《平面與平面垂直的性質(zhì)》.ppt

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2.3.4 平面與平面垂直的性質(zhì),2.3 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì),第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系,一、復(fù)習(xí)引入,1、平面與平面垂直的定義,2、平面與平面垂直的判定定理,一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。,符號(hào)表示：,兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直。,提出問(wèn)題：,該命題正確嗎？,二、探索研究,Ⅰ. 觀察實(shí)驗(yàn),觀察兩垂直平面中,一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面的有哪些位置關(guān)系?,Ⅱ.概括結(jié)論,,,,平面與平面垂直的性質(zhì)定理,b,兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直.,簡(jiǎn)述為：,面面垂直,,該命題正確嗎？,符號(hào)表示：,Ⅲ.知識(shí)應(yīng)用,練習(xí)1：判斷正誤。,已知平面α⊥平面β,α∩ β＝l下列命題,(2)垂直于交線l的直線必垂直于平面β （ ）,(3)過(guò)平面α內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于平面β（ ）,(1)平面α內(nèi)的任意一條直線必垂直于平面β（ ）,√,×,×,例1：如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)，平面PAC⊥平面ABC，,(2)判斷平面PBC與平面PAC的位置關(guān)系。,(1)判斷BC與平面PAC的位置關(guān)系，并證明。,(1)證明：∵ AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn) ∴∠ACB=90°∴BC⊥AC 又∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC, BC 平面ABC ∴BC⊥平面PAC,(2)又∵ BC 平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC,解題反思,2、本題充分地體現(xiàn)了面面垂直與 線面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系。,1、面面垂直的性質(zhì)定理給我們提供了一種證明線面垂直的方法,面面垂直,,,線面垂直,性質(zhì)定理,判定定理,例 垂直于同一平面的兩平面的交線垂直于這個(gè)平面。 已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а,求證： a⊥γ. 證法一：,a,設(shè)α ∩ γ =b, β ∩ γ =c,在γ 內(nèi)任取一點(diǎn)P，作PM ⊥ b于M，PN ⊥C于N.,因?yàn)? α⊥γ，β ⊥γ ， 所以 PM ⊥ α， PN ⊥ β. 因?yàn)?α ∩ β= a， 所以 PM ⊥ a， PN ⊥ a， 所以 a⊥γ.,,,已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а,求證： a⊥γ. 證法二：,任取P∈a，過(guò)點(diǎn)P作b⊥γ.,同一法,a,已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а,求證： a⊥γ. 證法三：,,設(shè)α⊥γ于b，β ⊥γ于c. 在α內(nèi)作 b′ ⊥ b, 所以 b′ ⊥ γ. 同理在β內(nèi)作c′ ⊥ c,有c ′ ⊥ γ, 所以 b′ ‖c′,,,,,,練習(xí)2：如圖，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求證：BC⊥平面PAB,,E,證明：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥PB，垂足為E， ∵平面PAB⊥平面PBC， 平面PAB∩平面PBC=PB， ∴AE⊥平面PBC ∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC,∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC ∴PA⊥BC,∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB,,練習(xí)3：如圖，以正方形ABCD的對(duì)角線AC為折痕，使△ADC和△ABC折成相垂直的兩個(gè)面，求BD與平面ABC所成的角。,,,A,B,C,D,,,,D,A,B,C,,,O,O,,折成,1、平面與平面垂直的性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。,2、證明線面垂直的兩種方法： 線線垂直→線面垂直；面面垂直→線面垂直,3、線線、線面、面面之間的關(guān)系的轉(zhuǎn)化是解決空間圖形問(wèn)題的重要思想方法。,三、小結(jié)反思,小結(jié),線線垂直,,線面垂直,,面面垂直,,,,,線線平行,面面平行,,,平面與平面垂直的性質(zhì)定理,兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直.,,符號(hào)表示:,,簡(jiǎn)述為：,面面垂直,,線面垂直,B,2、已知兩個(gè)平面垂直，下列命題中正確的有（ ）個(gè) ①一個(gè)平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的任意直線； ②一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線； ③一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線必垂直于另一個(gè)平面； ④過(guò)一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)做交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面。 A 3 B 2 C 1 D 0,B,