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南昌航空大學(xué)科技學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文
基于斯托克斯的三維流動(dòng)混合：再次討論分區(qū)管混合器問(wèn)題
摘要——對(duì)速度場(chǎng)和所謂的分區(qū)管道混合器混合反應(yīng)進(jìn)行了研究。和以前使用的近似方案相比，一個(gè)從以前研究的具有相同物理模型入手的帶來(lái)更準(zhǔn)確的流量描述的精確分析方案正在發(fā)展中。另外，這些結(jié)果是根據(jù)更好的報(bào)道實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到的。
斯托克斯流動(dòng)/層流分布混合/靜態(tài)混合器
朗讀
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1.介紹
文章的目的是研究一個(gè)內(nèi)部無(wú)限長(zhǎng)，被內(nèi)壁劃分成一個(gè)順序排列的半圓形管道的圓管的三維蠕動(dòng)流。這樣一個(gè)系統(tǒng)，稱為'分區(qū)管混頻器（PPM），是由Khakhar等人引進(jìn)的。 [1]作為樣機(jī)模型廣泛使用在Kenics靜態(tài)混合器。
在Kenics混合器中每個(gè)元素是一個(gè)螺旋，扭曲180?的金屬板;元素排列在圓管的軸向上，使元素的領(lǐng)先優(yōu)勢(shì)相對(duì)前一個(gè)是沿直角的。流體動(dòng)力學(xué)計(jì)算工具使這種三維流動(dòng)數(shù)值模擬簡(jiǎn)單可行（Avalosse，Crochet[3]，Hobbs和Muzzio[4]，Hobbs等人）。然而，這樣做需要大量的模擬計(jì)算資源，尤其是在研究不同的攪拌工藝參數(shù)的影響。因此，簡(jiǎn)化分析模型，即給出了模擬的過(guò)程快的可能性（或模仿其功能密切就夠了），也仍然是有用的。.
這種本質(zhì)上的三維流PPM模式是高度理想化，但保留了正在研究流動(dòng)的主要特征。在每一個(gè)半圓形軸向風(fēng)道，該模型包括兩個(gè)疊加，獨(dú)立，二維流場(chǎng)：一橫截面（旋轉(zhuǎn)）的速度場(chǎng)和一個(gè)全面發(fā)展的Poiseuille。在這里給了兩個(gè)獨(dú)立的二維邊界問(wèn)題，而不是三維問(wèn)題的。由Khakhar等人提出的解決方案。 [1]的橫截面速度場(chǎng)只是一個(gè)近似的。然而在一個(gè)封閉的形式下，存在一個(gè)'精確'分析解決方案。
在本論文中，我們利用這些精確的解決方案對(duì)這個(gè)三維混合機(jī)的混合性能就行審查。在一些混合模式下的重要區(qū)別已經(jīng)得到了，而且我們的結(jié)果更接近可用的Kusch和Ottino[6]的 實(shí)驗(yàn)結(jié)果。
2.PPM的速度領(lǐng)域
考慮一個(gè)0≤ r ≤a, 0≤θ≤2π, |z| < ∞內(nèi)部的無(wú)限缸體，，這里面包含一個(gè)
剛性矩形板的長(zhǎng)度為L(zhǎng)的序列（見，例如,Ottino [7] 圖6.2）。鄰近板塊相互正交放置，即0 ≤r ≤a,，θ= 0，π，2kL ≤ z ≤（2k+ 1）L和0≤r≤a, θ =π/2,3π/2,(2k+1)L≤z≤(2k+2)L,其中k = 0，± 1，± 2，。 所有半圓形管道流動(dòng)是由一個(gè)恒定的壓力梯度?p /?z和圓柱墻? =一內(nèi)壁保持不變恒定速度V的勻速轉(zhuǎn)動(dòng) 感應(yīng)得到的。遵循Khakhar [1]，我們假設(shè)在每一個(gè)橫截面軸向速度是充分發(fā)展的（忽略兩個(gè)板塊之間的過(guò)渡效果）并且橫截面速度vr和V，正如他們將一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的半圓形管道。在斯托克斯近似零組件虛擬現(xiàn)實(shí)穩(wěn)定的速度場(chǎng)vr , V，和vz，是從兩個(gè)解耦合的獨(dú)立的兩維問(wèn)題定義的
在每個(gè)半圓形每一個(gè)領(lǐng)域。在這里，△代表拉普拉斯算子站極坐標(biāo)，μ代表流體粘度，而ψ（r，θ）代表相關(guān)的截面流流功能
我們認(rèn)為在下面的'基本'范圍 0≤r≤a, 0≤ θ≤π, 0 ≤z≤ L;其他領(lǐng)域的解決方案，可簡(jiǎn)單的從這個(gè)基本之一獲得。就無(wú)滑移邊界條件而言，ψ和Vz是
并且
對(duì)于式（1）和（2），是各自（獨(dú)立）的。
雙諧波問(wèn)題（1），（4）存在一個(gè)確切的解析解：
可通過(guò)以下方式獲得。
讓我們介紹下雙極坐標(biāo)系（ξ，η），這樣的坐標(biāo)的兩極都在位于x軸的點(diǎn)（± a，0）上：
三維Stokes流動(dòng)混合 785
這樣
當(dāng)a/J =coshη-cosξ， 1 / J的數(shù)量在這個(gè)直角坐標(biāo)系是第一個(gè)不同的Lame參數(shù)。這個(gè)支持二維雙調(diào)和方程式的系統(tǒng)首次采用在Joukowski[8];看到Joukowski和Chaplygin[9] 適用于 這個(gè)問(wèn)題的偏心Stokes流動(dòng)的精確解。
由極坐標(biāo)中的0≤r ≤a, 0≤θ≤π的半圓改變?yōu)殡p極坐標(biāo)的-∞≤η≤∞,π/2
≤ξ≤π。雙調(diào)和方程式（1），必須符合在雙極坐標(biāo)中的流函數(shù)ψ，可寫為
對(duì)于輔助函數(shù) Ψ=ψ/J
通過(guò)等式的方法
（其中nξ是指直線ξ=常數(shù)的外部標(biāo)準(zhǔn)），我們可以根據(jù)Ψ用形式表示邊界條件（3）為
通過(guò)選擇等式9的解決方案
我們能滿足所有邊界條件（11），并且假設(shè)常量的A,B,C,D的值是
通過(guò)以下等式將（12）中的Ψ(ξ)代回到流函數(shù)ψ（r，θ）
經(jīng)過(guò)一番簡(jiǎn)化，我們歸結(jié)到表達(dá)式（6）。
流函數(shù)ψ逼近點(diǎn)（a，0）的特征可以從等式6擴(kuò)張為現(xiàn)有的x =a-ρsinχ, y =ρcosχ的極坐標(biāo)（）中的泰勒級(jí)數(shù) 中獲得ρ的第一象限長(zhǎng)度是
圖1。（a）的流線圖案（流函數(shù)輪廓圖）分析解決方案（6）并且把（b）叫做一個(gè)近似的解決方案（16）。輪廓線與在兩個(gè)平面圖中相同的階段是等距離的。在（b）中的虛線代表輪廓，而在（a）中是不存在的。
對(duì)于ρ>0，0≤χ≤π/2的水平平面（古德爾[10]，泰勒[11]），隨著不變的常量速度- V應(yīng)用在平面χ=0上，類似于刮的方案
圖1（a）顯示了流函數(shù)（6）外形的水平高度。截面流量在一個(gè)橢圓形停滯點(diǎn)（0.636a，π/ 2）處呈現(xiàn)出單渦旋細(xì)胞。
以往的研究（Khakhar等。[1]，Ottino[7]）暗示了近似一個(gè)條件的關(guān)于邊界問(wèn)題（1），（4）的解決辦法：
已經(jīng)靠一個(gè)變分法獲得它。然而這個(gè)表達(dá)式（16）不能同時(shí)滿足支配性雙調(diào)和方程（1）在移動(dòng)邊界無(wú)滑移條件！原來(lái)，在邊界r=a處的切向速度變化為（4 / 3）Vsin2θ,而不是恒定V。因此，在一些地區(qū)遠(yuǎn)離平面邊界，速度被高估了（高達(dá)33％，在圓形邊界），它是人為地平滑接近近角。根據(jù)一個(gè)長(zhǎng)遠(yuǎn)的解決辦法（16），流函數(shù)輪廓的劃分圖呈現(xiàn)在圖1（b）中。
充分成熟的關(guān)于一個(gè)半圓導(dǎo)管的軸向流邊界問(wèn)題（2），（5）顯示（Ottino[7]）
其中
是平均軸向速度。使用簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)換和無(wú)窮總結(jié)表（Prudnikov等人 [12]），我們可以提出在一個(gè)封閉形式下的表達(dá)（17）：
這對(duì)于在平流過(guò)程的數(shù)值模擬可取。值得一提的是，被Khakhar等人使用的條款[1]的第一個(gè)（17）的三極限無(wú)窮求和以及Ottino[7]提供的最大只有幾個(gè)百分點(diǎn)的精度的誤差（相對(duì)于'精確'表達(dá)式（18））。
圖2。等高線圖的軸向速度的Vz：實(shí)線對(duì)應(yīng)的確切表達(dá)式（18），虛線對(duì)應(yīng)于表達(dá)式（17）三個(gè)方面的近似值
在圖2中由（18）定義的Vz的輪廓線，顯示為實(shí)線，而三極限（17）近似相同的輪廓由虛線繪制。盡管這種近似的輪廓形狀很相似，但是平均流速vz差異量高達(dá)7%，其中一個(gè)最大速度vz離角點(diǎn)不遠(yuǎn)，所以vz是被低估了?？梢栽黾樱?7）的項(xiàng)數(shù)至一百，降低相對(duì)誤差到小于0.005％，但是，像這樣模擬被動(dòng)追蹤物的水平流動(dòng)會(huì)花掉更多的計(jì)算機(jī)時(shí)間。
3。PPM混沌混合
由平流方程描述的一個(gè)被動(dòng)的個(gè)體（拉格朗日）粒子的運(yùn)動(dòng)。
與右手邊由速度場(chǎng)（6）和（18）定義的（19）。當(dāng)t=0時(shí)初始條件為
r= R0的，θ=θ0和z=0。
這里定義變量φ顯然是
其中k=0，±1，±2，。 。 。 。
? 系統(tǒng)（19）描述了沿每個(gè)流線區(qū)間的單個(gè)粒子穩(wěn)定的動(dòng)作。然而，由于流動(dòng)是三維和空間周期性的，它可以表現(xiàn)為混亂行為（Aref【5.4部分的13】）。在Khakhar[1]以及其他人中，單個(gè)無(wú)量綱參數(shù)，混合強(qiáng)度，
混合強(qiáng)度被提出給了完整描述這樣一個(gè)表現(xiàn)的系統(tǒng)。雖然參數(shù)γ沒(méi)有精確解（6）的特殊意義，但是β值是用來(lái)比較我們包含那些文獻(xiàn)的結(jié)果。
龐加萊映射是應(yīng)用于揭示規(guī)則與混沌運(yùn)動(dòng)區(qū)域的。龐加萊映射是通過(guò)采取在水平面Z = 0的初始點(diǎn)（r0，0）并記錄交叉坐標(biāo)常角軌道Zn= 2nL，n = 0，± 1，± 2。 。 。 。
幾個(gè)值為β的龐加萊映射是同時(shí)使用近似精確解計(jì)算和分析的。在這里，我們介紹的一個(gè)單一出發(fā)點(diǎn)的龐加萊映射被選在了混亂的區(qū)域（圖3）選擇的地圖。在平面圖的白色區(qū)域?qū)?yīng)于島狀物。這些島狀物的邊界是用細(xì)實(shí)線繪制的。
龐加萊映射島狀物相應(yīng)于流動(dòng)的Kolmogorov–Arnold–Moser (KAM) 管。在這樣一個(gè)管里捕獲的流體將只能在里面移動(dòng)，不與外管中的其余流體混合。這個(gè)混KAM管的影響，相比混合器的總流量，可以描繪為通過(guò)軟管的相對(duì)流量。因此，對(duì)于兩個(gè)島狀物的通過(guò)KAM管搬運(yùn)的面積和流量是可進(jìn)行評(píng)估的。流量可以計(jì)算看做在島狀物面積上v2的積分，或者作為一個(gè)島狀物的輪廓邊界通過(guò)斯托克斯定理積分。
圖3（a）和3（b）呈現(xiàn)了β= 4龐加萊映射。對(duì)于近似解的八個(gè)最大的島嶼是清晰可見（圖3（a））。他們占據(jù)了約49％橫截面積并且包含約55％的總流量。確切的解決方案提供了一個(gè)完全不同的群島系統(tǒng)（圖3（b））。他們的影響是相當(dāng)?shù)偷?，因?yàn)樗鼈冎徽技s13％的面積，并承擔(dān)總流量的18％。
對(duì)于混合強(qiáng)度為β的大量實(shí)用性的不同就開始變得更強(qiáng)了。圖3（c）和3（d）代表β= 8時(shí)的情況。該近似解提供了兩個(gè)占據(jù)約13%截面（見圖3（c）），承擔(dān)總流量的18％的島狀物，同時(shí)群島的精確解（圖3（d））揭示了只占約0.7％的斷面面積。通過(guò)KAM管總數(shù),在這種情況下的相對(duì)流量約只有1％的總流量。
在這兩個(gè)例子中介紹了KAM管橫截面總面積明顯較小時(shí)使用的精確解。由于兩個(gè)近似和精確的解是以相同的簡(jiǎn)化模型的PPM為基礎(chǔ)，i.e.忽略了在混和器元素的結(jié)合處的過(guò)渡影響，計(jì)算出的KAM管的形狀，應(yīng)持一點(diǎn)保留態(tài)度。通過(guò)這些管道的相對(duì)的截面和相對(duì)流量是非常適當(dāng)?shù)模⑶宜麄兛梢越o出一個(gè)實(shí)用的實(shí)際流動(dòng)價(jià)值標(biāo)準(zhǔn)的估計(jì)值。
條紋線可作為一種表征混合和可視化基礎(chǔ)的混合機(jī)械裝置的工具。Kusch和Ottino [6]指出，從創(chuàng)始的KAM管的橫截面計(jì)算條紋線，遠(yuǎn)比實(shí)驗(yàn)觀察得到的不同。對(duì)計(jì)算的β= 8.0的條紋線和實(shí)驗(yàn)獲得的β=10.0 ± 0.3結(jié)果進(jìn)行了比較至少有些相似。他們指出，PPM模式難以接近地模仿實(shí)驗(yàn)結(jié)果（由于劃分的板塊比小半徑管長(zhǎng)度要短）。然而，采用修正速度場(chǎng)進(jìn)行的數(shù)值模擬的結(jié)果（6），（18）和β值給出一個(gè)更好的一致。圖3（e）和3（f）顯示了β= 10的同時(shí)使用解決方案的龐加萊映射。在圖3（f）中周期2的兩島狀物的大致輪廓是用實(shí)線繪制的。這些輪廓被用來(lái)揭示相應(yīng)的KAM管的形狀（參見圖4（c））。封閉多邊形描繪的輪廓和通過(guò)4個(gè)混合元素的數(shù)字追蹤而來(lái)的這些多邊形的至高點(diǎn)，顯示了KAM管外邊界。另外兩張?jiān)趫D4中的圖像代表圖像的數(shù)值（a）和實(shí)驗(yàn)（b）分別來(lái)自于Kusch和Ottino [6]的成果。對(duì)于實(shí)驗(yàn)結(jié)果的實(shí)際混合強(qiáng)度的值，是β= 10.0 ± 0.3，我們計(jì)算了KAM管
圖3。龐加萊映射分別地作為4種不同攪拌強(qiáng)度，β值=（（a）和（b）），β= 8（（c）和（d）段），β= 10（（e）和（f）段）的結(jié)果。圖片中左邊的列（（a），（c），（e）段）通過(guò)方案（16），（17）
采用近似解獲得，而在右列的通過(guò)精確的方案（6），（18）獲得。
圖4。對(duì)比（a）計(jì)算的（β= 8）和（b）實(shí)驗(yàn)性的（β= 10.0 ± 0.3）庫(kù)施和Ottino [6]的實(shí)驗(yàn)性的條紋線，計(jì)算PPM模式下的KAM管的混合強(qiáng)度參數(shù)β= 10.0（c）（圖像（a）及（b）是來(lái)自于許可轉(zhuǎn)載的劍橋大學(xué)出版社的論文圖9。）
以及形狀限制值β= 9.7，β= 10.3。鋼管的整體造型變化不大，混合強(qiáng)度的變化主要是管壁厚度的影響：它是較大的β參數(shù)，反之也一樣。
Kusch和Ottino [6]沒(méi)有明確指定條紋線可視化染料注射的位置。然而在KAM管外面注入染料一點(diǎn)點(diǎn)很容易發(fā)現(xiàn)，因?yàn)槿玖祥_始傳遍混合元素所以這是顯而易見的。為了說(shuō)明這一點(diǎn)，島的幾何中心周圍繪制了圓（參見圖3（f））。標(biāo)記是均勻分布在每個(gè)圓邊界，并通過(guò)四要素混合的PPM（兩個(gè)空間時(shí)間）進(jìn)行跟蹤。在圖5（a）中圓的半徑為0.03a，因此所有的標(biāo)記都定位在KAM管里。在圖5（b）中圓（半徑0.062a）觸及到管邊界。這種條紋線可以稍微變形，但仍完全在管內(nèi)抓獲。在圖5（c）中最初的圓比在圖3（f）中的島狀物稍大，因而標(biāo)記包含在KAM管外?？梢郧宄乜吹?，只要有短短四個(gè)混合細(xì)胞，標(biāo)志物就可以在整個(gè)管道截面蔓延。
使用近似數(shù)值解（16），（17）指引Kusch和Ottino [6]得到一個(gè)偉大差異的對(duì)于10 <β<4的情況下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果：實(shí)驗(yàn)顯示了非常穩(wěn)定KAM管，而計(jì)算顯示出了許多分支（比如，可見于他們的論文中的圖10（d））。但是使用相對(duì)簡(jiǎn)單穩(wěn)定結(jié)構(gòu)的精確方案（6），（18）卻被預(yù)測(cè)到了。例如，相對(duì)于一個(gè)比較大的β= 20混合強(qiáng)度，四個(gè)第一次序的KAM管被發(fā)現(xiàn)，但沒(méi)有發(fā)現(xiàn)2時(shí)期的KAM管。
圖5。這些標(biāo)記的痕跡，最初由規(guī)律地以時(shí)期2的到得幾何中心為中心空出不同半徑的圓。每個(gè)圓圈包含100個(gè)標(biāo)記。半徑是：（一）0.03a完全地再KAM管里面，（二）0.062a，觸摸到它的邊界，（三）0.08a – 劃定軟管邊界。
它們的管截面（并且因此，與他們相關(guān)的流量）相對(duì)較小。，不過(guò)這些周期性結(jié)構(gòu)穩(wěn)定。
4。結(jié)論
雖然正在研究的流動(dòng)僅僅是一個(gè)原型，但是它擁有廣泛使用的攪拌裝置流動(dòng)的一些重要特征。在同一模型框架獲得一個(gè)近似的比較和精確解，顯示了某些數(shù)學(xué)簡(jiǎn)化可能產(chǎn)生重大影響。這種簡(jiǎn)化在預(yù)測(cè)系統(tǒng)的行為上可能造成很大的差異，特別是對(duì)于那些應(yīng)該表現(xiàn)出的混沌性系統(tǒng)。在這里，由于使用（在以前的研究）了人為平滑的橫截面速度場(chǎng)一個(gè)長(zhǎng)期的近似解，在預(yù)測(cè)行為上就有差異。確切的解決方案顯示與已報(bào)道的實(shí)驗(yàn)結(jié)果能很好地一致。
當(dāng)然，存在的一個(gè)重要問(wèn)題就是在混合元件和忽視了這些過(guò)渡的發(fā)展流動(dòng)之間，有了突然的轉(zhuǎn)變。事實(shí)上最近的數(shù)值模擬結(jié)果（霍布斯等人[5]）表明，對(duì)于帶有螺紋的有限厚度的螺旋板的Kenics混合攪拌機(jī)，在入口和出口流動(dòng)的每個(gè)轉(zhuǎn)變?cè)囟紩?huì)強(qiáng)烈影響到一個(gè)以上元素長(zhǎng)度的速度場(chǎng)，這是一個(gè)重要的假設(shè)。
然而，從結(jié)果中呈現(xiàn)的——準(zhǔn)確描述了在混合流動(dòng)中哪怕是很小的變化也能顯著地改變系統(tǒng)整體混合反應(yīng)的速度區(qū)域的——重要性結(jié)論，仍然是適用真正的工業(yè)場(chǎng)合。
致謝
? 筆者要感謝授予了編號(hào)為EWT44.3453的荷蘭科技基金（STW）的支持。我們也感謝其中一個(gè)發(fā)表“在閉塞或不了解情況下參數(shù)化的使用計(jì)算機(jī)從而產(chǎn)生一個(gè)荒謬結(jié)果”觀點(diǎn)的證明人。