第九章-重積分

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第九章 重積分 一、基礎(chǔ)題: 1．設(shè)其中；又 其中試?yán)枚胤e分的幾何意義說(shuō)明與之間的關(guān)系． 解 由二重積分的幾何意義知，表示底為、頂為曲面的曲頂柱體的體積；表示底為、頂為曲面的曲頂柱體的體積（圖9-1）由于位于上方的曲面關(guān)于面和面均對(duì)稱，故面和面將分成四個(gè)等積的部分，其中位于第一卦限的部分既為．由此可知 2．設(shè)積分區(qū)域D由圓所圍成, 且 , 試討論,, 的大小關(guān)系 . 圖9-1 解 因?yàn)楫?dāng)時(shí), , , 因此, , 故有 由二重積分的保號(hào)性便得 <<． ３．利用二重積分的性質(zhì)估計(jì)下列積分的值 (1) .其中}； (2) ，(其中) 解　(1) 在積分區(qū)域上，，從而，又的面積等于1，因此 ． （２） 因?yàn)樵诜e分區(qū)域上有，所以有 ，又的面積等于，因此 ４． 證明不等式 其中：． 證　由對(duì)稱性知, , 于是 == ==, 由于 所以 , 因此 ５．改換下列積分的次序: (1)?。弧　　　?2)　 解 所給二次積分等于二重積分 (1) 其中.可改寫為 , 因此, =． (2)由于. 又可表示為, 因此，原式=． ６．用直角坐標(biāo)求下列二重積分: (1),其中； (2), 其中是有兩坐標(biāo)軸及直線所圍成的閉區(qū)域； (3)，其中； (4)，其中是頂點(diǎn)分別為（0，0），（，0）和（，）的三角形閉區(qū)域． 解 (1) = (2) 可用不等式表示為 ， 于是 = (3) = = (4) 可用不等式表示為: 于是= == = 7．證明= 證　左邊=== =右邊. ８．已知D是由圓周所圍成的閉區(qū)域; 用極坐標(biāo)計(jì)算積分 解 在極坐標(biāo)系中，積分區(qū)域， 于是， ９．化二重積分為二次積分,其中積分區(qū)域D是: (1)由直線及拋物線所圍成的區(qū)域; (2)由直線, 及雙曲線所圍成的閉區(qū)域; 解　(1) 直線及拋物線的交點(diǎn)為和, 于是 =, 或 (2) 三條邊界兩兩相交,先求得3個(gè)交點(diǎn)為(1,1)、(2,)、(2,2). 于是 ; 或　　　　. 1０．利用極坐標(biāo)計(jì)算下列各題： ?。?），其中D是由圓周及坐標(biāo)軸所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域； ?。?），其中D是由圓周，及直線，所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域． 解 （1）在極坐標(biāo)系中，積分區(qū)域， 于是，= （2）在極坐標(biāo)系中，積分區(qū)域，， 于是， １１．　設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域D由螺線上一段 弧與直線所圍成，它的面密度為，求這薄片的質(zhì)量. 解　薄片的質(zhì)量為它的面密度在薄片所占的閉區(qū)域D 上的二重積分（圖9-2），即 　　　　　　　　　　　　　　　　圖 9-2 １２．求由拋物線及直線所圍成的薄片(面密度為常數(shù))對(duì)于直線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 解　設(shè)所求的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為, 則 == === １３．積分區(qū)域是由雙曲拋物線面及平面所圍成的閉區(qū)域，化三重積分為三次積分． 解 的頂和底面的交線為軸和軸，故在面上的投影區(qū)域由軸和軸和直線所圍成．于是可用不等式表示為： 因此 １４．利用三重積分計(jì)算由曲面及所圍成的立體的體積． 　　解 用直角坐標(biāo)計(jì)算. 由和消去,解得, 即在面上的投影區(qū)域?yàn)? 于是 因此 (用極坐標(biāo)) １５．計(jì)算其中是由錐面與平面（）所圍成的閉區(qū)域 解法一 由與消去，得， 故在面上的投影區(qū)域， 于是 == = =．　　　　　圖9-3 解法二 用球面坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，在球面坐標(biāo)系中，圓錐面的方程為，平面的方程為，因此可表示為．于是 =====（代入） = １６．求三重積分,其中是由曲面與平面,和所圍成的閉區(qū)域 　解　如圖9-4 可用不等式表示為 ,,, 因此 = 　　　　　　　 １７．求由平面以及拋物面和柱面 　　　圖9-4 　　 所圍成的區(qū)域的體積. 解 =． 二、提高題. １．單項(xiàng)選擇題 （1）積分的值是（　　　?。? (A) , (B) , (C) , (D) 　(2)設(shè):, ; : , 則（　　?。? (A) = (B) 2= (C) =2 (D) 4= (3)設(shè):, , 則二重積分的值為（　　?。? (A) (B)　　(C) (D) (4)由及直線所圍成的均勻薄片Ｄ（密度＝１）對(duì)直線：的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為（　　?。? （Ａ）　　　　　　?。ǎ拢? （Ｃ）　　　　　　?。ǎ模? (5)設(shè)是錐體 介于和之間的部分,則三重積分化為三次積分為[ ] (Ａ)　 (Ｂ)　 （Ｃ）　?。ǎ模? 解 （１）(C) 積分區(qū)域，在極坐標(biāo)系中 原式 =． (2)　 (D)． 因?yàn)楸环e函數(shù) 為的偶函數(shù), 而正好是的． (3)　 (A)．==== (4)?。ǎ粒? (5)　（Ａ）．先用截面法，再對(duì)二重積分利用極坐標(biāo)化為累次積分． ２．計(jì)算由四個(gè)平面所圍成的柱體被平面及截得的立體的體積． 解 此立體為一曲頂柱體，它的底是面上的閉區(qū)域 ， 頂是曲面（圖9-5）． 因此所求立體的體積 　　　　圖9-5 注：求類似與第1題中這樣的立體體積時(shí)，并不一定要畫出立體的準(zhǔn)確圖形，但一定要會(huì)求出立體在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域，并知道立體的底和頂?shù)姆匠蹋? 3．選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計(jì)算下列各題： （1），其中D是由直線所圍成的閉區(qū)域； （2），其中D是圓環(huán)形的閉區(qū)域． 解 （1）選用直角坐標(biāo)．根據(jù)D的邊界曲線的情況，采用先對(duì)后對(duì)的積分次序， 于是， ． （2）選用極坐標(biāo)計(jì)算． ． 4．求由平面以及球心在原點(diǎn)、半徑為R的上半球面所圍成的在第一卦限內(nèi)的立體的體積． 解 如圖9-6 = ５． 設(shè)面密度為1的薄片所占區(qū)域?yàn)镈:,求它繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 圖9-6 解 ===(令) == ６．設(shè)有一等腰直角三角形薄片,腰長(zhǎng)為,各點(diǎn)處面密度等于該點(diǎn)到直角頂點(diǎn)的距離的平方,求這薄片的質(zhì)心. 解 面密度, 由對(duì)稱性. == =,所求質(zhì)心為(,). ７．計(jì)算三重積分,其中為球面及三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域. 解 利用直角坐標(biāo)計(jì)算.由于 , 故 =. ８．利用柱面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分: 　　(1),其中是由曲面及所圍成的閉區(qū)域; 　　(2)利用柱面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分,其中是由曲面及平面所圍成的閉區(qū)域. 解 (1)由和消去,得 ,即.從而知在面上的投影區(qū)域?yàn)?(圖9-7).利用柱面坐標(biāo),可表示為 于是 = (2)由及消去得,從而知 圖9-7 在面上的投影區(qū)域?yàn)?利用柱面坐標(biāo), 可表示為 于是 . ９．選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計(jì)算下列三重積分: (1),其中是由球面所圍成的閉區(qū)域; (2),其中是由曲面及平面所圍成的閉區(qū)域． 解 (1)在球面坐標(biāo)系中,球面的方程為,即.可表示為 (圖9-8). 于是 . 圖9-8 圖9-9 (2)利用柱面坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算. 可表示為 (圖9-9),于是 １０．利用三重積分計(jì)算由曲面及所圍成的立體的體積． 解 用柱面坐標(biāo)計(jì)算.曲面和的柱面坐標(biāo)方程分別為和.消去.得,故它們所圍的立體在面上的投影區(qū)域?yàn)?圖9-10). 因此 于是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　圖9-10 ． １１．求球面含在圓柱面內(nèi)部的那部分面積. 解 如圖9-11半球面的方程為. ,, . 由曲面的對(duì)稱性得所求面積為 圖9-11 = = １２．利用三重積分計(jì)算由曲面及直線所圍立體的質(zhì)心(設(shè)密度)． 解 曲面所圍立體為圓錐體,其頂點(diǎn)在原點(diǎn),并關(guān)于軸對(duì)稱,又由于它是勻質(zhì)的,因此它的質(zhì)心位于軸上,既有.立體的體積為. , 故所求質(zhì)心為. 13．,在上連續(xù)，證明：． 注意：有三個(gè)基本積分公式在這個(gè)證明和其它二重積分中常用到,它們是 <1> <2> == 其中D: <3>若D關(guān)于對(duì)稱,則= 證 == 其中D: . 又　　= = 將兩式相減,得: - =[+-2] = 所以 14． 已知在上連續(xù), 證明：=． 證 == = 其中 D: , D關(guān)于對(duì)稱,被分為兩個(gè)區(qū)域,而,有,由對(duì)稱性 即 = =2=. 故= 15．設(shè)在上連續(xù), 試?yán)枚胤e分, ，，證明． 證 在連續(xù),則,在上也連續(xù),故積分存在且非負(fù), 即=. 由于積分區(qū)域D關(guān)于對(duì)稱,= 又=== 于是, - 即 , 即 故 三、考研題 1. (91,3分) 設(shè)D是平面上以(1,1),(-1,1)和(-1,-1)為頂點(diǎn)的三角形,是它的第一象限部分,則等于 (A)2. (B)2 (C)4 (D) 0 解 (A) 圖9-12 [分析] 看起來(lái),這是一道考查被積函數(shù)的奇偶性與積分區(qū)域的對(duì)稱性在計(jì)算二重積分中的應(yīng)用的題目.D關(guān)于x,y軸不對(duì)稱,但添加輔助線可變成分塊有對(duì)稱性的情形.見(jiàn)圖9-11 連BO,把D分成,即三角形AOB,即三角形COB.(因?yàn)殛P(guān)于y軸對(duì)稱,被積函數(shù)xy對(duì)x為奇函數(shù), 關(guān)于x軸對(duì)稱, xy對(duì)y為奇函數(shù)). 類似地 =+=2. 故選(A) 2. (00,3分) 設(shè)S:(z0),是S在第一卦限中的部分,則有( ) (A) . (B) . (C) . (D) 解(C). 設(shè)在分塊光滑曲面S上連續(xù), S關(guān)于平面對(duì)稱,則 =0 若關(guān)于x為奇函數(shù) = 若關(guān)于x為偶函數(shù) 其中,其它對(duì)稱情形有類似結(jié)論, 本題中S在平面上方,關(guān)于平面與平面對(duì)稱,而=對(duì)均為偶函數(shù),所以==,再利用變量的輪換性, ==,因此選(C). 3. (92 ，3分)交換積分次序=_________________． 解 , 積分區(qū)域D由,, , 所圍成, 因此 = 4. (90，3分)積分的值等于_____________________ ． 解 ．積分區(qū)域由,,,所圍成，交換積分次序. ==== = 5. ( 94,3分)，設(shè)D為圓域 ，則________________ ． 解 ． 解法一 用極坐標(biāo)變換來(lái)計(jì)算： 原式= 由于： ， 則 原式== 解法二 由于積分區(qū)域關(guān)于對(duì)稱. 有 = (對(duì)稱輪換性) 于是 == ==. 6. (05,11分)設(shè),表示不超過(guò)的最大整數(shù),計(jì)算二重積分. 分析： 因被積函數(shù)分塊表示,要用分塊積分法. 在D上:xy 將D分成兩塊,.其中 . 于是 解 作極坐標(biāo)變換,有 . I=+ ==+= 7. (89,5分)計(jì)算三重積分,其中是由曲面與 所圍成的區(qū)域. 解 關(guān)于平面yz對(duì)稱,x對(duì)x為奇函數(shù), =0 I== 是由球心在原點(diǎn)半徑為本的上半球面與 頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱軸為z軸,半頂角為的錐面所 圍成(圖9-13),故可選用球坐標(biāo)變換,則 圖9-13 :, , . I=== 8. (91.5分)求 .其中是由曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與平面z=4圍成的立體. 解 由曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)面方程是 于是, 是由旋轉(zhuǎn)拋物面與平面z=4所圍成. 曲面與平面的交線是 , z=4. 如圖9-14 令, , z=z 于是 : , , D(): , . 因此 I= = ==． 圖9-14 9. (97,5分) 計(jì)算I=,其中為平面曲線, 繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與平面z=8圍成的區(qū)域. 解 由曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)面方程是,它與平面=8圍成,這兩曲面的交線是, z=8. 選用柱坐標(biāo)變換,由于被積函數(shù)與z無(wú)關(guān),可選取先積z的積分順序,則 : , , =. 四、測(cè)試題 1. 單項(xiàng)選擇題 (1)I=, D:,所圍,則（ ）． (A) I=; (B) I=; (C) I=; (D) I= (2)設(shè)D由和圍成,則積分=（ ）． (A)23; (B) 12; (C) ; (D) ． (3)已知，其中；則（ ）． (A) (B) (C) (D) (4)積分與的大小關(guān)系是（ ），其中． (A) (B) (C)< (D)> (5)由曲面及所截下部分的面積等于[ ]. (A) (B) (D) (D) 2．填空題 (1)交換累次積分的次序=____________. (2)橢球被平面( )分成兩部分,其中小部分的體積可用二重積分表示為____________________. (3)化積分I為極坐標(biāo)下的累次積分=________________. (4)球面包含在柱面內(nèi)的面積可用二重積分表示為_______________. (5)的值為____________________. (6)=______________________,其中為曲面和平面所圍成的區(qū)域. (7)曲面被柱面所圍部分的面積為___________________. (8)試用二重積分表示由曲面及所圍成的立體的表面積S等于_________________________. 3．計(jì)算,其中D為中心在原點(diǎn),半徑為的圓所圍成的區(qū)域． 4．計(jì)算,其中是由平面以及拋物柱面所圍成的閉區(qū)域. 5．已知D是由曲線,,,所圍成的第一卦限的閉區(qū)域， 求D的面積． 6．求底圓半徑相等的兩個(gè)直角圓柱面及所圍立體的表面積. 7．計(jì)算,其中為平面,,,所圍成的四面體. 8．設(shè)、為上具有相同增減性的連續(xù)函數(shù), 證明: 9．證明:曲面上任一點(diǎn)處的切平面與曲面所圍成立體的體積為定值. 四、測(cè)試題答案 1．選擇題 (1) (C)； (2) (C)； (3) (A)； (4) (B)；(5) (B)． 2．填空題 (1) (2) ( 其中D: ) (3)I= (4) (5). (6) . (7) . (8) 3．解 因在D上連續(xù),由二重積分中值定理知,在D內(nèi)至少存在一點(diǎn), 使= 于是==1 4．解 的頂為平面,底為平面,在面上的投影區(qū)域由和所圍成.故可用不等式表示為 . 因此. 5． 解 令,,由于區(qū)域D在第一卦限,所以,,因而,. 與D對(duì)應(yīng)的閉區(qū)域?yàn)? === = 6．解 設(shè)第一卦限內(nèi)的立體表面位于圓柱面上的那一部分的面積為A,則由對(duì)稱性知全部表面的面積為16A. 7．解= 于是= == == = 8．證 設(shè)D: , ,則 ==, ==, 于是 2-2 =+-- = 由于與在上具有相同的增減性,因此 有 由積分的保號(hào)性,有 , 即 9．證 曲面在其上一點(diǎn)處的切平面方程為 , (1) 又 (2) 由(1)(2)消去，得投影區(qū)域 因此,切平面與曲面所圍成的立體為 = == (常數(shù))． 19