尺規(guī)作圖五點(diǎn)定橢圓的方法

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尺規(guī)作圖五點(diǎn)定橢圓的方法 徐文平 （東南大學(xué) 南京210096） 摘要：已知橢圓上五點(diǎn)，通過確定橢圓圓心、橢圓主軸方向和橢圓長軸短軸位置等三個步驟，尺規(guī)作圖完成橢圓作圖。 橢圓在開普勒行星運(yùn)行三定律中扮演了重要角色，在機(jī)械制圖和土木工程領(lǐng)域中也有重要運(yùn)用。利用幾何畫板和cad軟件，依據(jù)任意五個點(diǎn)的橢圓尺規(guī)作圖，具有重要意義。 一、引言 在幾何畫板和cad軟件中， 任意五個點(diǎn)作橢圓，具有意義。五點(diǎn)定橢圓在衛(wèi)星軌道，機(jī)械制圖和土木工程中是有重要用途。 第一步，通過五點(diǎn)尋找橢圓圓心 第二步，確定橢圓坐標(biāo)x、y主軸方向 第三步、確定橢圓的長軸a和短軸b 1）大狗熊定理1：二次圓錐曲線內(nèi)接四邊形的對邊延伸線兩交點(diǎn)調(diào)和分割對角線兩極點(diǎn)。 如圖1，橢圓內(nèi)接四邊形KLMN，對邊線KN與LM交于A，對邊線KL與NM交于B，對角線KM的極點(diǎn)為C，對角線LN的極點(diǎn)為D，KM與LN交于Q點(diǎn)，則A、B、C、D四點(diǎn)共線，且AB調(diào)和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。雙曲線和拋物線也具有同樣性質(zhì)。 2）命題1：已知橢圓的斜向割線AB，作一條過橢圓圓心O點(diǎn)的任意割線JK， JA、BK交于E點(diǎn)，JB、AK交于F點(diǎn)，確定EF的中點(diǎn)N點(diǎn)，連線NA、NB就是橢圓的切線。 證明：由于割線JK的切線交點(diǎn)極點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)，利用定理1，可以快速證明這個命題。 定理2：圓錐曲線 的內(nèi)接完全四點(diǎn)形的對邊三點(diǎn)形是圓錐曲線的自配極三點(diǎn)形。 命題3（高斯定理）：已知橢圓外一點(diǎn)P，過P點(diǎn)作PAB與PCD二條任意橢圓割線，AD、CB交于Q點(diǎn)，AC、BD延長交于R，連線QR與橢圓交于S、T兩點(diǎn)，PS、PT就是橢圓的切線。 圖 3 二、通過五點(diǎn)尋找橢圓圓心 原理：通過已知五點(diǎn)，作橢圓切線，獲得割線的極點(diǎn)，將割線的極點(diǎn)和割線中點(diǎn)連接并延伸，必定通過橢圓的圓心。 圖 4 問題1：只有五點(diǎn)，沒有坐標(biāo)軸和原點(diǎn)，橢圓斜的，割線PQ的切線極點(diǎn)如何辦？ 切線方法：帕斯卡定理（五點(diǎn) + 一個切點(diǎn)二次）做切線，或者如圖5方法作切線。 圖 5 命題4：已知橢圓上P、H、G、Q、A五點(diǎn)，利用橢圓內(nèi)接四邊形PQGH確定對角線PQ和GH交叉點(diǎn)T，可繪制極點(diǎn)T的極線E F，利用橢圓內(nèi)接四邊形PQAB(H)確定對角線PQ和AB(H)交叉S點(diǎn)（利用帕斯卡定理，新構(gòu)造橢圓第六點(diǎn)B點(diǎn)，替換H點(diǎn)），繪制極點(diǎn)S的極線MN，極線MN和極線EF交于C點(diǎn)，C點(diǎn)即為PQ割線的極點(diǎn)。 證明：依據(jù)極點(diǎn)極線的對偶定理，由于 S、T為PQ極線上的二點(diǎn)，可可知S、T極點(diǎn)的極線MN和極線EF相交于C點(diǎn)就是PQ的極點(diǎn)，連線PC、QC就是橢圓的切線。 （該方法也適合于雙曲線和拋物線的情況） 問題2：橢圓上五點(diǎn)有時候似乎不夠啊，如何構(gòu)造橢圓上的臨時第六點(diǎn)啊。 命題5：運(yùn)用帕斯卡原理，通過橢圓上五點(diǎn)，可以增加橢圓上一點(diǎn)。 Pascal’s定理為通過五點(diǎn)作圓錐曲線提供了一種優(yōu)美的解決方案。設(shè)已給1, 2, 3, 4, 5五點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)不在同一直線上（特例將在后面討論），但五點(diǎn)的平面位置為任意。我們將這五點(diǎn)依次相連，并設(shè)線段12與45的交點(diǎn)為L。 為了構(gòu)作圓錐曲線上的任意一點(diǎn)，如點(diǎn)6，我們通過點(diǎn)1任意作一直線a，設(shè)a與線段34交于點(diǎn)N，再通過L和N作直線b，設(shè)b與a交于M，圖74-3；再通過5和M作直線c，則c與a的交點(diǎn)就是期望的第六點(diǎn)6 命題6：利用侯明輝三割線定理加上阿波羅尼斯圓的調(diào)和分割性質(zhì)，構(gòu)造更多橢圓點(diǎn)。 在尺規(guī)作圖五點(diǎn)定橢圓中，已知橢圓上五點(diǎn)（不知道橢圓曲線，不知道橢圓圓心，也不知道橢圓的xy坐標(biāo)主軸情況下），需要構(gòu)造其他的橢圓點(diǎn)。 即A、B、C三點(diǎn)已經(jīng)知道（還有其他二點(diǎn)知道），采用其他辦法作出AB割線的極點(diǎn)N，利用侯明輝三割線定理以及調(diào)和分割性質(zhì)確定新的橢圓點(diǎn) E點(diǎn) 方法：連接CN線段交AB線段于M點(diǎn)，取線段MN中點(diǎn)J為圓心，畫圓直徑為MN，過C點(diǎn)作MN的垂直線交圓于F點(diǎn)，過F點(diǎn)作切線（或者是作垂直JF的線段EF），交MN于E點(diǎn)，則構(gòu)成調(diào)和分割的第四點(diǎn)。本例子是構(gòu)成了橢圓上的新點(diǎn)用途。 圖 7 工程應(yīng)用實(shí)例：（是用5點(diǎn)定圓心的，沒有構(gòu)造第六點(diǎn)方法） 圖 8 三、確定橢圓坐標(biāo)主軸方向 目標(biāo)：通過已知的橢圓圓心和橢圓上三點(diǎn)，尋找橢圓坐標(biāo)主軸方向。 圖 9 原理：利用橢圓圓心，構(gòu)造二條共軛直徑，然后確定橢圓坐標(biāo)主軸方向 方法：利用橢圓圓心，首先構(gòu)造一條共軛直徑，作圖共軛直徑端點(diǎn)的切線方向（確定另外一條共軛直徑的方向），作平行線通過構(gòu)筑一條橢圓共軛弦，采用仿射幾何方法轉(zhuǎn)換為二條共軛直徑。 1) 作AB割線的切線極點(diǎn)N 圖 10 2) 作AF共軛直徑(連接OA)，作CL共軛弦(平行AN) 圖 11 3) 仿射幾何構(gòu)筑OE共軛半徑 圖 12 方法：作直徑為AF的圓，過N點(diǎn)作MN垂直AF，作三角形ΔMNL. 作KO垂直AF，過K點(diǎn)作MLDE 平行線，KE和OE延伸交于E點(diǎn)。 依據(jù)仿射原理，可知，OE為橢圓的共軛半徑。 4) 構(gòu)筑橢圓坐標(biāo)主軸方向 圖 13 方法：繞橢圓圓心O點(diǎn)，OE旋轉(zhuǎn)90度，獲得N點(diǎn)， 連接NA連線，獲得NA中點(diǎn)K K點(diǎn)為圓心，作任意半徑的圓，與KO交于W點(diǎn)，與NA交于H、G點(diǎn)。. 則WC為長軸方向，HW為短軸方向，完成橢圓坐標(biāo)主軸方向確定。 證明：分析OK線段的斜率與NA線段的斜率的關(guān)系 （1）共軛直徑的性質(zhì) 圖 14 如果，點(diǎn)，橢圓共軛直徑推理，則有， 對于點(diǎn)C分析，則有： ， （2）共軛直徑的橢心角為90 簡單分析可以得到，∠C1OA1＝90 圖 15 （3）共軛半徑旋轉(zhuǎn)90 圖 16 分析可以得知：，， C點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90，則：， （4）圖形分析研究 圖 17 問題1：延伸連線NK，與坐標(biāo)軸交于U、V兩點(diǎn)。要構(gòu)筑橢圓坐標(biāo)主軸方向的方法成立，只需證明θ1∠VOA1＝∠VOK=∠OVU=θ1，即證明ΔOKV和ΔONU是等腰三角形，命題就成立。 現(xiàn)在，∠VOK=θ1 已經(jīng)成立 ， 由于： ， 則： 坐標(biāo)，可以化為 分析NA線段的斜率： 則： ， 等腰三角形圖形成立，命題成立。 問題2：K點(diǎn)為OA1與NA線段的交點(diǎn)，是不是位于NA線段的中點(diǎn)啊。 假如K為NA線段的中點(diǎn)，分析K、A1、O三點(diǎn)共線，就ok K點(diǎn)坐標(biāo)， 對于OK線段分析斜率： ，斜率相同，命題成立。 四、確定橢圓長軸a和短軸b 目標(biāo)：已知橢圓心和坐標(biāo)軸、已知橢圓上二點(diǎn)，確定橢圓長軸a和短軸b 原理：運(yùn)用極點(diǎn)和極線關(guān)系，構(gòu)造自配極三角形，確定橢圓長軸和短軸位置。 方法：利用橢圓上二點(diǎn)構(gòu)造軸對稱二點(diǎn)，構(gòu)成橢圓內(nèi)接四邊形，連接對角線，獲得交叉點(diǎn)和對邊交叉點(diǎn)，運(yùn)用二個極點(diǎn)的數(shù)學(xué)關(guān)系，完成長軸和短軸位置。 1）構(gòu)造自配極三角形，尋找二個對偶極點(diǎn) 圖 18 E點(diǎn)為B點(diǎn)的軸對稱點(diǎn)，N點(diǎn)為x軸與AE的交叉點(diǎn) 令 ， 極點(diǎn)極線關(guān)系方程分析得知： （類似橢圓準(zhǔn)線方程） 2）確定長軸a位置 連線QN， K為QN中點(diǎn)，以K圓心半徑為KN畫圓，過O點(diǎn)作圓K的切線E，以O(shè)E為半徑原點(diǎn)O為圓心作一個圓，與 x軸交于F點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)即為長軸a 圖 19 3）確定長軸b位置 利用切線方法，構(gòu)造割線AB的極點(diǎn)N點(diǎn)，過N點(diǎn)作水平線交y軸于G點(diǎn)，延伸割線AB與y軸交于P點(diǎn)，連線PG， K為PG中點(diǎn)，以K圓心半徑為KP畫圓，過O點(diǎn)作圓K的切線R，以O(shè)R為半徑原點(diǎn)O為圓心作一個圓，與y軸交于U點(diǎn)，U點(diǎn)即為短軸b 圖 20 參考文獻(xiàn)： [1] 李建華.射影幾何入門[M]，科學(xué)出版社，2011.6 [2] 徐文平.圓錐曲線內(nèi)接四邊形的四極點(diǎn)調(diào)和分割定理[J]，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究2014.13 [3] 徐文平.圓錐曲線切線的尺規(guī)作圖簡明方法 [J]，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究2014.7 [4] 格拉祖諾夫.（徐良佐譯）.軸測投影學(xué)[M]，人民教育出版社，1956 [5] 汪貴平.橢圓的橢心角和共軛直徑的性質(zhì) [J]，中學(xué)數(shù)學(xué)月刊究，2010.5