2021中考數(shù)學(xué) 中檔題型訓(xùn)練六 直角三角形的應(yīng)用

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1、直角三角形的應(yīng)用 解直角三角形的應(yīng)用是貴陽(yáng)中考的必考內(nèi)容之一，它通常以實(shí)際生活為背景，考查學(xué)生運(yùn)用直角三角形知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型的能力，解答這類問(wèn)題的方法是運(yùn)用“遇斜化直”的數(shù)學(xué)思想，即通過(guò)作輔助線(斜三角形的高線)把它轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題，然后根據(jù)已知條件與未知元素之間的關(guān)系，利用解直角三角形的知識(shí)，列出方程來(lái)求解． 　仰角、俯角問(wèn)題 【例1】(東營(yíng)中考)熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球底部A處看一棟高樓頂部的仰角為30°，看這棟樓底部的俯角為60°，熱氣球A處與高樓的水平距離為120m.這棟高樓有多高．(≈1.732，結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位) 【解析】作AD⊥BC構(gòu)造直角三角形求解．

2、【學(xué)生解答】 1．(黃石中考)如圖所示，體育場(chǎng)內(nèi)一看臺(tái)與地面所成夾角為30°，看臺(tái)最低點(diǎn)A到最高點(diǎn)B的距離為10，A，B兩點(diǎn)正前方有垂直于地面的旗桿DE.在A，B兩點(diǎn)處用儀器測(cè)量旗桿頂端E的仰角分別為60°和15°.(仰角即視線與水平線的夾角) (1)求AE的長(zhǎng)； (2)已知旗桿上有一面旗在離地1米的F點(diǎn)處，這面旗以0.5米/秒的速度勻速上升，求這面旗到達(dá)旗桿頂端需要多少秒？ 2．(達(dá)州中考)學(xué)習(xí)“利用三角函數(shù)測(cè)高”后，某綜合實(shí)踐活動(dòng)小組實(shí)地測(cè)量了鳳凰山與中心廣場(chǎng)的相對(duì)高度AB，其測(cè)量步驟如下： (1)在中心廣場(chǎng)測(cè)點(diǎn)C處安置

3、測(cè)傾器，測(cè)得此時(shí)山頂A的仰角∠AFH＝30°； (2)在測(cè)點(diǎn)C與山腳B之間的D處安置測(cè)傾器(C、D與B在同一直線上，且C、D之間的距離可以直接測(cè)得)，測(cè)得此時(shí)山頂上紅軍亭頂部E的仰角∠EGH＝45°； (3)測(cè)得測(cè)傾器的高度CF＝DG＝1.5米，并測(cè)得CD之間的距離為288米；已知紅軍亭高度EA為12米，請(qǐng)根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)求出鳳凰山與中心廣場(chǎng)的相對(duì)高度AB.(取1.732，結(jié)果保留整數(shù)) 　方位角問(wèn)題 【例2】(邵陽(yáng)中考)一艘觀光游船從港口A處以北偏東60°的方向出港觀光，航行80海里至C處時(shí)發(fā)生了側(cè)翻沉船事故，立即發(fā)出了求救信號(hào)．一艘在港口正東方向B處的海警船接到求救信號(hào)

4、，測(cè)得事故船在它的北偏東37°方向，馬上以40海里/小時(shí)的速度前往救援，求海警船到達(dá)事故船C處所需的大約時(shí)間．(溫馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6) 【學(xué)生解答】 3．(攀枝花中考)如圖所示，港口B位于港口O正西方向120km處，小島C位于港口O北偏西60°的方向．一艘游船從港口O出發(fā)，沿OA方向(北偏西30°)以vkm/h的速度駛離港口O，同時(shí)一艘快艇從港口B出發(fā)，沿北偏東30°的方向以60km/h的速度駛向小島C，在小島C用1h加裝補(bǔ)給物資后，立即按原來(lái)的速度給游船送去． (1)快艇從港口B到小島C需要多長(zhǎng)時(shí)間？ (2)若快艇從小島C到與游船相

5、遇恰好用時(shí)1h，求v的值及相遇處與港口O的距離． 　坡度、坡比問(wèn)題 【例3】(內(nèi)江中考)如圖，某校綜合實(shí)踐活動(dòng)小組的同學(xué)欲測(cè)量公園內(nèi)一棵樹(shù)DE的高度，他們?cè)谶@棵樹(shù)正前方一座樓亭的臺(tái)階上A點(diǎn)處測(cè)得樹(shù)頂端D的仰角為30°，朝著這棵樹(shù)的方向走到臺(tái)階下的點(diǎn)C處，測(cè)得樹(shù)頂端D的仰角為60°.已知A點(diǎn)的高度AB為3米，臺(tái)階AC的坡度為1∶(即AB∶BC＝1∶)，且B，C，E三點(diǎn)在同一條直線上．請(qǐng)根據(jù)以上條件求出樹(shù)DE的高度(測(cè)傾器的高度忽略不計(jì))． 【學(xué)生解答】 4．(煙臺(tái)中考)小明

6、坐于堤邊垂釣，如圖，河堤AC的坡角為30°，AC的長(zhǎng)為米，釣竿OA的傾斜角是60°，其長(zhǎng)為3米，若OA與釣魚線OB的夾角為60°，求浮漂B與河堤下端C之間的距離． 　生活中的解直角三角形問(wèn)題 【例4】(紹興中考)如圖，傘不論張開(kāi)還是收緊，傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘架所成的角∠BAC，當(dāng)傘收緊時(shí)，結(jié)點(diǎn)D與點(diǎn)M重合，且點(diǎn)A、E、D在同一條直線上，已知部分傘架的長(zhǎng)度(單位：cm)如下： 傘架 DE DF AE AF AB AC 長(zhǎng)度 36 36 36 36 86 86 　　(1)求AM的長(zhǎng)； (2)當(dāng)∠BAC＝104°

7、時(shí)，求AD的長(zhǎng)(精確到1cm)． (備用數(shù)據(jù)：sin52°＝0.788，cos52°＝0.6157，tan52°＝1.2799) 【學(xué)生解答】 5．(重慶中考)某水庫(kù)大壩的橫截面是如圖所示的四邊形ABCD，其中AB∥CD，大壩頂上有一瞭望臺(tái)PC，PC正前方有兩艘漁船M，N.觀察員在瞭望臺(tái)頂端P處觀測(cè)到漁船M的俯角α為31°，漁船N的俯角β為45°.已知MN所在直線與PC所在直線垂直，垂足為E，且PE長(zhǎng)為30米． (1)求兩漁船M，N之間的距離(結(jié)果精確到1米)； (2)已知壩高24米，壩長(zhǎng)100米，背水坡AD的坡度i＝1∶0.25.為提高大壩防洪能力，請(qǐng)施工隊(duì)將大壩的背水坡通過(guò)填

8、筑土古方進(jìn)行加固，壩底BA加寬后變?yōu)锽H，加固后背水坡DH的坡度i＝1∶1.75.施工隊(duì)施工10天后，為盡快完成加固任務(wù)，施工隊(duì)增加了機(jī)械設(shè)備，工作效率提高到原來(lái)的2倍，結(jié)果比原計(jì)劃提前20天完成加固任務(wù)．施工隊(duì)原計(jì)劃平均每天填筑土石方多少立方米？ (參考數(shù)據(jù)：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52) 　相似三角形與圓 【例5】(六盤水中考)如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，點(diǎn)O是AC邊上的一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓與AB相切于點(diǎn)D，連接OD. (1)求證：△ADO∽△ACB. (2)若⊙O的半徑為1，求證：AC＝AD·BC. 【學(xué)生解答】 6．(遂寧中考)如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD切⊙O于點(diǎn)D，AM⊥CD于點(diǎn)M，BN⊥CD于點(diǎn)N. (1)求證：∠ADC＝∠ABD； (2)求證：AD2＝AM·AB； (3)若AM＝，sin∠ABD＝，求線段BN的長(zhǎng)．