《平面向量的數(shù)量積》PPT課件.ppt
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第三節(jié)平面向量的數(shù)量積,第四章平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入,,考綱要求,1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角,會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.,,課前自修,知識(shí)梳理,一、平面向量的數(shù)量積的定義1.向量a,b的夾角:已知兩個(gè)非零向量a,b,過O點(diǎn)作,則∠AOB=θ(0≤θ≤180)叫做向量a,b的夾角.當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量a,b同方向時(shí),θ=0,當(dāng)且僅當(dāng)a,b反方向時(shí),θ=180,同時(shí)0與其他任何非零向量之間不談夾角這一問題.,2.a(chǎn)與b垂直:如果a,b的夾角為90,則稱a與b垂直,記作a⊥b.3.a(chǎn)與b的數(shù)量積:兩個(gè)非零向量a,b,它們的夾角為θ,則|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作ab,即ab=|a||b|cosθ,規(guī)定0a=0,非零向量a與b當(dāng)且僅當(dāng)a⊥b時(shí),θ=90,這時(shí)ab=0.,5.a(chǎn)b的幾何意義:ab等于a的長度與b在a方向上的投影的乘積.二、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a,b是兩個(gè)非零向量,e是單位向量,于是有:1.ea=ae=|a|cosθ.2.a(chǎn)⊥b?ab=0.,三、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律1.交換律成立:ab=ba.2.對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立:(λa)b=λ(ab)=a(λb)(λ∈R).3.分配律成立:(ab)c=acbc=c(ab).,基礎(chǔ)自測,1.(2012福建卷)已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),則a⊥b的充要條件是()A.x=-B.x=-1C.x=5D.x=0,解析:因?yàn)閍⊥b,所以ab=0,即(x-1)2+21=0,解得x=0.故選D.答案:D,4.已知平面向量α,β,|α|=1,|β|=2,α⊥(α-2β),則|2α+β|的值是________.,,,考點(diǎn)探究,,考點(diǎn)一,平面向量的數(shù)量積的概念,【例1】判斷下列各命題正確與否.(1)若a≠0,ab=ac,則b=c;(2)若ab=ac,則b≠c當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)成立;(3)(ab)c=a(bc)對(duì)任意向量a,b,c都成立;(4)對(duì)任一向量a,有a2=|a|2;(5)0a=0;(6)0a=0.思路點(diǎn)撥:(1)(2)可由數(shù)量積的定義判斷;(3)通過計(jì)算判斷;(4)把a(bǔ)2轉(zhuǎn)化成aa=|a|2可判斷;對(duì)于(5)與(6),要清楚0a為零向量,而0a為零.,解析:(1)∵ab=ac,∴|a||b|cosα=|a||c|cosβ(其中α,β分別為a與b,a與c的夾角).∵|a|≠0,∴|b|cosα=|c|cosβ.∵cosα與cosβ不一定相等,∴|b|與|c|不一定相等.∴b與c也不一定相等.∴(1)不正確.,(2)若ab=ac,則|a||b|cosα=|a||c|cosβ(α,β為a與b,a與c的夾角).∴|a|(|b|cosα-|c|cosβ)=0.∴|a|=0或|b|cosα=|c|cosβ.當(dāng)b≠c時(shí),|b|cosα與|c|cosβ可能相等.∴(2)不正確.(3)(ab)c=(|a||b|cosα)c,a(bc)=a|b||c|cosθ(其中α,θ分別為a與b,b與c的夾角).(ab)c是與c共線的向量,a(bc)是與a共線的向量.∴(3)不正確.(4)正確,(5)不正確,(6)正確.,點(diǎn)評(píng):判斷上述問題的關(guān)鍵是要掌握向量的數(shù)量積的含義,向量的數(shù)量積的運(yùn)算律不同于實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律.通過該題我們應(yīng)搞清楚向量的數(shù)乘與數(shù)量積之間的區(qū)別與聯(lián)系.,變式探究,1.(2012浙江卷)設(shè)a,b是兩個(gè)非零向量()A.若|a+b|=|a|-|b|,則a⊥bB.若a⊥b,則|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|,則存在實(shí)數(shù)λ,使得b=λaD.若存在實(shí)數(shù)λ,使得b=λa,則|a+b|=|a|-|b|,解析:利用向量運(yùn)算法則,特別是|a|2=a2求解.由|a+b|=|a|-|b|知(a+b)2=(|a|-|b|)2,即a2+2ab+b2=|a|2-2|a||b|+|b|2,∴ab=-|a||b|.∵ab=|a||b|cos,∴cos=-1,∴=π,此時(shí)a與b反向共線,因此A錯(cuò)誤.當(dāng)a⊥b時(shí),a與b不反向也不共線,因此B錯(cuò)誤.若|a+b|=|a|-|b|,則存在實(shí)數(shù)λ=-1,使b=-a,滿足a與b反向共線,故C正確.若存在實(shí)數(shù)λ,使得b=λa,則|a+b|=|a+λa|=|1+λ||a|,|a|-|b|=|a|-|λa|=(1-|λ|)|a|,只有當(dāng)-1≤λ≤0時(shí),|a+b|=|a|-|b|才能成立,否則不能成立,故D錯(cuò)誤.答案:C,,考點(diǎn)二,求向量的數(shù)量積,變式探究,,考點(diǎn)三,兩個(gè)向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用,變式探究,3.(2012淮南市模擬)若向量a=(2,1),b=(3,x),若(2a-b)⊥b,則x的值為()A.3B.-1或3C.-1D.-3或1,B,,考點(diǎn)四,兩個(gè)向量垂直的充要條件的應(yīng)用,【例4】已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)(0<α<β<π).(1)求證:a+b與a-b互相垂直;(2)若ka+b與a-kb的模相等,求β-α(其中k為非零實(shí)數(shù)).,(1)證明:(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=(cos2α+sin2α)-(cos2β+sin2β)=0,∴a+b與a-b互相垂直.,變式探究,,考點(diǎn)五,向量模公式|a|2=a2的應(yīng)用,【例5】(2012衡陽八中月考)已知|a|=|b|=|a-b|=2,則|3a-2b|=________.,解析:因?yàn)?a-b)2=|a|2-2ab+|b|2=4+4-2ab=4,解得ab=2,∴|3a-2b|2=9|a|2+4|b|2-12ab=36+16-24=28,故|3a-2b|=2.答案:2,變式探究,6.(2012濟(jì)南市模擬)已知向量a與b的夾角為120,|a|=3,|a+b|=,則|b|等于()A.5B.4C.3D.1,解析:∵|a|=3,|a+b|2=(a+b)2=a2+b2+2ab=13,|a|2+|b|2+2|a||b|cos120=13,|b|2-3|b|-4=0,∴|b|=4,|b|=-1(舍去).故選B.答案:B,7.已知向量a,b滿足ab=0,|a|=1,|b|=2,則|2a-b|=()A.0B.2C.4D.8,,考點(diǎn)六,求向量的夾角(或其函數(shù)值),【例6】(2012佛山市二模)設(shè)向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,a(a-b)=0,則a與b的夾角是()A.30B.60C.90D.120,變式探究,8.(2012新課標(biāo)全國卷)已知向量a,b夾角為45,且|a|=1,|2a-b|=,則|b|=________.,,課時(shí)升華,1.本節(jié)的重點(diǎn)、難點(diǎn):平面向量的數(shù)量積及其幾何意義,向量垂直的充要條件.利用平面向量的數(shù)量積處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題.2.向量的數(shù)量積是向量之間的一種乘法運(yùn)算,它是向量與向量的運(yùn)算,結(jié)果卻是一個(gè)數(shù)量,所以向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示是純數(shù)量的坐標(biāo)表示.,3.向量a與b的夾角:(1)當(dāng)a與b平移成有公共起點(diǎn)時(shí)兩向量所成的角才是夾角.(2)0≤〈a,b〉≤180.特別地,當(dāng)〈a,b〉=0時(shí),兩向量共線且方向相同;當(dāng)〈a,b〉=180時(shí),兩向量共線且方向相反;當(dāng)〈a,b〉=90時(shí),兩向量垂直.(3),4.特別注意:(1)數(shù)量積不滿足結(jié)合律,即a(bc)≠(ab)c;(2)消去律不成立,即由ab=ac不能得到b=c;(3)由ab=0不能得到a=0或b=0;(4)但是乘法公式成立:(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2;(ab)2=a22ab+b2=|a|22ab+|b|2.,,感悟高考,品味高考,2.(2012湖北卷)已知向量a=(1,0),b=(1,1),則(1)與2a+b同向的單位向量的坐標(biāo)表示為________;(2)向量b-3a與向量a夾角的余弦值為________.,高考預(yù)測,1.(2012廣州市一模)已知兩個(gè)非零向量a與b,定義|ab|=|a||b|sinθ,其中θ為a與b的夾角.若a=(-3,4),b=(0,2),則|ab|的值為()A.-8B.-6C.8D.6,2.(2012廣東金山中學(xué)綜合測試)已知|a|=1,|b|=2,〈a,b〉=60,則|2a+b|=________.,感謝您的使用,退出請(qǐng)按ESC鍵,本小節(jié)結(jié)束,- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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