高中數(shù)學 第2章 幾個重要的不等式 2.3.1 數(shù)學歸納法學案 北師大版選修4-5

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3　數(shù)學歸納法與貝努利不等式 3.1　數(shù)學歸納法 1．了解數(shù)學歸納法的原理及其使用范圍，掌握數(shù)學歸納法證明的步驟．(重點) 2．能夠利用數(shù)學歸納法證明一些簡單問題．(難點) [基礎(chǔ)初探] 教材整理　數(shù)學歸納法 閱讀教材P36～P37“思考交流”以上部分，完成下列問題． 1．數(shù)學歸納法的原理 數(shù)學歸納法原理是：設(shè)有一個關(guān)于正整數(shù)n的命題，若當n取第1個值n0時該命題成立，又在假設(shè)當n取第k個值時該命題成立后可以推出n取第k＋1個值時該命題成立，則該命題對一切自然數(shù)n≥n0都成立． 2．數(shù)學歸納法證明的步驟 (1)驗證當n取第一個值n0(如n0＝1或2等)時命題正確． (2)假設(shè)當n＝k時(k∈N＋，k≥n0)命題正確，證明當n＝k＋1時命題也正確． 在完成了上述兩個步驟之后，就可以斷定命題對于從n0開始的所有正整數(shù)都正確． 判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)用數(shù)學歸納法證明命題“多邊形的內(nèi)角和是(n－2)180”時，驗證的第一個值是3.(　　) (2)用數(shù)學歸納法證明只與自然數(shù)n有關(guān)的命題時，第二步中在假設(shè)n＝k(k≥n)成立時，總是證明n＝k＋1時也成立．(　　) (3)使用數(shù)學歸納法時，可以不使用歸納假設(shè)．(　　) 【解析】　(1)√　因為邊數(shù)最少的多邊形是三角形． (2)　在證只與正整數(shù)有關(guān)的命題時，在假設(shè)n＝k成立的前提下，證明n＝k＋2時也成立． (3)　用數(shù)學歸納法證題中必須使用歸納假設(shè)． 【答案】　(1)√　(2)　(3) [質(zhì)疑手記] 預(yù)習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：　 解惑：　 疑問2：　 解惑：　 疑問3：　 解惑：　 [小組合作型] 數(shù)學歸納法的概念 　用數(shù)學歸納法證明：1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)，在驗證n＝1成立時， 左邊計算的結(jié)果是(　　) A．1　　 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 【精彩點撥】　只需把n＝1代入，觀察式子左邊規(guī)律即得答案． 【自主解答】　實際是由1(即a0)起，每項指數(shù)增加1，到最后一項為an＋1， 因此n＝1時，左邊的最后一項應(yīng)為a2，因此左邊計算的結(jié)果應(yīng)為1＋a＋a2. 【答案】　C 驗證n取第一個值n0時命題正確是運用數(shù)學歸納法的基礎(chǔ)，一定要正確找出n＝n0時的命題. [再練一題] 1．若f(k)＝1－＋－＋…＋－，則f(k＋1)＝f(k)＋__________. 【導(dǎo)學號：94910035】 【解析】　f(k＋1)＝1－＋－＋…＋－＋－， ∴f(k＋1)＝f(k)＋－. 【答案】　－ 用數(shù)學歸納法證明等式 　用數(shù)學歸納法證明： 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋)． 【精彩點撥】　要證的等式左邊共2n項，右邊共n項，f(k)與f(k＋1)相比左邊增二項，右邊增一項，而且左、右兩邊的首項不同．因此，由“n＝k”到“n＝k＋1”時要注意項的合并． 【自主解答】　①當n＝1時，左邊＝1－＝＝＝右邊，所以等式成立． ②假設(shè)n＝k時等式成立，即 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，則當n＝k＋1時， 左邊＝1－＋－＋…＋－＋－ ＝＋－ ＝＋ ＝＋…＋＋＋＝右邊， 所以，n＝k＋1時等式成立． 由①②知，對任意n∈N＋，等式成立． 用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的一些等式命題關(guān)鍵在于“先看項”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，項的多少與n的取值是否有關(guān).由n＝k到n＝k＋1時，等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項. [再練一題] 2．用數(shù)學歸納法證明： ＋＋＋…＋＝(其中n∈N＋)． 【證明】　(1)當n＝1時，等式左邊＝＝， 等式右邊＝＝，所以等式成立． (2)假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N＋)時等式成立， 即＋＋…＋＝成立 . 則n＝k＋1時， ＋＋＋…＋＋ ＝＋ ＝＝ ＝， 即n＝k＋1時等式成立． 由(1)，(2)可知，對任意n∈N＋等式均成立． [探究共研型] 數(shù)學歸納法證明猜想 探究1　數(shù)學歸納法有兩個步驟，那么它的兩個步驟的作用分別是什么？ 【提示】　在數(shù)學歸納法中的第一步“驗證n＝n0時命題成立”，是歸納的奠基、是推理證明的基礎(chǔ)，第二步是歸納遞推，保證了推理的連續(xù)性，證明了這一步，就可以斷定這個命題對于n取第一個值n0后面的所有正整數(shù)也都成立． 探究2　如何理解歸納假設(shè)在證明中的作用？ 【提示】　歸納假設(shè)在證明中起一個橋梁的作用，聯(lián)結(jié)第一個值n0和后續(xù)的n值所對應(yīng)的情形．在歸納遞推的證明中，必須以歸納假設(shè)為基礎(chǔ)進行證明．否則，就不是數(shù)學歸納法． 探究3　若數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝2a2n－1＋1.那么a2，a3，a4分別是多少？你能猜想出an嗎？能否通過數(shù)學歸納法證明． 【提示】　由題意可以求出a1＝1，a2＝3，a3＝7，a4＝15，可以猜想an＝2n－1，然后可以用數(shù)學歸納法證明． 　設(shè)f(n)>0(n∈N＋)，對任意正整數(shù)n1和n2總有f(n1＋n2)＝f(n1)f(n2)，又f(2)＝4. (1)求f(1)，f(3)的值； (2)猜想f(n)的表達式，并證明你的猜想． 【精彩點撥】　先求f(1)，f(2)，f(3)→歸納猜想f(n)→用數(shù)學歸納法證明． 【自主解答】　(1)由于對任意正整數(shù)n1和n2，總有f(n1＋n2)＝f(n1)f(n2)． 取n1＝n2＝1，得f(2)＝f(1)f(1)，即f2(1)＝4. ∵f(n)>0(n∈N＋)， ∴f(1)＝2. 取n1＝1，n2＝2，得f(3)＝23. (2)由f(1)＝21，f(2)＝4＝22，f(3)＝23，初步歸納猜想f(n)＝2n. ①當n＝1時，f(1)＝2成立； ②假設(shè)n＝k時，f(k)＝2k成立． 當n＝k＋1時， f(k＋1)＝f(k)f(1)＝2k2＝2k＋1， 這就是說當n＝k＋1時，猜想也成立． 由①，②得，對一切n∈N＋，f(n)＝2n都成立． 1．切實掌握“觀察、歸納、猜想、證明”這一特殊到一般的推理方法． 2．證明代數(shù)恒等式的關(guān)鍵是：第二步將式子轉(zhuǎn)化成與歸納假設(shè)的結(jié)構(gòu)相同的形式“湊假設(shè)”，然后利用歸納假設(shè)，經(jīng)過恒等變形，得到結(jié)論需要的形式“湊結(jié)論”． [再練一題] 3．已知數(shù)列{an}的第一項a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N＋)． (1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表達式； (2)用數(shù)學歸納法證明(1)中的猜想． 【解】　(1)a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20， 猜想an＝ (2)證明：當n＝1時，猜想顯然成立． ①當n＝2時，a2＝522－2＝5，猜想成立． ②假設(shè)n＝k時猜想成立，即ak＝52k－2(k≥2，k∈N＋)， 當n＝k＋1時，由已知條件和假設(shè)有 ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋a3＋…＋ak＝5＋5＋10＋…＋52k－2 ＝5＋＝52k－1＝52(k＋1)－2. 故n＝k＋1時猜想也成立． 根據(jù)①②可知，對任意n≥2，n∈N＋，有an＝52n－2. 所以數(shù)列{an}的通項an＝ [構(gòu)建體系] 1．用數(shù)學歸納法證明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)時，在驗證n＝1成立時，左邊所得的代數(shù)式為(　　) A．1　　　　　 B．1＋3 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 【解析】　當n＝1時左邊有21＋1＝3項，所以左邊所得的代數(shù)式為1＋2＋3. 【答案】　C 2．在應(yīng)用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n－3)條時，第一步檢驗第一個值n0等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 【解析】　邊數(shù)最少的凸n邊形是三角形． 【答案】　C 3．用數(shù)學歸納法證明等式“1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2”時，從k到k＋1左邊需增加的代數(shù)式為(　　) A．2k－2 B．2k－1 C．2k D．2k＋1 【解析】　等式“1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2”中， 當n＝k時，等式的左邊＝1＋3＋5＋…＋(2k－1)， 當n＝k＋1時，等式的左邊＝1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋(2k＋1)， ∴從k到k＋1左邊需增加的代數(shù)式為2k＋1. 【答案】　D 4．用數(shù)學歸納法證明：“當n為奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除”時，在歸納假設(shè)中，假設(shè)當n＝k時命題成立，那么下一步應(yīng)證明n＝__________時命題也成立． 【解析】　兩個奇數(shù)之間相差2，所以n＝k＋2. 【答案】　k＋2 5．用數(shù)學歸納法證明：＋＋＋…＋＝1－. 【導(dǎo)學號：94910036】 【證明】　(1)n＝1時，左邊＝右邊＝，命題成立． (2)假設(shè)n＝k(k≥1)時，命題成立，即＋＋…＋＝1－. 那么當n＝k＋1時，＋＋…＋＋＝1－＋ ＝1－2＋＝1－， 即n＝k＋1時，命題成立． 由(1)(2)知，對n∈N＋命題成立． 我還有這些不足： (1)　 (2)　 我的課下提升方案： (1)　 (2)　 學業(yè)分層測評(十二) (建議用時：45分鐘) [學業(yè)達標] 一、選擇題 1．某個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，如果當n＝k(k∈N＋，且k≥1)時命題成立，則一定可推得當n＝k＋1時，該命題也成立．現(xiàn)已知n＝5時，該命題不成立，那么應(yīng)有(　　) A．當n＝4時該命題成立 B．當n＝6時該命題成立 C．當n＝4時該命題不成立 D．當n＝6時該命題不成立 【解析】　當n＝4時命題成立，由遞推關(guān)系知， n＝5時命題成立，與題中條件矛盾． 所以n＝4時，該命題不成立． 【答案】　C 2．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，當n≥2時，an＝2an－1＋1，依次計算a2，a3，a4后，猜想an的一個表達式是(　　) A．n2－1　　 B．(n－1)2＋1 C．2n－1 D．2n－1＋1 【解析】　由a1＝1，當n≥2時，an＝2an－1＋1得 a2＝2a1＋1＝21＋1＝3， a3＝2a2＋1＝23＋1＝7， a4＝2a3＋1＝27＋1＝15. 猜想an＝2n－1. 【答案】　C 3．用數(shù)學歸納法證明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N＋)能被9整除”，要利用歸納法假設(shè)證n＝k＋1時的情況，只需展開(　　) A．(k＋3)3 B．(k＋2)3 C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3 【解析】　假設(shè)n＝k時，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，當n＝k＋1時，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3為了能用上面的歸納假設(shè) ，只需將(k＋3)3展開，讓其出現(xiàn)k3，且展開式中除k3以外的各項和也能被3整除． 【答案】　A 4．記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸k＋1邊形的內(nèi)角和f(k＋1)＝f(k)＋(　　) A. B．π C．2π D．π 【解析】　n＝k到n＝k＋1時，內(nèi)角和增加π. 【答案】　B 5．用數(shù)學歸納法證明“當n為正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　　) A．假設(shè)n＝2k＋1時正確，再推n＝2k＋3時正確(其中k∈N＋) B．假設(shè)n＝2k－1時正確，再推n＝2k＋1時正確(其中k∈N＋) C．假設(shè)n＝k時正確，再推n＝k＋1時正確(其中k∈N＋) D．假設(shè)n≤k(k≥1)時正確，再推n＝k＋2時正確(其中k∈N＋) 【解析】　∵n為正奇數(shù)，∴n＝2k－1(k∈N＋)． 即假設(shè)n＝2k－1時正確，再推n＝2k＋1時正確． 【答案】　B 二、填空題 6．探索表達式A＝(n－1)(n－1)！＋(n－2)(n－2)?。?2?。?1！(n>1且n∈N＋)的結(jié)果時，第一步n＝__________時，A＝__________. 【解析】　第一步n＝2時， A＝(2－1)(2－1)?。?. 【答案】　2　1 7．用數(shù)學歸納法證明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的過程中，第二步假設(shè)n＝k時等式成立，則當n＝k＋1時應(yīng)得到__________. 【導(dǎo)學號：94910037】 【解析】　∵n＝k時， 命題為“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”， ∴n＝k＋1時為使用歸納假設(shè)，應(yīng)寫成1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k， 又考慮到目的，最終應(yīng)為2k＋1－1. 【答案】　1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1 8．在數(shù)列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an.通過求a2，a3，a4，猜想an的表達式是________． 【解析】　a2＝S2－S1＝2(22－1)a2－， ∴a2＝，同理a3＝，a4＝. 歸納知an＝. 【答案】　an＝ 三、解答題 9．證明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N＋)． 【證明】　(1)當n＝1時，左邊12－22＝－3，右邊＝－1(21＋1)＝－3，等式成立． (2)假設(shè)n＝k時，等式成立，就是 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)． 當n＝k＋1時， 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2 ＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2 ＝－k(2k＋1)－(4k＋3) ＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]， 所以n＝k＋1時等式也成立． 綜合(1)(2)可知，等式對任何n∈N＋都成立． 10．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn，an的等差中項為1. (1)寫出a1，a2，a3； (2)猜想an的表達式，并用數(shù)學歸納法證明． 【解】　(1)由題意Sn＋an＝2，可得a1＝1，a2＝，a3＝. (2)猜想an＝. 下面用數(shù)學歸納法證明： ①當n＝1時，a1＝1，＝＝1，等式成立． ②假設(shè)當n＝k時，等式成立，即ak＝， 則當n＝k＋1時，由Sk＋1＋ak＋1＝2，Sk＋ak＝2， 得(Sk＋1－Sk)＋ak＋1－ak＝0，即2ak＋1＝ak， 所以ak＋1＝ak＝＝， 即當n＝k＋1時，等式成立． 由①②可知，對n∈N＋，an＝. [能力提升] (1)　　(2)　　　　(3) 圖231 1．如圖231所示的是一系列有機物的結(jié)構(gòu)簡圖，圖中的“小黑點”表示原子，兩黑點間的“短線”表示化學鍵，按圖中結(jié)構(gòu)第n個圖的化學鍵個數(shù)為(　　) A．6n個 B．(4n＋2)個 C．(5n－1)個 D．(5n＋1)個 【解析】　圖(1)有6個化學鍵，圖(2)有11個化學鍵，圖(3)有16個化學鍵，……可猜想第n個圖有5n＋1個化學鍵． 【答案】　D 2．若不等式＋＋＋…＋<對于一切n∈N＋恒成立，則自然數(shù)m的最小值為(　　) 【導(dǎo)學號：94910038】 A．8 B．9 C．10 D．12 【解析】　令bn＝＋＋＋…＋，則bk＋1－bk＝＋＋…＋＋＋－ ＝＋－<0， ∴bk＋1＝7， ∴m的最小值為8. 【答案】　A 3．用數(shù)學歸納法證明“n∈N＋，n(n＋1)(2n＋1)能被6整除”時，某同學證法如下： (1)n＝1時，123＝6能被6整除， ∴n＝1時，命題成立． (2)假設(shè)n＝k時成立，即k(k＋1)(2k＋1)能被6整除，那么n＝k＋1時， (k＋1)(k＋2)(2k＋3)＝(k＋1)(k＋2)[k＋(k＋3)]＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)(k＋3)． ∵k，k＋1，k＋2和k＋1，k＋2，k＋3分別是三個連續(xù)自然數(shù)， ∴其積能被6整除．故n＝k＋1時命題成立． 綜合(1)，(2)，對一切n∈N＋，n(n＋1)(2n＋1)能被6整除． 這種證明不是數(shù)學歸納法，主要原因是__________． 【答案】　沒用上歸納假設(shè) 4．已知點的序列An(xn,0)，n∈N＋，其中x1＝0，x2＝a(a>0)，A3是線段A1A2的中點，A4是線段A2A3的中點， …，An是線段An－2An－1的中點，…. (1)寫出xn與xn－1，xn－2之間的關(guān)系式(n≥3)； (2)設(shè)an＝xn＋1－xn，計算a1，a2，a3，由此推測數(shù)列{an}的通項公式，并加以證明． 【解】　(1)當n≥3時，xn＝. (2)a1＝x2－x1＝a，a2＝x3－x2＝－x2 ＝－(x2－x1)＝－a， a3＝x4－x3＝－x3 ＝－(x3－x2)＝－＝a， 由此推測an＝a(n∈N＋)． 用數(shù)學歸納法證明： ①當n＝1時，a1＝x2－x1＝a＝a，公式成立， ②假設(shè)當n＝k(k≥1，k∈N＋)時， 公式成立， 即ak＝a成立． 那么當n＝k＋1時， ak＋1＝xk＋2－xk＋1＝－xk＋1 ＝－(xk＋1－xk)＝－ak ＝－a＝a， ∴當n＝k＋1時，公式仍成立． 根據(jù)①②可知對任意n∈N＋，公式an＝a成立．