2017年高考數(shù)學(xué)理試題分類匯編:圓錐曲線
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2017 年高考試題分類匯編之圓錐曲線(理數(shù)) 解析 一、選擇題 1 二、填空題 3 三、大題 5 1、 選擇題 【浙江卷】2.橢圓的離心率是 A. B. C. D. 【解析】,選B. 【全國1卷(理)】10.已知F為拋物線C:y2=4x的焦點,過F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與C交于A、B兩點,直線l2與C交于D、E兩點,則|AB|+|DE|的最小值為( ) A.16 B.14 C.12 D.10 【解析 方法一:根據(jù)題意可判斷當(dāng)A與D,B,E關(guān)于x軸對稱,即直線DE的斜率為1,|AB|+|DE|最小,根據(jù)弦長公式計算即可. 方法二:設(shè)出兩直線的傾斜角,利用焦點弦的弦長公式分別表示出|AB|,|DE|,整理求得答案 】設(shè)傾斜角為.作垂直準(zhǔn)線,垂直軸 易知 同理, 又與垂直,即的傾斜角為 而,即. ,當(dāng)取等號 即最小值為,故選A 【全國Ⅱ卷(理)】9.若雙曲線(,)的一條漸近線被圓所截得的弦長為2,則的離心率為( ) A.2 B. C. D. 【解析】取漸近線,化成一般式,圓心到直線距離為 得,,. 【全國III卷(理)】5.已知雙曲線C: (a>0,b>0)的一條漸近線方程為,且與橢圓 有公共焦點,則C的方程為( ) A. B. C. D. 【解析】∵雙曲線的一條漸近線方程為,則① 又∵橢圓與雙曲線有公共焦點,易知,則② 由①②解得,則雙曲線的方程為,故選B. 【全國III卷(理)】10.已知橢圓C:,(a>b>0)的左、右頂點分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切,則C的離心率為( ) A. B. C. D. 【解析】∵以為直徑為圓與直線相切,∴圓心到直線距離等于半徑, ∴ 又∵,則上式可化簡為 ∵,可得,即 ∴,故選A 【天津卷】(5)已知雙曲線的左焦點為,離心率為.若經(jīng)過和兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線,則雙曲線的方程為( ) A. B. C. D. 【解析】由題意得 ,故選B. 二、填空題 【全國1卷(理)】15.已知雙曲線C:(a>0,b>0)的右頂點為A,以A為圓心,b為半徑做圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點.若∠MAN=60,則C的離心率為________. 【解析】如圖, , ∵,∴, ∴ 又∵,∴,解得 ∴ 【全國2卷(理)】16.已知是拋物線的焦點,是上一點,的延長線交軸于點.若為的中點,則 . 【解析】則,焦點為,準(zhǔn)線, 如圖,為、中點, 故易知線段為梯形中位線, ∵,, ∴ 又由定義, 且, ∴ 【北京卷】(9)若雙曲線的離心率為,則實數(shù)m=_______________. 【解析】. 【江蘇卷】8.在平面直角坐標(biāo)系xOy 中,雙曲線 的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點P,Q,其焦點是F1 , F2 ,則四邊形F1 P F2 Q的面積是 . 【解析】右準(zhǔn)線方程為,漸近線為,則,,,,則. 【山東卷】14.在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線的右支與焦點為的拋物線交于兩點,若,則該雙曲線的漸近線方程為 . 三、大題 【全國I卷(理)】20.(12分)已知橢圓C:(a>b>0),四點P1(1,1),P2(0,1),P3(–1, ),P4(1,)中恰有三點在橢圓C上. (1)求C的方程; (2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A,B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1,證明:l過定點. 20.解:(1)根據(jù)橢圓對稱性,必過、 又橫坐標(biāo)為1,橢圓必不過,所以過三點 將代入橢圓方程得,解得, ∴橢圓的方程為:. (2)當(dāng)斜率不存在時,設(shè) 得,此時過橢圓右頂點,不存在兩個交點,故不滿足. 當(dāng)斜率存在時,設(shè) 聯(lián)立,整理得 , 則 又,此時,存在使得成立. ∴直線的方程為 當(dāng)時, 所以過定點. 【全國II卷(理)】20. (12分)設(shè)O為坐標(biāo)原點,動點M在橢圓C:上,過M做x軸的垂線,垂足為N,點P滿足. (1)求點P的軌跡方程; (2)設(shè)點Q在直線x=-3上,且.證明:過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦 點F. .解:⑴設(shè),易知 又 ∴,又在橢圓上. ∴,即. ⑵設(shè)點,,, 由已知:, , ∴, ∴. 設(shè)直線:, 因為直線與垂直. ∴ 故直線方程為, 令,得, , ∴, ∵, ∴, 若,則,,, 直線方程為,直線方程為,直線過點,為橢圓的左焦點. 【全國III卷(理)】20.(12分)已知拋物線C:y2=2x,過點(2,0)的直線l交C與A,B兩點,圓M是以線段AB為直徑的圓. (1)證明:坐標(biāo)原點O在圓M上; (2)設(shè)圓M過點P(4,-2),求直線l與圓M的方程. 解:(1)顯然,當(dāng)直線斜率為時,直線與拋物線交于一點,不符合題意. 設(shè),,, 聯(lián)立:得, 恒大于,,. ∴,即在圓上. (2)若圓過點,則 化簡得解得或 ①當(dāng)時,圓心為, ,, 半徑 則圓 ②當(dāng)時,圓心為, ,, 半徑 則圓 【北京卷】(18)(14分)已知拋物線C:y2=2px過點P(1,1).過點(0,)作直線l與拋物線C交于不同的兩點M,N,過點M作x軸的垂線分別與直線OP、ON交于點A,B,其中O為原點. (Ⅰ)求拋物線C的方程,并求其焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程; (Ⅱ)求證:A為線段BM的中點. (18)解:(Ⅰ)把P(1,1)代入y2=2Px得P=∴C:y2=x, ∴焦點坐標(biāo)(,0),準(zhǔn)線:x=-. (Ⅱ)設(shè)l:y=kx+,A(x1,y1),B(x2,y2),OP:y=x,ON:y=, 由題知A(x1,x1),B(x1,) k2x2+(k-1)x+=0,x1+x2=,x1x2=. 由x1+x2=,x1x2=, 上式∴A為線段BM中點. 【江蘇卷】17.(14分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,離心率為,兩準(zhǔn)線之間的距離為8.點P在橢圓E上,且位于第一象限,過點F1作直線PF1的垂線l1,過點F2作直線PF2的垂線l2. (1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)若直線l1,l2的交點Q在橢圓E上,求點P的坐標(biāo). 17.解:(1)∵橢圓E的離心率為,∴①.∵兩準(zhǔn)線之間的距離為8,∴②.聯(lián)立①②得,∴,故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為. (2)設(shè),則,由題意得,整理得,∵點在橢圓E上,∴,∴,∴,故點P的坐標(biāo)是. 【江蘇卷】B.[選修4-2:矩陣與變換](本小題滿分10分) 已知矩陣A= ,B=. (1) 求AB; (2)若曲線C1; 在矩陣AB對應(yīng)的變換作用下得到另一曲線C2 ,求C2的方程. B.解:(1)AB==. (2)設(shè)是曲線上任意一點,變換后對應(yīng)的點為, 所以,即,因為在曲線上,所以即曲線C2的方程. 【山東卷】(21)(本小題滿分13分) 在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓:的離心率為,焦距為. (Ⅰ)求橢圓的方程; (Ⅱ)如圖,動直線:交橢圓于兩點,是橢圓上一點,直線的斜率為,且,是線段延長線上一點,且,的半徑為,是的兩條切線,切點分別為.求的最大值,并求取得最大值時直線的斜率. (21)解:(I)由題意知 ,, 所以 , 因此 橢圓的方程為. (Ⅱ)設(shè), 聯(lián)立方程 得, 由題意知, 且, 所以 . 由題意知, 所以 由此直線的方程為. 聯(lián)立方程 得, 因此 . 由題意可知 , 而 , 令, 則, 因此 , 當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,此時, 所以 , 因此, 所以最大值為. 綜上所述:的最大值為,取得最大值時直線的斜率為. 【天津卷】(19)(本小題滿分14分) 設(shè)橢圓的左焦點為,右頂點為,離心率為.已知是拋物線的焦點,到拋物線的準(zhǔn)線的距離為. (I)求橢圓的方程和拋物線的方程; (II)設(shè)上兩點,關(guān)于軸對稱,直線與橢圓相交于點(異于點),直線與軸相交于點.若的面積為,求直線的方程. (19)(Ⅰ)解:設(shè)的坐標(biāo)為.依題意,,,, 解得,,, 于是. 所以,橢圓的方程為,拋物線的方程為. 所以,直線的方程為,或. 【浙江卷】21.(本題滿分15分)如圖,已知拋物線,點A,,拋物線上的點.過點B作直線AP的垂線,垂足為Q. (Ⅰ)求直線AP斜率的取值范圍; (Ⅱ)求的最大值. 21.解:(Ⅰ)由題易得P(x,x2),-- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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- 2017 年高 學(xué)理 試題 分類 匯編 圓錐曲線
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