高中數(shù)學(xué) 第3章 統(tǒng)計(jì)案例 3_1_1 回歸分析 1_2 相關(guān)系數(shù) 1.3 可線性化的回歸分析學(xué)案 北師大版選修2-3

《高中數(shù)學(xué) 第3章 統(tǒng)計(jì)案例 3_1_1 回歸分析 1_2 相關(guān)系數(shù) 1.3 可線性化的回歸分析學(xué)案 北師大版選修2-3》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第3章 統(tǒng)計(jì)案例 3_1_1 回歸分析 1_2 相關(guān)系數(shù) 1.3 可線性化的回歸分析學(xué)案 北師大版選修2-3（18頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1.1　回歸分析 1.2　相關(guān)系數(shù) 1.3　可線性化的回歸分析 1．了解回歸分析的思想和方法．(重點(diǎn)) 2．掌握相關(guān)系數(shù)的計(jì)算和判斷線性相關(guān)的方法．(重點(diǎn)) 3．了解常見的非線性回歸模型轉(zhuǎn)化為線性回歸模型的方法．(難點(diǎn)) [基礎(chǔ)初探] 教材整理1　回歸分析 閱讀教材P73～P75，完成下列問題． 設(shè)變量y對(duì)x的線性回歸方程為y＝a＋bx，由最小二乘法知系數(shù)的計(jì)算公式為： b＝＝＝，a＝－b. 教材整理2　相關(guān)系數(shù) 閱讀教材P76～P78，完成下列問題． 1．相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算 假設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)據(jù)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，則變量間線性相關(guān)系數(shù) r＝＝ ＝. 2．相關(guān)系數(shù)r與線性相關(guān)程度的關(guān)系 (1)r的取值范圍為[－1,1]； (2)|r|值越大，誤差Q越小，變量之間的線性相關(guān)程度越高； (3)|r|值越接近0，誤差Q越大，變量之間的線性相關(guān)程度越低． 3．相關(guān)性的分類 (1)當(dāng)r>0時(shí)，兩個(gè)變量正相關(guān)； (2)當(dāng)r<0時(shí)，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)； (3)當(dāng)r＝0時(shí)，兩個(gè)變量線性不相關(guān)． 判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)r＞0，則兩個(gè)變量正相關(guān)．(　　) (2)兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)越大，它們的相關(guān)程度越強(qiáng)．(　　) (3)若兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，那么其回歸直線的斜率為負(fù)．(　　) 【答案】　(1)√　(2)　(3)√ 教材整理3　可線性化的回歸分析 閱讀教材P79～P82，完成下列問題． 1．非線性回歸分析 對(duì)不具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量做統(tǒng)計(jì)分析，通過變量代換，轉(zhuǎn)化為線性回歸模型． 2．非線性回歸方程 曲線 方程 曲線圖形 變換 公式 變換后的 線性函數(shù) y＝axb (a＝1，b＞0)(a＝1，b＜0) c＝ln a v＝ln x u＝ln y u＝c＋bv y＝aebx (a＞0，b＞0)(a＞0，b＜0) c＝ln a u＝ln y u＝c＋bx y＝ae (a＞0，b＞0)(a＞0，b＜0) c＝ln a v＝ u＝ln y u＝c＋bv y＝a＋ bln x (b＞0)　　(b＜0) v＝ln x u＝y(tǒng) u＝a＋bv 下列數(shù)據(jù)x，y符合哪一種函數(shù)模型(　　) x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 2 2.69 3 3.38 3.6 3.8 4 4.08 4.2 4.3 A.y＝2＋x　　　　　 B．y＝2ex C．y＝2e D．y＝2＋ln x 【解析】　分別將x的值代入解析式判斷知滿足y＝2＋ln x. 【答案】　D [質(zhì)疑手記] 預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：　 解惑：　 疑問2：　 解惑：　 [小組合作型] 變量間的相關(guān)關(guān)系及判定 　(1)對(duì)變量x，y有觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖311①，對(duì)變量u，v有觀測(cè)數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖②.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷(　　) 圖311 A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān) B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān) C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān) D．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān) (2)(2016上饒高二檢測(cè))兩個(gè)變量x，y與其線性相關(guān)系數(shù)r有下列說法： ①若r＞0，則x增大時(shí)，y也隨之相應(yīng)增大；②若r＜0，則x增大時(shí)，y也相應(yīng)增大；③若r＝1或r＝－1，則x與y的關(guān)系完全對(duì)應(yīng)(有函數(shù)關(guān)系)，在散點(diǎn)圖上各個(gè)散點(diǎn)均在一條直線上，其中正確的有(　　) A．①②　　 B．②③ C．①③ D．①②③ (3)有五組變量：①汽車的重量和汽車每消耗1升汽油所行駛的平均路程；②平均日學(xué)習(xí)時(shí)間和平均學(xué)習(xí)成績(jī)；③某人每日吸煙量和其身體健康情況；④正方形的邊長(zhǎng)和面積；⑤汽車的重量和百公里耗油量．其中兩個(gè)變量成正相關(guān)的是 (　　) A．①③ B．②④ C．②⑤ D．④⑤ 【精彩點(diǎn)撥】　可借助于線性相關(guān)概念及性質(zhì)作出判斷． 【自主解答】　(1)由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷，變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)，故選C. (2)根據(jù)兩個(gè)變量的相關(guān)性與其相關(guān)系數(shù)r之間的關(guān)系知，①③正確，②錯(cuò)誤，故選C. (3)其中①③成負(fù)相關(guān)關(guān)系，②⑤成正相關(guān)關(guān)系，④成函數(shù)關(guān)系，故選C. 【答案】　(1)C　(2)C　(3)C 1．線性相關(guān)系數(shù)是從數(shù)值上來判斷變量間的線性相關(guān)程度，是定量的方法．與散點(diǎn)圖相比較，線性相關(guān)系數(shù)要精細(xì)得多，需要注意的是線性相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值小，只是說明線性相關(guān)程度低，但不一定不相關(guān)，可能是非線性相關(guān)． 2．利用相關(guān)系數(shù)r來檢驗(yàn)線性相關(guān)顯著性水平時(shí)，通常與0.75作比較，若r>0.75，則線性相關(guān)較為顯著，否則為不顯著． [再練一題] 1．下列兩變量中具有相關(guān)關(guān)系的是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62690052】 A．正方體的體積與邊長(zhǎng) B．人的身高與體重 C．勻速行駛車輛的行駛距離與時(shí)間 D．球的半徑與體積 【解析】　選項(xiàng)A中正方體的體積為邊長(zhǎng)的立方，有固定的函數(shù)關(guān)系；選項(xiàng)C中勻速行駛車輛的行駛距離與時(shí)間成正比，也是函數(shù)關(guān)系；選項(xiàng)D中球的體積是π與半徑的立方相乘，有固定函數(shù)關(guān)系．只有選項(xiàng)B中人的身高與體重具有相關(guān)關(guān)系． 【答案】　B 求線性回歸方程 　(2016九江高二檢測(cè))某服裝商場(chǎng)為了了解毛衣的月銷售量y(件)與月平均氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4個(gè)月的月銷售量與當(dāng)月平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表： 月平均氣溫x(℃) 17 13 8 2 月銷售量y(件) 24 33 40 55 (1)算出線性回歸方程y＝bx＋a.(a，b精確到0.1) (2)氣象部門預(yù)測(cè)下個(gè)月的平均氣溫約為6 ℃，據(jù)此估計(jì)該商場(chǎng)下個(gè)月毛衣的銷售量． 【精彩點(diǎn)撥】　(1)可利用公式求解； (2)把月平均氣溫代入回歸方程求解． 【自主解答】　 (1)由散點(diǎn)圖易判斷y與x具有線性相關(guān)關(guān)系． ＝(17＋13＋8＋2)4＝10， ＝(24＋33＋40＋55)4＝38， xiyi＝1724＋1333＋840＋255＝1 267， x＝526， b＝ ＝ ≈－2.01， a＝－b≈38－(－2.01)10＝58.1， 所以線性回歸方程為y＝－2.0x＋58.1. (2)氣象部門預(yù)測(cè)下個(gè)月的平均氣溫約為6 ℃，據(jù)此估計(jì)，該商場(chǎng)下個(gè)月毛衣的銷售量為y＝－2.0 x＋58.1＝－2.06＋58.1≈46(件)． 1．回歸分析是定義在具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量基礎(chǔ)上的，因此，在作回歸分析時(shí)，要先判斷這兩個(gè)變量是否相關(guān)，利用散點(diǎn)圖可直觀地判斷兩個(gè)變量是否相關(guān)． 2．利用回歸直線，我們可以進(jìn)行預(yù)測(cè)．若回歸直線方程y＝a＋bx，則x＝x0處的估計(jì)值為y0＝a＋bx0. 3．線性回歸方程中的截距a和斜率b都是通過樣本估計(jì)而得到的，存在著誤差，這種誤差可能導(dǎo)致預(yù)報(bào)結(jié)果的偏差，所以由線性回歸方程給出的是一個(gè)預(yù)報(bào)值而非精確值． 4．回歸直線必過樣本點(diǎn)的中心點(diǎn)． [再練一題] 2．某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得下表數(shù)據(jù)： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 (1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖(要求：點(diǎn)要描粗)； (2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y＝bx＋a； (3)試根據(jù)求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)記憶力為9的同學(xué)的判斷力． 【解】　(1)如圖： (2) xiyi＝62＋83＋105＋126＝158， ＝＝9， ＝＝4， x＝62＋82＋102＋122＝344， b＝＝＝0.7， a＝－b＝4－0.79＝－2.3， 故線性回歸方程為y＝0.7x－2.3. (3)由(2)中線性回歸方程得當(dāng)x＝9時(shí)，y＝0.79－2.3＝4，預(yù)測(cè)記憶力為9的同學(xué)的判斷力約為4. [探究共研型] 可線性化的回歸分析 探究1　如何解答非線性回歸問題？ 【提示】　非線性回歸問題有時(shí)并不給出經(jīng)驗(yàn)公式．這時(shí)我們可以畫出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，把它與學(xué)過的各種函數(shù)(冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等)圖象作比較，挑選一種跟這些散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù)，然后采用適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q，把問題化為線性回歸分析問題，使之得到解決．其一般步驟為： 探究2　已知x和y之間的一組數(shù)據(jù)，則下列四個(gè)函數(shù)中，模擬效果最好的為哪一個(gè)？ x 1 2 3 y 3 5.99 12.01 ①y＝32x－1; ②y＝log2x； ③y＝4x; ④y＝x2. 【提示】　觀察散點(diǎn)圖中樣本點(diǎn)的分布規(guī)律可判斷樣本點(diǎn)分布在曲線y＝32x－1附近．所以模擬效果最好的為①. 　某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表： 身高x(cm) 60 70 80 90 100 110 體重y(kg) 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 身高x(cm) 120 130 140 150 160 170 體重y(kg) 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 (1)試建立y與x之間的回歸方程； (2)如果一名在校男生身高為168 cm，預(yù)測(cè)他的體重約為多少？ 【精彩點(diǎn)撥】　先由散點(diǎn)圖確定相應(yīng)的擬合模型，再通過對(duì)數(shù)變換將非線性相關(guān)轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)的兩個(gè)變量來求解． 【自主解答】　(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，如下： 由圖看出，這些點(diǎn)分布在某條指數(shù)型函數(shù)曲線y＝c1ec2x的周圍，于是令z＝ln y，列表如下： x 60 70 80 90 100 110 z 1.81 2.07 2.30 2.50 2.71 2.86 x 120 130 140 150 160 170 z 3.04 3.29 3.44 3.66 3.86 4.01 作出散點(diǎn)圖，如下： 由表中數(shù)據(jù)可求得z與x之間的回歸直線方程為＝0.693＋0.020x，則有y＝e0.693＋0.020x. (2)由(1)知，當(dāng)x＝168時(shí)，y＝e0.693＋0.020168≈57.57，所以在校男生身高為168 cm，預(yù)測(cè)他的體重約為57.57 kg. 兩個(gè)變量不具有線性關(guān)系，不能直接利用線性回歸方程建立兩個(gè)變量的關(guān)系，可以通過變換的方法轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，如y＝c1ec2x，我們可以通過對(duì)數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系，令z＝ln y，則變換后樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在直線z＝bx＋a(a＝ln c1，b＝c2)的周圍. [再練一題] 3．在一次抽樣調(diào)查中測(cè)得樣本的5個(gè)樣本點(diǎn)，數(shù)據(jù)如下表： x 0.25 0.5 1 2 4 y 16 12 5 2 1 試建立y與x之間的回歸方程． 【解】　作出變量y與x之間的散點(diǎn)圖如圖所示． 由圖可知變量y與x近似地呈反比例函數(shù)關(guān)系． 設(shè)y＝，令t＝，則y＝kt.由y與x的數(shù)據(jù)表可得y與t的數(shù)據(jù)表： t 4 2 1 0.5 0.25 y 16 12 5 2 1 作出y與t的散點(diǎn)圖如圖所示． 由圖可知y與t呈近似的線性相關(guān)關(guān)系． 又＝1.55，＝7.2，iyi＝94.25，＝21.312 5， b＝ ＝≈4.134 4， a＝－b＝7.2－4.134 41.55≈0.8， ∴y＝4.134 4t＋0.8. 所以y與x的回歸方程是y＝＋0.8. [構(gòu)建體系] 1．下列結(jié)論正確的是(　　) ①函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系；②相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系；③回歸分析是對(duì)具有函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種方法；④回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法． A．①②　　 B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【解析】　函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系的區(qū)別是前者是確定性關(guān)系，后者是非確定性關(guān)系，故①②正確；回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種方法，故③錯(cuò)誤，④正確． 【答案】　C 2．下表是x和y之間的一組數(shù)據(jù)，則y關(guān)于x的線性回歸方程必過點(diǎn)(　　) x 1 2 3 4 y 1 3 5 7 A.(2,3) B．(1.5,4) C．(2.5,4) D．(2.5,5) 【解析】　線性回歸方程必過樣本點(diǎn)的中心(，)， 即(2.5,4)，故選C. 【答案】　C 3．對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x和y，由測(cè)得的一組數(shù)據(jù)求得回歸直線的斜率為6.5，且恒過(2,3)點(diǎn)，則這條回歸直線的方程為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62690053】 【解析】　由題意知＝2，＝3，b＝6.5，所以a＝－b＝3－6.52＝－10，即回歸直線的方程為y＝－10＋6.5x. 【答案】　y＝－10＋6.5x 4．部門所屬的10個(gè)工業(yè)企業(yè)生產(chǎn)性固定資產(chǎn)價(jià)值與工業(yè)增加值資料如下表(單位：百萬元)： 固定資產(chǎn)價(jià)值 3 3 5 6 6 7 8 9 9 10 工業(yè)增加值 15 17 25 28 30 36 37 42 40 45 根據(jù)上表資料計(jì)算的相關(guān)系數(shù)為________． 【解析】　＝＝6.6. ＝＝31.5. ∴r＝＝0.991 8. 【答案】　0.991 8 5．某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)： 單價(jià)x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 銷量y(件) 90 84 83 80 75 68 (1)求回歸直線方程y＝bx＋a，其中b＝－20，a＝－b； (2)預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷量與單價(jià)仍然服從(1)中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？(利潤＝銷售收入－成本) 【解】　(1)＝(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5， ＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80， ∵b＝－20，a＝－b， ∴a＝80＋208.5＝250， ∴回歸直線方程為y＝－20x＋250. (2)設(shè)工廠獲得的利潤為L(zhǎng)元，則L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－202＋361.25， ∴該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為元時(shí)，工廠獲得的利潤最大． 我還有這些不足： (1)　 (2)　 我的課下提升方案： (1)　 (2)　 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng) (建議用時(shí)：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．為了考查兩個(gè)變量x和y之間的線性相關(guān)性，甲、乙兩名同學(xué)各自獨(dú)立地做了10次試驗(yàn)和15次試驗(yàn)，并且利用線性回歸方法，求得回歸直線分別為l1和l2.已知兩個(gè)人在試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)對(duì)變量x的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)都為s，對(duì)變量y的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)都為t，那么下列說法中正確的是(　　) A．直線l1和l2都過點(diǎn)(s，t) B．直線l1和l2相交，但交點(diǎn)不一定是(s，t) C．直線l1和l2必平行 D．直線l1和l2必重合 【解析】　線性回歸方程y＝bx＋a恒過點(diǎn)(，)，故直線l1和l2都過點(diǎn)(s，t)． 【答案】　A 2．已知人的年齡x與人體脂肪含量的百分?jǐn)?shù)y的回歸方程為y＝0.577x－0.448，如果某人36歲，那么這個(gè)人的脂肪含量(　　) A．一定是20.3% B．在20.3%附近的可能性比較大 C．無任何參考數(shù)據(jù) D．以上解釋都無道理 【解析】　將x＝36代入回歸方程得y＝0.57736－0.448≈20.3.由回歸分析的意義知，這個(gè)人的脂肪含量在20.3%附近的可能性較大，故選B. 【答案】　B 3．關(guān)于回歸分析，下列說法錯(cuò)誤的是(　　) A．回歸分析是研究?jī)蓚€(gè)具有相關(guān)關(guān)系的變量的方法 B．線性相關(guān)系數(shù)可以是正的或負(fù)的 C．回歸模型中一定存在隨機(jī)誤差 D．散點(diǎn)圖表明確反映變量間的關(guān)系 【解析】　用散點(diǎn)圖反映兩個(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，存在誤差，故D錯(cuò)誤． 【答案】　D 4．某學(xué)校開展研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，某同學(xué)獲得一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表： x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 對(duì)于表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出下列擬合曲線，其中擬合程度最好的是(　　) A．y＝2x－2　　　　 B．y＝x C．y＝log2x D．y＝(x2－1) 【解析】　代入檢驗(yàn)，當(dāng)x取相應(yīng)的值時(shí)，所得y值與已知數(shù)據(jù)差的平方和最小的便是擬合程度最高的． 【答案】　D 5．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表： 廣告費(fèi)用x(萬元) 4 2 3 5 銷售額y(萬元) 49 26 39 54 根據(jù)上表可得回歸方程y＝bx＋a中的b為9.4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為(　　) A．63.6萬元 B．65.5萬元 C．67.7萬元 D．72.0萬元 【解析】　樣本點(diǎn)的中心是(3.5,42)，則a＝－b＝42－9.43.5＝9.1，所以回歸直線方程是y＝9.4x＋9.1，把x＝6代入得y＝65.5. 【答案】　B 二、填空題 6．回歸分析是處理變量之間________關(guān)系的一種數(shù)量統(tǒng)計(jì)方法. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62690054】 【解析】　回歸分析是處理變量之間相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)量統(tǒng)計(jì)方法． 【答案】　相關(guān) 7．已知某個(gè)樣本點(diǎn)中的變量x，y線性相關(guān)，相關(guān)系數(shù)r＜0，則在以(，)為坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)系下的散點(diǎn)圖中，大多數(shù)的點(diǎn)都落在第________象限． 【解析】　∵r＜0時(shí)b＜0， ∴大多數(shù)點(diǎn)落在第二、四象限． 【答案】　二、四 8．某數(shù)學(xué)老師身高176 cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173 cm,170 cm和182 cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測(cè)他孫子的身高為________cm. 【解析】　兒子和父親的身高可列表如下： 父親身高 173 170 176 兒子身高 170 176 182 設(shè)線性回歸方程y＝a＋bx，由表中的三組數(shù)據(jù)可求得b＝1，故a＝－b＝176－173＝3，故線性回歸方程為y＝3＋x，將x＝182代入得孫子的身高為185 cm. 【答案】　185 三、解答題 9．(2016包頭高二檢測(cè))關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y(萬元)，有如下的統(tǒng)計(jì)資料： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 如由資料可知y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系．試求： (1)線性回歸方程： (2)估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？ 【解】　(1)＝＝4， ＝＝5， ＝90，iyi＝112.3， b＝＝＝1.23. 于是a＝－bx＝5－1.234＝0.08. 所以線性回歸方程為y＝1.23x＋0.08. (2)當(dāng)x＝10時(shí)，y＝1.2310＋0.08＝12.38(萬元)， 即估計(jì)使用10年時(shí)維修費(fèi)用是12.38萬元． 10．某小賣部為了了解熱茶銷售量與氣溫之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)并制作了某6天賣出熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)比表. 氣溫/℃ 26 18 13 10 4 －1 杯數(shù) 20 24 34 38 50 64 畫出散點(diǎn)圖并判斷熱茶銷售量與氣溫之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系． 【解】　畫出散點(diǎn)圖如圖所示． ＝(26＋18＋13＋10＋4－1)≈11.7， ＝(20＋24＋34＋38＋50＋64)≈38.3， xiyi＝2620＋1824＋1334＋1038＋450－164＝1 910， x＝262＋182＋132＋102＋42＋(－1)2＝1 286， y＝202＋242＋342＋382＋502＋642＝10 172， 由r＝， 可得r ≈0.97. 由于r的值較大，所以x與y具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系． [能力提升] 1．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時(shí)間(單位：小時(shí))與成績(jī)(單位：分)近似于線性相關(guān)關(guān)系．對(duì)某小組學(xué)生每周用于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)時(shí)間x與數(shù)學(xué)成績(jī)y進(jìn)行數(shù)據(jù)收集如表： x 15 16 18 19 22 y 102 98 115 115 120 由表中樣本數(shù)據(jù)求得回歸方程為y＝bx＋a，則點(diǎn)(a，b)與直線x＋18y＝100的位置關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)＋18b＜100 B．a(chǎn)＋18b＞100 C．a(chǎn)＋18b＝100 D．a(chǎn)＋18b與100的大小無法確定 【解析】?。?15＋16＋18＋19＋22)＝18， ＝(102＋98＋115＋115＋120)＝110， 所以樣本數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)為(18,110)， 所以110＝18b＋a， 即點(diǎn)(a，b)滿足a＋18b＝110＞100. 【答案】　B 2．已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表： x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4 假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為y＝bx＋a.若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y＝b′x＋a′，則以下結(jié)論正確的是 (　　) A．b>b′，a>a′ B．b>b′，aa′ D．ba′. 【答案】　C 3．(2016江西吉安高二檢測(cè))已知x，y的取值如下表所示，由散點(diǎn)圖分析可知y與x線性相關(guān)，且線性回歸方程為y＝0.95x＋2.6，那么表格中的數(shù)據(jù)m的值為________. x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 m 【解析】?。剑?，＝＝，把(，)代入回歸方程得＝0.952＋2.6，解得m＝6.7. 【答案】　6.7 4．某商店各個(gè)時(shí)期的商品流通率y(%)和商品零售額x(萬元)資料如下： x 9.5 11.5 13.5 15.5 17.5 y 6 4.6 4 3.2 2.8 x 19.5 21.5 23.5 25.5 27.5 y 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1 散點(diǎn)圖顯示出x與y的變動(dòng)關(guān)系為一條遞減的曲線．經(jīng)濟(jì)理論和實(shí)際經(jīng)驗(yàn)都證明，流通率y決定于商品的零售額x，體現(xiàn)著經(jīng)營規(guī)模效益，假定它們之間存在關(guān)系式：y＝a＋.試根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求出a與b的估計(jì)值，并估計(jì)商品零售額為30萬元時(shí)的商品流通率． 【解】　設(shè)u＝，則y≈a＋bu，得下表數(shù)據(jù)： u 0.105 3 0.087 0 0.074 1 0.064 5 0.057 1 y 6 4.6 4 3.2 2.8 u 0.051 3 0.046 5 0.042 6 0.039 2 0.036 4 y 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1 進(jìn)而可得n＝10，≈0.060 4，＝3.21， u－102≈0.004 557 3， iyi－10 ≈0.256 35， b≈≈56.25， a＝－b≈－0.187 5， 所求的回歸方程為y＝－0.187 5＋. 當(dāng)x＝30時(shí)，y＝1.687 5，即商品零售額為30萬元時(shí)，商品流通率為1.687 5%.