高中數(shù)學(xué) 3.3.2二倍角的三角函數(shù)（二）課件 北師大版必修4.ppt

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§3 二倍角的三角函數(shù)(二),半角公式,2cos2α-1,1-2sin2α,α,2α,1.判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1) ( ) (2) ( ) (3) ( ) (4)半角公式實(shí)質(zhì)就是二倍角公式的變形.( ),【解析】(1)錯(cuò)誤. (2)錯(cuò)誤. (3)錯(cuò)誤. (4)正確.半角公式可由二倍角公式變形得到. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√,2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上) (1)計(jì)算：sin 15°=_________. (2)計(jì)算：tan 22.5°=_________. (3)化簡(jiǎn)： =_________.,【解析】(1)sin 15°= 答案： (2)tan 22.5°= 答案： (3) 答案：,【要點(diǎn)探究】 知識(shí)點(diǎn) 半角公式 1.半角公式與二倍角公式的關(guān)系 半角公式與二倍角公式功能各異，本質(zhì)相同，對(duì)立統(tǒng)一.,2.公式適用的條件 (1)半角的正弦和余弦公式對(duì)任意的角都成立. (2) 和 中要求角 α≠2kπ+π,k∈Z,而 中則要求角 α≠kπ,k∈Z.,3.半角公式的應(yīng)用 (1)半角公式給出了求 的正弦、余弦、正切的另一種方式， 即只需知道cos α的值及相應(yīng)α的條件，便可求出 (2)由于 不含被開(kāi)方數(shù)，且不 涉及符號(hào)問(wèn)題，所以求解關(guān)于 的題目時(shí)，使用相對(duì)方 便，但需要注意該公式成立的條件.,(3)涉及函數(shù)的升降冪及角的二倍關(guān)系的題目，常用 求解.,【知識(shí)拓展】萬(wàn)能代換公式,【微思考】 (1)半角公式的等式兩端有什么變化？ 提示：半角公式的等式兩端，從左向右，方次降低，角度加 倍，從右向左,方次增大,角度減半. (2)如何確定 公式中的正負(fù)號(hào)? 提示:依據(jù) 所在象限相應(yīng)的三角函數(shù)值的符號(hào)確定，如果 所在象限無(wú)法確定，則應(yīng)保留sin ，cos 公式中的正 負(fù)號(hào).,【即時(shí)練】 1.設(shè) 則sin 等于( ),2.已知 則 等于( ),【解析】1.選D.因?yàn)?所以 所以 因?yàn)閍＝cos θ＝ 所以,2.選C.方法一：因?yàn)閟in α＝ 0，cos α＝ 0, 所以α的終邊落在第一象限， 的終邊落在第一、三象限. 所以tan 0,故tan = 方法二：,【題型示范】 類型一 利用半角公式求解給值求值問(wèn)題 【典例1】 (1)(2014·合肥高一檢測(cè))若sin(π-α)= 且 則 =( ) (2)已知 求 的值.,【解題探究】1.如何由sin α求cos α?如何用cos α表示 2.半角公式的有理形式是什么？ 【探究提示】1. 2.,【自主解答】(1)選B.sin(π-α)=sin α= 又α∈ 所以 由cos α= 得， 所以,(2)分子、分母同除以sin θ得 =,【延伸探究】在題(1)條件不變的情況下，求 【解析】由題(1)解析知， (方法一)得 (方法二),【方法技巧】利用半角公式求值的思路 (1)看角.若已知三角函數(shù)式中的角是待求三角函數(shù)式中角的兩倍，則常常借助半角公式求解. (2)明范圍.由于半角公式求值常涉及符號(hào)問(wèn)題，因此求解時(shí)務(wù)必依據(jù)角的范圍，求出相應(yīng)半角的范圍.,(3)選公式.涉及半角公式的正切值時(shí)，常用 其優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算時(shí)可避免因開(kāi)方帶來(lái)的求角的范圍問(wèn) 題；涉及半角公式的正、余弦值時(shí)，常先利用 計(jì)算. (4)下結(jié)論.結(jié)合(2)求值.,【變式訓(xùn)練】(2013·宿州高一檢測(cè))已知 求 的值． 【解題指南】利用sin2θ＋cos2θ＝1求得cos θ，代入半角 公式求解．,【解析】因?yàn)?所以cos θ＝ 又因?yàn)?所以 或,【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知 則 的值分別為( ),【解析】選B.因?yàn)?所以 由cos θ= 得 又 所以,類型二 利用半角公式化簡(jiǎn)與證明 【典例2】 (1)化簡(jiǎn):cos2(θ+15°)+sin2(θ-15°)+sin(θ+180°)· cos(θ-180°)=_________. (2)求證:,【解題探究】1.題(1)中如何把cos2(θ+15°),sin2(θ-15°)降冪？ 2.題(2)證明本題的關(guān)鍵是什么？ 【探究提示】1.cos2(θ+15°)= 2.借助公式把“1”消去.,【自主解答】(1)原式＝ ＝ ＝ 答案：1,(2)左邊=,【方法技巧】利用半角(倍角)公式化簡(jiǎn)的基本思路 (1)降次.一般運(yùn)用公式 化次數(shù)較高的三角函數(shù)為次數(shù)較低的三角函數(shù). (2)統(tǒng)一函數(shù)名稱.化多種三角函數(shù)為單一的三角函數(shù). (3)統(tǒng)一角.化多角為單一角，減少角的種類. (4)弦切互化.一般地，若要化簡(jiǎn)的式子中含有正切，則需要將正切化為正余弦；有時(shí)候也需要將弦化為切，要視已知條件或式子結(jié)構(gòu)而定.,【變式訓(xùn)練】化簡(jiǎn)： (0απ). 【解題指南】由α的范圍先確定出 的范圍，利用半角 公式將分母中根號(hào)里面的式子轉(zhuǎn)變成完全平方的形式.,【解析】因?yàn)?απ，所以0 ， 所以原式,【補(bǔ)償訓(xùn)練】求證： 【證明】原式= = = =右邊.所以原等式成立.,類型三 三角恒等變換與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題 【典例3】 (1)(2014·合肥高一檢測(cè))設(shè)a∈R,f(x)=cos x(asin x-cos x) + 滿足 =f(0),當(dāng)x∈ 時(shí)，則f(x)的值 域?yàn)? ),(2)已知函數(shù)f(x)＝cos4x－2sin xcos x－sin4x. ①求函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間. ②求當(dāng)函數(shù)f(x)取最大值時(shí)的自變量x的值.,【解題探究】1.求解題(1)的關(guān)鍵是什么？ 2.如果遇到sin4x+cos4x或者sin4x-cos4x，一般的處理思路是什么？ 【探究提示】1.關(guān)鍵是利用三角恒等變換將函數(shù)的解析式化為y=Asin(ωx+φ)的形式. 2.遇到sin4x+cos4x或者sin4x-cos4x一般的處理思路是把前者配成完全平方的形式，即sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x；而后者往往采取因式分解的形式，即sin4x-cos4x=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x).,【自主解答】(1)選D.f(x)=asin xcos x-cos2x+sin2x = asin 2x-cos2x, 又 =f(0), 即 得 所以f(x)= 又x∈ 所以 所以f(x)∈,(2)根據(jù)題意可知f(x)＝cos4x－2sin xcos x－sin4x ＝(cos4x－sin4x)－2sin xcos x ＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)－2sin xcos x ＝cos 2x－sin 2x＝ ＝ ＝,①由 得遞增區(qū)間為 (k∈Z). ②要使函數(shù)f(x)取最大值，自變量x應(yīng)滿足 k∈Z，即 時(shí)，f(x)取最大值 ，此時(shí)x的集合 為,【方法技巧】較復(fù)雜三角函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題研究流程,【變式訓(xùn)練】(2014·寶雞高一檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=sin2x+ 2sin xcos x+3cos2x,x∈R.求： (1)函數(shù)f(x)的最大值及取得最大值時(shí)的自變量x的取值集合. (2)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.,【解析】(1)方法一： f(x)= =2+sin 2x+cos 2x= 所以當(dāng) 即 (k∈Z)時(shí)，f(x)取得最大值 函數(shù)f(x)取得最大值時(shí)的自變量x的集合為,方法二： f(x)=(sin2x+cos2x)+2sin xcos x+2cos2x=2sin xcos x+1+ 2cos2x=sin 2x+cos 2x+2= 所以當(dāng)2x+ =2kπ+ ,即x=kπ+ (k∈Z)時(shí)，f(x)取得最大值 函數(shù)f(x)取得最大值時(shí)的自變量x的集合為,,(2)f(x)= 由題意得：2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z), 即： (k∈Z).因此,函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為,【補(bǔ)償訓(xùn)練】函數(shù)y=sin6x+cos6x的最小正周期為_(kāi)______． 【解析】y=sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x)(sin4x+cos4x- sin2xcos2x) =1-3sin2xcos2x= 函數(shù)y=sin6x+cos6x的最小正周期為 答案：,【易錯(cuò)誤區(qū)】應(yīng)用半角公式求值時(shí)的易錯(cuò)點(diǎn) 【典例】設(shè)3πα4π， 等于( ),【解析】選B.由于 可得 又3πα4π，所以 所以 所以,【常見(jiàn)誤區(qū)】,【防范措施】 明確三角函數(shù)值的符號(hào) 應(yīng)用半角公式求值時(shí)，要特別注意半角的三角函數(shù)值符號(hào) 的確定，否則會(huì)出現(xiàn)符號(hào)的失誤，如本例②處對(duì)角的范圍的計(jì) 算，是明確 值的符號(hào)的關(guān)鍵.,【類題試解】若 α是第三象限的角，則 等于( ) A.－ B. C.2 D.－2,【解析】選A.因?yàn)棣潦堑谌笙藿牵? 所以sin α= 所以,