隨機變量的數字特征ppt課件

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第四章 隨機變量的數字特征,§4.1 數學期望,2,§4.1 數學期望,布萊士·帕斯卡,兩個賭徒甲、乙向他提出了一個問題：甲乙兩個人賭博，兩人獲勝的機率相等，約定誰先贏滿5局，誰就獲得100法郎。甲贏了4局，乙贏了3局，時間很晚了，他們都不想再賭下去了。那么，這個錢應該怎么分？,甲的期望所得值就是0×0.25+100×0.75=75 乙的期望所得值就是0×0.75+100×0.25=25,一、數學期望的由來,設X為甲獲得的法郎，Y為乙獲得的法郎,3,§4.1 數學期望,二、離散型隨機變量的數學期望,定義：設離散型隨機變量X的分布律為 P(X=xk) =pk, k=1,2,… 若級數 絕對收斂，則稱級數 為隨機 變量X的數學期望，記為E(X),即,4,§4.1 數學期望,關于定義的幾點說明,(1) E(X)是一個實數,而非變量,它是一種加權平均,與一般的算術平均值不同 , 它從本質上體現了隨機變量 X 取可能值的真正的平均值, 也稱均值.,(2) 級數的絕對收斂性保證了級數的和不隨級數各項次序的改變而改變 , 之所以這樣要求是因為數學期望是反映隨機變量X 取可能值的平均值,它不應隨可能值的排列次序而改變.,5,§4.1 數學期望,例1：設有10個同種電子元件，其中2個廢品。裝配儀器時，從這10個中任取1個，若是廢品，扔掉后重取1只，求在取到正品之前已取出的廢品數X的期望。,解：X的分布律為：,,,,,,6,§4.1 數學期望,例2：某車站每天8:00—9:00,9:00—10:00都恰有一輛客車到站，但到站的時刻是隨機的，且兩者到站的時間相互獨立。其規(guī)律為 一旅客8:20到車站，求他候車時間的數學期望。,,,8:10 8:30 8:50 到站時刻 9:10 9:30 9:50 概率,7,§4.1 數學期望,例3：,8,,,§4.1 數學期望,三、連續(xù)型隨機變量的數學期望,9,§4.1 數學期望,例4：,10,例5：設X的概率密度為 求 解：,§4.1 數學期望,11,§4.1 數學期望,幾種重要分布的數學期望,12,§4.1 數學期望,四、隨機變量函數的數學期望,1. 離散型隨機變量函數的數學期望,若 Y=g(X), 且,則有,13,§4.1 數學期望,例6 設,X,-2 0 2,0.4 0.3 0.3,P,則 E(X)=-2×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2,E(X 2)=(-2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8,E(3X 2+5)= 3E(X 2) +5=13.4（思考）,14,§4.1 數學期望,2. 連續(xù)型隨機變量函數的數學期望,若 X 是連續(xù)型r.v, 其密度為 f (x) , 則g(X)的期望為,15,例7：,§4.1 數學期望,16,,,§4.1 數學期望,1. 設 C 是常數, 則有,證明,2. 設 X 是一個隨機變量,C 是常數, 則有,證明,例如,五、數學期望的性質,17,,,§4.1 數學期望,4. 設 X, Y 是相互獨立的隨機變量, 則有,3. 設 X, Y 是兩個隨機變量, 則有,一般地， E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y),18,數學期望是一個實數, 而非變量,它是一種加權平均, 與一般的平均值不同,它從本質上體現了隨機變量 X 取可能值的真正的平均值.,2. 數學期望的性質,§4.1 數學期望,六、小結,19,§4.2 方差,20,§4.2 方差,現有兩批燈泡，第一批燈泡壽命為:一半約950小時,另一半約1050小時,平均壽命為1000小時;第二批燈泡壽命為一半約1300小時,另一半約700小時,平均壽命為1000小時。 問題：哪批燈泡的質量更好？(質量更穩(wěn)定),單從平均壽命這一指標無法判斷，進一步考察燈泡壽命X與均值1000小時的偏離程度。,21,§4.2 方差,一、 方差的定義,1、方差是一個特殊的函數 g(X) =[X-E(X)]2 的期望； 2、方差用來度量隨機變量與其數學期望（即均值） 的偏離程度。,22,§4.2 方差,離散型隨機變量的方差,連續(xù)型隨機變量的方差,二、方差的計算,(1) 利用定義計算,23,§4.2 方差,證明,(2) 利用公式計算,24,§4.2 方差,證明,三、方差的性質,(1) 設 C 是常數, 則有,(2) 設 X 是一個隨機變量, C 是常數, 則有,證明,25,§4.2 方差,(3) 設 X, Y 相互獨立, D(X), D(Y) 存在, 則,證明,注：相互獨立時，乘積的期望等于期望的乘積。,26,,§4.2 方差,綜上：設 X, Y 相互獨立, E(X),E(Y),D(X), D(Y) 存在, a,b,c是常數,則,,注意：對任意的隨機變量X、Y都有 E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y),27,例1：設隨機變量X具有0-1分布，其分布律為：,解：,§4.2 方差,28,§4.2 方差,例2：,解：,29,§4.2 方差,解,例3：,30,§4.2 方差,解,例4：,于是,31,§4.2 方差,解,例5：,32,§4.2 方差,33,§4.2 方差,34,§4.2 方差,35,§4.2 方差,契比雪夫不等式,36,§4.2 方差,,四、小結,1. 方差是一個常用來體現隨機變量 X 取值分散程度的量.,2. 方差的計算公式,37,