2019年高考真題——理科數(shù)學（新課標卷Ⅲ）解析版[檢測復習]

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絕密★啟用前 2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 理科數(shù)學 注意事項： 1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡上。 2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。 3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1.已知集合，則（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出集合B再求出交集. 【詳解】， ∴，則， 故選A． 【點睛】本題考查了集合交集的求法，是基礎(chǔ)題. 2.若，則（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根據(jù)復數(shù)運算法則求解即可. 【詳解】．故選D． 【點睛】本題考查復數(shù)的商的運算，滲透了數(shù)學運算素養(yǎng)．采取運算法則法，利用方程思想解題． 3.《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了100學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學生人數(shù)與該校學生總數(shù)比值的估計值為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根據(jù)題先求出閱讀過西游記的人數(shù)，進而得解. 【詳解】由題意得，閱讀過《西游記》的學生人數(shù)為90-80+60=70，則其與該校學生人數(shù)之比為70100=0.7．故選C． 【點睛】本題考查抽樣數(shù)據(jù)的統(tǒng)計，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取去重法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題． 4.（1+2x2 ）（1+x）4的展開式中x3的系數(shù)為 A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】 本題利用二項展開式通項公式求展開式指定項的系數(shù)． 【詳解】由題意得x3的系數(shù)為，故選A． 【點睛】本題主要考查二項式定理，利用展開式通項公式求展開式指定項的系數(shù)． 5.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項和為15，且，則（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 利用方程思想列出關(guān)于的方程組，求出，再利用通項公式即可求得的值． 【詳解】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為，則， 解得，，故選C． 【點睛】本題利用方程思想求解數(shù)列的基本量，熟練應(yīng)用公式是解題的關(guān)鍵。 6.已知曲線在點處的切線方程為，則（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 通過求導數(shù)，確定得到切線斜率的表達式，求得，將點的坐標代入直線方程，求得． 【詳解】詳解： ， 將代入得，故選D． 【點睛】本題關(guān)鍵等到含有a，b的等式，利用導數(shù)幾何意義和點在曲線上得到方程關(guān)系。 7.函數(shù)在的圖像大致為 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由分子、分母的奇偶性，易于確定函數(shù)為奇函數(shù)，由的近似值即可得出結(jié)果． 【詳解】設(shè)，則，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點成中心對稱，排除選項C．又排除選項D；，排除選項A，故選B． 【點睛】本題通過判斷函數(shù)的奇偶性，縮小考察范圍，通過計算特殊函數(shù)值，最后做出選擇．本題較易，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查． 8.如圖，點為正方形的中心，為正三角形，平面平面是線段的中點，則（ ） A. ，且直線是相交直線 B. ，且直線是相交直線 C. ，且直線是異面直線 D. ，且直線是異面直線 【答案】B 【解析】 【分析】 利用垂直關(guān)系，再結(jié)合勾股定理進而解決問題． 【詳解】如圖所示， 作于，連接，過作于． 連，平面平面． 平面，平面，平面， 與均為直角三角形．設(shè)正方形邊長為2，易知， ．，故選B． 【點睛】本題考查空間想象能力和計算能力， 解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角性。 9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的為，則輸出的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根據(jù)程序框圖，結(jié)合循環(huán)關(guān)系進行運算，可得結(jié)果. 【詳解】輸入的為， 不滿足條件； 不滿足條件； 滿足條件 輸出，故選D． 【點睛】解答本題關(guān)鍵是利用循環(huán)運算，根據(jù)計算精確度確定數(shù)據(jù)分析． 10.雙曲線C：=1的右焦點為F，點P在C的一條漸近線上，O為坐標原點，若，則△PFO的面積為 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本題考查以雙曲線為載體的三角形面積的求法，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取公式法，利用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸和方程思想解題． 【詳解】由． ， 又P在C的一條漸近線上，不妨設(shè)為在上， ，故選A． 【點睛】忽視圓錐曲線方程和兩點間的距離公式的聯(lián)系導致求解不暢，采取列方程組的方式解出三角形的高，便可求三角形面積． 11.設(shè)是定義域為的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知函數(shù)為偶函數(shù)，把，轉(zhuǎn)化為同一個單調(diào)區(qū)間上，再比較大?。? 【詳解】是R的偶函數(shù)，． ， 又在(0，+∞)單調(diào)遞減， ∴， ，故選C． 【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，解題關(guān)鍵在于利用中間量大小比較同一區(qū)間的取值． 12.設(shè)函數(shù)=sin（）(＞0)，已知在有且僅有5個零點，下述四個結(jié)論： ①在（）有且僅有3個極大值點 ②在（）有且僅有2個極小值點 ③在（）單調(diào)遞增 ④的取值范圍是[) 其中所有正確結(jié)論的編號是 A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】 本題三角函數(shù)與零點結(jié)合問題，難度大，可數(shù)形結(jié)合，分析得出答案，要求大，理解深度高，考查數(shù)形結(jié)合思想． 【詳解】，在有且僅有5個零點．，，，④正確．如圖為極大值點為3個，①正確；極小值點為2個或3個．②不正確． 當時，，當時，． ③正確，故選D． 【點睛】極小值點個數(shù)動態(tài)，易錯，③正確性考查需認真計算，易出錯． 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。 13.已知a，b為單位向量，且ab=0，若，則___________. 【答案】. 【解析】 【分析】 根據(jù)結(jié)合向量夾角公式求出，進一步求出結(jié)果. 【詳解】因為，， 所以， ，所以， 所以 ． 【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積、向量的夾角．滲透了數(shù)學運算、直觀想象素養(yǎng)．使用轉(zhuǎn)化思想得出答案． 14.記Sn為等差數(shù)列{an}前n項和，，則___________. 【答案】4. 【解析】 分析】 根據(jù)已知求出和的關(guān)系，再結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式求得結(jié)果. 【詳解】因，所以，即， 所以． 【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、基本量的計算．滲透了數(shù)學運算素養(yǎng)．使用轉(zhuǎn)化思想得出答案． 15.設(shè)為橢圓的兩個焦點，為上一點且在第一象限.若為等腰三角形，則的坐標為___________. 【答案】 【解析】 【分析】 根據(jù)橢圓的定義分別求出，設(shè)出的坐標，結(jié)合三角形面積可求出的坐標. 【詳解】由已知可得， ．∴． 設(shè)點的坐標為，則， 又，解得， ，解得（舍去）， 的坐標為． 【點睛】本題考查橢圓標準方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng)． 16.學生到工廠勞動實踐，利用打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體挖去四棱錐后所得的幾何體，其中為長方體的中心，分別為所在棱的中點，，打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為___________. 【答案】118．8 【解析】 【分析】 根據(jù)題意可知模型的體積為四棱錐體積與四棱錐體積之差進而求得模型的體積，再求出模型的質(zhì)量. 【詳解】由題意得， ， 四棱錐O?EFG的高3cm， ∴． 又長方體的體積為， 所以該模型體積為， 其質(zhì)量為． 【點睛】本題考查幾何體體積問題，理解題中信息聯(lián)系幾何體的體積和質(zhì)量關(guān)系，從而利用公式求解． 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 （一）必考題：共60分。 17.為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成兩組，每組100只，其中組小鼠給服甲離子溶液，組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖： 記為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于”，根據(jù)直方圖得到的估計值為. （1）求乙離子殘留百分比直方圖中的值； （2）分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）. 【答案】(1) ，；(2) ，. 【解析】 【分析】 (1)由可解得和的值；(2)根據(jù)公式求平均數(shù). 【詳解】(1)由題得，解得，由，解得. (2)由甲離子的直方圖可得，甲離子殘留百分比的平均值為， 乙離子殘留百分比的平均值為 【點睛】本題考查頻率分布直方圖和平均數(shù)，屬于基礎(chǔ)題. 18.的內(nèi)角的對邊分別為，已知． （1）求； （2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍． 【答案】(1) ;(2). 【解析】 【分析】 (1)利用正弦定理化簡題中等式，得到關(guān)于B的三角方程，最后根據(jù)A,B,C均為三角形內(nèi)角解得.(2)根據(jù)三角形面積公式，又根據(jù)正弦定理和得到關(guān)于的函數(shù)，由于是銳角三角形，所以利用三個內(nèi)角都小于來計算的定義域，最后求解的值域. 【詳解】(1)根據(jù)題意由正弦定理得，因為，故，消去得。 ，因為故或者，而根據(jù)題意，故不成立，所以，又因為，代入得，所以. (2)因為是銳角三角形，又由前問，，得到，故又應(yīng)用正弦定理，，由三角形面積公式有.又因,故，故. 故的取值范圍是 【點睛】這道題考查了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識，和正弦定理或者余弦定理的使用（此題也可以用余弦定理求解），最后考查是銳角三角形這個條件的利用。考查的很全面，是一道很好的考題. 19.圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2. （1）證明：圖2中的A，C，G，D四點共面，且平面ABC⊥平面BCGE； （2）求圖2中的二面角B?CG?A的大小. 【答案】(1)見詳解；(2) . 【解析】 【分析】 (1)因為折紙和粘合不改變矩形，和菱形內(nèi)部的夾角，所以，依然成立，又因和粘在一起，所以得證.因為是平面垂線，所以易證.(2)在圖中找到對應(yīng)的平面角，再求此平面角即可.于是考慮關(guān)于的垂線，發(fā)現(xiàn)此垂足與的連線也垂直于.按照此思路即證. 【詳解】(1)證：，，又因為和粘在一起. ，A，C，G，D四點共面. 又. 平面BCGE，平面ABC，平面ABC平面BCGE，得證. (2)過B作延長線于H，連結(jié)AH，因為AB平面BCGE，所以 而又，故平面，所以.又因為所以是二面角的平面角，而在中，又因為故，所以. 而在中,，即二面角的度數(shù)為. 【點睛】很新穎的立體幾何考題。首先是多面體粘合問題，考查考生在粘合過程中哪些量是不變的。再者粘合后的多面體不是直棱柱，建系的向量解法在本題中略顯麻煩，突出考查幾何方法。最后將求二面角轉(zhuǎn)化為求二面角的平面角問題考查考生的空間想象能力。 20.已知函數(shù). （1）討論的單調(diào)性； （2）是否存在，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由. 【答案】(1)見詳解；(2) 或. 【解析】 【分析】 (1)先求的導數(shù)，再根據(jù)的范圍分情況討論函數(shù)單調(diào)性；(2) 根據(jù)的各種范圍，利用函數(shù)單調(diào)性進行最大值和最小值的判斷，最終得出,的值. 【詳解】(1)對求導得.所以有 當時，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增； 當時，區(qū)間上單調(diào)遞增； 當時，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增. (2)若在區(qū)間有最大值1和最小值-1，所以 若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增； 此時在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，代入解得，，與矛盾，所以不成立. 若，區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間.所以，代入解得 . 若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增. 即在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為 而，故所以區(qū)間上最大值為. 即相減得，即，又因為，所以無解. 若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增. 即在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為 而，故所以區(qū)間上最大值為. 即相減得，解得，又因為，所以無解. 若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增. 所以有區(qū)間上單調(diào)遞減，所以區(qū)間上最大值為，最小值為 即解得. 綜上得或. 【點睛】1)這是一道常規(guī)的函數(shù)導數(shù)不等式和綜合題，題目難度比往年降低了不少。考查的函數(shù)單調(diào)性，最大值最小值這種基本概念的計算。思考量不大，由計算量補充。 21.已知曲線C：y=，D為直線y=上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B. （1）證明：直線AB過定點： （2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形ADBE的面積. 【答案】(1)見詳解；(2) 3或. 【解析】 【分析】 可用解析法和幾何法證明。解析法可設(shè)A，B兩點的坐標分別為，，然后求出A，B兩點處的切線，兩條切線交于直線之上，所以交點的縱坐標為 聯(lián)立方程可解和的關(guān)系。之后用兩點式求出直線方程，最后根據(jù)直線方程求出它所過的定點.(2)應(yīng)用四邊形面積公式，代入化簡出關(guān)于和的對稱式。然后分情況討論求解。如果不知道四面下面積公式則可以將四邊形分成兩個三角形求面積之后做和，但會稍微麻煩一些。（此題若用向量積的概念則更為容易） 【詳解】(1)證明：設(shè)A，B兩點的坐標分別為，，因為，所以， 則切線DA為：---------①，切線DB為：--------②， 代入得，得，因為故消去得交點的縱坐標， 因為DA和DB的交點D為直線上的動點，所以有，， 直線AB為，點A，B在曲線上，則有，整理得，即.當，時無論,取何值時，此等式均成立。因此直線AB過定點，得證。 (2)設(shè)AB的中點為G，由題得G點坐標為，則，又.由題意知，即即.代入得整理得. 因，故.所以或. 由第一問中，為這里的為D點坐標,然而,故 ，所以，又因為.所以。即D坐標為. 那么,. 設(shè)為與的夾角，那么有 代入進行化簡有 若，則. 若，則, 代入有. 所以四邊形ADBE的面積為3或. 【點睛】此題第一問是圓錐曲線中的定點問題和第二問是求面積類型，屬于常規(guī)題型，按部就班的求解就可以。思路較為清晰，但計算量不小。 （二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。 22.如圖，在極坐標系中，，，，，弧，，所在圓的圓心分別是，，，曲線是弧，曲線是弧，曲線是弧. （1）分別寫出，，的極坐標方程； （2）曲線由，，構(gòu)成，若點在上，且，求的極坐標. 【答案】(1) ,,, (2) ,,,. 【解析】 【分析】 (1)將三個過原點的圓方程列出，注意題中要求的是弧，所以要注意的方程中的取值范圍. (2)根據(jù)條件逐個方程代入求解，最后解出點的極坐標. 【詳解】(1)由題意得，這三個圓的直徑都是2，并且都過原點. ， ,. (2)解方程得，此時P的極坐標為 解方程得或，此時P的極坐標為或 解方程得，此時P的極坐標為 故P的極坐標為,,,. 【點睛】此題考查了極坐標中過極點的圓的方程，思考量不高，運算量不大，屬于中檔題. 23.設(shè)，且. （1）求的最小值； （2）若成立，證明：或. 【答案】(1) ；(2)見詳解. 【解析】 【分析】 (1)根據(jù)條件，和柯西不等式得到，再討論是否可以達到等號成立的條件.(2)恒成立問題，柯西不等式等號成立時構(gòu)造的代入原不等式，便可得到參數(shù)的取值范圍. 【詳解】(1) 故等號成立當且僅當而又因，解得時等號成立 所以的最小值為. (2) 因為，所以. 根據(jù)柯西不等式等號成立條件，當，即時有成立. 所以成立，所以有或. 另解：用反證法. 若或不成立，那么成立，則而左面等號成立當且僅當，又因為所以.故此時,即，與原命題矛盾放 【點睛】兩個問都是考查柯西不等式，屬于柯西不等式的常見題型.