高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 小題速解方略—爭取高分的先機(jī) 專題五 立體幾何綜合提升訓(xùn)練 理

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專題五　綜合提升訓(xùn)練(五) (用時(shí)40分鐘，滿分80分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．(2016吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模)已知兩條不同的直線l，m和兩個(gè)不同的平面α，β，有如下命題： ①若l?α，m?α，l∥β，m∥β，則α∥β；②若l?α，l∥β，α∩β＝m，則l∥m；③若α⊥β，l⊥β，則l∥α. 其中正確命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．3　　　　　　　　 B．2 C．1 D．0 解析：選C.若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行，所以①錯(cuò)誤；若一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行，所以②正確；若α⊥β，l⊥β，則l∥α或l?α，所以③錯(cuò)誤．綜上可知，選C. 2．(2016河北唐山模擬)已知三棱錐PABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝3，AB＝BC＝2，則球O的表面積為(　　) A．13π B．17π C．52π D．68π 解析：選B.如圖所示，可將此三棱錐放入長方體中，則此三棱錐的外接球與長方體的外接球相同，球心為PC的中點(diǎn)．因?yàn)镻C＝＝，所以球O的半徑R＝，所以此球的表面積為S＝4π2＝17π. 3．(2016哈爾濱六中適應(yīng)性考試)已知一個(gè)四棱錐的側(cè)棱長都相等，底面是正方形，其正視圖如圖所示，則該四棱錐的表面積和體積分別是(　　) A．4，8 B．4， C．4(＋1)， D．8,8 解析：選C.由題知該四棱錐為正四棱錐，如圖，由該四棱錐的正視圖可知，四棱錐的底面邊長AB＝2，高PO＝2，則四棱錐的斜高PE＝＝. 所以該四棱錐的表面積S＝4＋42＝4(＋1)， 體積V＝222＝.故選C. 4．(2016吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模)設(shè)a，b，c是三條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中，其逆命題不成立的是(　　) A．當(dāng)c⊥α?xí)r，若c⊥β，則α∥β B．當(dāng)b?α?xí)r，若b⊥β，則α⊥β C．當(dāng)b?α，且c是a在α內(nèi)的射影時(shí)，若b⊥c，則a⊥b D．當(dāng)b?α，且c?α?xí)r，若c∥α，則b∥c 解析：選B.A的逆命題為：當(dāng)c⊥α?xí)r，若α∥β，則c⊥β，由線面垂直的性質(zhì)知c⊥β；B的逆命題為：當(dāng)b?α?xí)r，若α⊥β，則b⊥β，顯然錯(cuò)誤；C的逆命題為：當(dāng)b?α，且c是a在α內(nèi)的射影時(shí)，若a⊥b，則b⊥c，由三垂線的逆定理知b⊥c；D的逆命題為：當(dāng)b?α，且c?α?xí)r，若b∥c，則c∥α，由線面平行的判定定理可得c∥α.故選B. 5．有一圓錐內(nèi)接于球O，其底面圓周和頂點(diǎn)均在球面上，底面積S＝3π，球的半徑R＝2，則此圓錐的體積為(　　) A．π B．3π C．π或3π D．2π 解析：選C.由πr2＝3π得，圓錐的底面半徑r＝.設(shè)O1為圓錐底面圓的圓心，OO1＝x，則x＝＝＝1，圓錐的高h(yuǎn)＝R＋x＝3或h＝R－x＝1，所以圓錐的體積V＝Sh＝3π3＝3π或V＝Sh＝3π1＝π. 6．(2016廣西南寧市、百色市聯(lián)考)已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖、側(cè)視圖均是由三角形和半圓構(gòu)成，俯視圖由圓與其內(nèi)接三角形構(gòu)成，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得此幾何體的體積為(　　) A.＋ B.＋ C.＋2 D.＋2 解析：選A.由三視圖可知，該幾何體下面是半徑為的半球，上面是一個(gè)底面是腰為2的等腰直角三角形、高是2的三棱錐，其體積V＝π()3＋222＝π＋，故選A. 7．(2016浙江溫州十校聯(lián)考)如圖，平面PAC⊥平面ABC，△PAC是正三角形，∠CAB＝90，AB＝2AC.則直線BC與平面PAB所成角的正弦值為(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：選C.∵AB⊥AC，且平面PAC⊥平面ABC，∴AB⊥平面PAC.取AP的中點(diǎn)D，連接CD，DB，則CD⊥PA，又AB⊥CD，AB∩PA＝A，∴CD⊥平面PAB，則∠CBD為所求線面角．設(shè)AC＝1，則CD＝，AB＝2，BC＝，∴sin∠CBD＝＝，即直線BC與平面PAB所成角的正弦值為. 8．如圖為一個(gè)幾何體的側(cè)視圖和俯視圖，若該幾何體的體積為，則它的正視圖為(　　) 解析：選B.由題知該幾何體為組合體，上方為四棱錐，下方為正方體，四棱錐頂點(diǎn)在底面上的射影為正方體一邊上的中點(diǎn)，結(jié)合選項(xiàng)圖可知，選B. 9．半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，則這個(gè)半球的體積與正方體的體積之比為(　　) A.π∶6 B.π∶2 C．π∶2 D．5π∶12 解析：選B.正方體底面的中心即球的球心，設(shè)球的半徑為R，正方體的棱長為a，則有R2＝a2＋2，得R2＝a2，所以半球的體積與正方體的體積之比為πR3∶a3＝π∶2. 10．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，命題p：若m∥n，m∥β，則n∥β；命題q：若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則m⊥α.則下列結(jié)論正確的是(　　) A．p∧(綈q)是真命題 B．(綈p)∨q是真命題 C．(綈p)∧q是假命題 D．p∨q是假命題 解析：選B.對(duì)于命題p，若m∥n，m∥β，則n也可能在平面β內(nèi)，故命題p為假命題；對(duì)于命題q，若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則m⊥α，命題q是真命題，故綈p為真命題，綈q為假命題，故(綈p)∨q是真命題，選B. 11．在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)A，B，C，D在球O上，球O與BA1的另一個(gè)交點(diǎn)為E，且AE⊥BA1，則球O的表面積為(　　) A．6π B．8π C．12π D．16π 解析：選B.因?yàn)锳B＝2，AE⊥BA1，所以AE＝BE＝，O為底面ABCD的中心，球O的半徑為，所以球O的表面積為4π()2＝8π. 12．已知正三棱錐PABC，點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為的球面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為(　　) A. B. C. D. 解析：選C.因?yàn)樵谡忮FPABC中，PA，PB，PC兩兩互相垂直，所以可以把該正三棱錐看作一個(gè)正方體的一部分(如圖所示)，此正方體內(nèi)接于球，正方體的體對(duì)角線為球的直徑，球心為正方體體對(duì)角線的中點(diǎn)，球心到截面ABC的距離為球的半徑減去正三棱錐PABC在底面ABC上的高．已知球的半徑為，所以正方體的棱長為2，可求得正三棱錐PABC在底面ABC上的高為，所以球心到截面ABC的距離為－＝. 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上) 13．在三棱錐PABC中，側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，PA＝1，PB＝2，PC＝3，則三棱錐的外接球的表面積為________． 解析：由題知，三棱錐PABC的外接球的直徑為＝，則球的表面積為4π2＝14π. 答案：14π 14．如圖所示，ABCDA1B1C1D1是棱長為a的正方體，M，N分別是棱A1B1，B1C1的中點(diǎn)，P是棱AD上的一點(diǎn)，AP＝，過點(diǎn)P，M，N的平面交CD于點(diǎn)Q，則PQ＝________. 解析：連接AC，易知MN∥平面ABCD，∴MN∥PQ. 又MN∥AC，∴PQ∥AC. ∵AP＝，∴＝＝＝， ∴PQ＝AC＝a. 答案：a 15．已知三棱錐PABC的所有棱長都相等，現(xiàn)將三棱錐PABC沿PA，PB，PC三條側(cè)棱剪開，將其表面展開成一個(gè)平面圖形，若這個(gè)平面圖形外接圓的半徑為2，則三棱錐PABC的內(nèi)切球的體積為________． 解析：根據(jù)題意知，該幾何體為正三棱錐，如圖，D為AB的中點(diǎn)，O為展開后平面圖形外接圓的圓心，設(shè)棱長為a，則PD＝a，OD＝a，OP＝＝a.易知OD＋PD＝a＋a＝a＝2，故a＝3，V三棱錐PABC＝a2a＝9.設(shè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為r，則4a2r＝9，解得r＝，所以內(nèi)切球的體積V＝π3＝. 答案： 16．如圖，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分別是AD，BE的中點(diǎn)，將△ADE沿AE折起．則下列說法正確的是________．(填上所有正確說法的序號(hào)) ①不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))都有MN∥平面DEC； ②不論D折至何位置都有MN⊥AE； ③不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))都有MN∥AB； ④在折起過程中，一定存在某個(gè)位置，使EC⊥AD. 解析：如圖，設(shè)Q，P分別為CE，DE的中點(diǎn)，可得四邊形MNQP是矩形，所以①②正確；不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))都有MN與AB是異面直線，不可能MN∥AB，所以③錯(cuò)；當(dāng)平面ADE⊥平面ABCD時(shí)，可得EC⊥平面ADE，故EC⊥AD，④正確． 答案：①②④