高一數(shù)學(xué)(人教A版)必修2能力強化提升:4-2-3 直線與圓的方程的應(yīng)用
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一、選擇題 1.一輛卡車寬1.6m,要經(jīng)過一個半圓形隧道(半徑為3.6m)則這輛卡車的平頂車篷篷頂距地面高度不得超過( ) A.1.4m B.3.5m C.3.6m D.2.0m [答案] B [解析] 圓半徑OA=3.6,卡車寬1.6,∴AB=0.8, ∴弦心距OB=≈3.5. 2.與圓x2+y2-ax-2y+1=0關(guān)于直線x-y-1=0對稱的圓的方程是x2+y2-4x+3=0,則a=( ) A.0 B.1 C.2 D.3 [答案] C [解析] x2+y2-4x+3=0化為標準形式為(x-2)2+y2=1,圓心為(2,0), ∵(2,0)關(guān)于直線x-y-1=0對稱的點為(1,1), ∴x2+y2-ax-2y+1=0的圓心為(1,1). ∵x2+y2-ax-2y+1=0,即為(x-)2+(y-1)2=,圓心為(,1),∴=1,即a=2. 3.直線2x-y=0與圓C:(x-2)2+(y+1)2=9交于A、B兩點,則△ABC(C為圓心)的面積等于( ) A.2 B.2 C.4 D.4 [答案] A [解析] ∵圓心到直線的距離d==, ∴|AB|=2=4,∴S△ABC=×4×=2.. 4.點P是直線2x+y+10=0上的動點,直線PA、PB分別與圓x2+y2=4相切于A、B兩點,則四邊形PAOB(O為坐標原點)的面積的最小值等于( ) A.24 B.16 C.8 D.4 [答案] C [解析] ∵四邊形PAOB的面積S=2×|PA|×|OA|=2=2,∴當直線OP垂直直線2x+y+10=0時,其面積S最?。? 5.若直線ax+by=1與圓x2+y2=1相交,則點P(a,b)的位置是( ) A.在圓上 B.在圓外 C.在圓內(nèi) D.以上都不對 [答案] B [解析] 由<1,∴a2+b2>1. 6.(2008年山東高考題)已知圓的方程為x2+y2-6x-8y=0.設(shè)該圓過點(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積為( ) A.10 B.20 C.30 D.40 [答案] B [解析] 圓心坐標是(3,4),半徑是5,圓心到點(3,5)的距離為1,根據(jù)題意最短弦BD和最長弦(即圓的直徑)AC垂直,故最短弦的長為2=4,所以四邊形ABCD的面積為×AC×BD=×10×4=20. 7.方程=kx+2有唯一解,則實數(shù)k的范圍是( ) A.k=± B.k∈(-2,2) C.k<-2或k>2 D.k<-2或k>2或k=±3 [答案] D [解析] 由題意知,直線y=kx+2與半圓x2+y2=1(y≥0只有一個交點.結(jié)合圖形易得k<-2或k>2或k=±. 8.(拔高題)臺風中心從A地以每小時20 km的速度向東北方向移動,離臺風中心30 km內(nèi)的地區(qū)為危險地區(qū),城市B在A的正東40 km外,B城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間為( ) A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h [答案] B [解析] 建系后寫出直線和圓的方程,求得弦長為20千米,故處于危險區(qū)內(nèi)的時間為=1(h). 二、填空題 9.已知實數(shù)x,y滿足x2+y2-4x+1=0.則x-y的最大值和最小值分別是________和________. 的最大值和最小值分別是________和________. x2+y2的最大值和最小值分別是______和______. [答案] 2+,2-;1,-1;7+4,7-4 [解析] (1)設(shè)x-y=b則y=x-b與圓x2+y2-4x+1=0有公共點, 即≤,∴2-≤b≤2+ 故x-y最大值為2+,最小值為2- (2)設(shè)=k,則y=kx與x2+y2-4x+1=0 有公共點,即≤ ∴≤k≤,故最大值為,最小值為- (3)圓心(2,0)到原點距離為2,半徑r= 故(2-)2≤x2+y2≤(2+)2 由此x2+y2最大值為7+4,最小值為7-4. 10.如下圖所示,一座圓拱橋,當水面在某位置時,拱頂離水面2 m,水面寬12 m,當水面下降1 m后,水面寬為________m. [答案] 2 [解析] 如下圖所示,以圓拱拱頂為坐標原點,以過拱頂?shù)呢Q直直線為y軸,建立直角坐標系,設(shè)圓心為C,水面所在弦的端點為A,B,則由已知得A(6,-2),B(-6,-2). 設(shè)圓的半徑為r,則C(0,-r),即圓的方程為x2+(y+r)2=r2.?、? 將點A的坐標(6,-2)代入方程①,解得r=10. ∴圓的方程為x2+(y+10)2=100.?、? 當水面下降1 m后,可設(shè)點A′的坐標為(x0,-3)(x0>0),將A′的坐標(x0,-3)代入方程②,求得x0=.所以,水面下降1 m后,水面寬為2x0=2. 11.已知直線x-2y-3=0與圓(x-2)2+(y+3)2=9相交于E,F(xiàn)兩點,圓心為點C,則△CEF的面積等于________. [答案] 2 [解析] ∵圓心C(2,-3)到直線的距離為d==,又R=3,∴|EF|=2=4. ∴S△CEF=|EF|·d=2. 12.若點P在直線l1:x+y+3=0上,過點P的直線l2與曲線C:(x-5)2+y2=16相切于點M,則|PM|的最小值________. [答案] 4 [解析] 曲線C:(x-5)2+y2=16是圓心為C(5,0),半徑為4的圓,連接CP,CM,則在△MPC中,CM⊥PM,則|PM|==,當|PM|取最小值時,|CP|取最小值,又點P在直線l1上,則|CP|的最小值是點C到直線l1的距離,即|CP|的最小值為d==4,則|PM|的最小值為=4. 三、解答題 13.如圖所示,已知直線l的解析式是y=x-4,并且與x軸、y軸分別交于A,B兩點.一個半徑為1.5的圓C,圓心C從點(0,1.5)開始以每秒0.5個單位的速度沿著y軸向下運動,當圓C與直線l相切時,求該圓運動的時間. [解析] 設(shè)運動的時間為t s,則t s后圓心的坐標為(0,1.5-0.5t). ∵圓C與直線l:y=x-4,即4x-3y-12=0相切,∴=1.5. 解得t=6或16. 即該圓運動的時間為6 s或16 s. 14.設(shè)有一個半徑為3 km的圓形村落,甲、乙兩人同時從村落中心出發(fā),甲向東,而乙向北前進,甲出村后不久,改變前進方向.沿著相切于村落邊界的方向前進,后來恰好與乙相遇,設(shè)甲、乙兩人的速度都一定,其比為3:1,此二人在何處相遇? [解析] 如圖,以村落中心為坐標原點,以東西方向為x軸,南北方向為y軸建立直角坐標系.設(shè)甲向東走到D轉(zhuǎn)向到C恰好與乙相遇.設(shè)D,C兩點的坐標分別為(a,0),(0,b),其中a>3,b>3,則CD方程為+=1.設(shè)乙的速度為v,則甲的速度為3v.依題意,得解得∴乙向北走3.75 km時兩人相遇. 15.某圓拱橋的示意圖如下圖所示,該圓拱的跨度AB是36 m,拱高OP是6 m,在建造時,每隔3 m需用一個支柱支撐,求支柱A2P2的長.(精確到0.01 m) [分析] 建系→求點的坐標→求圓的方程→求A2P2的長 [解析] 如圖,以線段AB所在的直線為x軸,線段AB的中點O為坐標原點建立平面直角坐標系,那么點A,B,P的坐標分別為(-18,0),(18,0),(0,6). 設(shè)圓拱所在的圓的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0. 因為A,B,P在此圓上,故有 解得 故圓拱所在的圓的方程是x2+y2+48y-324=0. 將點P2的橫坐標x=6代入上式,解得 y=-24+12. 答:支柱A2P2的長約為12-24. [點評] 在實際問題中,遇到有關(guān)直線和圓的問題,通常建立坐標系,利用坐標法解決.建立適當?shù)闹苯亲鴺讼祽?yīng)遵循三點:①若曲線是軸對稱圖形,則可選它的對稱軸為坐標軸;②常選特殊點作為直角坐標系的原點;盡量使已知點位于坐標軸上.建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?,會簡化運算過程. 16.如圖,直角△ABC的斜邊長為定值2m,以斜邊的中點O為圓心作半徑為n的圓,直線BC交圓于P、Q兩點,求證:|AP|2+|AQ|2+|PQ|2為定值. [證明] 如上圖,以O(shè)為坐標原點,以直線BC為x軸,建立平面直角坐標系,于是有B(-m,0),C(m,0),P(-n,0),Q(n,0). 設(shè)A(x,y),由已知,點A在圓x2+y2=m2上. |AP|2+|AQ|2+|PQ|2 =(x+n)2+y2+(x-n)2+y2+4n2 =2x2+2y2+6n2=2m2+6n2(定值).- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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