高考數學（四海八荒易錯集）專題14 直線和圓 理
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專題14 直線和圓 1．已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關系是( ) A．內切B．相交C．外切D．相離 答案 B 解析 ∵圓M：x2＋(y－a)2＝a2， ∴圓心坐標為M(0，a)，半徑r1為a， 2．已知點A(2，3)，B(－3，－2)，若直線kx－y＋1－k＝0與線段AB相交，則k的取值范圍是( ) A．[，2] B．(－∞，]∪[2，＋∞) C．(－∞，1]∪[2，＋∞) D．[1,2] 答案 B 解析 直線kx－y＋1－k＝0恒過點P(1,1)， kPA＝＝2，kPB＝＝； 若直線kx－y＋1－k＝0與線段AB相交，結合圖象(圖略)得k≤或k≥2，故選B. 3．若方程(x－2cosθ)2＋(y－2sinθ)2＝1(0≤θ<2π)的任意一組解(x，y)都滿足不等式y(tǒng)≥x，則θ的取值范圍是( ) A．[，] B．[，] C．[，π] D．[，π] 答案 D 解析 根據題意可得，方程(x－2cosθ)2＋(y－2sinθ)2＝1(0≤θ<2π)的任意一組解(x，y)都滿足不等式y(tǒng)≥x，表示方程(x－2cosθ)2＋(y－2sinθ)2＝1(0≤θ<2π)在y＝x的左上方(包括相切)， ∴ ∴sin≥，∵0≤θ<2π，∴θ∈[，π]，故選D. 4．已知點P(x，y)在直線x＋2y＝3上移動，當2x＋4y取得最小值時，過點P引圓(x－)2＋(y＋)2＝的切線，則此切線段的長度為________． 答案 解析 由題意可知， 5．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標是______________．半徑是________． 答案 (－2，－4) 5 解析 由已知方程表示圓，則a2＝a＋2， 解得a＝2或a＝－1. 當a＝2時，方程不滿足表示圓的條件，故舍去． 當a＝－1時，原方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0， 化為標準方程為(x＋2)2＋(y＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)為圓心，半徑為5的圓． 6．設直線y＝x＋2a與圓C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B兩點，若|AB|＝2，則圓C的面積為________． 答案 4π 解析 圓C：x2＋y2－2ay－2＝0，即C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，圓心為C(0，a)，C到直線y＝x＋2a的距離為d＝＝.又由|AB|＝2，得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2，所以圓的面積為π(a2＋2)＝4π. 7．已知以點C(t，)為圓心的圓與x軸交于點O，A，與y軸交于點O，B，其中O為原點． (1)求證：△OAB的面積為定值； (2)設直線y＝－2x＋4與圓C交于點M，N，若|OM|＝|ON|，求圓C的方程． (1)證明 由題意知圓C過原點O，且|OC|2＝t2＋. 則圓C的方程為(x－t)2＋(y－)2＝t2＋， 令x＝0，得y1＝0，y2＝； 令y＝0，得x1＝0，x2＝2t. 故S△OAB＝|OA||OB|＝|2t|||＝4， 即△OAB的面積為定值． (2)解 ∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|， ∴OC垂直平分線段MN. ∵kMN＝－2，∴kOC＝，∴直線OC的方程為y＝x， 線y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合題意，應舍去． 綜上，圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5. 易錯起源1、直線的方程及應用 例1、(1)已知直線l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0與l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，則k的值是( ) A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2 (2)已知兩點A(3,2)和B(－1,4)到直線mx＋y＋3＝0的距離相等，則m的值為( ) A．0或－ B.或－6 C．－或 D．0或 答案 (1)C (2)B 【變式探究】已知直線l1：ax＋2y＋1＝0與直線l2：(3－a)x－y＋a＝0，若l1⊥l2，則a的值為( ) A．1 B．2 C．6 D．1或2 答案 D 解析 由l1⊥l2，則a(3－a)－2＝0， 即a＝1或a＝2，選D. 【名師點睛】 (1)求解兩條直線的平行或垂直問題時要考慮斜率不存在的情況； (2)對解題中可能出現的特殊情況，可用數形結合的方法分析研究． 【錦囊妙計，戰(zhàn)勝自我】 1．兩條直線平行與垂直的判定 若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若給出的直線方程中存在字母系數，則要考慮斜率是否存在． 2．求直線方程 要注意幾種直線方程的局限性．點斜式、兩點式、斜截式要求直線不能與x軸垂直．而截距式方程不能表示過原點的直線，也不能表示垂直于坐標軸的直線． 3．兩個距離公式 (1)兩平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0， l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝. (2)點(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離公式d＝. 易錯起源2、圓的方程及應用 例2、(1)若圓C經過(1,0)，(3,0)兩點，且與y軸相切，則圓C的方程為( ) A．(x－2)2＋(y2)2＝3 B．(x－2)2＋(y)2＝3 C．(x－2)2＋(y2)2＝4 D．(x－2)2＋(y)2＝4 (2)已知圓M的圓心在x軸上，且圓心在直線l1：x＝－2的右側，若圓M截直線l1所得的弦長為2，且與直線l2：2x－y－4＝0相切，則圓M的方程為( ) A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝4 C．x2＋(y－1)2＝4 D．x2＋(y＋1)2＝4 答案 (1)D (2)B 所以圓M的方程為(x＋1)2＋y2＝4.故選B. 【變式探究】(1)一個圓經過橢圓＋＝1的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標準方程為________________． (2)兩條互相垂直的直線2x＋y＋2＝0和ax＋4y－2＝0的交點為P，若圓C過點P和點M(－3,2)，且圓心在直線y＝x上，則圓C的標準方程為______________． 答案 (1)2＋y2＝ (2)(x＋6)2＋(y＋3)2＝34 解析 (1)由題意知圓過(4,0)，(0,2)，(0，－2)三點， (4,0)，(0，－2)兩點的垂直平分線方程為y＋1＝－2(x－2)， 令y＝0，解得x＝，圓心為，半徑為. 得該圓的標準方程為(x－)2＋y2＝. 【名師點睛】 解決與圓有關的問題一般有兩種方法：(1)幾何法，通過研究圓的性質、直線和圓、圓與圓的位置關系，進而求得圓的基本量和方程；(2)代數法，即用待定系數法先設出圓的方程，再由條件求得各系數． 【錦囊妙計，戰(zhàn)勝自我】 1．圓的標準方程 當圓心為(a，b)，半徑為r時，其標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特別地，當圓心在原點時，方程為x2＋y2＝r2. 2．圓的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以(－，－)為圓心，為半徑的圓． 易錯起源3、直線與圓、圓與圓的位置關系 例3、(1)已知直線2x＋(y－3)m－4＝0(m∈R)恒過定點P，若點P平分圓x2＋y2－2x－4y－4＝0的弦MN，則弦MN所在直線的方程是( ) A．x＋y－5＝0 B．x＋y－3＝0 C．x－y－1＝0 D．x－y＋1＝0 (2)已知P(x，y)是直線kx＋y＋4＝0(k>0)上一動點，PA，PB是圓C：x2＋y2－2y＝0的兩條切線，A，B是切點，若四邊形PACB的最小面積是2，則k的值為( ) A．3 B. C．2 D．2 答案 (1)A (2)D 解析 (1)對于直線方程2x＋(y－3)m－4＝0(m∈R)，取y＝3，則必有x＝2，所以該直線恒過定點P(2,3)． 設圓心是C，則易知C(1,2)， 所以kCP＝＝1， 由垂徑定理知CP⊥MN，所以kMN＝－1. 又弦MN過點P(2,3)， 故弦MN所在直線的方程為y－3＝－(x－2)， 即x＋y－5＝0. 【變式探究】(1)若直線3x＋4y＝b與圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，則b的值是( ) A．－2或12 B．2或－12 C．－2或－12 D．2或12 (2)已知在平面直角坐標系中，點A(2，0)，B(0,1)到直線l的距離分別為1,2，則這樣的直線l共有________條． 答案 (1)D (2)3 【名師點睛】 (1)討論直線與圓及圓與圓的位置關系時，要注意數形結合，充分利用圓的幾何性質尋找解題途徑，減少運算量． (2)圓上的點與圓外點的距離的最值問題，可以轉化為圓心到點的距離問題；圓上的點與直線上點的距離的最值問題，可以轉化為圓心到直線的距離問題；圓上的點與另一圓上點的距離的最值問題，可以轉化為圓心到圓心的距離問題． 【錦囊妙計，戰(zhàn)勝自我】 1．直線與圓的位置關系：相交、相切和相離，判斷的方法主要有點線距離法和判別式法． (1)點線距離法：設圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r，則d
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