中考數(shù)學 第一編 教材知識梳理篇 第七章 圓 第一節(jié) 圓的有關概念及性質試題
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第七章 圓 第一節(jié) 圓的有關概念及性質 ,河北8年中考命題規(guī)律) 年份 題號 考查點 考查內容 分值 總分 2016 9 三角形的內 切圓,外接圓 考查網格中三角形內心和外心位置 3 3 2015 6 三角形的 外接圓 考查圓內接三角形的外心位置 3 3 2014 25(1) 圓周角定理, 垂徑定理 以圓折疊為背景,利用垂徑定理,圓周角定理,(1)求弦心距及角度數(shù);(2)求折痕長 3 3 2013 14 垂徑定理 涉及利用垂徑定理求圓半徑,從而求陰影部分面積 3 3 2012 5 圓周角定理, 垂徑定理 圓周角定理與垂徑定理結合的結論判斷題 2 2 2011 16 圓周角定理 利用圓周角定理、等腰三角形性質求角度 3 3 2010 6 垂徑定理 的推論 根據(jù)垂徑定理的推論找圓弧所在圓對應的圓心 2 2 2009 5 圓周角定理 以正方形的內切圓為背景利用正方形對角線互相垂直及圓周角定理,求角度數(shù) 2 20 垂徑定理應用 以半圓形橋洞為背景,利用垂徑定理及解直角三角形解決實際問題 8 10 命題規(guī)律 縱觀河北8年中考,本節(jié)內容在中考中每年都要設置一道(除2009年兩題外)且為每年必考考點,分值2~10分,涉及的題型,填空、選擇都有,難度有的較高,也有中等難度的題,其中圓周角定理考查了2次,垂徑定理在選擇題中考了3次,解答題中考了1次,而垂徑定理與圓周角定理結合考查了2次,三角形的外心考查了1次. 命題預測 預計2017年河北中考在此考點上仍會以垂徑定理和圓周角定理為主,三種題型都有可能出,其難易度也不定,但命中基礎題可能性較大,應強化訓練. ,河北8年中考真題及模擬) 垂徑定理及推論(5次) 1.(2010河北6題2分)如圖,在55正方形網格中,一條圓弧經過A、B、C三點,那么這條圓弧所在圓的圓心是( B ) A.點P B.點Q C.點R D.點M (第1題圖) (第2題圖) 2.(2012河北5題2分)如圖,CD是⊙O的直徑,AB是弦(不是直徑),AB⊥CD于點E,則下列結論正確的是( D ) A.AE>BE B.= C.∠D=∠AEC D.△ADE∽△CBE 3.(2009河北20題8分)如圖是一個半圓形橋洞截面示意圖,圓心為O,直徑AB是河底線,弦CD是水位線,CD∥AB,且CD=24 m,OE⊥CD于點E.已測得sin∠DOE=. (1)求半徑OD; (2)根據(jù)需要,水面要以每小時0.5 m的速度下降,則經過多長時間才能將水排干? 解:(1)OD=13 m;(2)10小時. 圓周角定理及推論(4次) 4.(2009河北5題2分)如圖,四個邊長為1的小正方形拼成一個大正方形,A、B、O是小正方形頂點,⊙O的半徑為1,P是⊙O上的點,且位于右上方的小正方形內,則∠APB等于( B ) A.30 B.45 C.60 D.90 (第4題圖) (第5題圖) 5.(2011河北16題3分)如圖,點O為優(yōu)弧ACB所在圓的圓心,∠AOC=108,點D在AB延長線上,BD=BC,則∠D=__27__. 三角形的外心及圓內接三角形(2次) 6.(2016河北9題23分)如圖為44的網格,A,B,C,D,O均在格點上,則點O是( B ) A.△ACD的外心 B.△ABC的外心 C.△ACD的內心 D.△ABC的內心 ,(第6題圖)) ,(第7題圖)) 7.(2015河北6題3分)如圖,AC,BE是⊙O的直徑,弦AD與BE交于點F,下列三角形中,外心不是點O的是( B ) A.△ABE B.△ACF C.△ABD D.△ADE 中考考點清單) 圓的有關概念 圓的 定義 定義1:在一個平面內,一條線段繞著它固定的一個端點旋轉一周,另一個端點所形成的圖形叫做圓. 定義2:圓是到定點的距離①__等于__定長的所有點組成的圖形. 弦 連接圓上任意兩點的②__線段__叫做弦. 直徑 直徑是經過圓心的③__弦__,是圓內最④__長__的弦. 弧 圓上任意兩點間的部分叫做弧,弧有⑤優(yōu)弧、半圓、劣弧之分,能夠完全重合的弧叫做⑥等弧. 等圓 能夠重合的兩個圓叫做等圓. 同心圓 圓心相同的圓叫做同心圓. 圓的對稱性 圓的 對稱性 圓是軸對稱圖形,其對稱軸是任意一條經過⑦__圓心__的直線. 圓是中心對稱圖形,對稱中心為⑧圓心. 垂徑定理 定 理 垂直于弦的直徑⑨__平分__弦,并且平分弦所對的兩條⑩__弧__. 推 論 平分弦(不是直徑)的直徑?__垂直于__弦,并且?__平分__弦所對的兩條?。? 圓心角、 弧、弦之 間的關系 在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧或兩條弦中有一組量?__相等__,那么它們所對應的其余各組量也分別相等. 圓周角 圓周角 的定義 頂點在圓上,并且?__兩邊__都和圓相交的角叫做圓周角. 圓周角 定理 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的?__一半__. 推論1 同弧或等弧所對的圓周角?__相等__. 推論2 半圓(或直徑)所對的圓周角是?__直角__;90的圓周角所對的弦是?__直徑__. 推論3 圓內接四邊形的對角?__互補__. 【方法總結】 1.在解決與弦有關的問題時,作垂直于弦的直徑可以構造直角三角形,從而將求解轉化成解直角三角形的問題. 2.在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩個圓周角、兩條弧有一組量相等,那么它們所對應的其余各組量也相等. 中考重難點突破 垂徑定理及應用 【例1】(2016黃石中考)如圖所示,⊙O的半徑為13,弦AB的長度是24,ON⊥AB,垂足為N,則ON=( ) A.5 B.7 C.9 D.11 【解析】由題意可得,OA=13,∠ONA=90,AB=24,∴AN=12,∴ON===5. 【學生解答】A 1.(2016河北石家莊二十八中一模)如圖,DC是⊙O直徑,弦AB⊥CD于點F,連接BC,DB,則下列結論中錯誤的是( C ) A.= B.AF=BF C.OF=CF D.∠DBC=90 (第1題圖) (第2題圖) 2.(2016寧夏中考)如圖,在⊙O中,CD是直徑,弦AB⊥CD,垂足為E,連接BC.若AB=2,∠BCD=30,則⊙O的半徑為____. 與圓有關的角的計算 【例2】(1)(2016南昌中考)如圖(1),點A、B、C在⊙O上,CO的延長線交AB于點D,∠A=50,∠B=30,則∠ADC的度數(shù)為____; 圖(1) 圖(2) (2)(2016婁底中考)如圖(2),在⊙O中,AB為直徑,CD為弦,已知∠ACD=40,則∠BAD=____. 【學生解答】(1)110;(2)50 【點撥】求圓中角的度數(shù)時,通常要利用圓周角與圓心角及弧之間的關系,遇直徑時,一般聯(lián)想直徑所對圓周角為直角. 3.(2016紹興中考)如圖,BD是⊙O的直徑,點A,C在⊙O上,=,∠AOB=60,則∠BDC( D ) A.60 B.45 C.35 D.30 (第3題圖) (第4題圖) 4.(2016濟寧中考)如圖,在⊙O中,=,∠AOB=40,則∠ADC的度數(shù)是( C ) A.40 B.30 C.20 D.15 ,中考備考方略) 1.(2016畢節(jié)中考)如圖,已知⊙O的半徑為13,弦AB長為24,則點O到AB的距離是( B ) A.6 B.5 C.4 D.3 (第1題圖) (第2題圖) 2.(2016嘉興中考)如圖,⊙O的直徑CD垂直于弦AB于點E,且CE=2,DE=8,則AB的長為( D ) A.2 B.4 C.6 D.8 3.(2016婁底中考)如圖,已知AB是⊙O的直徑,∠D=40,則∠CAB的度數(shù)為( C ) A.20 B.40 C.50 D.70 ,(第3題圖)) ,(第4題圖)) 4.(2016茂名中考)如圖,A,B,C是⊙O上的三點,∠B=75,則∠AOC的度數(shù)是( A ) A.150 B.140 C.130 D.120 5.(2016樂山中考)如圖,C,D是以線段AB為直徑的⊙O上兩點,若CA=CD,則∠ACD=40,則∠CAB=( B ) A.10 B.20 C.30 D.40 ,(第5題圖)) ,(第6題圖)) 6.(2016玉林中考)如圖,CD是⊙O的直徑,已知∠1=30,則∠2=( C ) A.30 B.45 C.60 D.70 7.(2016石家莊二十八中二模)如圖是以△ABC的邊AB為直徑的半圓O,點C恰好在半圓上,過C作CD⊥AB交AB于D.已知cos∠ACD=,BC=4,則AC的長為( D ) A.1 B. C.3 D. (第7題圖) (第9題圖) 8.(2016邯鄲十一中)在半徑為13的⊙O中,弦AB∥CD,弦AB和CD的距離為7,若AB=24,則CD的長為( D ) A.10 B.4 C.10或 D.10或2 9.(2016河北唐山友誼中學一模)如圖,一個寬為2 cm的刻度尺(單位:cm),放在圓形玻璃杯的杯口上,刻度尺的一邊與杯口外沿相切,另一邊與杯口外沿兩個交點處的讀數(shù)恰好是3和9,那么玻璃杯的杯口外沿半徑為____cm. 10.(2016黑龍江中考)直徑為10 cm的⊙O中,弦AB=5 cm,則弦AB所對的圓周角是__30或150__. 11.(2016巴中中考)如圖,∠A是⊙O的圓周角,∠OBC=55,則∠A=__35__. ,(第11題圖)) ,(第12題圖)) 12.(2016河北唐山友誼中學一模)如圖,⊙O是△ABC的外接圓,直徑AD=4,∠ABC=∠DAC,則AC長為__2__. 13.(2017預測)如圖,邊長為1的小正方形構成的網格中,半徑為1的⊙O在格點上,則∠AED的正切值為____. 14.(2016安徽中考)在⊙O中,直徑AB=6,BC是弦,∠ABC=30,點P在BC上,點Q在⊙O上,且OP⊥PQ. (1)如圖(1),當PQ∥AB時,求PQ的長度; (2)如圖(2),當點P在BC上移動時,求PQ長的最大值. 解:(1)連接OQ,如圖,∵PQ∥AB,OP⊥PQ,∴OP⊥AB,在Rt△OBP中,∵tan∠B=,∴OP=3tan30=,在Rt△OPQ中,∵OP=,OQ=3,∴PQ==;(2)連接OQ,如圖,在Rt△OPQ中,PQ==,當OP的長最小時,PQ的長最大,此時OP⊥BC,則OP=OB=,∴PQ長的最大值為=. 15.(2017中考預測)已知⊙O的半徑為13 cm,弦AB∥CD,AB=24 cm,CD=10 cm,則AB、CD之間的距離為( D ) A.17 cm B.7 cm C.12 cm D.17 cm或7 cm 16.(2016聊城中考)如圖,四邊形ABCD內接于⊙O,F(xiàn)是上一點,且=,連接CF并延長交AD的延長線于點E, 連接AC若∠ABC=105,∠BAC=25,則∠E的度數(shù)為( B ) A.45 B.50 C.55 D.60 ,(第16題圖)) ,(第17題圖)) 17.(2016杭州中考)如圖,已知AC是⊙O的直徑,點B在圓周上(不與A、C重合),點D在AC的延長線上,連接BD交⊙O于點E,若∠AOB=3∠ADB,則( D ) A.DE=EB B.DE=EB C.DE=DO D.DE=OB 18.(2016臺灣中考)如圖,圓O通過五邊形OABCD的四個頂點.若=150,∠A=65,∠D=60,則的度數(shù)為( B ) A.25 B.40 C.50 D.55 ,(第18題圖)) ,(第19題圖)) 19.(2016達州中考)如圖,半徑為3的⊙A經過原點O和點C(0,2),B是y軸左側⊙A優(yōu)弧上一點,則tan∠OBC為____. 20.(2016龍東中考)如圖,MN是⊙O的直徑,MN=4,∠AMN=40,點B為AN的中點,點P是直徑MN上的一個動點,則PA+PB的最小值為__2__. 21.(2016河南中考)如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90,點M是AC的中點,以AB為直徑作⊙O分別交AC,BM于點D,E. (1)求證:MD=ME; (2)填空:①若AB=6,當AD=2DM時,DE=________; ②連接OD,OE,當∠A的度數(shù)為________時,四邊形ODME是菱形. 解:(1)在Rt△ABC中,點M是AC的中點, ∴MA=MB,∴∠A=∠MBA.∵四邊形ABED是圓內接四邊形, ∴∠ADE+∠ABE=180, 又∠ADE+∠MDE=180, ∴∠MDE=∠MBA. 同理可證:∠MED=∠A,∴∠MDE=∠MED,∴MD=ME;(2)①2;②60. 22.(2015德州中考)如圖,⊙O的半徑為1,A,P,B,C是⊙O上的四個點,∠APC=∠CPB=60. (1)判斷△ABC的形狀:__等邊三角形__; (2)試探究線段PA,PB,PC之間的數(shù)量關系,并證明你的結論; (3)當點P位于的什么位置時,四邊形APBC的面積最大?求出最大面積. 解:(2)PA+PB=PC.證明:如圖,在PC上截取PD=PA,連接AD.∵∠APC=60, ∴△PAD是等邊三角形,∴PA=AD,∠PAD=60.又∵∠BAC=60, ∴∠PAB=∠DAC. ∵AB=AC, ∴△PAB≌△DAC,∴PB=DC. ∵PD+DC=PC, ∴PA+PB=PC; (3)當點P為的中點時,四邊形APBC面積最大.理由如下:如圖,過點P作PE⊥AB,垂足為E, 過點C作CF⊥AB,垂足為F.∵S△PAB=ABPE,S△ABC=ABCF,∴S四邊形APBC=AB(PE+CF).∵當點P為的中點時,PE+CF =PC, PC為⊙O直徑, ∴四邊形APBC面積最大. 又∵⊙O的半徑為1, ∴其內接正三角形的邊長AB=,∴S四邊形APBC=2=.- 配套講稿:
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