2016屆高三數(shù)學(xué)北師大版一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)達標檢測：第9章 第5節(jié)橢圓

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1、第九章　第五節(jié) 一、選擇題 1．(2014·長春模擬)橢圓x2＋4y2＝1的離心率為(　　) A． B． C． D． [答案]　A [解析]　先將x2＋4y2＝1化為標準方程＋＝1， 則a＝1，b＝，c＝＝.離心率e＝＝. 2．已知橢圓的一個焦點為F(0,1)，離心率e＝，則橢圓的標準方程為(　　) A．＋y2＝1　　　　　　 B．x2＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 [答案]　D [解析]　由已知，c＝1，∵e＝＝， ∴a＝2，∴b＝＝. ∴橢圓的標準方程為＋＝1，故選D． 3．(文)(教材改編題)如果方程x2＋ky2＝2表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取

2、值范圍為(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(0,2) D．(0,1] [答案]　A [解析]　方程可化為＋＝1，焦點在y軸上，則有>2，即k<1，又k>0，∴0>0，故選C． 4．中心在原點，焦點在x軸上，若長軸長為18，且兩個焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 [答案]　A [解析]　依題意知：2a＝18

3、，∴a＝9,2c＝×2a，∴c＝3， ∴b2＝a2－c2＝81－9＝72，∴橢圓方程為＋＝1. 5．設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，P為直線x＝上一點，△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為(　　) A． B． C． D． [答案]　C [解析]　設(shè)直線x＝與x軸交于點M，則∠PF2M＝60°， 在Rt△PF2M中，PF2＝F1F2＝2c，F(xiàn)2M＝－c， 故cos60°＝＝＝， 解得＝，故離心率e＝. 6．(2014·全國大綱高考)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點為F1、F2，離心率為，過F2的直線l交C于A、B兩點，若△

4、AF1B的周長為4，則C的方程為(　　) A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 [答案]　A [解析]　本題考查了橢圓的定義，離心率的計算，根據(jù)條件可知＝，且4a＝4，得a＝，所以c＝1，b2＝2，故C的方程為＋＝1. 二、填空題 7．若橢圓＋＝1的離心率為，則實數(shù)m＝________. [答案]　或 [解析]　e2＝＝1－，則1－＝或1－＝，解得m＝或m＝. 8．在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為.過F1的直線l交C于A，B兩點，且△ABF2的周長為16，那么C的方程為________． [答案]?。? [解析

5、]　本題主要考查橢圓的定義及幾何性質(zhì)． 依題意：4a＝16，即a＝4，又e＝＝， ∴c＝2，∴b2＝8. ∴橢圓C的方程為＋＝1. 9．已知動點P(x，y)在橢圓＋＝1上，若A點坐標為(3,0)，||＝1，且·＝0，則||的最小值是________． [答案]　 [解析]　∵·＝0，∴⊥. ∴||2＝||2－||2＝||2－1. ∵橢圓右頂點到右焦點A的距離最小， ∴故||min＝2，∴||min＝. 三、解答題 10．已知橢圓C1：＋y2＝1，橢圓C2以C1的長軸為短軸，且與C1有相同的離心率． (1)求橢圓C2的方程； (2)設(shè)O為坐標原點，點A，B分別在橢圓C1

6、和C2上，＝2，求直線AB的方程． [解析]　由已知可設(shè)橢圓C2的方程為＋＝1(a>2)， 其離心率為，故＝，則a＝4， 故橢圓C2的方程為＋＝1. (2)設(shè)A，B兩點的坐標分別為(xA，yA)，(xB，yB)， 由＝2及(1)知，O，A，B三點共線且點A，B不在y軸上，因此可設(shè)直線AB的方程為y＝kx. 將y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4， 所以x＝， 由＝2，得x＝，y＝， 將x，y代入＋＝1中，得＝1， 即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝±1. 故直線AB的方程為y＝x或y＝－x. 一、選擇題 1．已知以F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)為焦點

7、的橢圓與直線x＋y＋4＝0有且僅有一個交點，則橢圓的長軸長為(　　) A．3 B．2 C．2 D．4 [答案]　C [解析]　設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(0b>0)上一點P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點F1，A是橢圓與x軸正半軸的交點，B是橢圓與y軸正半軸的交點，且AB∥OP(O是坐標原點)，則該橢圓的離心率

8、是(　　) A． B． C． D． [答案]　C [解析]　本題考查了橢圓離心率的求法． 根據(jù)＋＝1可得F1(－c,0)，P(－c，)，故OP與AB的斜率分別是kOP＝－，kAB＝－，根據(jù)OP∥AB得－＝－，即b＝C． 由于a2＝b2＋c2，即a2＝2c2，故e＝＝. 二、填空題 3．(2014·安徽高考)若F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2＋＝1(0

9、＋c2＝1，∴y2＝b4，∴|AF2|＝b2， 又∵|AF1|＝3|BF1|， ∴B點坐標為(－c，－b2)， 代入橢圓方程得， ∴方程為x2＋y2＝1. 4．(文)(2014·江西高考)設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左右焦點為F1，F(xiàn)2，過F2作x軸的垂線與C相交于A，B兩點，F(xiàn)1B與y軸相交于點D，若AD⊥F1B，則橢圓C的離心率等于________． [答案]　 [解析]　本題是橢圓綜合性質(zhì)的考查，∵AB⊥x軸，不妨設(shè)A(c，)，B(c，－)，又∵D是F1B與y軸的交點，可求得D(0，－)且為BF1的中點． ∵AD⊥F1B，∴△F1AB為等腰三角形， ∴|AF1|

10、＝|AB|＝2·，∴|AF1|＋|AF2|＝2·＋＝3·，由橢圓定義得3·＝2a， ∴＝，∴＝，∴e＝. (理)(2014·江西高考)過點M(1,1)作斜率為－的直線與橢圓C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B兩點，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率為________． [答案]　 [解析]　由題意可設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則可得 ①－②，并整理得＝－.(*) ∵M是線段AB的中點，且過點M(1,1)的直線斜率為－， ∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，k＝＝－. ∴(*)式可化為＝， 即a2＝2b2＝2(a2－c2)，整理得a2＝2c2， 即＝.∴e＝＝

11、. 三、解答題 5．設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0)過點(0,4)，離心率為. (1)求C的方程； (2)求過點(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的中點坐標． [解析]　(1)將(0,4)代入C的方程得＝1，∴b＝4， 又e＝＝得＝， 即1－＝，∴a＝5，∴C的方程為＋＝1. (2)過點(3,0)且斜率為的直線方程為y＝(x－3)． 設(shè)直線與C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 將直線方程y＝(x－3)代入C的方程，得 ＋＝1，即x2－3x－8＝0， ∴AB的中點坐標＝＝， ＝＝(x1＋x2－6)＝－，即中點為(，－)． 6．(文)(2014·天津高考)設(shè)

12、橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，右頂點為A，上頂點為B．已知|AB|＝|F1F2|. (1)求橢圓的離心率； (2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點的一點，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點F1，經(jīng)過點F2的直線l與該圓相切與點M，|MF2|＝2.求橢圓的方程． [解析]　(1)如圖所示， 由橢圓的幾何性質(zhì) |AB|＝，而|AB|＝|F1F2|， ∴a2＋b2＝×4c2＝3c2. 又b2＝a2－c2，∴2a2＝4c2，即e2＝，∴e＝. (2)由(1)設(shè)橢圓方程＋＝1. 設(shè)P(x1，y1)，B(0，c)，F(xiàn)1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)， ∵P是異于頂點的點，∴x1

13、≠0，y1≠0. 以PB為直徑的圓過F1，即PF1⊥BF1， ∴·＝－1，∴y1＝－(x1＋c)． 設(shè)PB中點D(，)，即D為(，)． 由題意得|DF2|2＝|DM|2＋|MF2|2， ∵|DM|＝|DB|＝r， ∴|DF2|2＝(－c)2＋，|MF2|2＝8， |DM|2＝＋(c＋)2， 即(－c)2＋＝8＋＋(c＋)2. 整理得cx1＝－4　 ① 又P(x1，－(x1＋c))在橢圓上， ∴x＋2(x1＋c)2＝2c2整理得3x＋4cx1＝0　 ② ∵x1≠0，∴，解之得c2＝3， ∴所求橢圓方程為＋＝1. (理)(2014·天津高考)設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)

14、的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，右頂點為A，上頂點為B．已知|AB|＝|F1F2|. (1)求橢圓的離心率； (2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點的一點，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點F1，經(jīng)過原點O的直線l與該圓相切，求直線l的斜率． [解析]　(1)設(shè)橢圓右焦點F2的坐標為(c,0)，由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2，又b2＝a2－c2，則＝. 所以，橢圓的離心率e＝. (2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2，故橢圓方程為＋＝1. 設(shè)P(x0，y0)，由F1(－c,0)，B(0，c)， 有＝(x0＋c，y0)，＝(c，c) 由已知，有·＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0， 又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0. ① 又因為點P在橢圓上，故 ＋＝1 ② 由①和②可得3x＋4cx0＝0，而點P不是橢圓的頂點，故x0＝－c，代入①得y0＝，即點P的坐標為(－，)． 設(shè)圓的圓心為T(x1，y1)，則 x1＝＝－c，y1＝＝c， 進而圓的半徑r＝＝C． 設(shè)直線l的斜率為k，依題意，直線l的方程為y＝kx，由l與圓相切，可得＝r， 即＝c， 整理得k2－8k＋1＝0，解得k＝4±. 所以，直線l的斜率為4＋或4－.