全國(guó)乙卷理科數(shù)學(xué)及答案

6、 a。的一條漸近線為v3x+my=0則C的焦距 為 . 14 .已知向量 a= （1, 3）, b= （3, 4）,若（a- 入 b） ± b,貝U 入=。 15 .記△ABC勺內(nèi)A A, B, C的對(duì)邊分別為a, b,c,面積為貧，B=60° , a2+c2=3ac, 貝 U b=. 16 .以圖①為正視圖和俯視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖， 組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編

7、號(hào)依次為 （寫 出符合要求的一組答案即可）. 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17-21題 為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第 22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作 答。 （一）必考題：共60分。 17 . （12 分） 某廠研究了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提 高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了 10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù) 據(jù)如下: 舊設(shè) 備 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新設(shè) 備 10.1 10.4 10.1

8、 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為？和?？樣本方差分 別記為S12和S22 (1) 求？???？ Si2, S22； (2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果?? ???2聲箸，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提 高，否則不認(rèn)為有顯著提高). 18 .(12 分) 如圖，四棱錐P-ABCD勺底面是矩形，PD，底面ABCD PD=DC=1M為BC的中點(diǎn)， 且 PB± AM (1)求 BQ 19 . (12 分) 記Sn為

9、數(shù)列｛a n｝的前n項(xiàng)和,bn為數(shù)列｛Sn｝的前0項(xiàng)和,已知:1 + ^=2. ?????? (1)證明：數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列； (2)求｛an｝的通項(xiàng)公式. 20 . (12 分) 設(shè)函數(shù)f (x) =ln (a-x),已知x=0是函數(shù)y=xf (x)的極值點(diǎn)。 (1)求 a； (2)設(shè)函數(shù) g (x) =??+；；：),證明：g (x) <1. 21 . (12 分) 己知拋物線C: x2=2py (p>0)的焦點(diǎn)為F,且F與圓M x2+ (y+4) 2=1上點(diǎn)的 距離的最小值為4. (1)求 p； (2)若點(diǎn)P在M上，PA,PB是C的兩條切線，A,B是切點(diǎn)，求 T

10、AB的最大值. (二)選考題：共10分，請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做， 則按所做的第一題計(jì)分。 22 .［選修4 - 4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分) 在直角坐標(biāo)系xOy中，OC的圓心為C (2, 1),半徑為1. (1)寫出。C的一個(gè)參數(shù)方程；的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； (2)過(guò)點(diǎn)F (4,1 )作。C的兩條切線，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸 建立極坐標(biāo)系，求這兩條直線的極坐標(biāo)方程. 23 .［選彳^4 一 5:不等式選講］(10分) 已知函數(shù) f (x) =|x-a|+|x+3|. (1)當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f (x) >6的解集; (2)若f

11、 (x) > —a，求a的取值范圍. 2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué)乙卷(參考答案) 注意事項(xiàng)： 1 .答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。 2 .回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂 黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答 案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。 3 .考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回 1-5 CCABD 6-10 CBBAD 11-12 CB 13.4 1.5 5 1.6 2 v2 16 .②⑤或③④ 17 .解：(1)各項(xiàng)所求值如下所示 1

12、?=?0(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0 7=^(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3 ??=110-x [(9.7-10.0)2 + 2 x (9.8-10.0)2 + (9.9-10.0)2 + 2 X (10.0-10.0)2 + (10.1-10.0) 2+2 x (10.2-10.0)2+(10.3-10.0) 2] = 0.36, ?27=10 x [(10.0-10.3)2 +3 x (10.1-10.3) 2 +(10.3-1

13、0.3) 2 +2 x (10.4-10.3) 2+2 x (10.5-10.3)2+ (10.6-10.3) 2] = 0.4. (2)由(1)中數(shù)據(jù)得？??=0.3,2 仔『=0.34 顯然？????2遂答，所以不認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯 著提高。 18 .解：(1)因?yàn)?PD1平面 ABCD 旦夕!形 ABCLfr, AD! DC 所以以？???????????? 分別為x, y, z軸正方向，D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 D-xyz。 設(shè) BC=t, A (t, 0, 0), B (t, 1, 0), M (：? 1, 0), P(0,0,1),所以？?

14、?？(t, 1, -1 ), ??????- ^,1,0), 因?yàn)?PB，AM 所以？?？???=???+l=0,所以 t=蟆，所以 BC=^0 (2)設(shè)平面APM勺一個(gè)法向量為m= (x, y, z),由于？??=?(-嫡，0, 1),則 ???A?P= -V2x+ z = 0 {___v2 ?????? = - — x + y = 0 令 x=v2,得 m= (v2, 1,2)。 設(shè)平面PMB勺一個(gè)法向量為n= (xt, yt, zt),則 {???CB= "2??= 0 S??PB="2??+ ???- ???= 0 令？?=1,得 n=(0,1,1). 所以co

15、s (m, n) =|??|???=" 3后受,所以二面角A-PM-B的正弦值為零. 19 . (1)由已知得*2，則薩=S(n>2) ??? ??????+1 ? 2??^+L=2? 2bn-1 +2=2bn? bn-bn-1=-(n > 2),b 1=3 ??? ???22 故{bn}是以|為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列。 (2)由(1)知 bn=3+ (n-1 ) -=??+2,貝1]2+3=2? Sn=??+2 2'7 2 2??? ??+2??+1 3 n=1 時(shí)，a[=S=2 n》2 時(shí)，a產(chǎn)S-Sn-1=??^-？?^二 '??+1????(??+1) 3 一??

16、= 1 2 , ? 故 an={1 ,??>> 2 ????+1) , 20 . (1) [xf(x)]' =x' f(x)+xf ' (x) 當(dāng) x=0 時(shí)，[xf(x)]' =f(0)=lna=0,所以 a=1 (2)由 f(x)=ln(1-x), 得 x<1 當(dāng) 0Vx<1 時(shí)，f(x)=ln(1-x)<0, xf(x) <0；當(dāng) x<0 時(shí),f(x)=ln(1-x)>0, xf(x) < 0 故即證 x+f(x) >xf(x),x+ln(1-x)-xln(1-x)>0 令 1-x=t(t >0 且 tw1), x=1-t,即證 1-t+lnt-(1-t)lnt >

17、0 令 f(t)=1-t+lnt-(1-t)lnt, 則 f' (t)=-1- ?-[(-1)lnt+1-??]=-1+?+lnt- 1-??=lnt 所以f(t)在(0,1 )上單調(diào)遞減，在(1,+ 8)上單調(diào)遞增，故f(t) >f (1) =0, 得證。 21 .解：(1)焦點(diǎn)F(0, P)到x2+ (y+ 4)2 = 1的最短距離為P+3= 4,所以p=2. (2)拋物線 y =1x2,設(shè) A(xi,y i) ,B(x 2,y 2),P(x 0,y 0),則 iiii l???k y= 2xi(x-x) + yi = 2???24??=-????-??, l??????=

18、2???? ??, 且x0 = -y 0 - 8y0 - i5. i y0 = 2xix0 - yi,ii l???? l???都過(guò)點(diǎn) P(x0,y。),則｛2故l?????? = 2 ???? ??即？?= 2 ???? y0 = 5x2x0 - y2, ??. _ i 聯(lián)立｛y2x0x y°,得x2 - 2x0x + 4y0 = 0, A= 4x0 - i6y0. x2 = 4y 所以 |AB| = M + 40 ?V4)0 - 16yo=，4+ x0 ?，禽-4y0 ,d??”??這細(xì)，所以 4"2+4 3 c1,1,22 1,2x- 12… S?A ?????

19、? 2 |?????d????=2 |x-- 4y0| ?v x2 - 4y0 =2 (x4 - 4y0)2=3 (-y 0 - 12y0- 3 15)2. 而y° C[-5, -3 ].故當(dāng)y0=-5時(shí)，SA ???站到最大，最大值為20巷. 90= 9 4 999999 A 22 . (1)因?yàn)?。C的圓心為(2,1),半徑為1.故。C的參數(shù)萬(wàn)程為｛??= 2 + ??????8； 為參數(shù)). (2)設(shè)切線 y=k (x-4)+1,即 kx-y-4k+1=0.故 |2??-1-4??+1|_ ，1+??2- 即 |2k|= V1+ ??,4 ??=1 + ??,解得 k=±

20、『 故直線方程為 y/ (x-4)+1,y=- -33 (x-4)+1 故兩條切線的極坐標(biāo)方程為psin 0= &os0-gv3+1或psin 9==cos 8+ 1 v3+1. 3333 23 .解：(l)a = 1 時(shí)，f(x) = |x-1|+|x+3|, 即求 |x-1|+|x-3|> 6 的解集. 當(dāng) x>1 時(shí)，2x十 2 >6,得 x> 2; 當(dāng)-36此時(shí)沒(méi)有x滿足條件； 當(dāng) x<-3 時(shí)-2x-2 >6.得 x0-4 , 綜上，解集為(-8,-4]U[2, -00). ⑵f(x) 最小值>-a,而由絕對(duì)值的幾何意義，即求x到a和-3距離的最小值. 當(dāng)x在a和-3之間時(shí)最小,此時(shí)f(x)最小值為|a+3|,即|a+3| >-a. 一，一 3一， 此時(shí)a不存在. A>-3 時(shí),2a+3>0,得 a>-2; a<-3 時(shí),-a-3>-a, a>—-.