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第2講 不等式與線性規(guī)劃
1．(2016浙江)已知實數(shù)a，b，c，( )
A．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2＋c|≤1，則a2＋b2＋c2＜100
B．若|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|≤1，則a2＋b2＋c2＜100
C．若|a＋b＋c2|＋|a＋b－c2|≤1，則a2＋b2＋c2＜100
D．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2－c|≤1，則a2＋b2＋c2＜100
答案 D
解析 由于此題為選擇題，可用特值排除法找正確選項．
對選項A，當a＝b＝10，c＝－110時，可排除此選項；
對選項B，當a＝10，b＝－100，c＝0時，可排除此選項；
對選項C，當a＝10，b＝－10，c＝0時，可排除此選項．
故選D.
2．(2016課標全國丙)若x，y滿足約束條件 則z＝x＋y的最大值為________．
答案
解析 滿足約束條件的可行域為以A(－2，－1)，B(0,1)，C為頂點的三角形內(nèi)部及邊界，如圖，過C時取得最大值.
3．(2016上海)設(shè)x∈R，則不等式|x－3|<1的解集為________．
答案 (2,4)
解析 －1
0，b>0，若關(guān)于x，y的方程組無解，則a＋b的取值范圍是________．
答案 (2，＋∞)
解析 由已知得，ab＝1，且a≠b，
∴a＋b>2＝2.
1.利用不等式性質(zhì)比較大小，利用基本不等式求最值及線性規(guī)劃問題是高考的熱點；
2.一元二次不等式常與函數(shù)、數(shù)列結(jié)合考查一元二次不等式的解法和參數(shù)取值范圍；
3.利用不等式解決實際問題.
熱點一 不等式的解法
1．一元二次不等式的解法
先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相應一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根據(jù)相應二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集．
2．簡單分式不等式的解法
(1)>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
3．指數(shù)不等式、對數(shù)不等式及抽象函數(shù)不等式，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解．
例1 (1)已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b (a，b∈R)的值域為[0，＋∞)，若關(guān)于x的不等式f(x)0的解集為( )
A．{x|x<－1或x>－lg 2}
B．{x|－1－lg 2}
D．{x|x<－lg 2}
答案 (1)9 (2)D
解析 (1)由值域為[0，＋∞)，可知當x2＋ax＋b＝0時有Δ＝a2－4b＝0，即b＝，
∴f(x)＝x2＋ax＋b＝x2＋ax＋＝2.
∴f(x)＝20)的解集為(x1，x2)，且x2－x1＝15，則a＝________.
(2)不等式2＜4的解集為________．
答案 (1) (2)(－1,2)
解析 (1)由x2－2ax－8a2<0，得(x＋2a)(x－4a)<0，因為a>0，所以不等式的解集為(－2a,4a)，即x2＝4a，x1＝－2a，由x2－x1＝15，得4a－(－2a)＝15，解得a＝.
(2)∵2＜4＝22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，解得－10，y>0，xy＝p(定值)，當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值2(簡記為：積定，和有最小值)；(2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，當x＝y(tǒng)時，xy有最大值s2(簡記為：和定，積有最大值)．
例2 (1)已知向量a＝(m,2)，b＝(1，n－1)，若a⊥b，則2m＋4n的最小值為( )
A．2 B．2
C．4 D．8
(2)設(shè)實數(shù)m，n滿足m>0，n<0，且＋＝1，則4m＋n( )
A．有最小值9 B．有最大值9
C．有最大值1 D．有最小值1
答案 (1)C (2)C
解析 (1)因為向量a＝(m,2)，b＝(1，n－1)，a⊥b，
所以m＋2(n－1)＝0，即m＋2n＝2.
所以2m＋4n≥2＝2＝2＝4(當且僅當即時，等號成立)，
所以2m＋4n的最小值為4，故選C.
(2)因為＋＝1，
所以4m＋n＝(4m＋n)＝5＋＋，
又m>0，n<0，所以－－≥4，當且僅當n＝－2m時取等號，
故5＋＋≤5－4＝1，
當且僅當m＝，n＝－1時取等號，故選C.
思維升華 在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現(xiàn)錯誤．
跟蹤演練2 (1)若正數(shù)a，b滿足a＋b＝1，則＋的最大值為________．
(2)若圓(x－2)2＋(y－2)2＝9上存在兩點關(guān)于直線ax＋by－2＝0(a>0，b>0)對稱，則＋的最小值為__________．
答案 (1) (2)16
解析 (1)∵正數(shù)a，b滿足a＋b＝1，
∴＋＝
＝
＝＝＝2－
≤2－＝2－＝，
當且僅當a＝b＝時取等號，
∴＋的最大值為.
(2)圓(x－2)2＋(y－2)2＝9的圓心坐標為(2,2)，
由已知得直線ax＋by－2＝0必經(jīng)過圓心(2,2)，即a＋b＝1.
所以＋＝(＋)(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16(當且僅當＝，即a＝，b＝時等號成立)，所以＋的最小值為16.
熱點三 簡單的線性規(guī)劃問題
解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再注意目標函數(shù)表示的幾何意義，數(shù)形結(jié)合找到目標函數(shù)達到最值時可行域的頂點(或邊界上的點)，但要注意作圖一定要準確，整點問題要驗證解決．
例3 (1)已知實數(shù)x，y滿足約束條件則z＝x＋2y的最大值與最小值之和為( )
A．－2 B．14
C．－6 D．2
(2)若變量x，y滿足約束條件且目標函數(shù)z＝－kx＋y當且僅當時取得最小值，則實數(shù)k的取值范圍是________．
答案 (1)A (2)
解析 (1)根據(jù)x，y的約束條件畫出可行域，如圖陰影部分所示，其中A，B(6,0)，C(0,4)．
由z＝x＋2y可知，當直線y＝－x＋過點A時，z取最小值，即zmin＝－＋2＝－10；當直線y＝－x＋過點C時，z取最大值，即zmax＝0＋24＝8，∴zmin＋zmax＝－2.故選A.
(2)由題意知不等式組所表示的可行域為如圖所示的△ABC及其內(nèi)部，其中A(3,1)，B(4,2)，C(1,2)．將目標函數(shù)變形得y＝kx＋z，當z取得最小值時，直線的縱截距最小．由于直線當且僅當經(jīng)過點(3,1)時縱截距最小，結(jié)合動直線y＝kx＋z繞定點A旋轉(zhuǎn)進行分析，知－0，b>0，且a＋2b＝1，
所以ab＝a2b≤()2＝，
當且僅當a＝2b＝，即a＝，b＝時，“＝”成立．
故選D.
2．在R上定義運算：＝ad－bc，若不等式≥1對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的最大值為( )
A．－ B．－ C. D.
押題依據(jù) 不等式的解法作為數(shù)學解題的一個基本工具，在高考中是必考內(nèi)容．往往與函數(shù)的單調(diào)性相結(jié)合，最后轉(zhuǎn)化成一元一次不等式或一元二次不等式．
答案 D
解析 由定義知，不等式≥1等價于x2－x－(a2－a－2)≥1，
∴x2－x＋1≥a2－a對任意實數(shù)x恒成立，
∵x2－x＋1＝(x－)2＋≥，
∴a2－a≤，解得－≤a≤，
則實數(shù)a的最大值為.
3．已知實數(shù)x，y滿足則z＝x＋2y的最小值為( )
A．2 B. C. D．5
押題依據(jù) 線性規(guī)劃的實質(zhì)是數(shù)形結(jié)合思想的應用，利用線性規(guī)劃的方法求一些線性目標函數(shù)的最值是近幾年高考的熱點．
答案 B
解析 由題意可得不等式組所表示的可行域為如圖中陰影部分所示的四邊形ABCD及其內(nèi)部．
因為目標函數(shù)z＝x＋2y可化為y＝－＋，其表示過可行域上的點(x，y)，斜率為－且在y軸上的截距為的直線；由圖可知，當z＝x＋2y過點D(，1)時，z取得最小值zmin＝＋2＝.故選B.
4．若不等式x2＋2x<＋對任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是( )
A．(－4,2)
B．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
D．(－2,0)
押題依據(jù) “恒成立”問題是函數(shù)和不等式交匯處的重要題型，可綜合考查不等式的性質(zhì)，函數(shù)的值域等知識，是高考的熱點．
答案 A
解析 不等式x2＋2x<＋對任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，
等價于不等式x2＋2xb，則下列不等式中恒成立的是( )
A．ln a>ln b B.<
C．a(chǎn)2>ab D．a(chǎn)2＋b2>2ab
答案 D
解析 只有當a>b>0時A成立；只有當a，b同號時B成立；只有當a>0時C成立；因為a≠b，所以D恒成立，故選D.
2．若函數(shù)f(x)＝則“00時，由log3x≥1可得x≥3，
當x≤0時，由()x≥1可得x≤0，
∴不等式f(x)≥1的解集為(－∞，0]∪[3，＋∞)．
7．要制作一個容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器．已知該容器的底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是________元．
答案 160
解析 由題意知，體積V＝4 m3，高h＝1 m，
所以底面積S＝4 m2，設(shè)底面矩形的一條邊長是x m，則另一條邊長是 m，又設(shè)總造價是y元，則y＝204＋10≥80＋20＝160，當且僅當2x＝，即x＝2時取得等號．
8．已知x>0，y>0，若＋>m2＋2m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________．
答案 (－4,2)
解析 由題意可得m2＋2m應小于＋的最小值，所以由基本不等式可得＋≥2 ＝8，
所以m2＋2m<8?－40}，B＝{x∈R|2x2－3(1＋a)x＋6a>0}，D＝A∩B，求集合D.(用區(qū)間表示)
解 令g(x)＝2x2－3(1＋a)x＋6a，
其對稱軸方程為x＝(1＋a)，
Δ＝9(1＋a)2－48a＝9a2－30a＋9＝3(3a－1)(a－3)．
①當00，g(0)＝6a>0，
方程g(x)＝0的兩個根分別為
00恒成立，
所以D＝A∩B＝(0，＋∞)．
綜上所述，當0
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