同濟(jì)大學(xué)(高等數(shù)學(xué))_第一章_函數(shù)極限.doc

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第一篇 函數(shù)、極限與連續(xù)第一章 函數(shù)、極限與連續(xù) 高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容是微積分，微積分是以變量為研究對(duì)象，以極限方法為基本研究手段的數(shù)學(xué)學(xué)科.本章首先復(fù)習(xí)函數(shù)相關(guān)內(nèi)容，繼而介紹極限的概念、性質(zhì)、運(yùn)算等知識(shí)，最后通過函數(shù)的極限引入函數(shù)的連續(xù)性概念，這些內(nèi)容是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)課程極其重要的基礎(chǔ)知識(shí).第1節(jié) 集合與函數(shù)1.1 集合1.1.1 集合討論函數(shù)離不開集合的概念.一般地，我們把具有某種特定性質(zhì)的事物或?qū)ο蟮目傮w稱為集合，組成集合的事物或?qū)ο蠓Q為該集合的元素.通常用大寫字母、表示集合，用小寫字母、表示集合的元素.如果是集合的元素，則表示為，讀作“屬于”；如果不是集合的元素，則表示為，讀作“不屬于”.一個(gè)集合，如果它含有有限個(gè)元素，則稱為有限集；如果它含有無限個(gè)元素，則稱為無限集；如果它不含任何元素，則稱為空集，記作.集合的表示方法通常有兩種：一種是列舉法，即把集合的元素一一列舉出來，并用“”括起來表示集合.例如，有1,2,3,4,5組成的集合，可表示成=1,2,3,4,5；第二種是描述法，即設(shè)集合所有元素的共同特征為，則集合可表示為. 例如，集合是不等式的解集，就可以表示為.由實(shí)數(shù)組成的集合，稱為數(shù)集，初等數(shù)學(xué)中常見的數(shù)集有： （1）全體非負(fù)整數(shù)組成的集合稱為非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作，即；（2）所有正整數(shù)組成的集合稱為正整數(shù)集，記作，即；（3）全體整數(shù)組成的集合稱為整數(shù)集，記作，即；（4）全體有理數(shù)組成的集合稱為有理數(shù)集，記作，即；（5）全體實(shí)數(shù)組成的集合稱為實(shí)數(shù)集，記作.1.1.2 區(qū)間與鄰域在初等數(shù)學(xué)中，常見的在數(shù)集是區(qū)間.設(shè)，且，則（1）開區(qū)間 ；（2）半開半閉區(qū)間 ，；（3）閉區(qū)間 ；（4）無窮區(qū)間 ， ， ，.以上四類統(tǒng)稱為區(qū)間，其中（1）-（4）稱為有限區(qū)間，（5）-（8）稱為無限區(qū)間.在數(shù)軸上可以表示為（圖1-1）： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）圖 1-1在微積分的概念中，有時(shí)需要考慮由某點(diǎn)附近的所有點(diǎn)組成的集合，為此引入鄰域的概念.定義1 設(shè)為某個(gè)正數(shù)，稱開區(qū)間為點(diǎn)的鄰域，簡(jiǎn)稱為點(diǎn)的鄰域，記作，即 .在此，點(diǎn)稱為鄰域的中心，稱為鄰域的半徑，圖形表示為（圖1-2）：圖1-2 另外，點(diǎn)的鄰域去掉中心后，稱為點(diǎn)的去心鄰域，記作，即,圖形表示為（圖1-3）： 圖1-3其中稱為點(diǎn)的左鄰域，稱為點(diǎn)的右鄰域. 1.2函數(shù)的概念1.2.1函數(shù)的定義定義2 設(shè)、是兩個(gè)變量，是給定的數(shù)集，如果對(duì)于每個(gè)，通過對(duì)應(yīng)法則，有唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，則稱為是的函數(shù)，記作.其中為自變量，為因變量，為定義域,函數(shù)值的全體成為函數(shù)的值域，記作，即.函數(shù)的記號(hào)是可以任意選取的, 除了用 外, 還可用“”、“”、“”等表示. 但在同一問題中, 不同的函數(shù)應(yīng)選用不同的記號(hào).函數(shù)的兩要素：函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系為確定函數(shù)的兩要素.例1 求函數(shù)的定義域.解 的定義區(qū)間滿足：；的定義區(qū)間滿足：，解得.這兩個(gè)函數(shù)定義區(qū)間的公共部分是.所以，所求函數(shù)定義域?yàn)?例2 判斷下列各組函數(shù)是否相同.（1），；（2），；（3），.解 （1）的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?兩個(gè)函數(shù)定義域不同，所以和不相同.（2）和的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù).,所以和是相同函數(shù).（3），,故兩者對(duì)應(yīng)關(guān)系不一致，所以和不相同.函數(shù)的表示法有表格法、圖形法、解析法(公式法)三種.常用的是圖形法和公式法兩種.在此不再多做說明.函數(shù)舉例:例3 函數(shù)，函數(shù)為符號(hào)函數(shù)，定義域?yàn)?，值? 如圖1-4：圖1-4例4 函數(shù)，此函數(shù)為取整函數(shù)，定義域?yàn)椋?設(shè)為任意實(shí)數(shù), 不超過的最大整數(shù)，值域. 如圖1-5：圖1-5特別指出的是，在高等數(shù)學(xué)中還出現(xiàn)另一類函數(shù)關(guān)系，一個(gè)自變量通過對(duì)于法則有確定的值與之對(duì)應(yīng)，但這個(gè)值不總是唯一.這個(gè)對(duì)應(yīng)法則并不符合函數(shù)的定義，習(xí)慣上我們稱這樣的對(duì)應(yīng)法則確定了一個(gè)多值函數(shù).1.2.2 函數(shù)的性質(zhì)設(shè)函數(shù)，定義域?yàn)椋?（1）函數(shù)的有界性定義3 若存在常數(shù)，使得對(duì)每一個(gè)，有，則稱函數(shù)在上有界.若對(duì)任意，總存在，使，則稱函數(shù)在上無界.如圖1-6： 圖1-6 例如 函數(shù) 在上是有界的:.函數(shù) 在內(nèi)無上界，在內(nèi)有界.（2）函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義, 及為區(qū)間上任意兩點(diǎn), 且.如果恒有, 則稱在上是單調(diào)增加的；如果恒有, 則稱在上是單調(diào)遞減的.單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)（圖1-7）. 圖1-7（3）函數(shù)的奇偶性設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.如果在上有, 則稱為偶函數(shù)；如果在上有, 則稱為奇函數(shù).例如，函數(shù)，由于，所以是偶函數(shù)；又如函數(shù)，由于，所以是奇函數(shù).如圖1-8： 圖1-8從函數(shù)圖形上看，偶函數(shù)的圖形關(guān)于軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.(4)函數(shù)的周期性 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)? 如果存在一個(gè)不為零的數(shù),使得對(duì)于任一有, 且, 則稱為周期函數(shù), 稱為的周期.如果在函數(shù)的所有正周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，則我們稱這個(gè)正數(shù)為的最小正周期.我們通常說的周期是指最小正周期.例如，函數(shù)和是周期為的周期函數(shù)，函數(shù)和是周期為的周期函數(shù).在此，需要指出的是某些周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如，常量函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，故任意實(shí)數(shù)都是其周期，但它沒有最小正周期.又如，狄里克雷函數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意有理數(shù)，必有，故任意有理數(shù)都是其周期，但它沒有最小正周期.1.3 反函數(shù)在初等數(shù)學(xué)中的函數(shù)定義中，若函數(shù)為單射,若存在，稱此對(duì)應(yīng)法則為的反函數(shù).習(xí)慣上,的反函數(shù)記作.例如，指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)為，圖像為（圖1-9）圖1-9反函數(shù)的性質(zhì)：（1）函數(shù) 單調(diào)遞增(減)，其反函數(shù)存在，且也單調(diào)遞增（減）.（2）函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱.下面介紹幾個(gè)常見的三角函數(shù)的反函數(shù)：正弦函數(shù)的反函數(shù)，正切函數(shù)的反函數(shù).反正弦函數(shù)的定義域是，值域是；反正切函數(shù)的定義域是，值域是，如圖1-10： 9圖1-101.4復(fù)合函數(shù)定義4 設(shè)函數(shù)，函數(shù)，則稱為由復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，其中為中間變量.注：函數(shù)與函數(shù)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件是，否則不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù).例如，函數(shù)，.在形式上可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù).但是的值域?yàn)?，故沒有意義. 在后面的微積分的學(xué)習(xí)中，也要掌握復(fù)合函數(shù)的分解，復(fù)合函數(shù)的分解原則：從外向里，層層分解，直至最內(nèi)層函數(shù)是基本初等函數(shù)或基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算.例5 對(duì)函數(shù)分解.解 由，復(fù)合而成.例6 對(duì)函數(shù)分解.解 由，復(fù)合而成.1.5初等函數(shù)在初等數(shù)學(xué)中我們已經(jīng)接觸過下面各類函數(shù)：常數(shù)函數(shù)：（為常數(shù)）；冪函數(shù)：；指數(shù)函數(shù)：；對(duì)數(shù)函數(shù)：；三角函數(shù)：；反三角函數(shù)：.這六種函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).定義5 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合步驟所構(gòu)成的并用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù).例如，等都是初等函數(shù).需要指出的是，在高等數(shù)學(xué)中遇到的函數(shù)一般都是初等函數(shù)，但是分段函數(shù)不是初等函數(shù)，因?yàn)榉侄魏瘮?shù)一般都有幾個(gè)解析式來表示.但是有的分段函數(shù)通過形式的轉(zhuǎn)化，可以用一個(gè)式子表示，就是初等函數(shù).例如，函數(shù)，可表示為.習(xí)題 1-1 1.求下列函數(shù)的定義域. （1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）.2.下列各題中，函數(shù)和是否相同，為什么？（1），； （2），；（3），； （4），.3.已知的定義域?yàn)椋笙铝泻瘮?shù)的定義域.（1）； （2）； （3）.4.設(shè)，求，.5.判斷下列函數(shù)的奇偶性.（1）； （2）；（3）； （4）；（5）.6.設(shè)下列考慮的函數(shù)都是定義在區(qū)間上的，證明：（1）兩個(gè)偶函數(shù)的和是偶函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù)；（2）兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，偶函數(shù)和奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù). 7.下列函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？如果是，確定其周期.（1）； （2）；（3）； （4）.8.求下列函數(shù)的反函數(shù).（1）； （2）； （3）； （4）；（5）.9.下列函數(shù)是有哪些函數(shù)復(fù)合而成的.（1）； （2）；（3）； （4）.10.設(shè)，求，.第2節(jié) 極限 極限在高等數(shù)學(xué)中占有重要地位，微積分思想的構(gòu)架就是用極限定義的. 本節(jié)主要研究數(shù)列極限、函數(shù)極限的概念以及極限的有關(guān)性質(zhì)等內(nèi)容. 2.1 數(shù)列的極限 2.1.1 數(shù)列的概念定義1 若按照一定的法則，有第一個(gè)數(shù)，第二個(gè)數(shù)a2，依次排列下去，使得任何一個(gè)正整數(shù)n對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的數(shù)，那么，我們稱這列有次序的數(shù)a1，a2，an，為數(shù)列.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)。第n項(xiàng)叫做數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng).例如； ； ； 都是數(shù)列，它們的一般項(xiàng)依次為，.我們可以看到，數(shù)列值隨著n變化而變化，因此可以把數(shù)列看作自變量為正整數(shù)的函數(shù)，即另外，從幾何的角度看，數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列，可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取a1，a2，在數(shù)軸上表示為（圖1-11）：圖1-112.1.2 數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的思想早在古代就已萌生，我國莊子一書中著名的“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”，魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在九章算術(shù)注中首創(chuàng)“割圓術(shù)”，用圓內(nèi)接多邊形的面積去逼近圓的面積，都是極限思想的萌芽.設(shè)有一圓，首先作圓內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為；再作圓的內(nèi)接正十二邊形，其面積記為；再作圓的內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為；依次進(jìn)行下去，一般把內(nèi)接正邊形的面積記為，可得一系列內(nèi)接正多邊形的面積：，它們就構(gòu)成一列有序數(shù)列.可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí)，也無限接近某一確定的數(shù)值(圓的面積)，這個(gè)確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上被稱為數(shù)列當(dāng)時(shí)的極限.在上面的例子中，數(shù)列如圖1-12：圖1-12當(dāng)時(shí)，無限接近于常數(shù)0，則0就是數(shù)列當(dāng)時(shí)的極限.再如數(shù)列：當(dāng)時(shí)，無限接近于常數(shù)1，則1就是數(shù)列當(dāng)時(shí)的極限；而數(shù)列：當(dāng)時(shí)，在1和-1之間來回震蕩，無法趨近一個(gè)確定的常數(shù)，故數(shù)列當(dāng)時(shí)無極限.由此推得數(shù)列的直觀定義：定義2 設(shè)是一數(shù)列，是一常數(shù).當(dāng)n無限增大時(shí)（即），無限接近于，則稱為數(shù)列當(dāng)時(shí)的極限，記作 或 ana （n）在上例中，對(duì)于數(shù)列，其極限為，即當(dāng)n無限增大時(shí)，無限接近于.如何度量與無限接近呢？一般情況下，兩個(gè)數(shù)之間的接近程度可以用這兩個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值來度量，并且越小，表示與越接近.例如數(shù)列，通過觀察我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)n無限增大時(shí)，無限接近0，即0是數(shù)列當(dāng)時(shí)的極限.下面通過距離來描述數(shù)列的極限為0.由于當(dāng)n越來越大時(shí)，越來越小，從而越來越接近于0. 當(dāng)n無限增大時(shí)，無限接近于0.例如，給定，要使，只要即可.也就是說從101項(xiàng)開始都能使成立. 給定，要使，只要即可.也就是說從10001項(xiàng)開始都能使成立.一般地，不論給定的正數(shù)多么的小，總存在一個(gè)正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，不等式都成立.這就是數(shù)列當(dāng)時(shí)極限的實(shí)質(zhì).根據(jù)這一特點(diǎn)得到數(shù)列極限的精確定義.定義3 設(shè)是一數(shù)列，是一常數(shù).如果對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，不等式都成立，則稱是數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于.記作.反之，如果數(shù)列的極限不存在，則稱數(shù)列發(fā)散.在上面的定義中，可以任意給定，不等式表達(dá)了與無限接近程度.此外與有關(guān)，隨著的給定而選定.表示了從項(xiàng)開始滿足不等式.對(duì)數(shù)列的極限為也可以略寫為：數(shù)列的極限為的幾何解釋：將常數(shù)與數(shù)列在數(shù)軸上用對(duì)應(yīng)的點(diǎn)表示出來，從項(xiàng)開始，數(shù)列的點(diǎn)都落在開區(qū)間內(nèi)，而只有有限個(gè)(至多只有N個(gè))在此區(qū)間以外（圖1-13）.圖1-13例1 證明數(shù)列極限.證明 由于對(duì)，要使即取當(dāng)時(shí)，有由極限的定義知 例2 證明數(shù)列極限.證明 由于對(duì)，要使即取當(dāng)時(shí)，有由極限的定義知 . 注：在利用數(shù)列極限的定義來證明數(shù)列的極限時(shí)，重要的是要指出對(duì)于任意給定的正數(shù)，正整數(shù)確實(shí)存在，沒有必要非去尋找最小的.例3 證明數(shù)列極限.證明 由于對(duì)，要使即取對(duì)數(shù)得.取，當(dāng)時(shí)，有由極限的定義知 . 2.2 數(shù)列極限的性質(zhì)定理1(極限的唯一性) 收斂數(shù)列的極限必唯一. 證明 （反證法）假設(shè)同時(shí)有及, 且，不妨設(shè)a0, 由于，存在充分大的正整數(shù), 使當(dāng)時(shí), 有 ,有. 由于，存在充分大的正整數(shù), 使當(dāng)時(shí), 有 ,有.取，則當(dāng)時(shí)，同時(shí)有和成立，這是不可能的，故假設(shè)不成立.收斂數(shù)列的極限必唯一.定理2(收斂數(shù)列的有界性) 如果數(shù)列收斂, 那它一定有界. 即對(duì)于收斂數(shù)列，必存在正數(shù)，對(duì)一切，有 證明 設(shè)， 根據(jù)數(shù)列極限的定義, 取e =1, 存在正整數(shù)N, 當(dāng)時(shí), 不等式都成立. 于是當(dāng)時(shí), .取，那么數(shù)列中的一切都滿足不等式.這就證明了數(shù)列是有界的. 定理2說明了收斂數(shù)列一定有界，反之不成立. 例如，數(shù)列有界，但是不收斂. 定理3(收斂數(shù)列的保號(hào)性)如果, 且(或), 那么存在正整數(shù)N, 當(dāng)時(shí), 有(或). 證明 就的情形. 由數(shù)列極限的定義, 對(duì), 當(dāng)時(shí), 有,從而. 推論 如果數(shù)列從某項(xiàng)起有(或), 且, 那么(或). 定理4(夾逼準(zhǔn)則) 如果數(shù)列、及滿足下列條件: (1), (2), , 那么數(shù)列的極限存在, 且. 證明 因?yàn)? , 以根據(jù)數(shù)列極限的定義, e 0, $, 當(dāng)時(shí), 有. 又, 當(dāng)時(shí), 有. 現(xiàn)取, 則當(dāng) 時(shí), 有, 同時(shí)成立. 又因 , 所以當(dāng) 時(shí), 有, 即 . 這就證明了. 例4 求證.證明 由于，而，由夾逼準(zhǔn)則知，. 如果數(shù)列滿足條件,就稱數(shù)列是單調(diào)增加的. 如果數(shù)列滿足條件,就稱數(shù)列是單調(diào)減少的. 單調(diào)增加和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列. 定理5(單調(diào)有界準(zhǔn)則) 單調(diào)有界數(shù)列必有極限. 例5 求數(shù)列的極限.解 證明數(shù)列的有界性.令則 其中，.設(shè)，則.由歸納法知，對(duì)所有的，有故有界.證明數(shù)列的單調(diào)性.已知，則.設(shè)，則.由歸納法知，對(duì)所有的，有故單調(diào)遞增.由單調(diào)有界準(zhǔn)則知，數(shù)列存在極限，設(shè)為. 在兩邊取極限，得,解得或.由于收斂數(shù)列保號(hào)性知舍去. 故所求數(shù)列的極限是.2.3 函數(shù)的極限由于數(shù)列可以看做是自變量為的函數(shù)：.所以數(shù)列的極限為，可以認(rèn)為是當(dāng)自變量取正整數(shù)且無限增大時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無限接近于常數(shù).對(duì)一般的函數(shù)而言，在自變量的某個(gè)變化過程中，函數(shù)值無限接近于某個(gè)確定的常數(shù)，那么這個(gè)常數(shù)就叫做在自變量在這一變化過程的極限.這說明函數(shù)的極限與自變量的變化趨勢(shì)有關(guān)，自變量的變化趨勢(shì)不同，函數(shù)的極限也會(huì)不同.下面主要介紹自變量的兩種變化趨勢(shì)下函數(shù)的極限.2.3.1 自變量時(shí)函數(shù)的極限引例 觀察函數(shù)當(dāng)時(shí)的變化趨勢(shì)（圖1-14）.圖1-14從圖1-14可以看出，當(dāng)無限增大時(shí)，函數(shù)無限接近于0（確定的常數(shù)）.由此推得函數(shù)在時(shí)極限的直觀定義：定義4 設(shè)當(dāng) x 大于某一正數(shù)時(shí)有定義，當(dāng) x 無限增大時(shí),函數(shù)值無限接近于一個(gè)確定的常數(shù) ,稱為當(dāng) x+時(shí)的極限. 記作 或 引例中，類比于數(shù)列極限的定義推得當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限的直觀定義：定義5 設(shè)當(dāng) x 大于某一正數(shù)時(shí)有定義，如果存在常數(shù)，對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，不等式都成立，則稱是函數(shù)在時(shí)的極限，記作.對(duì)定義5的簡(jiǎn)單敘述：類比當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限定義，當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限定義：定義6 設(shè)當(dāng) 大于某一正數(shù)時(shí)有定義，如果存在常數(shù)，對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，不等式都成立，則稱是函數(shù)在時(shí)的極限，記作.對(duì)定義6的簡(jiǎn)單敘述：在引例中，結(jié)合定義5和定義6，推得函數(shù)在時(shí)的極限定義：定義7 設(shè)當(dāng) 大于某一正數(shù)時(shí)有定義，如果存在常數(shù)，對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，不等式都成立，則稱是函數(shù)在時(shí)的極限，記作.對(duì)定義7的簡(jiǎn)單敘述：結(jié)合定義7，函數(shù)在時(shí)的極限存在的充要條件是：例6 證明.證明 由于對(duì)，要使即取當(dāng)時(shí)，有由極限的定義知 .從幾何上看，表示當(dāng)時(shí)，曲線位于直線和之間（圖1-15）.圖1-15這時(shí)稱直線為曲線的水平漸近線. 例如 ，則是曲線的水平漸近線.2.3.2 自變量時(shí)函數(shù)的極限引例1 觀察函數(shù)和在時(shí)函數(shù)值的變化趨勢(shì)（圖1-16）： 圖1-16從圖1-16中得出，函數(shù)和在時(shí)函數(shù)值都無限接近于2，則稱2是函數(shù)和在時(shí)的極限.從上例中看出，雖然和在處都有極限，但在處不定義. 這說明函數(shù)在一點(diǎn)處是否存在極限與它在該點(diǎn)處是否有定義無關(guān). 因此，在后面的定義中假定函數(shù)在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，函數(shù)在時(shí)函數(shù)極限的直觀定義：定義7 函數(shù)在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的函數(shù)值無限接近于確定的常數(shù)，稱為函數(shù)在時(shí)的極限.在定義7中，函數(shù)的函數(shù)值無限接近于某個(gè)確定的常數(shù)，表示能任意小，在此同樣可以通過對(duì)于任意給定的正數(shù)，表示. 而可以表示為（0），體現(xiàn)了接近的程度. 由此得到函數(shù)在時(shí)函數(shù)極限的精確定義：定義8 函數(shù)在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義.對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，當(dāng)滿足不等式時(shí)，函數(shù)滿足不等式，稱為函數(shù)在時(shí)的極限.記作或.定義8簡(jiǎn)單表述為：函數(shù)在時(shí)極限為的幾何解釋：對(duì)，當(dāng)時(shí)，曲線位于直線和之間，如圖1-17：圖1-17例7 證明為常數(shù).證明 由于對(duì)，對(duì)，當(dāng)時(shí)，都有故例8 證明證明 由于對(duì)，要使，即取，當(dāng)時(shí)，都有故在函數(shù)的極限中，既包含從左側(cè)向靠近，又包含從右側(cè)向靠近. 因此，在求分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的極限時(shí)，由于在處兩側(cè)函數(shù)式子不同，只能分別討論.左側(cè)向靠近的情形，記作. 從右側(cè)向靠近的情形，記作.在定義8中，若把空心鄰域改為，則稱為函數(shù)在時(shí)的左極限.記作 或 .類似地，若把空心鄰域改為，則稱為函數(shù)在時(shí)的右極限.記作 或 .我們把左極限和右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限.根據(jù)在時(shí)極限的定義推出在時(shí)的極限存在的充要條件是左、右極限都存在并且相等，即：.例9 討論函數(shù)當(dāng)時(shí)極限不存在.解 函數(shù)圖形（圖1-18）如下：圖1-18載處的左極限為；右極限為.由于，故不存在.2.3.3 函數(shù)的極限的性質(zhì)類比數(shù)列極限的性質(zhì)，可以推得函數(shù)極限的性質(zhì).由于函數(shù)極限自變量的變化趨勢(shì)有不同的形式，下面僅以為代表討論.性質(zhì)1（唯一性） 若，則極限值是唯一的.性質(zhì)2（局部有界性） 若，若存在常數(shù)及，當(dāng)時(shí)，有.性質(zhì)3（保號(hào)性） 若，且（或），若存在，當(dāng)時(shí)，有（或）.性質(zhì)4（夾逼準(zhǔn)則） 設(shè)、是三個(gè)函數(shù)，若存在，當(dāng)時(shí)，有，則.2.4無窮大與無窮小 在研究函數(shù)的變化趨勢(shì)時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到兩種特殊情形：一是函數(shù)的極限為零，二是函數(shù)的絕對(duì)值無限增大，即是本節(jié)討論的無窮小和無窮大，以為代表討論.2.4.1 無窮小 若，則稱函數(shù)為時(shí)的無窮小.例如 ，則是時(shí)的無窮小.，則是時(shí)的無窮小.在此需要指出的是：（1）無窮小不是很小的數(shù)，它表示當(dāng)時(shí)，的絕對(duì)值可以任意小的函數(shù). （2）在說一個(gè)函數(shù)是無窮小時(shí)，一定要指明自變量的變化趨勢(shì). 同一函數(shù)，在自變量的不同變化趨勢(shì)下，極限不一定為零；在常數(shù)里面. （3）0是唯一的無窮小.2.4.2 無窮大 函數(shù)在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義.對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，當(dāng)滿足不等式時(shí)，函數(shù)值滿足不等式，則稱函數(shù)為時(shí)的無窮大. 按照函數(shù)極限的定義，當(dāng)時(shí)無窮大的函數(shù)極限是不存在的.為了便于敘述函數(shù)的這一性態(tài)，習(xí)慣上稱作函數(shù)的極限是無窮大，記作.若把定義中改為，稱函數(shù)極限為正無窮大（或負(fù)無窮大），記作.在此，同樣注意無窮大不是很大的數(shù)，不能和很大的數(shù)混為一談.例如 由于，為時(shí)的無窮大，如圖1-19.圖1-19從圖形上看，當(dāng)時(shí)，曲線無限接近于直線. 一般地，若，則直線為曲線的鉛直漸近線.在上例中，是曲線的鉛直漸近線.2.4.3 無窮小的性質(zhì)性質(zhì)1 充要條件是，其中為時(shí)的無窮小.證明 ，當(dāng)時(shí)，都有.令，則，即，說明為時(shí)的無窮小. 此時(shí).性質(zhì)2 在自變量的同一變化過程中，若為無窮大，則為無窮小；若為無窮小，且，則為無窮大.例如 由于，則.性質(zhì)3 有限個(gè)無窮小的和是無窮小.性質(zhì)4 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.例10 求極限. 解 由于，是有界函數(shù)，而.由性質(zhì)4得推論1 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論2 有限個(gè)無窮小的乘積是無窮小.習(xí)題1-21.根據(jù)數(shù)列的變化趨勢(shì)，求下列數(shù)列的極限： （1）； （2）； （3）； （4）.2.根據(jù)數(shù)列極限的定義，證明： （1）； （2）. （3）； （4）.3.設(shè)，求證.4.設(shè)數(shù)列有界，求證.5.根據(jù)函數(shù)極限的定義，證明： （1）； （2）； （3）； （4）. 6.求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的左、右極限，并判斷在改點(diǎn)處極限是否存在. （1），在處； （2），在處； （3），在處.7.指出下列函數(shù)在什么情況下是無窮小，什么情況下是無窮大. （1）； （2）； （3）； （4）.8.求下列函數(shù)的極限. （1）； （2）； （3）； （4）.9.求函數(shù)的圖形的漸近線.10.利用極限存在準(zhǔn)則證明： （1）； （2）； （3）數(shù)列的極限存在； （4）數(shù)列，的極限存在.第3節(jié) 極限的運(yùn)算 本節(jié)討論極限的求法，主要內(nèi)容是極限的四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則，以及利用這些法則，求某些特定函數(shù)的極限.由于函數(shù)極限自變量的變化趨勢(shì)有不同的形式，下面僅以為代表討論.3.1 極限的四則運(yùn)算法則定理1 如果，則 （1）； （2）； （3）若，則 證明 只證. 由于，則，,其中是時(shí)的無窮小.于是.由于仍然是時(shí)的無窮小，則. 其它情況類似可證. 注：本定理可推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形. 例1 求 解 例2 求 解 注：在運(yùn)用極限的四則運(yùn)算的商運(yùn)算時(shí)，分母的極限.但有時(shí)分母的極限，這時(shí)就不能直接應(yīng)用商運(yùn)算了. 例3 求 解 由于，分母中極限為0，故不能用四則運(yùn)算計(jì)算. 由于，根據(jù)無窮小的性質(zhì)，知 例4 求 解 由于時(shí)，分子、分母的極限都為0，記作型.分子分母有公因子，可約去公因子，所以 總結(jié)：在求有理函數(shù)除法的極限時(shí)， （1）當(dāng)時(shí)，應(yīng)用極限四則運(yùn)算法則，； （2）當(dāng)，且時(shí)，由無窮小的性質(zhì)，； （3）當(dāng)，且時(shí)，約去使分子、分母同為零的公因子，再使用四則運(yùn)算求極限. 例5 求 解 由于時(shí)，分子、分母的極限都為，記作型.用去除分子及分母，即 例6 求（1） （2） 解 （1）用去除分子及分母，得. （2）用去除分子及分母，求極限得 總結(jié)：型的函數(shù)極限的一般規(guī)律是：當(dāng)，為正整數(shù)，則. 例7 求 解 這是型，可以先通分，再計(jì)算. 例8 求 解 這是型無理式，可以先進(jìn)行有理化，再計(jì)算.3.2 兩個(gè)重要極限 3.2.1 作單位圓（圖1-20）,圖1-20取圓心角，設(shè)，由圖1-20可知，的面積，即，整理，得.不等式兩邊同時(shí)除以，取倒數(shù)，得.當(dāng)取值范圍換成區(qū)間，不等式符號(hào)不改變.當(dāng)時(shí)，有夾逼準(zhǔn)則知注意：在利用求函數(shù)的極限時(shí)，要注意使用條件：（1）極限是型；（2）式中帶有三角函數(shù)；（3）中的變量一致，都趨向于0. 例9 求 解 例10 求 解 例11 求 解 3.2.2 考慮（正整數(shù)）的情形.記，下面證明是單調(diào)有界數(shù)列.由于 .類似地， .比較和的展開式，除前兩項(xiàng)外，的每一項(xiàng)都小于的對(duì)應(yīng)項(xiàng)，且比多了最后的正數(shù)項(xiàng)，所以，即是單調(diào)遞增數(shù)列.由于 .即是有界數(shù)列. 由極限存在準(zhǔn)則知，當(dāng)時(shí)，的極限存在，通常用字母來表示,即.可以證明，當(dāng)取實(shí)數(shù)而趨向（或）時(shí)，函數(shù)的極限也存在，且等于. 故當(dāng)時(shí)，.令，當(dāng)時(shí)，上式可變?yōu)?，故極限的另一種形式是注意：在利用求函數(shù)極限時(shí)，要注意使用條件：（1）極限是型；（2）和中的變量一致，且括號(hào)內(nèi)與括號(hào)右上角處互為倒數(shù). 例12 求解 例13 求解 例14 求解 3.3 無窮小的比較引例 當(dāng)時(shí)，、都是無窮小，而極限，.引例中，在時(shí)，三個(gè)函數(shù)都是無窮小，但比值的極限結(jié)果不同，這反映了不同的無窮小趨于0的速度“快慢”不同.定義 在時(shí)，和為無窮小，（1）如果則稱是為高階無窮小，記作；（2）如果則稱是為低階無窮?。唬?）如果則稱與為同階無窮??；（4）如果則稱是關(guān)于的階無窮??；（5）如果則稱與為等價(jià)無窮小，記作.顯然等價(jià)無窮小是同階無窮小的特殊情形，即.在上面的例子中，由于，則當(dāng)時(shí)，是的高階無窮小，記作； 由于，則當(dāng)時(shí)，是的低階無窮?。挥捎?，則當(dāng)時(shí)，是的同階無窮??；由于，則當(dāng)時(shí)，是的等價(jià)無窮小.在此，列舉出當(dāng)時(shí)，常見的等價(jià)無窮小有； ；.在上述幾個(gè)無窮小的概念中，最常見的是等價(jià)無窮小，下面給出等價(jià)無窮小的性質(zhì)：定理2 的充要條件是.證明 以自變量時(shí)的極限為例.必要性 設(shè)，則.故，即.充分性 設(shè)，則，故. 注：其他自變量的變化趨勢(shì)下同上.定理3 ，且存在，則.證明 以自變量時(shí)的極限為例.定理3表明，在求兩個(gè)無窮小之比的的極限時(shí)，分子或分母都可用等價(jià)無窮小來代替. 例15 求解 當(dāng)時(shí)，則 例16 求解 當(dāng)時(shí)，則 例17 求解 （錯(cuò)誤做法）當(dāng)時(shí)，.則（正確做法）當(dāng)時(shí)，.則 說明：在代數(shù)和中各等價(jià)無窮小不能分別替換，在因式中可以用等價(jià)無窮小的替換.習(xí)題1-31.求下列極限： （1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）； （11）； （12）； （13）（常數(shù)）； （14）； （15）； （16）（常數(shù)）； （17）； （18）； （19）； （20）；（21）； （22）；（23）； （24）. 2.已知，求常數(shù). 3.已知，求常數(shù).第4節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性 在自然界中，有許多現(xiàn)象都是連續(xù)變化的，如氣溫的變化、河水的流動(dòng)、植物的生長等.這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性. 4.1 函數(shù)連續(xù)的概念 4.1.1 函數(shù)的增量定義1 設(shè)變量從它的一個(gè)值變到另一個(gè)值，其差稱作變量的增量，記作，即.例如，一天中某段時(shí)間，溫度從到，則溫度的增量.當(dāng)溫度升高時(shí)，；當(dāng)溫度降低時(shí)，；當(dāng)時(shí)間的改變量很微小時(shí)，溫度的變化也會(huì)很小；當(dāng)時(shí)，.定義2 對(duì)于函數(shù)，如果在定義區(qū)間內(nèi)自變量從變到，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值由變化到，則稱為自變量的增量，記作，即 或. （1-4-1） 為函數(shù)的增量，記作，即 或. （1-4-2） 注：增量不一定是正的，當(dāng)初值大于終值時(shí)，增量就是負(fù)的. 4.1.2 函數(shù)連續(xù)的概念設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在這鄰域內(nèi)從變到時(shí)，函數(shù)增量（圖1-21）.圖1-21假定不變，讓變動(dòng)，也隨之變化.如果當(dāng)無限變小時(shí)，也無限變小.根據(jù)這一特點(diǎn)，給出函數(shù)在處連續(xù)的概念.定義3 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果 ， （1-4-3）則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).設(shè)，則當(dāng)時(shí)，即是.而，由就是，即. 定義3可以改寫為如下定義：定義4 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果 ， （1-4-4） 那么就稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).由定義4知，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，必須滿足下列三個(gè)條件：（1） 函數(shù)在點(diǎn)處有定義；（2） 存在，即；（3）例1 討論函數(shù)在處的連續(xù)性.解 由于，而，故.由連續(xù)性的定義知，函數(shù)在處連續(xù).由于函數(shù)在處極限存在等價(jià)于在處左、右極限都存在并且相等，結(jié)合這一特點(diǎn)，下面定義左、右連續(xù)的概念.如果，則稱函數(shù)在點(diǎn)處的左連續(xù).如果，則稱函數(shù)在點(diǎn)處的右連續(xù).如果函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，必有，則有，這說明了函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，既包含了在點(diǎn)處左連續(xù)，又包含了在點(diǎn)處右連續(xù).定理1 函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的充要條件是函數(shù)在點(diǎn)處既左連續(xù)又右連續(xù). 注：此定理常用于判定分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性. 例2 討論函數(shù)在處的連續(xù)性. 解 函數(shù)圖形如圖1-22.圖1-22由于，故在處左連續(xù).，故在處不右連續(xù).因此由定理1知，函數(shù)在處不連續(xù). 以上是介紹函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的概念，下面介紹連續(xù)函數(shù)的概念.定義5 如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù),稱為內(nèi)的連續(xù)函數(shù).如果函數(shù)在內(nèi)連續(xù),且在左端點(diǎn)處右連續(xù)，在右端點(diǎn)處左連續(xù)，則稱在閉區(qū)間上連續(xù).例3 證明函數(shù)在內(nèi)是連續(xù)的.證明 任取，則 由于，當(dāng)時(shí)，由無窮小的性質(zhì)知，.由定義1，在處連續(xù).而是在內(nèi)任取的，故在內(nèi)是連續(xù)的.類似地，可以驗(yàn)證在定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的.4.2 函數(shù)的間斷點(diǎn)定義6 如果函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，則稱在處間斷，稱為的間斷點(diǎn).根據(jù)定義3，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件知.換句話說，只要其中一個(gè)條件不滿足，函數(shù)就在處間斷.因此在處出現(xiàn)間斷的情形有下列三種：（1） 在處無定義； （2）在處雖然有定義，但是不存在；（3）在處有定義，存在，但是.在處只要符合上述三種情形之一，則函數(shù)在處必間斷. 下面舉例函數(shù)間斷的例子.（1）函數(shù)在處無定義，所以是的間斷點(diǎn).（2）符號(hào)函數(shù)，在處，由于，.由于在處函數(shù)左、右極限不相等，故不存在，因此是此函數(shù)的間斷點(diǎn).（3）函數(shù)，在處，由于，而故，是此函數(shù)的間斷點(diǎn). 從上面的例子看出，函數(shù)在處雖然都是間斷，但產(chǎn)生間斷的原因各不相同.根據(jù)這一特點(diǎn)，下面對(duì)間斷點(diǎn)進(jìn)行分類: 如果與都存在，則稱為的第一類間斷點(diǎn)，否則稱為第二類間斷點(diǎn).在第一類間斷點(diǎn)中，如果，則稱為的可去間斷點(diǎn)；如果，則稱為的跳躍間斷點(diǎn).在上面的例子中，在（2）中是跳躍間斷點(diǎn)，在（3）中是可去間斷點(diǎn).在第二類間斷點(diǎn)中，如果與至少有一個(gè)為，則稱為的無窮間斷點(diǎn)；如果與至少有一個(gè)是不斷振蕩的，則稱為的振蕩間斷點(diǎn).在上例（1）中，是無窮間斷點(diǎn).再如，為函數(shù)的間斷點(diǎn).當(dāng)時(shí)，函數(shù)在-1和1之間出現(xiàn)無限次的振蕩，如圖1-23：圖1-23則為振蕩間斷點(diǎn).4.3 初等函數(shù)的連續(xù)性 定理2 設(shè)函數(shù)與在處連續(xù)，則其和、差、積、商（分母在處函數(shù)值不為零）在處也連續(xù).定理3 設(shè)函數(shù)由和復(fù)合而成.且在處連續(xù)，處極限存在，則.注：內(nèi)函數(shù)的極限存在, 外函數(shù)在該極限點(diǎn)連續(xù)，則求復(fù)合函數(shù)的極限時(shí)極限符號(hào)可以與外函數(shù)符號(hào)互換.例4 求解 由和復(fù)合而成.且，在處連續(xù)，則在定理3中，如果把條件改為在處連續(xù)，且結(jié)論仍然成立，即.例5 求解 由和復(fù)合而成.在處連續(xù)，；在處連續(xù)，則由于初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合構(gòu)成的，結(jié)合定理2和定理3知，初等函數(shù)在定義區(qū)間是連續(xù)的.定理4 初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的.例6 求解 例7 求解 例8 求解 令，則，當(dāng)時(shí)，.則里7、例8也說明了當(dāng)時(shí)，.例9 求解 由于，當(dāng)時(shí)，故.一般地，形如的函數(shù)稱為冪指函數(shù). 如果則.4.4 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在4.1中已經(jīng)介紹了函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)的概念，下面繼續(xù)討論閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).4.4.1最值定理定理5（最值定理）閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定存在最大值和最小值.此定理說明，如果函數(shù)，如圖1-24：圖1-24則至少存在一點(diǎn)，都有，則是上的最小值.至少存在一點(diǎn)，都有，則是上的最大值.注：定理5中條件“閉區(qū)間”和“連續(xù)”很重要，如果缺少一個(gè)，定理5不一定成立.例如，函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)雖然連續(xù)，但是沒有最大值和最小值（圖1-25）.函數(shù)在閉區(qū)間上不連續(xù)，不存在最大值和最小值（圖1-26）. 圖1-25 圖1-26由于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)存在最大值和最小值，因此閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必定有界.推論：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上有界.4.4.2 介值定理定理6（介值定理）函數(shù)在上連續(xù)，和分別是在上的最大值和最小值，則至少存在一點(diǎn)，使得（圖1-27）.圖1-27定理7（零點(diǎn)定理）函數(shù)在上連續(xù)，且，則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得（圖1-28）.圖1-28例10 證明方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根.解 設(shè)，顯然在上連續(xù)，而，由零點(diǎn)定理知，至少存在一點(diǎn)，使得.即在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根.例11 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且,證明至少存在一點(diǎn)，使得.解 設(shè)，顯然在上連續(xù)，而，由零點(diǎn)定理知，至少存在一點(diǎn)，使得.即. 注：在應(yīng)用零點(diǎn)定理時(shí)，一定要注意檢驗(yàn)函數(shù)是否滿足定理使用的條件.習(xí)題1-41.用定義證明在內(nèi)是連續(xù)的.2.討論下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的連續(xù)性，如果間斷，說明間斷點(diǎn)的類型；如果是可去間斷點(diǎn)，補(bǔ)充或改變函數(shù)的定義使其連續(xù).（1），在處；（2），在處；（3），在處； （4），在處.3.討論函數(shù)的連續(xù)性，如果間斷，說明間斷點(diǎn)的類型.4.已知函數(shù)在處連續(xù)，求的值.5.求下列極限. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）. 6. 已知方程至少有一個(gè)實(shí)根.7. 證明：若與都在上連續(xù)，且，則存在點(diǎn)，使得.8.證明方程（）至少有一個(gè)正根，且它不超過.9.證明函數(shù)在之間至少有2個(gè)零點(diǎn).第5節(jié) 極限與連續(xù)的應(yīng)用 5.1 經(jīng)濟(jì)應(yīng)用 5.1.1需求與供給函數(shù)設(shè)為商品社會(huì)需求量，為商品的價(jià)格，則稱為需求函數(shù).設(shè)商品的社會(huì)供給量為，則社會(huì)供給量與商品價(jià)格之間的函數(shù)為供給函數(shù).某商品的價(jià)格水平位，商品的社會(huì)需求量和商品的供給量達(dá)到平衡，稱為均衡價(jià)格，即.此時(shí)，為均衡數(shù)量.例1 某種商品的需求函數(shù)與供給函數(shù)分別為，求該商品的市場(chǎng)均衡價(jià)格和均衡數(shù)量.解 設(shè)均衡價(jià)格為，滿足，即，解得.從而均衡數(shù)量5.1.2 成本、收益、利潤函數(shù)某商品的總成本是指生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品所需的全部經(jīng)濟(jì)資源的價(jià)格或費(fèi)用總額.它由固定資本(生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi),用于維修、添制設(shè)備等)和可變資本 (每單位產(chǎn)品消耗原材料、勞力等費(fèi)用)組成.由此可見總成本函數(shù)是產(chǎn)量（或銷量）的函數(shù)，即.總收益是指銷售一定數(shù)量商品所得的收入，它既是銷量的函數(shù)，又是價(jià)格的函數(shù)，即.生產(chǎn)（或銷售）一定數(shù)量商品的總利潤在不考慮稅收的情況下，它是總收入 與總成本之差，即.例2 已知某產(chǎn)品的價(jià)格為，需求函數(shù)為，成本函數(shù)為，求利潤與產(chǎn)量之間的函數(shù)關(guān)系？產(chǎn)量為多少時(shí)利潤最大及最大利潤是多少？解 有需求函數(shù)知，故收益函數(shù)為，利潤函數(shù)因此，當(dāng)時(shí)取得最大利潤，最大利潤為25.5.2 工程應(yīng)用根據(jù)實(shí)際問題，建立函數(shù)關(guān)系式（建立數(shù)學(xué)模型），并根據(jù)實(shí)際問題的要求，確定函數(shù)的定義域.例3 放射性元素鍶的半衰期是25年，存量與時(shí)間的關(guān)系式為：.即任意質(zhì)量的鍶在25年后，其質(zhì)量將為原來的一半，其中為原始量.(1) 若一份鍶樣品的質(zhì)量為24mg，求鍶在年后質(zhì)量表達(dá)式；(2) 求.解 （1）質(zhì)量為24mg，求鍶在年后質(zhì)量表達(dá)式：. （2）. 例4 設(shè) 冰從升到所需要的熱量（單位：）模型為試問當(dāng)時(shí)，函數(shù)是否連續(xù)？并解釋其幾何意義.解 此分段函數(shù)的分界點(diǎn)為，因此只討論處的連續(xù)性即可.由于， ，故，函數(shù)在處的不連續(xù).這是由于冰水混合物在時(shí)吸收熱量而不改變溫度.習(xí)題1-5 1.某型號(hào)手機(jī)價(jià)格為每只1000元時(shí)能賣出15只，當(dāng)價(jià)格為每只800元時(shí)，能賣出20只.已知手機(jī)的價(jià)格高低與其需求量多少是線性關(guān)系，試建立該型號(hào)手機(jī)的需求量與價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系.2.工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)1000元，可變資本4元，單位售價(jià)8元.求：（1） 總成本函數(shù)；（2）單位成本函數(shù)；（3）銷售收入函數(shù)；（4）利潤函數(shù).3.某商品的銷售量與單價(jià)的關(guān)系為，試將總收益表示為銷售量的函數(shù).4.某礦廠A要將生產(chǎn)出的礦石運(yùn)往鐵路旁的冶煉廠B冶煉.已知該礦距冶煉廠所在鐵路垂直距離為 a 公里,它的垂足 C 到 B 的距離為 b公里.又知鐵路運(yùn)價(jià)為 m 元/噸公里,公路運(yùn)價(jià)是 n元/噸公里(m n),為節(jié)省運(yùn)費(fèi),擬在鐵路上另修一小站 M 作為轉(zhuǎn)運(yùn)站,那么總運(yùn)費(fèi)的多少?zèng)Q定于M的位置.試求出運(yùn)費(fèi)與距離的函數(shù)關(guān)系. 5.一個(gè)商場(chǎng)的停車場(chǎng)第一個(gè)小時(shí)及以內(nèi)收費(fèi)5元，以后每小時(shí)及以內(nèi)加收費(fèi)3元，每天最多收費(fèi)20元，討論此函數(shù)的間斷點(diǎn)及它們的意義.6.空氣通過盛有吸收劑的圓柱形器皿，已知該器皿吸收的量與的體積分?jǐn)?shù)及吸收層厚度成正比.今有體積分?jǐn)?shù)為8%的空氣，通過厚度為10cm的吸收層后，體積分?jǐn)?shù)為2%.問（1）若吸收層厚度為30cm，出口處空氣中的體積分?jǐn)?shù)是多少？（2）若要使出口處空氣中的體積分?jǐn)?shù)為1%，吸收層厚度應(yīng)為多少？第6節(jié) MATLAB軟件應(yīng)用 6.1函數(shù)作圖在高等數(shù)學(xué)中，經(jīng)常利用函數(shù)圖形研究函數(shù)的性質(zhì)，在此，我們應(yīng)用MATLAB命令來實(shí)現(xiàn)這一操作.應(yīng)用MATLAB命令描繪函數(shù)圖形常用命令是ezplot，其實(shí)用方法為：對(duì)于一元函數(shù)在指定區(qū)間上做函數(shù)圖形命令：ezplot(f,a,b)；對(duì)于平面方程在指定區(qū)間上做函數(shù)圖形命ezplot(f,a,b,c,d)；對(duì)于參數(shù)方程在指定區(qū)間上做函數(shù)圖形命令：ezplot(f,g,).例1 作出在上的圖形.解 輸入命令： ezplot(sin(x),-pi,pi)； 輸出結(jié)果如圖1-28.例2 作出在上的圖形.解 輸入命令： ezplot(asin(x),-1,1)； 輸出結(jié)果如圖1-29。 圖1-29 圖1-30例3作出在上的圖形.解 輸入命令： ezplot(t-sin(t),1-cos(t),0,2*pi)； 輸出結(jié)果如圖1-30.圖1-31 6.2 極限的計(jì)算在MATLAB命令中，提供limit函數(shù)來求取數(shù)列的極限，其調(diào)用格式為： 的MATLAB命令：L=limit(an,n,inf); 的MATLAB命令：L=limit(f,x,inf); 的MATLAB命令：L=limit(f,x,-inf); 的MATLAB命令：L=limit(f,x,a); 的MATLAB命令：L=limit(f,x,a,right); 的MATLAB命令：L=limit(f,x,a,left).例4 計(jì)算.解 輸入命令： syms n； L=limit(1/n,n,inf)； 輸出結(jié)果：L=0.例5 計(jì)算.解 輸入命令： syms x； L=limit(x2-1)/(x-1),x,1)； 輸出結(jié)果：L=2.例6 計(jì)算.解 輸入命令： syms x； L=limit(atan(x),x,inf)； 輸出結(jié)果：L =pi/2.例7 設(shè)，計(jì)算.解 此函數(shù)為分段函數(shù)，在處要討論左、右極限. 輸入命令：Lleft=limit(abs(x)/x,x,0,left)； 輸出結(jié)果：Lleft = -1. Lright=limit(abs(x)/x,x,0,right)； 輸出結(jié)果：Lright =1.由于函數(shù)在處左、右極限不相等，故在處極限不存在.總習(xí)題1（A）1. 求下列函數(shù)的定義域. （1）； （2）； （3）； （4）； （5），已知的定義域?yàn)椋?（6）.2. 設(shè)，求.3. 求下列函數(shù)的反函數(shù). （1）； （2）； （3）； （4）.4. 求下列函數(shù)的極限. （1）； （2）； （3）；