2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 概率 2.5.1 離散型隨機(jī)變量的均值課件 蘇教版選修2-3.ppt
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2.5.1離散型隨機(jī)變量的均值,第2章2.5隨機(jī)變量的均值和方差,,學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過實(shí)例理解離散型隨機(jī)變量均值的概念,能計(jì)算簡單離散型隨機(jī)變量的均值.2.理解離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì).3.掌握兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的均值.4.會利用離散型隨機(jī)變量的均值,反映離散型隨機(jī)變量的取值水平,解決一些相關(guān)的實(shí)際問題.,,題型探究,,問題導(dǎo)學(xué),內(nèi)容索引,,當(dāng)堂訓(xùn)練,,問題導(dǎo)學(xué),,知識點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望,設(shè)有12個(gè)西瓜,其中4個(gè)重5kg,3個(gè)重6kg,5個(gè)重7kg.,思考1,任取1個(gè)西瓜,用X表示這個(gè)西瓜的重量,試問X可以取哪些值?,答案,答案X=5,6,7.,思考2,當(dāng)X取上述值時(shí),對應(yīng)的概率分別是多少?,答案,思考3,如何求每個(gè)西瓜的平均重量?,答案,(1)數(shù)學(xué)期望:E(X)=μ=.(2)性質(zhì)①pi≥0,i=1,2,…,n;②p1+p2+…+pn=1.(3)數(shù)學(xué)期望的含義:它反映了離散型隨機(jī)變量取值的.,離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望一般地,若離散型隨機(jī)變量X的概率分布如下表:,梳理,x1p1+x2p2+…+xnpn,平均水平,,知識點(diǎn)二兩點(diǎn)分布、超幾何分布、二項(xiàng)分布的均值,1.兩點(diǎn)分布:若X~0-1分布,則E(X)=.2.超幾何分布:若X~H(n,M,N),則E(X)=.3.二項(xiàng)分布:若X~B(n,p),則E(X)=.,p,np,,題型探究,命題角度1一般離散型隨機(jī)變量的均值例1某同學(xué)參加科普知識競賽,需回答三個(gè)問題,競賽規(guī)則規(guī)定:每題回答正確得100分,回答不正確得-100分,假設(shè)這名同學(xué)回答正確的概率均為0.8,且各題回答正確與否相互之間沒有影響.(1)求這名同學(xué)回答這三個(gè)問題的總得分X的概率分布和均值;,解答,,類型一離散型隨機(jī)變量的均值,解X的可能取值為-300,-100,100,300.P(X=-300)=0.23=0.008,,P(X=300)=0.83=0.512,所以X的概率分布如下表:,所以E(X)=(-300)0.008+(-100)0.096+1000.384+3000.512=180(分).,(2)求這名同學(xué)總得分不為負(fù)分(即X≥0)的概率.,解這名同學(xué)總得分不為負(fù)分的概率為P(X≥0)=P(X=100)+P(X=300)=0.384+0.512=0.896.,解答,求隨機(jī)變量X的均值的方法和步驟(1)理解隨機(jī)變量X的意義,寫出X所有可能的取值.(2)求出X取每個(gè)值的概率P(X=k).(3)寫出X的分布列.(4)利用均值的定義求E(X).,反思與感悟,跟蹤訓(xùn)練1在有獎(jiǎng)摸彩中,一期(發(fā)行10000張彩票為一期)有200個(gè)獎(jiǎng)品是5元,20個(gè)獎(jiǎng)品是25元,5個(gè)獎(jiǎng)品是100元.在不考慮獲利的前提下,一張彩票的合理價(jià)格是多少元?,解答,解設(shè)一張彩票的中獎(jiǎng)?lì)~為隨機(jī)變量X,顯然X的所有可能取值為0,5,25,100.依題意X的概率分布如下表:,=0.2,所以一張彩票的合理價(jià)格是0.2元.,命題角度2二項(xiàng)分布與兩點(diǎn)分布的均值例2某運(yùn)動員投籃命中率為p=0.6.(1)求投籃1次命中次數(shù)X的均值;,解投籃1次,命中次數(shù)X的概率分布如下表:,解答,則E(X)=0.6.,(2)求重復(fù)5次投籃,命中次數(shù)Y的均值.,解由題意知,重復(fù)5次投籃,命中次數(shù)Y服從二項(xiàng)分布,即Y~B(5,0.6),E(Y)=np=50.6=3.,解答,引申探究在重復(fù)5次投籃時(shí),命中次數(shù)為Y,隨機(jī)變量η=5Y+2.求E(η).,解E(η)=E(5Y+2)=5E(Y)+2=53+2=17.,解答,(1)常見的兩種分布的均值設(shè)p為一次試驗(yàn)中成功的概率,則①兩點(diǎn)分布E(X)=p;②二項(xiàng)分布E(X)=np.熟練應(yīng)用上述兩公式可大大減少運(yùn)算量,提高解題速度.(2)兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布辨析①相同點(diǎn):一次試驗(yàn)中要么發(fā)生要么不發(fā)生.②不同點(diǎn):a.隨機(jī)變量的取值不同,兩點(diǎn)分布隨機(jī)變量的取值為0,1,二項(xiàng)分布中隨機(jī)變量的取值X=0,1,2,…,n.b.試驗(yàn)次數(shù)不同,兩點(diǎn)分布一般只有一次試驗(yàn);二項(xiàng)分布則進(jìn)行n次試驗(yàn).,反思與感悟,跟蹤訓(xùn)練2根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料,某地車主購買甲種保險(xiǎn)的概率為0.5,購買乙種保險(xiǎn)但不購買甲種保險(xiǎn)的概率為0.3,設(shè)各車主購買保險(xiǎn)相互獨(dú)立.(1)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率;,解設(shè)該車主購買乙種保險(xiǎn)的概率為p,由題意知p(1-0.5)=0.3,解得p=0.6.設(shè)所求概率為P1,則P1=1-(1-0.5)(1-0.6)=0.8.故該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率為0.8.,解答,(2)X表示該地的100位車主中,甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購買的車主數(shù),求X的均值.,解每位車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購買的概率為(1-0.5)(1-0.6)=0.2.∴X~B(100,0.2),∴E(X)=1000.2=20.∴X的均值是20.,解答,命題角度3超幾何分布的均值例3一個(gè)口袋內(nèi)有n(n>3)個(gè)大小相同的球,其中有3個(gè)紅球和(n-3)個(gè)白球.已知從口袋中隨機(jī)取出一個(gè)球是紅球的概率是不放回地從口袋中隨機(jī)取出3個(gè)球,求取到白球的個(gè)數(shù)ξ的均值E(ξ).,解答,方法一白球的個(gè)數(shù)ξ可取0,1,2.,方法二取到白球的個(gè)數(shù)ξ服從參數(shù)為N=5,M=2,n=3的超幾何分布,,(1)超幾何分布模型一般地,在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中含有X件次品,則P(X=k)=k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.(2)超幾何分布均值的計(jì)算公式若一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列服從超幾何分布,則E(X)=,反思與感悟,跟蹤訓(xùn)練3設(shè)在15個(gè)同類型的零件中有2個(gè)次品,每次任取1個(gè),共取3次,并且每次取出后不再放回,若以X表示取出次品的個(gè)數(shù),求均值E(X).,解答,方法二由題意可知,X服從N=15,M=2,n=3的超幾何分布,,例4甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽,其中兩人比賽,另一人當(dāng)裁判,每局比賽結(jié)束時(shí),負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判.設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立,第1局甲當(dāng)裁判.(1)求第4局甲當(dāng)裁判的概率;,解記A1表示事件“第2局結(jié)果為甲勝”,A2表示事件“第3局甲參加比賽,結(jié)果為甲負(fù)”,A表示事件“第4局甲當(dāng)裁判”.則A=A1A2.P(A)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=,,類型二均值的應(yīng)用,解答,(2)X表示前4局中乙當(dāng)裁判的次數(shù),求X的均值.,解X的可能取值為0,1,2.記A3表示事件“第3局乙和丙比賽時(shí),結(jié)果為乙勝丙”,B1表示事件“第1局結(jié)果為乙勝丙”,B2表示事件“第2局乙和甲比賽時(shí),結(jié)果為乙勝甲”,B3表示事件“第3局乙參加比賽時(shí),結(jié)果為乙負(fù)”.,解答,解答此類題目,應(yīng)首先把實(shí)際問題概率模型化,然后利用有關(guān)概率的知識去分析相應(yīng)各事件可能性的大小,并列出概率分布表,最后利用有關(guān)的公式求出相應(yīng)的概率及均值.,反思與感悟,跟蹤訓(xùn)練4某商場舉行有獎(jiǎng)促銷活動,顧客購買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng),每次抽獎(jiǎng)都是從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中,各隨機(jī)摸出1個(gè)球,在摸出的2個(gè)球中,若都是紅球,則獲一等獎(jiǎng);若只有1個(gè)紅球,則獲二等獎(jiǎng);若沒有紅球,則不獲獎(jiǎng).(1)求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率;,解答,解記事件A1={從甲箱中摸出的1個(gè)球是紅球},A2={從乙箱中摸出的1個(gè)球是紅球},B1={顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)},B2={顧客抽獎(jiǎng)1次獲二等獎(jiǎng)},C={顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)}.,故所求概率為,(2)若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會,記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為X,求X的概率分布和均值.,解答,故X的概率分布如下表:,,當(dāng)堂訓(xùn)練,1.現(xiàn)有一個(gè)項(xiàng)目,對該項(xiàng)目每投資10萬元,一年后利潤是1.2萬元,1.18萬元,1.17萬元的概率分別為隨機(jī)變量X表示對此項(xiàng)目投資10萬元一年后的利潤,則X的均值為_____.,答案,2,3,4,1,解析,1.18,2,3,4,1,解析因?yàn)閄的所有可能取值為1.2,1.18,1.17,,所以X的概率分布如下表:,2.若p為非負(fù)實(shí)數(shù),隨機(jī)變量ξ的概率分布如下表:,答案,2,3,4,1,解析,則E(ξ)的最大值為___.,3.設(shè)隨機(jī)變量X~B(40,p),且E(X)=16,則p=____.,答案,2,3,4,1,解析,解析E(X)=np=40p=16,得p=0.4.,0.4,4.袋中有20個(gè)大小相同的球,其中記上0號的有10個(gè),記上n號的有n個(gè)(n=1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球,ξ表示所取球的標(biāo)號.(1)求ξ的概率分布、均值;,2,3,4,1,解答,解ξ的概率分布如下表:,(2)若η=aξ+4,E(η)=1,求a的值.,2,3,4,1,解答,規(guī)律與方法,1.求離散型隨機(jī)變量的均值的步驟(1)確定離散型隨機(jī)變量X的取值.(2)寫出分布列,并檢查分布列的正確與否.(3)根據(jù)公式寫出均值.2.若X、Y是兩個(gè)隨機(jī)變量,且Y=aX+b,則E(Y)=aE(X)+b;如果一個(gè)隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布或二項(xiàng)分布,可直接利用公式計(jì)算均值.,本課結(jié)束,- 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