高考數(shù)學 6.2 一元二次不等式及其解法課件.ppt

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第二節(jié) 一元二次不等式及其解法,【知識梳理】 1.必會知識 教材回扣 填一填 (1)一元二次不等式的特征: 一元二次不等式的二次項(最高次項)系數(shù)_______0.,不等于,(2)一元二次不等式與相應的二次函數(shù)及一元二次方程的關系:,{x|xx2},{x|x≠x1},{x|x1xx2},?,在不等式ax2+bx+c0(a≠0)中,如果二次項系數(shù)a0,則可根據(jù)不等式的性質,將其轉化為正數(shù),再對照上表求解.,(3)用程序框圖表示一元 二次不等式ax2+bx+c0 (a0)的求解過程,Δ≥0?,(-∞,x2)∪(x1,+∞),R,2.必備結論 教材提煉 記一記 (x-a)(x-b)0或(x-a)(x-b)0型不等式解法,{x|x≠a},{x|xa},{x|axb},?,3.必用技法 核心總結 看一看 (1)常用方法:配方法,因式分解. (2)數(shù)學思想:數(shù)形結合思想. (3)記憶口訣:一元二次不等式解集口訣. 大于取兩邊,小于取中間,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)若不等式ax2+bx+c0.( ) (2)若不等式ax2+bx+c0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),則方程ax2+bx+ c=0的兩個根是x1和x2.( ) (3)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)沒有實數(shù)根,則不等式ax2+bx+c0的解集 為R.( ) (4)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的條件是a0且Δ=b2-4ac≤0.( ),【解析】(1)正確.由不等式ax2+bx+c0. (2)正確.由一元二次不等式的解集與相應方程的根的關系可知結論是正確的. (3)錯誤.只有當a0時才成立,當a0的解集為空集. (4)錯誤.還要考慮a=0的情況,不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的條件是a=0,b=0,c≤0或a0且Δ=b2-4ac≤0. 答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)×,2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修5P80習題3.2A組T1(3)改編)不等式x2-3x-100的解集是 ( ) A.(-2,5) B.(5,+∞) C.(-∞,-2) D.(-∞,-2)∪(5,+∞) 【解析】選D.x2-3x-10=(x-5)(x+2)0, 所以x5或x-2. 故原不等式的解集為(-∞,-2)∪(5,+∞).,(2)(必修5P81習題3.2B組T2改編)關于x的一元二次方程mx2－(1－m)x +m=0沒有實數(shù)根，則m的取值范圍是_______. 【解析】若方程mx2－(1－m)x+m=0沒有實數(shù)根， 則 解得m－1或 答案：(－∞,－1)∪,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2014·大綱版全國卷)設集合M={x|x2-3x-40},N={x|0≤x≤5},則M∩N=( ) A.(0,4] B.[0,4) C.[-1,0) D.(-1,0] 【解析】選B.因為M={x|-1x4},N={x|0≤x≤5}, 所以M∩N={x|0≤x4}.,(2)(2013·重慶高考)關于x的不等式x2-2ax-8a20)的解集為 (x1，x2)，且x2-x1=15，則a=( ) 【解析】選A.由題意知, 不等式x2-2ax-8a20)的解集為(－2a, 4a),因為x2-x1=15,所以4a－(－2a)=15,解得,(3)(2014·浙江高考)設函數(shù) 若f(f(a))≤2,則實數(shù)a的取值范圍是_______. 【解析】由題意 或 解得f(a)≥－2，所以 或 解得 答案：,考點1 一元二次不等式的解法 【典例1】(1)(2015·珠海模擬)不等式-2x2+x+3＜0的解集是( ) (2)解關于x的不等式:ax2－(a＋1)x＋10.,【解題提示】(1)把不等式化簡變形，確定相應方程的兩個根，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質得到不等式的解集. (2)先求a＝0時不等式的解集，再分a0和a0兩種情況求解．,【規(guī)范解答】(1)選D.不等式-2x2+x+3＜0可化為 2x2-x-3＞0， 即(2x-3)(x+1)＞0, 解得x＜-1，或 所以不等式的解集是 (2)當a＝0時，原不等式可化為－x＋11. 當a1或,當a0時，原不等式可化為 ①若01，則 所以 綜上知，當a1}； 當0a1時，不等式的解集為,當a＝1時，不等式的解集為?； 當a1時，不等式的解集為,【互動探究】本例(2)的不等式改為x2-(a+1)x+a1時,解集為{x|11時,解集為{x|1xa}; 當a=1時,解集為?, 當a1時,解集為{x|ax1}.,【規(guī)律方法】解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟 (1)二次項系數(shù)若含有參數(shù)應討論是等于0,小于0,還是大于0,然后將不等式轉化為二次項系數(shù)為正的形式. (2)判斷方程的根的個數(shù),討論判別式Δ與0的關系. (3)確定無根時可直接寫出解集,確定方程有兩個根時,要討論兩根的大小關系,從而確定解集形式.,【變式訓練】解關于x的不等式． x2－2ax＋3≥0(a∈R). 【解析】Δ＝4a2－12＝4(a2－3)． ①當Δ≤0，即 時，方程x2－2ax＋3＝0無解或有兩個 相等的根，從而不等式的解集為R. ②當Δ0，即 時，方程x2－2ax＋3＝0的兩根為 且x1x2. 所以,綜上知，當 時，不等式的解集為{x|x≥ 或x≤ }; 當 時，不等式的解集為R.,【加固訓練】設二次不等式ax2＋bx＋10的解集為 則ab的值為( ) A.－6 B.－5 C.6 D.5 【解析】選C.由題意知，方程ax2＋bx＋1＝0的兩根為－1， 則有 解得 所以ab＝6，故選C.,考點2 一元二次不等式恒成立問題 知·考情 一元二次不等式的恒成立問題以及三個“二次”間的聯(lián)系及綜合應用是高考的熱點,而且常與函數(shù)、導數(shù)等知識交匯命題,考查應用分類討論、數(shù)形結合、轉化思想解決問題的能力.,明·角度 命題角度1:形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)求參數(shù)的取值范圍 【典例2】(2013·重慶高考)設0≤α≤π,不等式8x2-(8sinα)x+ cos 2α≥0對x∈R恒成立,則α的取值范圍為 . 【解題提示】因為不等式恒成立,所以判別式小于等于零,直接求解即可.,【規(guī)范解答】因為不等式8x2-(8sinα)x+cos2α≥0對x∈R恒成立, 所以Δ=64sin2α-32cos2α≤0,即64sin2α-32+64sin2α≤0, 解得0≤sin α≤ (0≤α≤π). 因為0≤α≤π,所以 答案:,命題角度2:形如f(x)≥0(參數(shù)k∈[a,b])求x的取值范圍 【典例3】(2015·蘭州模擬)對任意的k∈[-1,1],函數(shù)f(x)=x2+ (k-4)x+4-2k的值恒大于零,則x的取值范圍是 . 【解題提示】把二次函數(shù)的恒成立問題轉化為y=k(x-2)+x2-4x+40在k∈[-1,1]上恒成立,再利用一次函數(shù)函數(shù)值恒大于0所滿足的條件即可求出x的取值范圍.,【規(guī)范解答】因為任意k∈[-1,1],函數(shù)f(x)=x2+(k-4)x-2k+40 恒成立, 所以f(k)=k(x-2)+x2-4x+40為一次函數(shù), 所以 所以 解得x3, 所以x的取值范圍為(-∞,1)∪(3,+∞). 答案:(-∞,1)∪(3,+∞),【易錯警示】解答本題易出現(xiàn)以下兩種錯誤: (1)不會合理分析已知條件,這樣無法轉化成關于k的一次函數(shù),而導致題目無法求解. (2)解關于x的二次不等式組,確定解集出現(xiàn)1x3等錯誤.,命題角度3:形如f(x)≥0(x∈[a,b])求參數(shù)范圍 【典例4】(2015·蘭州模擬)對任意x∈[-1,1],函數(shù)f(x)= x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,求k的取值范圍. 【解題提示】表示出對稱軸,然后根據(jù)區(qū)間分類討論求解.,【規(guī)范解答】函數(shù)f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的對稱軸為 ①當 即k＞6時,f(x)的值恒大于零等價于f(-1)=1+(k-4) ×(-1)+4-2k＞0，解得k＜3，故k∈?; ②當 即2≤k≤6時, 只要 即k2＜0，故k∈?.,③當 即k＜2時,只要f(1)=1+(k-4)+4-2k＞0即k＜1， 故有k＜1, 綜上可知,當k＜1時，對任意x∈［-1,1］， 函數(shù)f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零.,悟·技法 解不等式恒成立問題的技巧 (1)對于一元二次不等式恒成立問題,恒大于0就是相應的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方,恒小于0就是相應的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.另外常轉化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值. (2)解決恒成立問題一定要搞清誰是主元,誰是參數(shù),一般地,知道誰的范圍,誰就是主元,求誰的范圍,誰就是參數(shù).,通·一類 1.(2015·武漢模擬)一元二次不等式 對一切實數(shù)x都成立，則k的取值范圍是( ) A.(-3，0) B.(-3，0］ C.［-3，0］ D.(-∞，-3)∪［0，+∞),【解析】選A.由一元二次不等式 對一切實數(shù)x都成 立，則 解得-3＜k＜0． 綜上，滿足一元二次不等式 對一切實數(shù)x都成立的 k的取值范圍是(-3，0).,2.(2015·濟寧模擬)在R上定義運算⊕:x⊕y=x(2-y),若不等式(x+m)⊕x0, 因為對任意的實數(shù)x不等式都成立, 所以其對應的一元二次方程:x2+(m-2)x+(1-2m)=0的根的判別式Δ=(m-2)2-4(1-2m)0,解得:-4m0. 答案:(-4,0),3.(2015·銀川模擬)已知不等式x2-2x+a0對任意實數(shù)x∈[2,3]恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為 . 【解析】令f(x)=x2-2x+a=(x-1)2+a-1,所以f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調遞增, 又不等式x2-2x+a0對任意實數(shù)x∈[2,3]恒成立, 所以f(2)0恒成立,即4-4+a0,解得a0. 故實數(shù)a的取值范圍是a0. 答案:a0,4.(2015·洛陽模擬)若已知不等式2x-1m(x2-1)對滿足|m|≤2的一切 實數(shù)m的取值都成立,則x的取值范圍為 . 【解析】構造變量m的函數(shù)求解:2x-1m(x2-1)即:(x2-1)m-(2x-1)0 構造關于m的函數(shù)f(m)=(x2-1)m-(2x-1),|m|≤2即-2≤m≤2. (1)當x2-1＞0時，則f(2)＜0,從而2x2-2x-1＜0解得: 又x2-1＞0，即x＜-1或x＞1，所以,(2)當x2-1＜0時,則f(-2)＜0可得-2x2-2x+3＜0,從而2x2+2x-3＞0, 解得 又-1＜x＜1，從而 (3)當x2-1=0時,則f(m)=1-2x＜0，從而 故x=1; 綜上有: 答案：,考點3 一元二次不等式的實際應用 【典例5】(2015·威海模擬)行駛中的汽車，在剎車時由于慣性作用, 要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下，這段距離叫做剎車距離．在某種 路面上，某種型號汽車的剎車距離s(m)與汽車的車速v(km/h)滿足下 列關系： (n為常數(shù)，且n∈N)，做了兩次剎車試驗，有關 試驗數(shù)據(jù)如圖所示，其中,(1)求n的值. (2)要使剎車距離不超過12.6m,則行駛的最大速度是多少? 【解題提示】(1)由圖象信息,將v=40,v=70代入求s1,s2,得關于n的不等式組. (2)解關于v的不等式,求最大值.,【規(guī)范解答】(1)由試驗數(shù)據(jù)知， 所以 解之得 又n∈N，所以取n＝6.,(2)由(1)知， 依題意， 即v2＋24v－5 040≤0，解之得－84≤v≤60. 注意到v≥0，所以0≤v≤60. 故行駛的最大速度為60 km/h.,【規(guī)律方法】不等式實際應用的解題思路 不等式的實際應用,常以函數(shù)模型為載體,解題時要理解題意,準確找出其中的不等關系,引進數(shù)學符號恰當表示,最后用不等式的解集回答實際問題.,【變式訓練】某汽車廠上年度生產汽車的投入成本為10萬元/輛,出廠價為12萬元/輛,年銷售量為10000輛.本年度為適應市場需求,計劃提高產品質量,適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x(0x1),則出廠價相應地提高比例為0.75x,同時預計年銷售量增加的比例為0.6x,已知年利潤=(出廠價-投入成本)×年銷售量. (1)寫出本年度預計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關系式. (2)為使本年度的年利潤比上年度有所增加,則投入成本增加的比例x應在什么范圍內?,【解析】(1)由題意得y=[12(1+0.75x)-10(1+x)]×10000× (1+0.6x)(0x1),整理得y=-6000x2+2000x+20000(0x1). (2)要保證本年度的年利潤比上年度有所增加，必須有 即 解得 所以投入成本增加的比例應在 范圍內．,【加固訓練】(2015·淄博模擬)某公司按現(xiàn)有能力,每月收入為70萬元,公司分析部門測算,若不進行改革,因競爭加劇收入將逐月減少.分析測算得從2014年開始第一個月收入將減少3萬元,以后逐月多減少2萬元,如果進行改革,即投入技術改造300萬元,且2014年后每月再投入1萬元進行員工培訓,則測算得自2014年后第一個月起累計收入Tn與時間n(以月為單位)的關系為Tn=an+b,且2014年第一個月時收入將為90萬元,第二個月時累計收入為170萬元,問2014年后經過幾個月,該公司改革后的累計純收入高于不改革時的累計純收入.,【解析】2014年改革后經過n個月的純收入為(Tn-300-n)萬元,公司若不進行改革,由題設知2014年后因競爭加劇收入將逐月減少. 分析測算得2014年第一個月收入將減少3萬元,以后逐月多減少2萬元.所以不改革,第一個月:70-3-2×(1-1), 第二個月:70-3-2(2-1), 第三個月:70-3-2(3-1),… 第n個月:70-3-2(n-1),,所以不改革時的純收入為： 萬元， 由題設知 所以 由題意建立不等式：80n+10-300-n70n-3n-(n-1)n, 整理，得n2+11n-2900,得n12.4, 因為n∈N，故取n=13. 答：經過13個月改革后的累計純收入高于不改革時的累計純收入.,自我糾錯14 解一元二次不等式 【典例】已知不等式ax2+bx+c≥0的解集為 則不等式 cx2+bx+a0的解集為_______________.,【解題過程】,【錯解分析】分析上面解題過程，你知道錯在哪里嗎？ 提示：忽視了對a,b,c符號的判斷，根據(jù)給出的解集，除知道 和2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根外，還應知道a0,然后通過根與系數(shù)的關系進一步求解.,【規(guī)避策略】 1.確定符號 根據(jù)不等式的解集確定二次項系數(shù)的符號. 2.準確轉化 正確利用根與系數(shù)的關系得到a,b,c的關系,做好不等式的等價轉化,構造關于系數(shù)a,b,c的方程組. 3.寫出解集 規(guī)范正確地解出不等式,寫出解集.,【自我矯正】由于不等式ax2+bx+c≥0的解集為 可知a＜0，且 2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根, 所以 所以 所以不等式cx2+bx+a＜0可化為 由于a＜0, 所以 即2x2+5x-3＜0，,解得 所以所求解集為 答案：,