(yàn)證隨機(jī)變量的概率和是否為1.,,返回,溫馨提醒,,思想方法 感悟提高,1.對(duì)于隨機(jī)變量X的研究，需要了解隨機(jī)變量能取哪些值以及取這些值或取某一個(gè)集合內(nèi)的值的概率，對(duì)于離散型隨機(jī)變量，它的分布正是指出了隨機(jī)變量X的取值范圍以及取這些值的概率. 2.求離散型隨機(jī)變量的概率分布，首先要根據(jù)具體情況確定X的取值情況，然后利用排列、組合與概率知識(shí)求出X取各個(gè)值的概率.,方法與技巧,掌握離散型隨機(jī)變量的概率分布，須注意： (1)概率分布的結(jié)構(gòu)為兩行，第一行為隨機(jī)變量X所有可能取得的值；第二行是對(duì)應(yīng)于隨機(jī)變量X的值的事件發(fā)生的概率.看每一列，實(shí)際上是上為“事件”，下為“事件發(fā)生的概率”，只不過(guò)“事件”是用一個(gè)反映其結(jié)果的實(shí)數(shù)表示的.每完成一列，就相當(dāng)于求一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率. (2)要會(huì)根據(jù)概率分布的兩個(gè)性質(zhì)來(lái)檢驗(yàn)求得的概率分布的正誤.,失誤與防范,,返回,,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,①P(X＝3) ②P(X≥2) ③P(X≤3) ④P(X＝2),④,,解析答案,2.隨機(jī)變量ξ的所有可能的取值為1,2,3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1,2，…，10)，則a值為_(kāi)_______.,解析 ∵隨機(jī)變量ξ的所有可能的取值為1,2,3，…，10， 且P(ξ＝k)＝ak(k＝1,2，…，10)， ∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,,解析答案,4.從裝有3個(gè)白球，4個(gè)紅球的箱子中，隨機(jī)取出了3個(gè)球，則恰好是2個(gè)白球，1個(gè)紅球的概率是________. 解析 如果將白球視為合格品，紅球視為不合格品， 則這是一個(gè)超幾何分布問(wèn)題，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,,解析答案,5.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為,若隨機(jī)變量Y＝|X－2|，則P(Y＝2)＝________.,解析 由概率分布的性質(zhì)，知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1， ∴m＝0.3. 由Y＝2，即|X－2|＝2，得X＝4或X＝0， ∴P(Y＝2)＝P(X＝4或X＝0)＝P(X＝4)＋P(X＝0)＝0.3＋0.2＝0.5.,0.5,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,,解析答案,6.甲、乙兩隊(duì)在一次對(duì)抗賽的某一輪中有3個(gè)搶答題，比賽規(guī)定：對(duì)于每一個(gè)題，沒(méi)有搶到題的隊(duì)伍得0分，搶到題并回答正確的得1分，搶到題但回答錯(cuò)誤的扣1分(即得－1分)；若X是甲隊(duì)在該輪比賽獲勝時(shí)的得分(分?jǐn)?shù)高者勝)，則X的所有可能取值是__________.,解析 X＝－1，甲搶到一題但答錯(cuò)了，而乙搶到了兩個(gè)題目都答錯(cuò)了， X＝0，甲沒(méi)搶到題，乙搶到題目答錯(cuò)至少2個(gè)題或甲搶到2題，但答時(shí)一對(duì)一錯(cuò)，而乙答錯(cuò)一個(gè)題目， X＝1，甲搶到1題且答對(duì)或甲搶到3題，且1錯(cuò)2對(duì)， X＝2，甲搶到2題均答對(duì)， X＝3，甲搶到3題均答對(duì).,－1,0,1,2,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,,解析答案,7.袋中有4只紅球3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設(shè)得分為隨機(jī)變量ξ，則P(ξ≤6)＝________.,解析 P(ξ≤6)＝P(取到3只紅球1只黑球)＋P(取到4只紅球),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,,解析答案,8.某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷，凡在該超市購(gòu)物滿300元的顧客，將獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，規(guī)則如下： 獎(jiǎng)盒中放有除顏色外完全相同的1個(gè)紅球，1個(gè)黃球，1個(gè)白球和1個(gè)黑球.顧客不放回地每次摸出1個(gè)球，若摸到黑球則停止摸獎(jiǎng)，否則就要將獎(jiǎng)盒中的球全部摸出才停止.規(guī)定摸到紅球獎(jiǎng)勵(lì)10元，摸到白球或黃球獎(jiǎng)勵(lì)5元，摸到黑球不獎(jiǎng)勵(lì).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(1)求1名顧客摸球3次停止摸獎(jiǎng)的概率；,解 設(shè)“1名顧客摸球3次停止摸獎(jiǎng)”為事件A，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,,解析答案,(2)記X為1名顧客摸獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金數(shù)額，求隨機(jī)變量X的概率分布. 解 隨機(jī)變量X的所有取值為0,5,10,15,20.,所以，隨機(jī)變量X的概率分布為,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,,解析答案,9.從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)其中有X個(gè)紅球， 則隨機(jī)變量X的概率分布為_(kāi)______________________. 解析 ∵X的所有可能取值為0,1,2，,∴X的概率分布為,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,,解析答案,10.已知隨機(jī)變量ξ只能取三個(gè)值：x1，x2，x3，其概率依次成等差數(shù)列， 則公差d的取值范圍是________. 解析 設(shè)ξ取x1，x2，x3時(shí)的概率分別為a－d，a，a＋d， 則(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,,解析答案,11.在一個(gè)口袋中裝有黑、白兩個(gè)球，從中隨機(jī)取一球，記下它的顏色，然后放回，再取一球，又記下它的顏色，則這兩次取出白球數(shù)η的概率 分布為_(kāi)____________________.,解析 ∵η的所有可能值為0,1,2.,∴η的概率分布為,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,,解析答案,12.盒內(nèi)有大小相同的9個(gè)球，其中2個(gè)紅色球，3個(gè)白色球，4個(gè)黑色球.規(guī)定取出1個(gè)紅色球得1分，取出1個(gè)白色球得0分，取出1個(gè)黑色球得－1分.現(xiàn)從盒內(nèi)任取3個(gè)球. (1)求取出的3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球的概率；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,,解析答案,(2)求取出的3個(gè)球得分之和恰為1分的概率；,解 記“取出1個(gè)紅色球，2個(gè)白色球”為事件B， “取出2個(gè)紅色球，1個(gè)黑色球”為事件C，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,,解析答案,(3)設(shè)ξ為取出的3個(gè)球中白色球的個(gè)數(shù)，求ξ的概率分布.,解 ξ可能的取值為0,1,2,3，ξ服從超幾何分布，,所以ξ的概率分布為,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,,解析答案,13.已知甲箱中只放有x個(gè)紅球與y個(gè)白球(x，y≥0，且x＋y＝6)，乙箱中只放有2個(gè)紅球、1個(gè)白球與1個(gè)黑球(球除顏色外，無(wú)其他區(qū)別).若從甲箱中任取2個(gè)球，從乙箱中任取1個(gè)球. (1)記取出的3個(gè)球的顏色全不相同的概率為P，求當(dāng)P取得最大值時(shí)x，y的值；,當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)等號(hào)成立， 所以，當(dāng)P取得最大值時(shí)x＝y(tǒng)＝3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,,解析答案,(2)當(dāng)x＝2時(shí)，求取出的3個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)ξ的概率分布.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,,解析答案,返回,解 當(dāng)x＝2時(shí)，即甲箱中有2個(gè)紅球與4個(gè)白球， 所以ξ的所有可能取值為0,1,2,3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,,解析答案,所以紅球個(gè)數(shù)ξ的概率分布為,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,,返回,