歷屆高考數學真題匯編專題10_圓錐曲線_理(2000-2006)

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【2006高考試題】 一、選擇題（共29題） 1．（安徽卷）若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為 A． B． C． D． 2．（福建卷）已知雙曲線(a>0,b<0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是 A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞) 3．（福建卷）已知雙曲線的右焦點為F，若過點F的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是 A.(,) B. (-,) C.[ ,] D. [-,] 解析：雙曲線的漸近線與過右焦點的直線平行，或從該位置繞焦點旋轉時，直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，∴≥k，又k≥，選C 4.（廣東卷）已知雙曲線，則雙曲線右支上的點到右焦點的距離與點到右準線的距離之比等于 A. B. C. 2 D. 4 解析：依題意可知 ，，故選C. 5．（湖北卷）設過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點，點與點關于軸對稱，為坐標原點，若且，則點的軌跡方程是 A． B． C． D． 6．（湖南卷）過雙曲線M:的左頂點A作斜率為1的直線,若與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于B、C,且|AB|=|BC|,則雙曲線M的離心率是 ( ) A. B. C. D. 7．（江蘇卷）已知兩點M（－2，0）、N（2，0），點P為坐標平面內的動點，滿足?。?，則動點P（x，y）的軌跡方程為 （A）　　?。˙）　　?。–）　　　（D） 【思路點撥】本題主要考查平面向量的數量積運算，拋物線的定義. 8．（江西卷）設O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點，A是拋物線上一點，若＝－4，則點A的坐標是（ ） A．（2，±2） B. (1，±2) C.（1，2） D.(2，2) 解：F（1，0）設A（，y0）則＝（ ，y0），＝（1－，－y0），由 · ＝－4Ty0＝±2，故選B 9．（江西卷）P是雙曲線的右支上一點，M、N分別是圓（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的點，則|PM|－|PN|的最大值為（ ） A. 6 B.7 C.8 D.9 10．（遼寧卷）雙曲線的兩條漸近線與直線圍成一個三角形區(qū)域,表示該區(qū)域的不等式組是 (A) (B) (C) (D) 【解析】雙曲線的兩條漸近線方程為，與直線圍成一個三角形區(qū)域時有。 11．（遼寧卷）曲線與曲線的 (A)焦距相等 (B) 離心率相等 (C)焦點相同 (D)準線相同 12．（遼寧卷）直線與曲線 的公共點的個數為 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析】將代入得： ，顯然該關于的方程有兩正解，即x有四解，所以交點有4個，故選擇答案D。 【點評】本題考查了方程與曲線的關系以及絕對值的變換技巧，同時對二次方程的實根分布也進行了簡單的考查。 13．（遼寧卷）方程的兩個根可分別作為（　?。? Ａ．一橢圓和一雙曲線的離心率 Ｂ．兩拋物線的離心率 Ｃ．一橢圓和一拋物線的離心率 Ｄ．兩橢圓的離心率 解：方程的兩個根分別為2，，故選A 14．（全國卷I）雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則 A． B． C． D． 解：雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，∴ m<0，且雙曲線方程為，∴ m=，選A. 15．（全國卷I）拋物線上的點到直線距離的最小值是 A． B． C． D． 解：設拋物線上一點為(m，－m2)，該點到直線的距離為，當m=時，取得最小值為，選A. 16．（全國II）已知△ABC的頂點B、C在橢圓＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是 （A）2 （B）6 （C）4 （D）12 解析(數形結合)由橢圓的定義橢圓上一點到兩焦點的距離之和等于長軸長2a,可得的周長為4a=,所以選C 17．（全國II）已知雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，則雙曲線的離心率為 （A） (B) (C) (D) 解析:雙曲線焦點在x軸,由漸近線方程可得,故選A 19．（山東卷）在給定雙曲線中，過焦點垂直于實軸的弦長為，焦點到相應準線的距離為，則該雙曲線的離心率為 (A) (B)2 (C) (D)2 解：不妨設雙曲線方程為（a>0，b>0），則依題意有， 據此解得e＝，選C 20．(陜西卷)已知雙曲線 － =1(a>)的兩條漸近線的夾角為,則雙曲線的離心率為 A.2 B. C. D. 解：雙曲線(a>)的兩條漸近線的夾角為，則，∴ a2=6，雙曲線的離心率為 ，選D． 21．（四川卷）已知兩定點，如果動點滿足，則點的軌跡所包圍的圖形的面積等于 （A） （B） （C） （D） 解：兩定點，如果動點滿足，設P點的坐標為(x，y)， 則，即，所以點的軌跡所包圍的圖形的面積等于4π，選B. 22．（四川卷）直線與拋物線交于兩點，過兩點向拋物線的準線作垂線，垂足分別為，則梯形的面積為 （A）48 （B）56 （C）64 （D）72 23．（天津卷）如果雙曲線的兩個焦點分別為、，一條漸近線方程為，那么它的兩條準線間的距離是（ ） A． 　　 B．　　　　　 C． 　　 D． 解析：如果雙曲線的兩個焦點分別為、，一條漸近線方程為，∴ ，解得，所以它的兩條準線間的距離是，選C. 24．（天津卷）橢圓的中心為點，它的一個焦點為，相應于焦點的準線方程為，則這個橢圓的方程是（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解析：橢圓的中心為點它的一個焦點為∴ 半焦距，相應于焦點F的準線方程為 ∴ ，，則這個橢圓的方程是，選D. 25．（浙江卷）若雙曲線上的點到左準線的距離是到左焦點距離的 ，則m= （A） （B） （C） （D） 解：雙曲線上的點到左準線的距離是到左焦點距離的 ，則離心率e=3，∴ ，m=，選C. 26．（浙江卷）拋物線的準線方程是 (A) (B) (C) (D) 解：2p＝8，p＝4，故準線方程為x＝－2，選A 27．(重慶卷)設是右焦點為的橢圓上三個不同的點，則“成等差數列”是“”的 （A）充要條件 （B）必要不充分條件 （C）充分不必要條件 （D）既非充分也非必要 28．（上海春）拋物線的焦點坐標為( ) （A）. （B）. （C）. （D）. 解：（直接計算法）因為p=2 ，所以拋物線y2=4x的焦點坐標為 ．應選B． 29．（上海春）若，則“”是“方程表示雙曲線”的( ) （A）充分不必要條件. （B）必要不充分條件. （C）充要條件. （D）既不充分也不必要條件. 解：應用直接推理和特值否定法．當k>3時，有k-3>0,k+3>0，所以方程 表示雙曲線；當方程 表示雙曲線時，k=-4 是可以的，這不在k>3里．故應該選A． 二、填空題（共8題） 30．（江西卷）已知為雙曲線的兩個焦點，為雙曲線右支上異于頂點的任意一點，為坐標原點．下面四個命題 Ａ．的內切圓的圓心必在直線上； Ｂ．的內切圓的圓心必在直線上； Ｃ．的內切圓的圓心必在直線上； Ｄ．的內切圓必通過點． 其中真命題的代號是 （寫出所有真命題的代號）． 31．（山東卷）已知拋物線y2=4x,過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點， 則y12+y22的最小值是 . 解：顯然30，又＝4（）38，當且僅當時取等號，所以所求的值為32。 32．（山東卷）已知橢圓中心在原點，一個焦點為F（－2，0），且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標準方程是 ． 解：已知為所求； 33．(上海卷)若曲線＝||＋1與直線＝＋沒有公共點， 則、分別應滿足的條件是 ． 解：作出函數的圖象， 如右圖所示： 所以，； 34．(上海卷)已知雙曲線中心在原點，一個頂點的坐標為,且焦距與虛軸長之比為，則雙曲線的標準方程是____________________. 解：雙曲線中心在原點，一個頂點的坐標為,則焦點在x軸上，且a=3，焦距與虛軸長之比為，即，解得，則雙曲線的標準方程是. 35．(上海卷)若曲線與直線沒有公共點，則的取值范圍是_________. 解：曲線得|y|>1，∴ y>1或y<－1，曲線與直線沒有公共點，則的取值范圍是[－1，1]. 36．（四川卷）如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個點，是橢圓的一個焦點，則 ; 37（浙江卷）雙曲線上的點到左焦點的距離與到左準線的距離的比是3，則m 等于 。 解析：雙曲線上的點到左焦點的距離與到左準線的距離的比是3，即離心率e=3，所以，m=. 三、解答題（共29題） O F x y P M H 38．（安徽卷）如圖，F(xiàn)為雙曲線C：的右焦點。P為雙曲線C右支上一點，且位于軸上方，M為左準線上一點，為坐標原點。已知四邊形為平行四邊形，。 （Ⅰ）寫出雙曲線C的離心率與的關系式； （Ⅱ）當時，經過焦點F且品行于OP的直線交雙曲線于A、B點，若，求此時的雙曲線方程。 39．（北京卷）已知點，動點滿足條件.記動點的軌跡為. （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）若是上的不同兩點，是坐標原點，求的最小值. 解：（1）依題意，點P的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的右支，所求方程為： （x>0） （1） 當直線AB的斜率不存在時，設直線AB的方程為x＝x0，此時A（x0，）， B（x0，－），＝2 當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y＝kx＋b，代入雙曲線方程中，得：（1－k2）x2－2kbx－b2－2＝0……………………1° 依題意可知方程1°有兩個不相等的正數根，設A（x1，y1），B（x2，y2），則 解得|k|>1又＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b2＝>2 綜上可知的最小值為2 40．（北京卷）橢圓的兩個焦點F1、F2，點P在橢圓C上，且P F1⊥PF2,,| P F1|=,,| P F2|=. （I）求橢圓C的方程； （II）若直線L過圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M交橢圓于A、B兩點，且A、B關于點M對稱，求直線L的方程。 解法二：(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)已知圓的方程為（x+2）2+(y－1)2=5,所以圓心M的坐標為（－2，1）. 設A，B的坐標分別為（x1,y1）,(x2,y2).由題意x1x2且 ① ② 由①－②得 ③ 因為A、B關于點M對稱，所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2, 代入③得＝，即直線l的斜率為， 所以直線l的方程為y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.(經檢驗，所求直線方程符合題意.) 41．（福建卷）已知橢圓的左焦點為F，O為坐標原點。 （Ⅰ）求過點O、F，并且與橢圓的左準線l相切的圓的方程； （Ⅱ）設過點F且不與坐標軸垂直交橢圓于A、B兩點，線段 AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍. 本小題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識，考查平面解析幾何的基本方法，考查運算能力和綜合解題能力。 （II）設直線AB的方程為 代入整理得 直線AB過橢圓的左焦點F，方程有兩個不等實根。 記中點 則 的垂直平分線NG的方程為 令得 點G橫坐標的取值范圍為 42．（福建卷）已知橢圓的左焦點為F，O為坐標原點。 （I）求過點O、F，并且與橢圓的左準線相切的圓的方程； （II）設過點F的直線交橢圓于A、B兩點，并且線段AB的中點在直線上，求直線AB的方程。 本小題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識，考查平面解析幾何的基本方法，考查運算能力和綜合解題能力。 （II）設直線AB的方程為 代入整理得 直線AB過橢圓的左焦點F，方程有兩個不等實根， 記中點則 線段AB的中點N在直線上， ，或 當直線AB與軸垂直時，線段AB的中點F不在直線上。 直線AB的方程是或 43．（湖北卷）設分別為橢圓的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準線。 （Ⅰ）、求橢圓的方程； （Ⅱ）、設為右準線上不同于點（4，0）的任意一點，若直線分別與橢圓相交于異于的點，證明點在以為直徑的圓內。 點評：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力。 將代入，化簡得·＝（2－x0）. ∵2－x0>0，∴·>0，則∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角， 故點B在以MN為直徑的圓內。 44．（湖南卷）已知橢圓C1:,拋物線C2:,且C1、C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點. (Ⅰ)當AB⊥軸時,求、的值，并判斷拋物線C2的焦點是否在直線AB上； (Ⅱ)是否存在、的值，使拋物線C2的焦點恰在直線AB上？若存在，求出符合條件的、的值；若不存在，請說明理由. 解：（Ⅰ）當AB⊥x軸時，點A、B關于x軸對稱，所以m＝0，直線AB的方程為： x =1，從而點A的坐標為（1，）或（1，－）. 因為點A在拋物線上.所以，即.此時C2的焦點坐標為（，0），該焦點不在直線AB上. （II）解法一： 假設存在、的值使的焦點恰在直線AB上，由（I）知直線AB的斜率存在，故可設直線AB的方程為． A y B O x 由消去得…① 設A、B的坐標分別為（x1,y1）, （x2,y2）, 則x1,x2是方程①的兩根，x1＋x2＝. 　　由　消去y得. ………………② 因為C2的焦點在直線上，所以. 　或． 由上知，滿足條件的、存在，且或，． 解法二： 設A、B的坐標分別為，． 因為AB既過C1的右焦點，又過C2的焦點， 所以. 即. 　 ……① 由（Ⅰ）知，于是直線AB的斜率， ……② 且直線AB的方程是, 所以. ……③ 又因為，所以. ……④ 45．（湖南卷）已知橢圓C1：，拋物線C2：，且C1、C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點. （Ⅰ）當軸時，求p、m的值，并判斷拋物線C2的焦點是否在直線AB上； 　（Ⅱ）若且拋物線C2的焦點在直線AB上，求m的值及直線AB的方程. 解?。á瘢┊擜B⊥x軸時，點A、B關于x軸對稱，所以m＝0，直線AB的方程為 x=1，從而點A的坐標為（1，）或（1，－）. 因為點A在拋物線上，所以，即. 此時C2的焦點坐標為（，0），該焦點不在直線AB上. （Ⅱ）解法一　當C2的焦點在AB時，由（Ⅰ）知直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為. 由消去y得. ……① 設A、B的坐標分別為（x1,y1）, （x2,y2）, 則x1,x2是方程①的兩根，x1＋x2＝. 解法二　當C2的焦點在AB時，由（Ⅰ）知直線AB的斜率存在，設直線AB的方程 為. 由消去y得. 　　　　　　　 ……① 因為C2的焦點在直線上， 所以，即.代入①有. 即. ……② 設A、B的坐標分別為（x1,y1）, （x2,y2）, 則x1,x2是方程②的兩根，x1＋x2＝. 由消去y得. 　　……③ 解法三　設A、B的坐標分別為（x1,y1）, （x2,y2）, 因為AB既過C1的右焦點，又是過C2的焦點， 所以. 即. ……① 由（Ⅰ）知，于是直線AB的斜率，　　 ……② 且直線AB的方程是, 所以. ……③ 又因為，所以. ……④ 將①、②、③代入④得，即. 當時，直線AB的方程為； 當時，直線AB的方程為. 46．（江蘇卷）已知三點P（5，2）、（－6，0）、（6，0）. （Ⅰ）求以、為焦點且過點P的橢圓的標準方程； （Ⅱ）設點P、、關于直線y＝x的對稱點分別為、、，求以、為焦點且過點的雙曲線的標準方程。 本小題主要考查橢圓與雙曲線的基本概念、標準方程、幾何性質等基礎知識和基本運算能力。 O P A F B D x y 47．（江西卷）如圖，橢圓的右焦點為，過點的一動直線繞點轉動，并且交橢圓于 兩點，為線段的中點． （1）求點的軌跡的方程； （2）若在的方程中，令， ．設軌跡的最高點和最 低點分別為和．當為何值時，為一個正三角形？ 解：如圖，（1）設橢圓Q：（a>b>0） 上的點A（x1，y1）、B（x2，y2），又設P點坐標為P（x，y），則 1°當AB不垂直x軸時，x11x2， 由（1）－（2）得b2（x1－x2）2x＋a2（y1－y2）2y＝0 \b2x2＋a2y2－b2cx＝0…………（3） 2°當AB垂直于x軸時，點P即為點F，滿足方程（3） 故所求點P的軌跡方程為：b2x2＋a2y2－b2cx＝0 48．（遼寧卷）已知點,是拋物線上的兩個動點,是坐標原點,向量,滿足.設圓的方程為 (I) 證明線段是圓的直徑; (II)當圓C的圓心到直線X-2Y=0的距離的最小值為時，求P的值。 【解析】(I)證明1: 整理得: 設M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點,則 即 整理得: 故線段是圓的直徑 證明3: 整理得: ……(1) 以線段AB為直徑的圓的方程為 展開并將(1)代入得: 故線段是圓的直徑 (II)解法1:設圓C的圓心為C(x,y),則 又因 所以圓心的軌跡方程為 設圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則 當y=p時,d有最小值,由題設得 . 設直線x-2y+m=0到直線x-2y=0的距離為,則 因為x-2y+2=0與無公共點,所以當x-2y-2=0與僅有一個公共點時,該點到直線x-2y=0的距離最小值為 將(2)代入(3)得 解法3: 設圓C的圓心為C(x,y),則 圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則 又因 49．（遼寧卷）已知點是拋物線上的兩個動點，是坐標原點，向量滿足，設圓的方程為． （1）證明線段是圓的直徑； （2）當圓的圓心到直線的距離的最小值為時，求的值． 解析：本小題主要考查平面向量的基本運算，圓與拋物線的方程，點到直線的距離等基礎知識，以及綜合運用解析幾何知識解決問題的能力。 （I）證法一： 即 整理得......................12分 設點M（x,y）是以線段AB為直徑的圓上的任意一點，則 即 展開上式并將①代入得 故線段是圓的直徑。 證法二： 即， 整理得①……3分 若點在以線段為直徑的圓上，則 去分母得 點滿足上方程，展開并將①代入得 所以線段是圓的直徑. （Ⅱ）解法一：設圓的圓心為，則 ， 又 所以圓心的軌跡方程為： 設圓心到直線的距離為，則 當時，有最小值，由題設得\……14分 因為與無公共點. 所以當與僅有一個公共點時，該點到的距離最小，最小值為 將②代入③，有…………14分 解法三：設圓的圓心為，則 若圓心到直線的距離為，那么 又 當時，有最小值時，由題設得 50．（全國卷I）在平面直角坐標系中，有一個以和為焦點、離心率為的橢圓，設橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點P在C上，C在點P處的切線與軸的交點分別為A、B，且向量。求： （Ⅰ）點M的軌跡方程； （Ⅱ）的最小值。 51．（全國卷I）設P是橢圓短軸的一個端點，為橢圓上的一個動點，求的最大值。 解: 依題意可設P(0,1),Q(x,y),則 |PQ|=,又因為Q在橢圓上, 所以,x2=a2(1－y2) , |PQ|2= a2(1－y2)+y2－2y+1=(1－a2)y2－2y+1+a2 =(1－a2)(y－ )2－+1+a2 . 因為|y|≤1,a>1, 若a≥, 則||≤1, 當y=時, |PQ|取最大值; 若10) （2）直線ME的方程為 由得 同理可得 設重心G（x, y），則有 O A B P F 　 消去參數得 2．（江西卷）如圖，設拋物線的焦點為F，動點P在直線上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點. （1）求△APB的重心G的軌跡方程. （2）證明∠PFA=∠PFB. 解：（1）設切點A、B坐標分別為， ∴切線AP的方程為： 切線BP的方程為： 解得P點的坐標為： 所以△APB的重心G的坐標為 ， 所以，由點P在直線l上運動，從而得到重心G的軌跡方程為： 方法2：①當所以P點坐標為，則P點到直線AF的距離為： 即 所以P點到直線BF的距離為： 所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB. ②當時，直線AF的方程： 直線BF的方程： 所以P點到直線AF的距離為： 同理可得到P點到直線BF的距離，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB. 3. (重慶卷) 已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0)，右頂點為。 (1) 求雙曲線C的方程； (2) 若直線l：與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且(其中O為原點)，求k的取值范圍。 而 于是 ② 由①、②得 故k的取值范圍為 4. (重慶卷) 已知橢圓C1的方程為，雙曲線C2的左、右焦點分別為C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點。 (1) 求雙曲線C2的方程； (2) 若直線l：與橢圓C1及雙曲線C2恒有兩個不同的交點，且l與C2的兩個交點A和B滿足(其中O為原點)，求k的取值范圍。 解此不等式得 ③ 由①、②、③得 故k的取值范圍為 5. (浙江) 17．如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，長軸A1A2的長為4，左準線l與x軸的交點為M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1． (Ⅰ)求橢圓的方程； (Ⅱ)若直線l1：x＝m(|m|＞1)，P為l1上的動點，使∠F1PF2最大的點P記為Q，求點Q的坐標(用m表示)． （II）設P( 當時， 當時, 只需求的最大值即可。 直線的斜率，直線的斜率 當且僅當=時，最大， 6. （天津卷）拋物線C的方程為，過拋物線C上一點P(x0,y0)(x 0≠0)作斜率為k1,k2的兩條直線分別交拋物線C于A(x1,y1)B(x2,y2)兩點(P,A,B三點互不相同)，且滿足. （Ⅰ）求拋物線C的焦點坐標和準線方程； （Ⅱ）設直線AB上一點M，滿足，證明線段PM的中點在y軸上； （Ⅲ）當=1時，若點P的坐標為（1，-1），求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標的取值范圍. 設點的坐標為，由，則． 將③式和⑥式代入上式得，即． ∴線段的中點在軸上． （Ⅲ）因為點在拋物線上，所以，拋物線方程為． 由③式知，代入得． 將代入⑥式得，代入得． 因此，直線、分別與拋物線的交點、的坐標為 ，． 于是，， ． 因為鈍角且、、三點互不相同，故必有． 求得的取值范圍是或．又點的縱坐標滿足，故當時，；當時，．即 7. （上海）本題共有3個小題,第1小題滿分4分, 第2小題滿分6分, 第3小題滿分6分. 已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,A是拋物線上橫坐標為4、且位于x軸上方的點,A到拋物線準線的距離等于5,過A作AB垂直于y軸,垂足為B,OB的中點為M. (1)求拋物線方程; (2)過M作MN⊥FA, 垂足為N,求點N的坐標; (3)以M為圓心,MB為半徑作圓M.當K(m,0)是x軸上一動點時,丫討論直線AK與圓M的位置關系. 由題意得, ,圓M.的圓心是點(0,2), 半徑為2, 當m=4時, 直線AK的方程為x=4,此時,直線AK與圓M相離. 當m≠4時, 直線AK的方程為y=(x-m),即為4x-(4-m)y-4m=0, 圓心M(0,2)到直線AK的距離d=,令d>2,解得m>1 ∴當m>1時, AK與圓M相離; 當m=1時, AK與圓M相切; 當m<1時, AK與圓M相交. 8. （上海）點A、B分別是橢圓長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于軸上方，。 （1）求點P的坐標； （2）設M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點到點M的距離的最小值。 (2) 直線AP的方程是－+6=0. 設點M(,0),則M到直線AP的距離是. 于是=,又－6≤≤6,解得=2. 橢圓上的點(,)到點M的距離有 , 由于－6≤≤6, ∴當=時,d取得最小值 9. （山東卷）已知動圓過定點，且與直線相切，其中. （I）求動圓圓心的軌跡的方程； （II）設A、B是軌跡上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當變化且為定值時，證明直線恒過定點，并求出該定點的坐標. （1）當時，即時，所以，所以由①知：所以因此直線的方程可表示為，即所以直線恒過定點 （2）當時，由，得== 將①式代入上式整理化簡可得：，所以， 此時，直線的方程可表示為即 所以直線恒過定點 所以由（1）（2）知，當時，直線恒過定點，當時直線恒過定點. 10. (全國卷Ⅰ)）已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，與共線。 （Ⅰ）求橢圓的離心率； （Ⅱ）設M為橢圓上任意一點，且，證明為定值。 （II）證明：（1）知，所以橢圓可化為 設，由已知得 11. (全國卷Ⅰ) 已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，與共線. （1）求橢圓的離心率； （2）設M為橢圓上任意一點，且，證明為定值. 解：設橢圓方程為 則直線AB的方程為 化簡得. 令則 共線，得 又 ∴ ∴即，∴ ∴ 故離心率為 Q P N M F O 12. (全國卷II)、、、四點都在橢圓上，為橢圓在軸正半軸上的焦點．已知與共線，與共線，且．求四邊形的面積的最小值和最大值． 解：如圖，由條件知MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點F(0,1)，且PQ⊥MN，直線PQ、NM中至少有一條存在斜率，不妨設PQ的斜率為K，又PQ過點F(0,1)，故PQ的方程為=+1 將此式代入橢圓方程得(2+)+2－1=0 設P、Q兩點的坐標分別為(，)，(，)，則 從而 亦即 ②當=0時，MN為橢圓長軸，|MN|=2，|PQ|=?！郤=|PQ||MN|=2 綜合①②知四邊形PMQN的最大值為2，最小值為。 13．(全國卷III) 設兩點在拋物線上，是AB的垂直平分線， （Ⅰ）當且僅當取何值時，直線經過拋物線的焦點F？證明你的結論； （Ⅱ）當時，求直線的方程. 解：（Ⅰ）∵拋物線，即， ∴焦點為………………………………………………………1分 （1）直線的斜率不存在時，顯然有………………………………3分 （2）直線的斜率存在時，設為k，截距為b 即直線：y=kx+b 由已知得： ……………5分 ……………7分 即的斜率存在時，不可能經過焦點……………………………………8分 所以當且僅當=0時，直線經過拋物線的焦點F…………………………9分 14、(全國卷III) 設，兩點在拋物線上，是的垂直平分線。 （Ⅰ）當且僅當取何值時，直線經過拋物線的焦點？證明你的結論； （Ⅱ）當直線的斜率為2時，求在軸上截距的取值范圍。 21．解：（Ⅰ）兩點到拋物線的準線的距離相等， ∵拋物線的準線是軸的平行線，，依題意不同時為0 ∴上述條件等價于 ∵ ∴上述條件等價于 即當且僅當時，經過拋物線的焦點。 15.（遼寧卷）已知橢圓的左、右焦點分別是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動點，滿足點P是線段F1Q與該橢圓的交點，點T在線段F2Q上，并且滿足 （Ⅰ）設為點P的橫坐標，證明； （Ⅱ）求點T的軌跡C的方程； （Ⅲ）試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M， 使△F1MF2的面積S=若存在，求∠F1MF2 的正切值；若不存在，請說明理由. （Ⅰ）證法一：設點P的坐標為 由P在橢圓上，得 由，所以 ………………………3分 證法二：設點P的坐標為記 則 由 解法二：設點T的坐標為 當時，點（，0）和點（－，0）在軌跡上. 當|時，由，得. 又，所以T為線段F2Q的中點. 設點Q的坐標為（），則 因此 ① 由得 ② 將①代入②，可得 綜上所述，點T的軌跡C的方程是……………………7分 解法二：C上存在點M（）使S=的充要條件是 ③ ④ 由④得 上式代入③得 于是，當時，存在點M，使S=； 當時，不存在滿足條件的點M.………………………11分 當時，記， 由知，所以…………14分 16．（湖南卷）已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦點為F1、F2，離心率為e. 直線l：y＝ex＋a與x軸．y軸分別交于點A、B，M是直線l與橢圓C的一個公共點，P是點F1關于直線l的對稱點，設＝λ. （Ⅰ）證明：λ＝1－e2； （Ⅱ）若，△PF1F2的周長為6；寫出橢圓C的方程； （Ⅲ）確定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形. 證法二：因為A、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點，所以A、B的坐標分別是設M的坐標是 所以 因為點M在橢圓上，所以 即 解得 （Ⅱ）當時，，所以 由△MF1F2的周長為6，得 所以 橢圓方程為 （Ⅲ）解法一：因為PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 設點F1到l的距離為d，由 得 所以 即當△PF1F2為等腰三角形. 17．（湖南卷）已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦點為F1、F2，離心率為e. 直線l：y＝ex＋a與x軸．y軸分別交于點A、B，M是直線l與橢圓C的一個公共點，P是點F1關于直線l的對稱點，設＝λ. （Ⅰ）證明：λ＝1－e2； （Ⅱ）確定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形. （Ⅰ）證法一：因為A、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點，所以A、B的坐標分別是. 所以點M的坐標是（）. 由 即 （Ⅱ）解法一：因為PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 設點F1到l的距離為d，由 得 所以 即當△PF1F2為等腰三角形. 解法二：因為PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|， 設點P的坐標是， 則 由|PF1|=|F1F2|得 兩邊同時除以4a2，化簡得 從而 于是. 即當時，△PF1F2為等腰三角形. 18.．（湖北卷）設A、B是橢圓上的兩點，點N（1，3）是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點. （Ⅰ）確定的取值范圍，并求直線AB的方程； （Ⅱ）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點在同一個圓上？并說明理由. 解法2：設 依題意， （II）解法1：代入橢圓方程，整理得 ③ ③的兩根， 于是由弦長公式可得 ④ 故當時，A、B、C、D四點均在以M為圓心，為半徑的圓上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得： A、B、C、D共圓△ACD為直角三角形，A為直角 ⑧ 由⑥式知，⑧式左邊= 由④和⑦知，⑧式右邊= ∴⑧式成立，即A、B、C、D四點共圓 19. （福建卷）已知方向向量為的直線l過點（）和橢圓的焦點，且橢圓C的中心關于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上. （Ⅰ）求橢圓C的方程； （Ⅱ）是否存在過點E（－2，0）的直線m交橢圓C于點M、N，滿足cot ∠MON≠0（O為原點）.若存在，求直線m的方程；若不存在，請說明理由. （I）解法一：直線， ① 過原點垂直的直線方程為， ② 解①②得 ∵橢圓中心（0，0）關于直線的對稱點在橢圓C的右準線上， ∵直線過橢圓焦點，∴該焦點坐標為（2，0）. 故橢圓C的方程為 ③ （II）解法一：設M（），N（）. 當直線m不垂直軸時，直線代入③，整理得 點O到直線MN的距離 即 即 整理得 當直線m垂直x軸時，也滿足. 故直線m的方程為 或或 經檢驗上述直線均滿足. 所以所求直線方程為 或或 解法二：設M（），N（）. 當直線m不垂直軸時，直線代入③，整理得 ∵E（－2，0）是橢圓C的左焦點， ∴|MN|=|ME|+|NE| = 以下與解法一相同. ∴=，整理得 解得或 故直線m的方程為或或 經檢驗上述直線均滿足 所以所求直線方程為或或 20.（北京卷）如圖，直線 l1：y＝kx（k>0）與直線l2：y＝－kx之間的陰影區(qū)域（不含邊界）記為W，其左半部分記為W1，右半部分記為W2． （I）分別用不等式組表示W1和W2； （II）若區(qū)域W中的動點P(x，y)到l1，l2的距離之積等于d2，求點P的軌跡C的方程； （III）設不過原點O的直線l與（II）中的曲線C相交于M1，M2兩點，且與l1，l2分別交于M3，M4兩點．求證△OM1