高考數學 4.2 平面向量的基本定理及向量坐標運算課件.ppt

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第二節(jié) 平面向量的基本定理及向量坐標運算,【知識梳理】 1.必會知識 教材回扣 填一填 (1)平面向量基本定理: ①基底:平面內_______的向量e1,e2叫做表示這一平面內所有向量的 一組基底. ②定理:如果e1,e2是同一平面內的兩個不共線向量,那么對于這一平 面內的任意向量a,有且只有一對實數λ1,λ2,使a=__________.,不共線,λ1e1+λ2e2,(2)平面向量的坐標表示: 在平面直角坐標系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i,j 作為基底,該平面內的任一向量a可表示成a=xi+yj,由于a與數對(x,y) 是一一對應的,把有序數對(x,y)叫做向量a的坐標,記作a= ______, 其中a在x軸上的坐標是x,a在y軸上的坐標是y.,(x,y),(3)平面向量的坐標運算:,(x1+x2,,y1+y2),(x1-x2,y1-y2),(λx,λy),(x1,y1),(x2-x1,y2-y1),(4)向量共線的坐標表示: 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則 a∥b?________=0, 特別地,若x2,y2≠0,則a∥b?,x1y2-x2y1,2.必備結論 教材提煉 記一記 若 是平面內不共線的向量,則存在實數λ1,λ2使 則當λ1+λ2=1時,A,B,C三點共線.特別地,當λ1=λ2= 時,C是 A與B的中點. 3.必用技法 核心總結 看一看 (1)常用方法:待定系數法. (2)數學思想:數形結合思想,函數與方程思想.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)平面向量不論經過怎樣的平移變換之后其坐標不變.( ) (2)平面內任何兩個不共線的向量均可作為一組基底.( ) (3)向量 與 的夾角為∠ABC.( ) (4)在同一組基底下同一向量的表現(xiàn)形式是唯一的.( ),【解析】(1)正確.由向量的坐標表示可知向量不論怎樣平移,其坐標 均為終點坐標減去起點坐標,故平移后坐標不變. (2)正確.由基底的定義可知,只要兩向量不共線均可作為一組基底. (3)錯誤.兩向量的夾角,關鍵要看起點與方向, 與 的夾角應為 ∠ABC的補角. (4)正確.由平面向量基本定理可知存在唯一實數對λ,μ使a=λe1+ μe2故其表現(xiàn)形式唯一. 答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)√,2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修4P98例7改編)已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,λ),若A,B,C三點共線,則λ= . 【解析】由已知得 =(2,4), =(1,λ-3). 若A,B,C三點共線,則2(λ-3)-1×4=0, 即2λ=10,得λ=5. 答案:5,(2)(必修4P99例8改編)設P是線段P1P2上的一點,若P1(2,3),P2(4,7)且P是P1P2的一個四等分點,則P的坐標為 . 【解析】由題意可知,P是P1P2的一個四等分點有三種情況: 即 = 或 =3 或 = ,,設P(x,y),則 =(x-2,y-3), =(4-x,7-y), 若 = ,則(x-2,y-3)= (4-x,7-y), 即 得,若 =3 ,則(x-2,y-3)=3(4-x,7-y), 即 得,若 = ,則(x-2,y-3)=(4-x,7-y), 即 得 答案: 或 或(3,5),3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2014·福建高考)在下列向量組中,可以把向量a=(3,2)表示出來的是( ) A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) 【解析】選B.只有B選項兩個向量不共線,其他選項的向量都是共線的,不共線的向量方可成為基底,才可以表示向量a.,(2)(2015·南寧模擬)在下列向量組中可以把a=(4,2)表示出來的是 ( ) A.b=(0,0),c=(3,2) B.b=(1,1),c=(-1,1) C.b=(1,-1),c=(-1,1) D.b=(2,4),c=(1,2) 【解析】選B.由已知A中,b=0,而C,D中兩向量共線,不符合作為基底 的條件,而B中,a=3b-c,所以選B.,(3)(2015·成都模擬)在?ABCD中,AC為一條對角線, =(2,4), = (1,3),則向量 的坐標為 .,【解析】設 =(x,y),因為 所以(1,3)=(2,4)+(x,y), 所以 即 所以 =(-1,-1), 所以 =(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5). 答案:(-3,-5),考點1 平面向量基本定理及其應用 【典例1】(1)(2015·廣州模擬)設a是已知的平面向量且a≠0,關于向 量a的分解,有如下四個命題: ①給定向量b,總存在向量c,使a=b+c; ②給定向量b和c,總存在實數λ和μ,使a=λb+μc; ③給定單位向量b和正數μ,總存在單位向量c和實數λ,使a=λb+μc;,④給定正數λ和μ,總存在單位向量b和單位向量c,使a=λb+μc. 上述命題中的向量b,c和a在同一平面內且兩兩不共線,則真命題的個數是( ) A.1 B.2 C.3 D.4,(2)(2015·泉州模擬)在△ABC中,點P是AB上一點,且 Q是BC的中點,AQ與CP的交點為M,又 試求t的值.,【解題提示】(1)利用平面向量基本定理來逐一判斷. (2)首先利用條件確定P點的位置,再利用平面向量基本定理確定基底,從而聯(lián)立方程得t.,【規(guī)范解答】(1)選B.對于① 因為a與b給定,所以a-b一定存在,可表示為c,即c=a-b, 故a=b+c成立,①正確; 對于②,因為b與c不共線, 由平面向量基本定理可知②正確;,對于③,以a的終點為圓心,以μ為半徑作圓,這個圓必須和向量λb有交點,這個不一定滿足,故③錯誤; 對于④,由向量加法的三角形法則(不共線兩邊的和大于第三邊),即必有|λb|+|μc|=λ+μ|a|,而給定的λ和μ不一定滿足此條件, 所以④是假命題.,(2)因為 所以 即 所以 即P為AB的一個三等分點(靠近A點), 又因為A,M,Q三點共線,,設 所以 = 又 = 故 解得 故t的值是 .,【易錯警示】解答本例題(1)有兩點容易出錯. (1)對于①中判斷易直接利用平面向量基本定理而不會變換為c=a-b去判斷從而誤解. (2)對于③④判斷時易忽視向量加法的幾何意義,及平面向量基本定理的理解而誤解.,【互動探究】題(2)中若條件和所求不變,再附加一問:M在AQ的什么位置?如何求解. 【解析】由(2)的解析 及λ= , 知, 因此點M是AQ的中點.,【規(guī)律方法】應用平面向量基本定理的關鍵點 (1)平面向量基本定理中的基底必須是兩個不共線的向量. (2)選定基底后,通過向量的加、減、數乘以及向量平行的充要條件,把相關向量用這一組基底表示出來. (3)強調幾何性質在向量運算中的作用,用基底表示未知向量,常借助圖形的幾何性質,如平行、相似等. 提醒:在基底未給出的情況下,合理地選取基底會給解題帶來方便.,【變式訓練】如圖,已知△OCB中,A是CB的中點,D是將 分成2∶1 的一個內分點,DC和OA交于點E,設 =a, =b. (1)用a和b表示向量 , . (2)若 =λ ,求實數λ的值.,【解析】(1)由題意知,A是BC的中點,且 由平行四邊形法 則,得 所以 =2a-b, =(2a-b)- b=2a- b.,(2)由題意知, 故設 因為 =(2a-b)-λa =(2-λ)a-b, =2a- b, 所以(2-λ)a-b=x(2a- b).,因為a與b不共線,由平面向量基本定理, 得 解得 故λ= .,【加固訓練】1.若a與b不共線,已知下列各組向量 ①a與-2b; ②a+b與a-b; ③a+b與a+2b; ④a- b與 a- b. 其中可以作為基底的是 (只填序號即可).,【解析】因為a與b不共線,所以,對于①,顯然a與-2b不共線;對于②, 假設a+b與a-b共線,則存在實數λ,使a+b=λ(a-b),則λ=1且-λ=1, 由此得λ=1且λ=-1矛盾,故假設不成立,即a+b與a-b不共線;同理,對 于③,a+b與a+2b也不共線;對于④, a- b= (a- b),故a- b與 a- b共線.由基向量的定義知,①②③都可以作為基底,④不可以. 答案:①②③,2.(2015·武漢模擬)如圖所示,已知 =a, =b, =c,以a,b為基底試表示c. 【解析】由 得 即 即c= b- a.,考點2 平面向量的坐標運算 【典例2】(1)(2015·臨沂模擬)在△ABC中,點P在BC上,且 =2 , 點Q是AC的中點,若 =(4,3), =(1,5),則 等于( ) A.(-6,21) B.(-2,7) C.(6,-21) D.(2,-7),(2)(2013·北京高考)向量a,b,c在正方形網格中的位置如圖所示,若 c=λa+μb(λ,μ∈R),則 = .,【解題提示】(1)利用已知求得 的坐標即可求 的坐標. (2)結合圖形建立適當的平面直角坐標系,利用平面向量的坐標運算及平面向量基本定理列方程組求解.,【規(guī)范解答】(1)選A.如圖, =(1,5)-(4,3)=(-3, 2), =(1,5)+(-3,2)=(-2,7), =3 =(-6,21).,(2)以向量a,b的交點為原點,原點向右的方向為x軸正方向,正方形網 格的邊長為單位長度建立直角坐標系,則a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1, -3),根據c=λa+μb得(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),即 解得λ=-2,μ=- ,所以 =4. 答案:4,【互動探究】在本例(2)中,試用a,c表示b. 【解析】建立本例(2)規(guī)范解答中的平面直角坐標系,則a=(-1,1), b=(6,2),c=(-1,-3),設b=xa+yc, 則(6,2)=x(-1,1)+y(-1,-3), 即 解得 故b=-4a-2c.,【規(guī)律方法】平面向量坐標運算的技巧 (1)向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數乘運算的法則來進行求解,若已知有向線段兩端點的坐標,則應先求向量的坐標. (2)解題過程中,常利用向量相等則其坐標相同這一原則,通過列方程(組)來進行求解.,【變式訓練】已知向量a=(6,4),b=(0,2), =a+λb,O為坐標原點, 若點C在函數y=sin 的圖象上,求實數λ的值. 【解析】因為 =a+λb=(6,4)+λ(0,2)=(6,4+2λ), 所以點C的坐標為(6,4+2λ). 又點C在函數y=sin 的圖象上, 故4+2λ=sin =1,所以λ=- .,【加固訓練】1.已知點A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),給出下面的結論: ①直線OC與直線BA平行;② ③ ④ 其中正確結論的個數是( ) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個,【解析】選C.由題意得 =(-2,1), =(2,-1),故 ,又 無公共點,故OC∥BA,①正確; 因為 故②錯誤; 因為 =(0,2)= ,故③正確; 因為 -2 =(-4,0), =(-4,0),故④正確.所以選C.,2.已知點A(-1,2),B(2,8)以及 求點C,D的坐 標和 的坐標. 【解析】設點C,D的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2), 得 =(x1+1,y1-2), =(3,6), =(-1-x2,2-y2), =(-3,-6).,因為 所以有 和 解得 和 所以點C,D的坐標分別是(0,4),(-2,0),從而 =(-2,-4).,考點3 平面向量共線的坐標表示及運算 知·考情 以平面向量的共線為載體考查三角函數問題及利用平面向量共線的坐標運算求參數的范圍,是高考考查的一個重要考向,常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).,明·角度 命題角度1:利用向量共線的坐標運算求三角函數的值或角 【典例3】(2014·陜西高考)設0θ ,向量a=(sin2θ,cosθ), b=(cosθ,1),若a∥b,則tanθ= . 【解題提示】根據向量平行的坐標表示及三角函數化簡即可得解.,【解析】由a∥b得sin2θ-cos2θ=0,即2sinθcosθ=cos2θ,又 0θ ,cosθ≠0,所以2sinθ=cosθ可得tanθ= . 答案:,命題角度2:利用向量共線的坐標運算求參數的值 【典例4】(2013·陜西高考)已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a∥b,則 實數m等于( ) (本題源于教材必修4P101T5) A.- B. C.- 或 D.0 【解題提示】利用平面向量共線的坐標表示列方程求解. 【規(guī)范解答】選C.因為a=(1,m),b=(m,2),a∥b,所以1×2-m2=0,即 m2=2,故m=± .,悟·技法 1.根據向量共線的坐標運算求參數的值: 利用向量共線轉化為含參數的方程,解方程可求參數. 2.利用向量共線的坐標運算求三角函數值: 利用向量共線的坐標運算轉化為三角方程,再利用三角恒等變換求解.,通·一類 1.(2015·沈陽模擬)已知向量a=(1-sinθ,1),b=( ,1+sinθ),若 a∥b,則銳角θ等于( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 【解析】選B.由a∥b得,(1-sinθ)(1+sinθ)-1× =0, 解得sinθ=± .又θ為銳角,所以θ=45°.,2.(2015·攀枝花模擬)已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ為 實數,(a+λb)∥c,則λ=( ) A. B. C.1 D.2 【解析】選B.因為a+λb=(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2),c=(3,4),又(a+ λb)∥c,所以4(1+λ)-2×3=0.解得λ= .,3.(2015·鄭州模擬)已知向量 =(k,12), =(4,5), =(-k, 10),且A,B,C三點共線,則k的值是( ) A.- B. C. D. 【解析】選A. =(4-k,-7), =(-2k,-2). 因為A,B,C三點共線,所以 共線, 所以-2×(4-k)=-7×(-2k),解得k=- .,創(chuàng)新體驗3 以向量坐標運算為載體的創(chuàng)新問題 【創(chuàng)新點撥】 高考考情:以向量的坐標運算為載體的創(chuàng)新問題是近幾年高考命題的一個熱點,綜合考查向量與函數等知識,考查學生的應變能力與創(chuàng)新能力.,【新題快遞】 1.(2015·貴陽模擬)在平面直角坐標系中,若O為坐標原點,則A,B,C 三點在同一直線上的充要條件為存在唯一的實數λ,使得 =λ +(1-λ) 成立,此時稱實數λ為“向量 關于 和 的終 點共線分解系數”.若已知P1(3,1),P2(-1,3),P1,P2,P3三點共線且向 量 與向量a=(1,-1)共線,則“向量 關于 和 的終點共 線分解系數”為( ) A.-3 B.3 C.1 D.-1,【解析】選D.由 與向量a=(1,-1)共線,可設 =(t,-t)(t≠0), 由 =λ +(1-λ) 得(t,-t)=λ(3,1)+(1-λ)(-1,3)=(4λ -1,3-2λ),所以 兩式相加得2λ+2=0,所以λ=-1.,2.(2015·杭州模擬)將一圓的六個等分點分成兩組 相間的三點,它們所構成的兩個正三角形扣除內部六 條線段后可以形成一正六角星,如圖所示的正六角星 是以原點O為中心,其中x,y分別為原點O到兩個頂點 的向量,若將原點O到正六角星12個頂點的向量,都寫成ax+by的形式,則a+b的最大值為( ) A.2 B.3 C.4 D.5,【解析】選D.欲求a+b的最大值,只需考慮圖中6個頂點的向量即可,討論如下: (1)因為 =x,所以(a,b)=(1,0); (2)因為 =y+3x, 所以(a,b)=(3,1);,(3)因為 =y+2x, 所以(a,b)=(2,1); (4)因為 =y+x+ =y+x+(y+2x)=2y+3x,所以 (a,b)=(3,2); (5)因為 =y+x,所以(a,b)=(1,1); (6)因為 =y,所以(a,b)=(0,1). 所以a+b的最大值為3+2=5.,3.(2013·北京高考)已知點A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面區(qū)域D由 所有滿足 (1≤λ≤2,0≤μ≤1)的點P組成,則D的面 積為 .,【解析】設P(x,y),則(x-1,y+1)=λ(2,1)+μ(1,2), 所以 解得 所以 即 在平面直角坐標系中作出區(qū)域D,可求得面積為3. 答案:3,【備考指導】 1.準確轉化:解決向量創(chuàng)新問題,一定要讀懂題目的本質含義,緊抓題目所給條件進行恰當地轉化. 2.方法選取:對向量的創(chuàng)新問題,準確轉化后,要觀察題目特點,合理選取解題的辦法,如函數的最值求法,線性規(guī)劃的可行域,新型概念的融合等.,