高中數(shù)學(xué) 2_1_3 分層抽樣學(xué)案 蘇教版必修31

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2.1.3　分層抽樣 學(xué)習(xí)目標(biāo) 重點(diǎn)難點(diǎn) 1．理解并掌握分層抽樣的概念和步驟． 2．會(huì)用分層抽樣的方法解決實(shí)際抽樣問題． 3．了解三種抽樣方法的聯(lián)系與區(qū)別. 重點(diǎn)：掌握分層抽樣的概念和步驟． 難點(diǎn)：會(huì)用分層抽樣解決實(shí)際問題． 易混點(diǎn)：三種抽樣方法的聯(lián)系與區(qū)別. 1．分層抽樣的概念 一般地，當(dāng)總體由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，為了使樣本更客觀地反映總體情況，我們常常將總體中的個(gè)體按不同的特點(diǎn)分成層次比較分明的幾個(gè)部分，然后按各個(gè)部分在總體中所占的比實(shí)施抽樣，這種抽樣方法叫分層抽樣，所分成的各個(gè)部分稱為“層”． 預(yù)習(xí)交流1 分層抽樣中要將總體層次分明的幾個(gè)部分分層按比例抽取，其中“比例”一詞如何理解？ 提示：可從兩個(gè)方面理解：一是所抽樣本中各層個(gè)體數(shù)之比與總體中各層個(gè)體數(shù)之比相同；二是每層所抽個(gè)體數(shù)與該層個(gè)體總數(shù)之比等于樣本容量與總體容量之比． 2．分層抽樣的步驟 (1)將總體按一定標(biāo)準(zhǔn)分層；(2)計(jì)算各層的個(gè)體數(shù)與總體的個(gè)體數(shù)的比；(3)按各層個(gè)體數(shù)占總體的個(gè)體數(shù)的比確定各層應(yīng)抽取的樣本容量；(4)在每一層進(jìn)行抽樣(可用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣)．注意：若按比例計(jì)算所得的個(gè)體數(shù)不是整數(shù)，可作適當(dāng)?shù)慕铺幚恚? 預(yù)習(xí)交流2 通過學(xué)習(xí)分層抽樣的步驟，你能否總結(jié)分層抽樣的特點(diǎn)？ 提示：(1)適用于總體由差異明顯的幾個(gè)部分組成的情況； (2)更充分地反映了總體的情況； (3)是一種等可能抽樣，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性都相等； (4)是一種不放回抽樣． 3．三種抽樣方法的區(qū)別與聯(lián)系 類別 特點(diǎn) 相互聯(lián)系 適用范圍 共同點(diǎn) 簡單隨 機(jī)抽樣 從總體中逐個(gè)抽取 總體中的個(gè)體個(gè)數(shù)較少 抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相同 系統(tǒng) 抽樣 將總體平均分成幾部分，按一定的規(guī)則分別在各部分中抽取 在起始部分抽樣時(shí)，采用簡單隨機(jī)抽樣 總體中的個(gè)體個(gè)數(shù)較多 分層 抽樣 將總體分成幾層，按各層個(gè)體數(shù)之比抽取 各層抽樣時(shí)采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣 總體由差異明顯的幾部分組成 預(yù)習(xí)交流3 系統(tǒng)抽樣時(shí)，將總體分成均等的幾部分，每部分抽取一個(gè)，符合分層抽樣的特點(diǎn)，故系統(tǒng)抽樣就是一種特殊的分層抽樣，這種說法對嗎？ 提示：不對．因?yàn)榉謱映闃邮菑母鲗营?dú)立地抽取個(gè)體，而系統(tǒng)抽樣各段上抽取是按事先定好的規(guī)則進(jìn)行的，各層編號有聯(lián)系，不是獨(dú)立的．故系統(tǒng)抽樣不同于分層抽樣． 預(yù)習(xí)交流4 (1)某學(xué)院有四個(gè)不同環(huán)境的生化實(shí)驗(yàn)室，分別養(yǎng)有18只、24只、54只、48只小白鼠供實(shí)驗(yàn)用．某項(xiàng)實(shí)驗(yàn)需抽取24只小白鼠．你認(rèn)為最合適的抽樣方法為__________． 提示：不同環(huán)境下，四組小白鼠有明顯的差異，故應(yīng)用分層抽樣選取樣本． (2)某地區(qū)有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家．為了掌握各商店的營業(yè)情況，要從中抽取一個(gè)容量為20的樣本，若采用分層抽樣的方法，抽取的中型商店數(shù)是________． 提示：各層次之比為30∶75∶195＝2∶5∶13，所抽取的中型商店數(shù)是5. (3)某校有老師200人、男學(xué)生1 200人、女學(xué)生1 000人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有師生中抽取一個(gè)容量為n的樣本．已知女學(xué)生抽取的人數(shù)為80，則n＝__________. 提示：由題意知，每個(gè)人被抽到的可能性為＝， 故n＝(200＋1 200＋1 000)＝192. 一、分層抽樣的概念 判斷下列對分層抽樣的說法是否正確，并說明理由． (1)因?yàn)槌闃釉诓煌瑢觾?nèi)進(jìn)行，所以不同層的個(gè)體被抽到的可能性不一樣； (2)分層后，為確保公平性，在每層都應(yīng)用同一抽樣方法； (3)所有層用同一抽樣比，且是等可能抽樣； (4)所有層抽同樣多容量的樣本，且是等可能抽樣． 思路分析：判斷依據(jù)是分層抽樣的定義及操作步驟． 解：(1)不正確．因?yàn)椴煌瑢觾?nèi)抽取的樣本數(shù)是由該層個(gè)體數(shù)與總體數(shù)的比乘以樣本容量得到的，所以每層抽取的個(gè)體數(shù)與該層個(gè)體總數(shù)比是一樣的．所以對總體中每個(gè)個(gè)體而言，被抽取的可能性是一樣的． (2)不正確．在每層可根據(jù)不同情況采用不同的抽樣方法． (3)正確． (4)不正確．每層抽取的樣本數(shù)不一定相同，與該層個(gè)體數(shù)和總體個(gè)體數(shù)的比有關(guān)． 1．為了保證分層抽樣時(shí)，每個(gè)個(gè)體等可能地被抽取，必須要求： ①每層等可能抽樣，但各層中的個(gè)體被抽取的可能性不同； ②每層抽樣的個(gè)體數(shù)相等； ③每層抽取的個(gè)體可以不一樣多，但必須滿足抽取ni＝n(i＝1,2，…，k)個(gè)個(gè)體(其中k是層數(shù)，n是抽取的樣本容量，Ni是第i層中個(gè)體的個(gè)數(shù)，N是總體的容量)； ④只要抽取的樣本容量一定，每層抽取的個(gè)體數(shù)沒有限制． 其中正確的序號是__________． 答案：③ 解析：由于每層的容量不一定相等，每層抽同樣多的個(gè)體數(shù)，顯然從整個(gè)總體來看，各層之間的個(gè)體被抽取的可能情況就不一樣了，因此②不正確；而對于第i層的每個(gè)個(gè)體，它被抽到的可能性與層數(shù)l無關(guān)，即對于每個(gè)個(gè)體來說，被抽取的可能性是相同的，故①不正確，③正確；顯然④不正確． 2．將一個(gè)總體分為A，B，C三層，其個(gè)體數(shù)之比為5∶3∶2，若用分層抽樣方法抽取一個(gè)容量為100的樣本，則應(yīng)從C層中抽取__________個(gè)個(gè)體． 答案：20 解析：C層所占的比例為＝， ∴從C層中抽取的個(gè)體數(shù)為100＝20. 3．某單位200名職工的年齡分布情況如圖，現(xiàn)要從中抽取40名職工做樣本．用系統(tǒng)抽樣法：將全體職工隨機(jī)按1～200編號，并按編號順序平均分成40組(1～5號，6～10號，…，196～200號)．若第5組抽出的號碼為22，則第8組抽出的號碼應(yīng)是__________；若用分層抽樣方法，則40歲以下年齡段應(yīng)抽取__________人． 答案：37　20 解析：由分組可知，抽號的間隔為5.又因?yàn)榈?組抽出的號碼為22，所以第6組抽出的號碼為27，第7組抽出的號碼為32，第8組抽出的號碼為37. 因?yàn)?0歲以下年齡段的職工人數(shù)為20050%＝100， 所以應(yīng)抽出100＝20(人)． 各部分之間有明顯的差異是分層抽樣的依據(jù)，至于各層內(nèi)用什么方法抽樣是靈活的，可采用簡單隨機(jī)抽樣，也可采用系統(tǒng)抽樣．分層抽樣中，無論哪一層的個(gè)體，被抽中的機(jī)會(huì)均等，體現(xiàn)了抽樣的公平性． 二、分層抽樣方案的設(shè)計(jì) 一個(gè)單位有職工500人，其中不到35歲的有125人，35歲至50歲的有280人，50歲以上的有95人．為了了解這個(gè)單位職工與身體狀態(tài)有關(guān)的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取100名職工作為樣本，職工年齡與這項(xiàng)指標(biāo)有關(guān)，應(yīng)該怎樣抽?。? 思路分析：由本題的條件知需用分層抽樣，進(jìn)而考慮分層抽樣的步驟進(jìn)行抽?。? 解：用分層抽樣來抽取樣本，步驟是： (1)分層：按年齡將500名職工分成三層：不到35歲的職工；35歲至50歲的職工；50歲以上的職工； (2)確定每層抽取個(gè)體的個(gè)數(shù)．抽樣比為＝，則在不到35歲的職工中抽取125＝25(人)； 在35歲至50歲的職工中抽取280＝56(人)； 在50歲以上的職工中抽取95＝19(人)； (3)在各層分別按抽簽法或隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本； (4)綜合每層抽樣，組成樣本． 1．(2012天津高考)某地區(qū)有小學(xué)150所，中學(xué)75所，大學(xué)25所．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取30所學(xué)校對學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查，應(yīng)從小學(xué)中抽取__________所學(xué)校，中學(xué)中抽取__________所學(xué)校． 答案：18　9 解析：共有學(xué)校150＋75＋25＝250所，∴小學(xué)中應(yīng)抽?。?0＝18所，中學(xué)中應(yīng)抽取：30＝9所． 2．某校教職工中有老年人30人，中年人57人，青年人34人，為了調(diào)查他們身體狀況的某項(xiàng)指標(biāo)，需從他們中抽取一個(gè)容量為40的樣本．下列抽樣中正確的是__________． ①簡單隨機(jī)抽樣；②系統(tǒng)抽樣；③分層抽樣；④先從青年人中剔除1人，再用分層抽樣． 答案：④ 解析：由于老年人、中年人、青年人的身體狀況存在著明顯的差異，所以采用分層抽樣較為合適，但由于按去分層無法滿足，因此先從青年人中剔除1人再用分層抽樣． 3．某單位有職工160名，其中管理人員16名，后勤人員24名，其余為業(yè)務(wù)人員．為了了解職工的某種情況，要從中抽取一個(gè)容量為20的樣本，應(yīng)如何抽樣？寫出抽樣過程． 解：由題意知，可用分層抽樣方法抽取樣本，業(yè)務(wù)人員有160－16－24＝120(人)． 抽樣過程如下： (1)分層：分三層：業(yè)務(wù)人員、管理人員、后勤人員； (2)計(jì)算抽樣比：抽樣比為＝； (3)確定每層抽取的人數(shù)：業(yè)務(wù)人員：120＝15(人)；管理人員：16＝2(人)；后勤人員：24＝3(人)； (4)對各層采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣抽取樣本． 進(jìn)行分層抽樣時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： (1)分層抽樣中分多少層、如何分層要視具體情況而定，總的原則是，層內(nèi)樣本的差異要小，各層之間的樣本差異要大，且互不重疊； (2)為了保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，所有層應(yīng)采用同一抽樣比，等可能抽樣； (3)在每層抽樣時(shí)，應(yīng)采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行抽樣． 三、三種抽樣方法的綜合應(yīng)用 選擇合適的抽樣方法，寫出抽樣過程． (1)高一(1)班有男生27人，女生23人，抽取5人； (2)高一(1)班有學(xué)生45人，高一(2)班有學(xué)生45人，抽取10人； (3)高一年級有500名學(xué)生，抽取10人； (4)高一年級有500名學(xué)生，抽取50人． 思路分析：選擇正確的抽樣方法是解決本題的關(guān)鍵，應(yīng)結(jié)合三種抽樣方法的特點(diǎn)具體問題具體分析． 解：(1)總體容量較小，用抽簽法，抽樣過程如下： ①將50名學(xué)生編號，編號為1,2,3，…，50； ②將以上50個(gè)編號分別寫在完全一樣的小紙條上，揉成團(tuán)，制成號簽； ③把號簽放入一個(gè)不透明的容器中，充分?jǐn)噭?，依次抽?個(gè)號碼，并記錄上面的號碼； ④找出和所得號碼對應(yīng)的學(xué)生即可得到樣本． (2)總體由差異明顯的兩個(gè)層次組成，需選用分層抽樣，抽樣過程如下： ①確定抽取個(gè)數(shù)，因?yàn)椋?，所以高?1)班應(yīng)抽取5人，高一(2)班應(yīng)抽取5人； ②用抽簽法分別抽取高一(1)班學(xué)生5人，抽取高一(2)班學(xué)生5人，這10名學(xué)生便組成了我們要抽取的樣本； (3)總體容量較大，樣本容量較小，用隨機(jī)數(shù)表法，抽樣過程如下： ①將500名學(xué)生用隨機(jī)方式編號，編號為001,002，…，500； ②在隨機(jī)數(shù)表中隨機(jī)確定一個(gè)數(shù)作為開始，如第8行第29列的數(shù)“7”開始，任選一個(gè)方向作為讀數(shù)方向，比如向右讀； ③從數(shù)“7”開始向右讀，每次讀三位，凡不在001～500中的數(shù)跳過去不讀，遇到已經(jīng)讀過的數(shù)也跳過去不讀，依次得到10個(gè)號碼，這就是所要抽取的10個(gè)樣本個(gè)體的號碼． (4)總體容量與樣本容量都較大，用系統(tǒng)抽樣法，抽樣過程如下： ①將500名學(xué)生用隨機(jī)方式編號，編號為001,002，…，500，并分成50段，每一段包含＝10(個(gè))個(gè)體； ②在第一段001,002，…，010這10個(gè)號碼中用簡單隨機(jī)抽樣抽出一個(gè)號碼(如003)作為起始號碼； ③將編號為003,013,023，…，493的個(gè)體抽出，即可組成所要抽取的樣本． 1．下列說法是簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣三者的共同特點(diǎn)的是__________． ①都是從總體中逐個(gè)抽取 ②將總體分成幾部分，按預(yù)先設(shè)定的規(guī)則在各部分抽取 ③抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等 ④將總體分成幾層，然后在各層按照比例抽取 答案：③ 解析：抽樣必須使樣本具有代表性，無論哪種抽樣方式每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等． 2．某高級中學(xué)有學(xué)生270人，其中一年級學(xué)生108人，二、三年級學(xué)生各81人．現(xiàn)要抽取10人參加某項(xiàng)調(diào)查，考慮選用簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方法．使用簡單隨機(jī)抽樣和分層抽樣時(shí)，將學(xué)生按一、二、三年級依次統(tǒng)一編號為1,2，…，270.使用系統(tǒng)抽樣時(shí)，將學(xué)生統(tǒng)一隨機(jī)編號為1,2，…，270，并將整個(gè)編號依次分為10段，抽得的號碼有下列四種情況： ①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250； ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265； ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254； ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270. 下列關(guān)于上述樣本的結(jié)論中，正確的序號是__________． (1)②③都不能為系統(tǒng)抽樣 (2)②④都不能為分層抽樣 (3)①④都可能為系統(tǒng)抽樣 (4)①③都可能為分層抽樣 答案：(4) 解析：∵③能為系統(tǒng)抽樣，∴(1)不正確； ∵②能為分層抽樣，∴(2)不正確； ∵④不能為系統(tǒng)抽樣，∴(3)不正確； 由分層抽樣的概念知(4)正確． 抽樣方法的選取方法： (1)若總體由差異明顯的幾個(gè)層次組成，則選用分層抽樣； (2)若總體沒有差異明顯的層次，則考慮采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣； 當(dāng)總體容量較小時(shí)宜用抽簽法；當(dāng)總體容量較大，樣本容量較小時(shí)宜用隨機(jī)數(shù)表法；當(dāng)總體容量較大，樣本容量也較大時(shí)宜用系統(tǒng)抽樣； (3)采用系統(tǒng)抽樣時(shí)，當(dāng)總體容量N能被樣本容量n整除時(shí)，抽樣間隔為k＝；當(dāng)總體容量N不能被樣本容量n整除時(shí)，先用簡單隨機(jī)抽樣剔除多余個(gè)體，抽樣間隔為k＝. 1．有以下兩個(gè)問題： ①某社區(qū)有1 000個(gè)家庭，其中高收入家庭250戶，中等收入家庭560戶，低收入家庭190戶．為了解社會(huì)購買力的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取一個(gè)容量為200的樣本；②從20人中選6人參加座談會(huì)． 給出下列抽樣方法： a．簡單隨機(jī)抽樣　 b．系統(tǒng)抽樣　 　c．分層抽樣 其問題與抽樣方法正確配對是__________． 答案：①c，②a 解析：①總體是由差異明顯的幾部分組成，應(yīng)采用分層抽樣；②總體中個(gè)數(shù)較少，樣本中個(gè)體數(shù)也較少，應(yīng)采用簡單隨機(jī)抽樣． 2．某課題組進(jìn)行城市空氣質(zhì)量調(diào)查，按地域把24個(gè)城市分成甲、乙、丙三組，對應(yīng)的城市數(shù)分別為4,12,8.若用分層抽樣抽取6個(gè)城市，則丙組中應(yīng)抽取的城市數(shù)為________． 答案：2 解析：抽樣比為＝，故在丙組中應(yīng)抽取的城市數(shù)為8＝2. 3．某超市有普通水果和無公害水果若干千克，現(xiàn)按5%的比例分層抽樣，抽取了15千克普通水果，45千克無公害水果進(jìn)行分析，則該超市共有水果__________千克． 答案：1 200 解析：該超市共有水果：(15＋45)5%＝1 200(千克)． 4．某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動(dòng)物性食品類及果蔬類分別有40種、10種、30種、20種，從中抽取一個(gè)容量為20的樣本進(jìn)行食品安全檢測．若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是__________． 答案：6 解析：總體中共包含100種食品，樣本容量為20，所以抽取的比例為＝. 所以，應(yīng)抽取的植物油類食品為10＝2(種)，果蔬類食品為20＝4(種)，共6種． 5．某網(wǎng)站欲調(diào)查網(wǎng)民對當(dāng)前網(wǎng)頁的滿意程度，在登錄的所有網(wǎng)民中，收回有效帖子共50 000份，其中持各種態(tài)度的份數(shù)如下表所示： 很滿意 滿意 一般 不滿意 10 800 12 400 15 600 11 200 為了解網(wǎng)民的具體想法和意見，以便決定如何更改才能使網(wǎng)頁更完美，打算從中抽取500份．為使樣本更具有代表性，每類中各應(yīng)抽取多少份？ 解：由于網(wǎng)民的態(tài)度有明顯的差別，所以宜采用分層抽樣，才能使意見更具有代表性． 根據(jù)條件易知抽取的比例為500∶50 000＝1∶100， 所以，“很滿意”“滿意”“一般”“不滿意”應(yīng)該分別抽取的份數(shù)為： 10 800＝108,12 400＝124,15 600＝156,11 200＝112， 即“很滿意”“滿意”“一般”“不滿意”應(yīng)該分別抽取的份數(shù)為108,124,156,112.