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章末綜合測評(一) 常用邏輯用語
(時間120分鐘，滿分150分)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．“經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面”是( )
A．全稱命題 B．特稱命題
C．p∨q形式 D．p∧q形式
【解析】 此命題暗含了“任意”兩字，即經(jīng)過任意兩條相交直線有且只有一個平面．
【答案】 A
2．(2015湖南高考)設x∈R，則“x>1”是“x3>1”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【解析】 由于函數(shù)f(x)＝x3在R上為增函數(shù)，所以當x>1時，x3>1成立，反過來，當x3>1時，x>1也成立．因此“x>1”是“x3>1”的充要條件，故選C.
【答案】 C
3．(2014湖北高考)命題“?x∈R，x2≠x”的否定是( )
A．?x?R，x2≠x B．?x∈R，x2＝x
C．?x?R，x2≠x D．?x∈R，x2＝x
【解析】 全稱命題的否定，需要把全稱量詞改為特稱量詞，并否定結(jié)論．
【答案】 D
4．全稱命題“?x∈Z,2x＋1是整數(shù)”的逆命題是( )
A．若2x＋1是整數(shù)，則x∈Z
B．若2x＋1是奇數(shù)，則x∈Z
C．若2x＋1是偶數(shù)，則x∈Z
D．若2x＋1能被3整除，則x∈Z
【解析】 易知逆命題為：若2x＋1是整數(shù)，則x∈Z.
【答案】 A
5．已知命題p：對任意x∈R，總有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．則下列命題為真命題的是( )
A．p∧q B．p∧q
C．p∧q D．p∧q
【解析】 命題p為真命題，命題q為假命題，所以命題q為真命題，所以p∧q為真命題，故選A.
【答案】 A
6．(2015皖南八校聯(lián)考)命題“全等三角形的面積一定都相等”的否定是( )
A．全等三角形的面積不一定都相等
B．不全等三角形的面積不一定都相等
C．存在兩個不全等三角形的面積相等
D．存在兩個全等三角形的面積不相等
【解析】 命題是省略量詞的全稱命題．易知選D.
【答案】 D
7．原命題為“若＜an，n∈N＋，則{an}為遞減數(shù)列”，關于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是( )
A．真，真，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
【解析】 從原命題的真假入手，由于＜an?an＋1＜an?{an}為遞減數(shù)列，即原命題和逆命題均為真命題，又原命題與逆否命題同真同假，則逆命題、否命題和逆否命題均為真命題，選A.
【答案】 A
8．給定兩個命題p，q.若p是q的必要而不充分條件，則p是q的( )
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解析】 q?p等價于p?q，pDq等價于qDp.故p是q的充分而不必要條件．
【答案】 A
9．一元二次方程ax2＋4x＋3＝0(a≠0)有一個正根和一個負根的充分不必要條件是( )
A．a(chǎn)＜0 B．a(chǎn)＞0
C．a(chǎn)＜－1 D．a(chǎn)＞1
【解析】 一元二次方程ax2＋4x＋3＝0(a≠0)有一個正根和一個負根?＜0，解得a＜0，故a＜－1是它的一個充分不必要條件．
【答案】 C
10．設集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m＞0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么點P(2,3)∈A∩(?UB)的充要條件是( )
【導學號：26160027】
A．m＞－1，n＜5 B．m＜－1，n＜5
C．m＞－1，n＞5 D．m＜－1，n＞5
【解析】 ∵P(2,3)∈A∩(?UB)，
∴滿足故
【答案】 A
11．下列命題中為真命題的是( )
A．?x0∈R，ex0≤0
B．?x∈R,2x>x2
C．a(chǎn)＋b＝0的充要條件是＝－1
D．a(chǎn)>1，b>1是ab>1的充分條件
【解析】 對于?x∈R，都有ex>0，故選項A是假命題；當x＝2時，2x＝x2，故選項B是假命題；當＝－1時，有a＋b＝0，但當a＋b＝0時，如a＝0，b＝0時，無意義，故選項C是假命題；當a>1，b>1時，必有ab>1，但當ab>1時，未必有a>1，b>1，如當a＝－1，b＝－2時，ab>1，但a不大于1，b不大于1，故a>1，b>1是ab>1的充分條件，選項D是真命題．
【答案】 D
12．下列命題中真命題的個數(shù)為( )
①命題“若x＝y(tǒng)，則sin x＝sin y”的逆否命題為真命題；
②設α，β∈，則“α<β ”是“tan α
0且x2－2ax＋1>0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．
【解析】 若對于任意實數(shù)x，都有x2＋ax－4a>0，則Δ＝a2＋16a<0，即－160，則Δ＝4a2－4<0，即－10且x2－2ax＋1>0”是真命題時，有a∈(－1,0)．而命題“對于任意實數(shù) x，都有x2＋ax－4a>0且x2－2ax＋1>0”是假命題，故a∈(－∞，－1]∪[0，＋∞)．
【答案】 (－∞，－1]∪[0，＋∞)
15．給出下列四個命題：
①“若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題；
②“相似三角形的周長相等”的否命題；
③“若b≤－1，則關于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有實數(shù)根”的逆否命題；
④若sin α＋cos α>1，則α必定是銳角．
其中是真命題的有________．(請把所有真命題的序號都填上)．
【解析】?、诳衫媚婷}與否命題同真假來判斷，易知“相似三角形的周長相等”的逆命題為假，故其否命題為假．④中α應為第一象限角．
【答案】?、佗?
16．已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(3－x)＞0，若p是q的充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是________．
【解析】 p：a－4＜x＜a＋4，q：2＜x＜3，
∵p是q的充分條件(即p?q)，∴q?p，
∴∴－1≤a≤6.
【答案】 [－1,6]
三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分10分)指出下列命題的構(gòu)成形式，并寫出構(gòu)成它的命題：
(1)36是6與18的倍數(shù)；
(2)方程x2＋3x－4＝0的根是x＝1；
(3)不等式x2－x－12>0的解集是{x|x>4或x<－3}．
【解】 (1)這個命題是p∧q的形式，其中p：36是6的倍數(shù)；q：36是18的倍數(shù)．
(2)這個命題是p∨q的形式，其中p：方程x2＋3x－4＝0的根是x＝1；q：方程x2＋3x－4＝0的根是x＝－1.
(3)這個命題是p∨q的形式，其中p：不等式x2－x－12>0的解集是{x|x>4}；q：不等式x2－x－12>0的解集是{x|x<－3}．
18．(本小題滿分12分)寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷其真假．
(1)全等三角形一定相似；
(2)末位數(shù)字是零的自然數(shù)能被5整除．
【解】 (1)逆命題：若兩個三角形相似，則它們一定全等，為假命題；
否命題：若兩個三角形不全等，則它們一定不相似，為假命題；
逆否命題：若兩個三角形不相似，則它們一定不全等，為真命題．
(2)逆命題：若一個自然數(shù)能被5整除，則它的末位數(shù)字是零，為假命題；
否命題：若一個自然數(shù)的末位數(shù)字不是零，則它不能被5整除，為假命題；
逆否命題：若一個自然數(shù)不能被5整除，則它的末位數(shù)字不是零，為真命題．
19．(本小題滿分12分)寫出下列命題的否定并判斷真假：
(1)所有自然數(shù)的平方是正數(shù)；
(2)任何實數(shù)x都是方程5x－12＝0的根；
(3)?x∈R，x2－3x＋3>0；
(4)有些質(zhì)數(shù)不是奇數(shù)．
【解】 (1)所有自然數(shù)的平方是正數(shù)，假命題；
否定：有些自然數(shù)的平方不是正數(shù)，真命題．
(2)任何實數(shù)x都是方程5x－12＝0的根，假命題；
否定：?x0∈R,5x0－12≠0，真命題．
(3)?x∈R，x2－3x＋3>0，真命題；
否定：?x0∈R，x－3x0＋3≤0，假命題．
(4)有些質(zhì)數(shù)不是奇數(shù)，真命題；
否定：所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)，假命題．
20．(本小題滿分12分)(2016汕頭高二檢測)設p：“?x0∈R，x－ax0＋1＝0”，q：“函數(shù)y＝x2－2ax＋a2＋1在x∈[0，＋∞)上的值域為[1，＋∞)”，若“p∨q”是假命題，求實數(shù)a的取值范圍．
【解】 由x－ax0＋1＝0有實根，
得Δ＝a2－4≥0?a≥2或a≤－2.
因為命題p為真命題的范圍是a≥2或a≤－2.
由函數(shù)y＝x2－2ax＋a2＋1在x∈[0，＋∞)上的值域為[1，＋∞)，得a≥0.
因此命題q為真命題的范圍是a≥0.
根據(jù)p∨q為假命題知：p，q均是假命題，p為假命題對應的范圍是－20；命題q：實數(shù)x滿足x2－5x＋6≤0.
(1)若a＝1，且p∧q為真，求實數(shù)x的取值范圍；
(2)若p是q成立的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．
【解】 (1)由x2－4ax＋3a2<0，
得(x－3a)(x－a)<0，
又a>0，所以a
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