高考數(shù)學(xué)計(jì)算試題分類匯編-圓錐曲線.doc

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2010 年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編 圓錐曲線 2010 上海文數(shù) 23 本題滿分 18 分 本題共有 3 個(gè)小題 第 1 小題滿分 4 分 第 2 小 題滿分 6 分 第 3 小題滿分 8 分 已知橢圓 的方程為 21 0 xyab Ab 0 B 和 0 Qa為 的三個(gè)頂 點(diǎn) 1 若點(diǎn) M滿足 2AQB 求點(diǎn) M的坐標(biāo) 2 設(shè)直線 1 lykxp 交橢圓 于 C D兩點(diǎn) 交直線 2 lykx 于點(diǎn) E 若21bka 證明 E為 的中點(diǎn) 3 設(shè)點(diǎn) P在橢圓 內(nèi)且不在 x軸上 如何構(gòu)作過 PQ中點(diǎn) F的直線 l 使得 l與橢圓 的兩個(gè)交點(diǎn) 1 2滿足 12P 12 令 10a 5b 點(diǎn) P的 坐標(biāo)是 8 1 若橢圓 上的點(diǎn) 滿足 求點(diǎn) 2的坐標(biāo) 解析 1 2abM 2 由方程組 12ykxpab 消 y 得方程 222211 0akbxakpb 因?yàn)橹本€ 1 lykx交橢圓 于 C D兩點(diǎn) 所以 0 即 220abp 設(shè) C x1 y1 D x 2 y2 CD 中點(diǎn)坐標(biāo)為 x0 y0 則 10211kabpykx 由方程組 2ykx 消 y 得方程 k 2 k1 x p 又因?yàn)?21bka 所以 210212akkbpyxy 故 E 為 CD 的中點(diǎn) 3 因?yàn)辄c(diǎn) P 在橢圓 內(nèi)且不在 x 軸上 所以點(diǎn) F 在橢圓 內(nèi) 可以求得直線 OF 的斜率 k2 由 12Q 知 F 為 P1P2 的中點(diǎn) 根據(jù) 2 可得直線 l 的斜率 21bka 從而得直 線 l 的方程 F 直線 OF 的斜率 2k 直線 l 的斜率 21bka 解方程組 2 105yx 消 y x 2 2x 48 0 解得 P1 6 4 P 2 8 3 2010 湖南文數(shù) 19 本小題滿分 13 分 為了考察冰川的融化狀況 一支科考隊(duì)在某冰川山上相距 8Km 的 A B 兩點(diǎn)各建一個(gè)考察 基地 視冰川面為平面形 以過 A B 兩點(diǎn)的直線為 x 軸 線段 AB 的垂直平分線為 y 軸建 立平面直角坐標(biāo)系 圖 4 考察范圍到 A B 兩點(diǎn)的距離之和不超過 10Km 的區(qū)域 I 求考察區(qū)域邊界曲線的方程 II 如圖 4 所示 設(shè)線段 12P 是冰川的部分邊界線 不考慮其他邊界 當(dāng)冰川融 化時(shí) 邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動(dòng) 第一年移動(dòng) 0 2km 以 后每年移動(dòng)的距離為前一年的 2 倍 問 經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間 點(diǎn) A 恰好在冰川邊界 線上 2010 浙江理數(shù) 21 本題滿分 15 分 已知 m 1 直線 2 0mlxy 橢圓2 1xCym 2F分別為橢圓 C的左 右焦點(diǎn) 當(dāng)直線 l過右焦點(diǎn) 2時(shí) 求直線 l的方程 設(shè)直線 與橢圓 交于 AB兩點(diǎn) 12FV 12BFV 的重心分別為 GH 若原點(diǎn) O在以線段 GH為直徑的圓 內(nèi) 求實(shí)數(shù) m的取值范圍 解析 本題主要考察橢圓的幾何性質(zhì) 直線與橢圓 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí) 同時(shí) 考察解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力 解 因?yàn)橹本€ l 20mxy 經(jīng)過 2 1 0 F 所以 221m 得 2m 又因?yàn)?1m 所以 2 故直線 l的方程為 0 xy 解 設(shè) 12 AB 由 21 mxy 消去 x得2204y 則由 228 1 80m 知 28m 且有 2121 yy A 由于 12 0 Fc 故 O為 的中點(diǎn) 由 AGBHO 可知 121 33xyh221219y 設(shè) M是 GH的中點(diǎn) 則 1212 6xy 由題意可知 2 O 即 2221111 4 69xyxy 即 120 而 221211 mxyyy 221 8m 所以 2108m 即 24 又因?yàn)?1 且 0 所以 m 所以 的取值范圍是 2 2010 全國卷 2 理數(shù) 21 本小題滿分 12 分 己知斜率為 1 的直線 l 與雙曲線 C 210 xyabb 相交于 B D 兩點(diǎn) 且 BD 的中點(diǎn)為 3M 求 C 的離心率 設(shè) C 的右頂點(diǎn)為 A 右焦點(diǎn)為 F 17DB A 證明 過 A B D 三點(diǎn)的圓 與 x 軸相切 命題意圖 本題主要考查雙曲線的方程及性質(zhì) 考查直線與圓的關(guān)系 既考查考生的基 礎(chǔ)知識(shí)掌握情況 又可以考查綜合推理的能力 參考答案 點(diǎn)評(píng) 高考中的解析幾何問題一般為綜合性較強(qiáng)的題目 命題者將好多考點(diǎn)以圓錐曲線 為背景來考查 如向量問題 三角形問題 函數(shù)問題等等 試題的難度相對(duì)比較穩(wěn)定 2010 陜西文數(shù) 20 本小題滿分 13 分 求橢圓 C 的方程 設(shè) n 為過原點(diǎn)的直線 l 是與 n 垂直相交與點(diǎn) P 與橢圓相交 于 A B 兩點(diǎn)的直線 立 若存在 求出直線 l 的方程 并說出 若不存在 請(qǐng)說明理由 2010 遼寧文數(shù) 20 本小題滿分 12 分 設(shè) 1F 2分別為橢圓 2 1xyCab 0 的左 右焦點(diǎn) 過 2F的直線 l與橢 圓 C 相交于 A B兩點(diǎn) 直線 l的傾斜角為 6 1F到直線 l的距離為 3 求橢圓 的焦距 如果 2F 求橢圓 的方程 解 設(shè)焦距為 c 由已知可得 1F到直線 l 的距離 32 c 故 所以橢圓 C的焦距為 4 設(shè) 1212 0 AxyBy 由 題 意 知 直線 l的方程為 3 2 yx 聯(lián)立 22242 3 3 abbab 得 解得 22123 3ayyb 因?yàn)?212 AFB 所 以 即 223 3baba 得 2 4 5 而 所 以 故橢圓 C的方程為 1 9xy 2010 遼寧理數(shù) 20 本小題滿分 12 分 設(shè)橢圓 C 2 0 xyab 的左焦點(diǎn)為 F 過點(diǎn) F 的直線與橢圓 C 相交于 A B 兩點(diǎn) 直線 l 的傾斜角為 60o 2AB I 求橢圓 C 的離心率 II 如果 AB 154 求橢圓 C 的方程 解 設(shè) 12 AxyB 由題意知 1y 0 2 0 直線 l 的方程為 3 xc 其中 2ab 聯(lián)立 2 3 1yxcab 得 2224 30aby 解得 22123 3 ccayb 因?yàn)?AFB 所以 12y 即 223 3 bcacab 得離心率 e 6 分 因?yàn)?213ABy 所以 24315ab 由 23ca得 5ba 所以 54 得 a 3 橢圓 C 的方程為 219xy 12 分 2010 全國卷 2 文數(shù) 22 本小題滿分 12 分 已知斜率為 1 的直線 1 與雙曲線 C 21 0 xyab 相交于 B D 兩點(diǎn) 且 BD 的 中點(diǎn)為 M 1 3 求 C 的離心率 設(shè) C 的右頂點(diǎn)為 A 右焦點(diǎn)為 F DF BF 17 證明 過 A B D 三點(diǎn)的圓 與 x 軸相切 解析 本題考查了圓錐曲線 直線與圓的知識(shí) 考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力 1 由直線過點(diǎn) 1 3 及斜率可得直線方程 直線與雙曲線交于 BD 兩點(diǎn)的中點(diǎn)為 1 3 可利用直線與雙曲線消元后根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式找出 A B 的關(guān)系式即求得離心率 2 利用離心率將條件 FA FB 17 用含 A 的代數(shù)式表示 即可求得 A 則 A 點(diǎn)坐標(biāo)可 得 1 0 由于 A 在 X 軸上所以 只要證明 2AM BD 即證得 2010 江西理數(shù) 21 本小題滿分 12 分 設(shè)橢圓 21 0 xyCab 拋物線 22 Cxby 1 若 2經(jīng)過 1的兩個(gè)焦點(diǎn) 求 1的離心率 2 設(shè) A 0 b 534Q 又 M N 為 1與 2不在 y 軸上的兩個(gè)交點(diǎn) 若 AMN 的垂心為 B 且 QMN 的重心在 2C上 求橢圓 1和拋物線 2C的方程 解析 考查橢圓和拋物線的定義 基本量 通過交點(diǎn)三角形來確認(rèn)方程 1 由已知橢圓焦點(diǎn) c 0 在拋物線上 可得 2cb 由22212 cabcea 有 2 由題設(shè)可知 M N 關(guān)于 y 軸對(duì)稱 設(shè)11 0 xyx 由 A 的垂心為 B 有2113 04BAb 由點(diǎn) 1 Nxy在拋物線上 22xy 解得 11 4by 或 舍 去 故 155 244bbbM 得 QMN 重心坐標(biāo) 3 由重心在拋物線上得 23 2 所 以 1 5 2 又因?yàn)?M N 在橢圓上得 216a 橢圓方程為 1634xy 拋物線方程為 4xy 2010 安徽文數(shù) 17 本小題滿分 12 分 橢圓 E經(jīng)過點(diǎn) 2 3A 對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸 焦點(diǎn) 1 F在 x軸上 離心率 12e 求橢圓 E的方程 求 12FA 的角平分線所在直線的方程 17 命題意圖 本題考查橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 直線的點(diǎn)斜式方 程與一般方程 點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí) 考查解析幾何的基本思想 綜合運(yùn)算能 力 解題指導(dǎo) 1 設(shè)橢圓方程為 21xyab 把點(diǎn) 2 3A代入橢圓方程 把離心率2e 用 ac表示 再根據(jù) 22c 求出 得橢圓方程 2 可以設(shè)直線 l 上 任一點(diǎn)坐標(biāo)為 xy 根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等得 46 2 5xyx 解 設(shè)橢圓 E 的方程為2 222121121 3 1 4 6 3 0 434 xyabcxyeaccAExyFAxxAF 由 得將 3 代 入 有 解 得 橢 圓 的 方 程 為由 知 所 以 直 線 的 方 程 為 y 即 直 線 的 方 程 為 由 橢 圓 的 圖 形 知 的 角 平 分 線 所 在 直 線 的 斜 率 為 正12 12 65650 80 yA xxyyF 數(shù) 設(shè) P 為 的 角 平 分 線 所 在 直 線 上 任 一 點(diǎn) 則 有若 得 其 斜 率 為 負(fù) 不 合 題 意 舍 去 于 是 即 所 以 的 角 平 分 線 所 在 直 線 的 方 程 為 2x y 規(guī)律總結(jié) 對(duì)于橢圓解答題 一般都是設(shè)橢圓方程為 21xyab 根據(jù)題目滿足的條件 求出 2 ab 得橢圓方程 這一問通常比較簡(jiǎn)單 2 對(duì)于角平分線問題 利用角平分線 的幾何意義 即角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等得方程 2010 重慶文數(shù) 21 本小題滿分 12 分 小問 5 分 小問 7 分 已知以原點(diǎn) O為中心 5 0 F為右焦點(diǎn)的雙曲線 C的離心率 52e 求雙曲線 C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程 如題 21 圖 已知過點(diǎn) 1 Mxy的直線 1l 14xy 與過點(diǎn)2 Nxy 其中 21x 的直線 2l 24 的交點(diǎn) E在雙曲線 上 直線 MN與雙曲線的兩條漸近線分別交于 G H兩點(diǎn) 求 O A的值 2010 浙江文數(shù) 22 本題滿分 15 分 已知 m 是非零實(shí)數(shù) 拋物線2 Cyps p 0 的焦點(diǎn) F 在直線 2 0mlxy 上 I 若 m 2 求拋物線 C 的方程 II 設(shè)直線 l與拋物線 C 交于 A B A2A 1B的重心分別為 G H 求證 對(duì)任意非零實(shí)數(shù) m 拋物線 C 的準(zhǔn)線與 x 軸的焦點(diǎn)在以線段 GH 為直徑的圓外 2010 重慶理數(shù) 20 本小題滿分 12 分 I 小問 5 分 II 小問 7 分 已知以原點(diǎn) O 為中心 5 0F為右焦點(diǎn) 的雙曲線 C 的離心率 2e I 求雙曲線 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程 II 如題 20 圖 已知過點(diǎn) 1 Mxy的直線 11 4lxy 與過點(diǎn) 2 Nxy 其中 2 的直線 22 l的交點(diǎn) E 在雙曲線 C 上 直線 MN 與兩條漸近線分別交與 G H 兩點(diǎn) 求 O 的面積 2010 山東文數(shù) 22 本小題滿分 14 分 如圖 已知橢圓 21 0 xyab 過點(diǎn) 1 2 離心率為 2 左 右焦點(diǎn)分別為 1F F 點(diǎn) P為直線 lxy 上且不在 x軸上的任意 一點(diǎn) 直線 1和 2F與橢圓的交點(diǎn)分別為 A B 和 C D O為坐標(biāo)原點(diǎn) I 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 II 設(shè)直線 1P 2的斜線分別為 1k 2 i 證明 123k ii 問直線 l上是否存在點(diǎn) P 使得直線 OA B C D的斜率 OAk OBk C ODk滿足 0AOBCDk 若存在 求出所有滿足條件的點(diǎn) P的坐 標(biāo) 若不存在 說明理由 2010 北京文數(shù) 19 本小題共 14 分 已知橢圓 C 的左 右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是 2 0 離心率是 63 直線 y t 橢 圓 C 交與不同的兩點(diǎn) M N 以線段為直徑作圓 P 圓心為 P 求橢圓 C 的方程 若圓 P 與 x 軸相切 求圓心 P 的坐標(biāo) 設(shè) Q x y 是圓 P 上的動(dòng)點(diǎn) 當(dāng) t 變化時(shí) 求 y 的最大值 解 因?yàn)?63ca 且 2c 所以 23 1abc 所以橢圓 C 的方程為 21xy 由題意知 0 pt 由 213 ytx 得 23 1 xt 所以圓 P 的半徑為 2 t 解得 2t 所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)是 0 32 由 知 圓 P 的方程 22 1 xytt 因?yàn)辄c(diǎn) Qxy在圓 P 上 所以23 1 31yttxt 設(shè) cos 0 t 則 23 1 cos3in2si 6tt 當(dāng) 3 即 12t 且 x y取最大值 2 2010 北京理數(shù) 19 本小題共 14 分 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中 點(diǎn) B 與點(diǎn) A 1 1 關(guān)于原點(diǎn) O 對(duì)稱 P 是動(dòng)點(diǎn) 且直線 AP 與 BP 的斜率之積等于 13 求動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程 設(shè)直線 AP 和 BP 分別與直線 x 3 交于點(diǎn) M N 問 是否存在點(diǎn) P 使得 PAB 與 PMN 的 面積相等 若存在 求出點(diǎn) P 的坐標(biāo) 若不存在 說明理由 I 解 因?yàn)辄c(diǎn) B 與 A 1 關(guān)于原點(diǎn) O對(duì)稱 所以點(diǎn) B得坐標(biāo)為 1 設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 xy 由題意得 13 化簡(jiǎn)得 24 1 xyx 故動(dòng)點(diǎn) P的軌跡方程為 24 1 yx II 解法一 設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 0 點(diǎn) M N得坐標(biāo)分別為 3 My N 則直線 A的方程為 01 1yx 直線 BP的方程為01 yx 令 3得 0431My 0231Nyx 于是 PNA得面積 2002 3 2MNxyxSy 又直線 B的方程為 x AB 點(diǎn) P到直線 A的距離 0 2yd 于是 PAB的面積 01 2Sdxy A 當(dāng) PABMN時(shí) 得 2002 3 1x 又 0 xy 所以 2 3 0 1 x 解得 05 3x 因?yàn)?204y 所以 09y 故存在點(diǎn) P使得 AB與 PMN的面積相等 此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo)為 53 9 解法二 若存在點(diǎn) 使得 與 A的面積相等 設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 0 xy 則 11 sin sin22MN A 因?yàn)?siPBN 所以 M 所以 00 1 3 xx 即 20 解得 053 因?yàn)?2034xy 所以 09y 故存在點(diǎn) PS 使得 AB與 PMN的面積相等 此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo)為53 9 2010 四川理數(shù) 20 本小題滿分 12 分 已知定點(diǎn) A 1 0 F 2 0 定直線 l x 12 不在 x 軸上的動(dòng)點(diǎn) P 與點(diǎn) F 的距離是 它到直線 l 的距離的 2 倍 設(shè)點(diǎn) P 的軌跡為 E 過點(diǎn) F 的直線交 E 于 B C 兩點(diǎn) 直線 AB AC 分別交 l 于點(diǎn) M N 求 E 的方程 試判斷以線段 MN 為直徑的圓是否過點(diǎn) F 并說明理由 本小題主要考察直線 軌跡方程 雙曲線等基礎(chǔ)知識(shí) 考察平面機(jī)襲擊和的思想方法及推 理運(yùn)算能力 解 1 設(shè) P x y 則 21 2yx 化簡(jiǎn)得 x2 3 1 y 0 4 分 2 當(dāng)直線 BC 與 x 軸不垂直時(shí) 設(shè) BC 的方程為 y k x 2 k 0 與雙曲線 x2 1 聯(lián)立消去 y 得 3 k 2x2 4k 2x 4k 2 3 0 由題意知 3 k 2 0 且 0 設(shè) B x1 y1 C x2 y2 則 2143kx y1y2 k 2 x1 2 x 2 2 k 2 x1x2 2 x 1 x 2 4 k 2 83 4 29 因?yàn)?x1 x 2 1 所以直線 AB 的方程為 y 1x x 1 因此 M 點(diǎn)的坐標(biāo)為 13 2 13 yFx 同理可得 23 1yFNx 因此 2129 yNx A 284349 1 k 0 當(dāng)直線 BC 與 x 軸垂直時(shí) 起方程為 x 2 則 B 2 3 C 2 3 AB 的方程為 y x 1 因此 M 點(diǎn)的坐標(biāo)為 1 FM 同理可得 3 2FN 因此 A 0 綜上 FM 0 即 FM FN 故以線段 MN 為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn) F 12 分 2010 天津文數(shù) 21 本小題滿分 14 分 已知橢圓 21xyab a b 0 的離心率 e 32 連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積 為 4 求橢圓的方程 設(shè)直線 l 與橢圓相交于不同的兩點(diǎn) A B 已知點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 a 0 i 若 42AB5 求直線 l 的傾斜角 ii 若點(diǎn) Q y0 在線段 AB 的垂直平分線上 且 QB 4 A 求 y0的值 解析 本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 直線的方程 兩點(diǎn)間的距離公 式 直線的傾斜角 平面向量等基礎(chǔ)知識(shí) 考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù) 形結(jié)合的思想 考查綜合分析與運(yùn)算能力 滿分 14 分 解 由 e 32ca 得 24ac 再由 22ab 解得 a 2b 由題意可知 1b 即 ab 2 解方程組 2a 得 a 2 b 1 所以橢圓的方程為 214xy i 解 由 可知點(diǎn) A 的坐標(biāo)是 2 0 設(shè)點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 1 xy 直線 l 的斜率為 k 則直線 l 的方程為 y k x 2 于是 A B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組 2 1 4ykx 消去 y 并整理 得 222 14 6 14 0kxk 由 12 得 218x 從而 124ky 所以 2224 4kkABk 由 42 5 得 2145k 整理得 423930k 即 22 1 3 0k 解得 k 1 所以直線 l 的傾斜角為 或 4 ii 解 設(shè)線段 AB 的中點(diǎn)為 M 由 i 得到 M 的坐標(biāo)為 228 14k 以下分兩種情況 1 當(dāng) k 0 時(shí) 點(diǎn) B 的坐標(biāo)是 2 0 線段 AB 的垂直平分線為 y 軸 于是 002 2 QAyy 由 4QA 得 y2 0 2 當(dāng) k 時(shí) 線段 AB 的垂直平分線方程為 22184kkx 令 0 x 解得 02614ky 由 2 QA 10 Bxy 21010 2228646411kkxy 42654k 整理得 27k 故 17 所以 02145y 綜上 0y或 0245y 2010 天津理數(shù) 20 本小題滿分 12 分 已知橢圓 21 0 xyab 的離心率 32e 連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面 積為 4 1 求橢圓的方程 2 設(shè)直線 l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn) AB 已知點(diǎn) 的坐標(biāo)為 0a 點(diǎn)0 Qy 在線段 AB的垂直平分線上 且 4Q 求 y的值 解析 本小題主要考察橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 直線的方程 平面向量等基礎(chǔ)知識(shí) 考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想 考查運(yùn)算和推理能力 滿分 12 分 1 解 由 3e2ca 得 24ac 再由 22ab 得 由題意可知 1 b 即 解方程組 2a 得 a 2 b 1 所以橢圓的方程為 214xy 2 解 由 1 可知 A 2 0 設(shè) B 點(diǎn)的坐標(biāo)為 x 1 y1 直線 l 的斜率為 k 則直線 l 的方程為 y k x 2 于是 A B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組 2 14ykx 由方程組消去 Y 并整理 得 222 1 6 4 0kk 由 2164 kx 得21128 kyk從 而 設(shè)線段 AB 是中點(diǎn)為 M 則 M 的坐標(biāo)為 228 14k 以下分兩種情況 1 當(dāng) k 0 時(shí) 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 2 0 線段 AB 的垂直平分線為 y 軸 于是 000 2 y 2 2QAByQABy 由 4 得 2 當(dāng) K 時(shí) 線段 AB 的垂直平分線方程為 2218 44kkYx 令 x 0 解得 02614ky 由 010 QABxy 210 222 8 6462 411kkx 42 65 4k 整理得 2 012147 75y 故 所 以 綜上 0024 5yy或 2010 廣東理數(shù) 21 本小題滿分 14 分 設(shè) A 1 xy B 2 是平面直角坐標(biāo)系 xOy 上的兩點(diǎn) 先定義由點(diǎn) A 到點(diǎn) B 的一種折 線距離 p A B 為 121 PABxy 當(dāng)且僅當(dāng) 1212 0 0 xyy 時(shí)等號(hào)成立 即 ABC三點(diǎn)共線時(shí) 等號(hào)成立 2 當(dāng)點(diǎn) C x y 同時(shí)滿足 P AC P B P P P 時(shí) 點(diǎn)C 是線段 AB的中點(diǎn) 1212xy 即存在點(diǎn) 1212xyC 滿足條件 2010 廣東理數(shù) 20 本小題滿分為 14 分 一條雙曲線 21xy 的左 右頂點(diǎn)分別為 A1 A2 點(diǎn) 1 Pxy 1 Qy 是雙曲線上 不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) 1 求直線 A1P 與 A2Q 交點(diǎn)的軌跡 E 的方程式 2 若過點(diǎn) H 0 h h 1 的兩條直線 l1 和 l2 與軌跡 E 都只有一個(gè)交點(diǎn) 且 12l 求 h 的值 故 221 yx 即 21xy 2 設(shè) 1 lykh 則由 12l 知 1 lyxhk 將 1 lx 代入 2y 得22 kh 即 22 1 40kxh 由 1l與 E 只有一個(gè)交點(diǎn)知 226 1 kh 即2kh 同理 由 2l與 E 只有一個(gè)交點(diǎn)知 2k 消去 2得 21k 即 1 從 而 213k 即 2010 廣東文數(shù) 21 本小題滿分 14 分 已知曲線 2 nxyC 點(diǎn) nyP 0 nyx是曲線 nC上的點(diǎn) 21 2010 福建文數(shù) 19 本小題滿分 12 分 已知拋物線 C 2 0 ypx 過點(diǎn) A 1 2 I 求拋物線 C 的方程 并求其準(zhǔn)線方程 II 是否存在平行于 OA O 為坐標(biāo)原點(diǎn) 的直線 L 使得直線 L 與拋物線 C 有公共 點(diǎn) 且直線 OA 與 L 的距離等于 5 若存在 求直線 L 的方程 若不存在 說明理由 2010 全國卷 1 理數(shù) 21 本小題滿分 12 分 已知拋物線 2 4Cyx 的焦點(diǎn)為 F 過點(diǎn) 1 0 K 的直線 l與 C相交于 A B兩點(diǎn) 點(diǎn) A 關(guān)于 x軸的對(duì)稱點(diǎn)為 D 證明 點(diǎn) F 在直線 BD 上 設(shè) 89B 求 D 的內(nèi)切圓 M 的方程 2010 四川文數(shù) 21 本小題滿分 12 分 已知定點(diǎn) A 1 0 F 2 0 定直線 l x 12 不在 x 軸上的動(dòng)點(diǎn) P 與點(diǎn) F 的距離是 它到直線 l 的距離的 2 倍 設(shè)點(diǎn) P 的軌跡為 E 過點(diǎn) F 的直線交 E 于 B C 兩點(diǎn) 直線 AB AC 分別交 l 于點(diǎn) M N 求 E 的方程 試判斷以線段 MN 為直徑的圓是否過點(diǎn) F 并說明理由 2010 湖北文數(shù) 20 本小題滿分 13 分 已知一條曲線 C 在 y 軸右邊 C 上沒一點(diǎn)到點(diǎn) F 1 0 的距離減去它到 y 軸距離的差 都是 1 求曲線 C 的方程 是否存在正數(shù) m 對(duì)于過點(diǎn) M m 0 且與曲線 C 有兩個(gè)交點(diǎn) A B 的任一直線 都有 FA B 0 若存在 求出 m 的取值范圍 若不存在 請(qǐng)說明理由 2010 山東理數(shù) 21 本小題滿分 12 分 如圖 已知橢圓 21 0 xyab 的離心率為 2 以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左 右 焦點(diǎn) 12 F為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為 4 1 一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn) 設(shè)P 為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn) 直線 PF和 2與橢圓的交點(diǎn)分別為 BA 和 CD 求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 設(shè)直線 1PF 2的斜率分別為 1k 2 證明 12 k 是否存在常數(shù) 使得 ABCD 恒成立 若存在 求 的值 若 不存在 請(qǐng)說明理由 解析 由題意知 橢圓離心率為 ca2 得 c 又 2ac 4 21 所以可解得 2a c 所以 224b 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 8xy 所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 0 因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線 且頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn) 所 以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 214xy 命題意圖 本題考查了橢圓的定義 離心率 橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 直線與圓錐曲 線的位置關(guān)系 是一道綜合性的試題 考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力 其中問 題 3 是一個(gè)開放性問題 考查了同學(xué)們觀察 推理以及創(chuàng)造性地分析問題 解決問題的 能力 2010 湖南理數(shù) 19 本小題滿分 13 分 為了考察冰川的融化狀況 一支科考隊(duì)在某冰川上相距 8km 的 A B 兩點(diǎn)各建一個(gè)考察基地 視冰川面為平面形 以過 A B 兩點(diǎn)的直線為 x 軸 線段 AB 的的垂直平分線為 y 軸建立平面 直角坐標(biāo)系 圖 6 在直線 x 2 的右側(cè) 考察范圍為到點(diǎn) B 的距離不超過 65 km 區(qū)域 在 直線 x 2 的左側(cè) 考察范圍為到 A B 兩點(diǎn)的距離之和不超過 45km 區(qū)域 求考察區(qū)域邊界曲線的方程 如圖 6 所示 設(shè)線段 P1P2 P2P3 是冰川的部分邊界線 不考慮其他邊界線 當(dāng)冰川 融化時(shí) 邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動(dòng) 第一年移動(dòng) 0 2km 以后每年移動(dòng) 的距離為前一年的 2 倍 求冰川邊界線移動(dòng)到考察區(qū)域所需的最短時(shí)間 化 融 區(qū) 域283P 6 P3 8 6 已 冰 B 4 0 A 4 0 x 1 P 153 2010 湖北理數(shù) 19 本小題滿分 12 分 已知一條曲線 C 在 y 軸右邊 C 上每一點(diǎn)到點(diǎn) F 1 0 的距離減去它到 y 軸距離的差都是 1 求曲線 C 的方程 是否存在正數(shù) m 對(duì)于過點(diǎn) M m 0 且與曲線 C 有兩個(gè)交點(diǎn) A B 的任一直線 都 有 0FAB 若存在 求出 m 的取值范圍 若不存在 請(qǐng)說明理由 2010 安徽理數(shù) 19 本小題滿分 13 分 已知橢圓 E經(jīng)過點(diǎn) 2 3A 對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸 焦點(diǎn)12 F 在 x軸上 離心率 1e 求橢圓 的方程 求 12A 的角平分線所在直線 l的方程 在橢圓 E上是否存在關(guān)于直線 對(duì)稱的相異兩點(diǎn) 若存在 請(qǐng)找出 若不存在 說明理由 2010 江蘇卷 18 本小題滿分 16 分 在平面直角坐標(biāo)系 xoy中 如圖 已知橢圓 1592 yx的左 右頂點(diǎn)為 A B 右焦點(diǎn)為 F 設(shè)過點(diǎn) T mt 的直線 TA TB 與橢圓分別交于點(diǎn) M 1x 2yxN 其中 m 0 021 y 1 設(shè)動(dòng)點(diǎn) P 滿足 42 BF 求點(diǎn) P 的軌跡 2 設(shè) 31 21 x 求點(diǎn) T 的坐標(biāo) 3 設(shè) 9t 求證 直線 MN 必過 x 軸上的一定點(diǎn) 其坐 標(biāo)與 m 無關(guān) 解析 本小題主要考查求簡(jiǎn)單曲線的方程 考查方直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí) 考查運(yùn) 算求解能力和探究問題的能力 滿分 16 分 1 設(shè)點(diǎn) P x y 則 F 2 0 B 3 0 A 3 0 由 42 B 得 22 4 xyxy 化簡(jiǎn)得 92x 故所求點(diǎn) P 的軌跡為直線 9 2 將 31 21 x分別代入橢圓方程 以及 0 21 y得 M 2 53 N 1 09 直線 MTA 方程為 0523yx 即 3yx 直線 NTB 方程為 109 即 562 聯(lián)立方程組 解得 73xy 所以點(diǎn) T 的坐標(biāo)為 10 3 點(diǎn) T 的坐標(biāo)為 9m 直線 MTA 方程為 30yx 即 3 12myx 直線 NTB 方程為 9 即 6 分別與橢圓 1592 yx聯(lián)立方程組 同時(shí)考慮到 123 x 解得 223 80 4 mM 223 0 mN 方法一 當(dāng) 12x 時(shí) 直線 MN 方程為 2222203 0 4808yxmm 令 0y 解得 1x 此時(shí)必過點(diǎn) D 1 0 當(dāng) 12x 時(shí) 直線 MN 方程為 x 與 x 軸交點(diǎn)為 D 1 0 所以直線 MN 必過 x 軸上的一定點(diǎn) D 1 0 方法二 若 12 則由 224368m 及 得 210m 此時(shí)直線 MN 的方程為 1x 過點(diǎn) D 1 0 若 12x 則 10m 直線 MD 的斜率 2240183MDmk 直線 ND 的斜率 22103640NDkm 得 MDNk 所以直線 MN 過 D 點(diǎn) 因此 直線 MN 必過 x軸上的點(diǎn) 1 0 2010 福建理數(shù) 17 本小題滿分 13 分 已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn) O 的橢圓 C 經(jīng)過點(diǎn) A 2 3 且點(diǎn) F 2 0 為其右焦點(diǎn) 1 求橢圓 C 的方程 2 是否存在平行于 OA 的直線 l 使得直線 l與橢圓 C 有公共點(diǎn) 且直線 OA 與 l的距離等 于 4 若存在 求出直線 的方程 若不存在 請(qǐng)說明理由 命題意圖 本小題主要考查直線 橢圓等基礎(chǔ)知識(shí) 考查運(yùn)算求解能力 推理論證能力 考查函數(shù)與方程思想 數(shù)形結(jié)合思想 化歸與轉(zhuǎn)化思想 解析 1 依題意 可設(shè)橢圓 C 的方程為 21 a 0 b xy 且可知左焦點(diǎn)為 2010 年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編 三角函數(shù) 2010 上海文數(shù) 19 本題滿分 12 分 已知 02x 化簡(jiǎn) 2lg costan1si lg cos lg 1sin2 2xxx 解析 原式 lg sinx cosx lg cosx sinx lg sinx cosx 2 0 2010 湖南文數(shù) 16 本小題滿分 12 分 已知函數(shù) 2 sinifxx I 求函數(shù) 的最小正周期 II 求函數(shù) fx的最大值及 fx取最大值時(shí) x 的集合 2010 浙江理數(shù) 18 本題滿分 l4 分 在 ABC 中 角 A B C 所對(duì)的邊分別為 a b c 已 知 1cos24C I 求 sinC 的值 當(dāng) a 2 2sinA sinC 時(shí) 求 b 及 c 的長(zhǎng) 解析 本題主要考察三角變換 正弦定理 余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí) 同事考查運(yùn)算求解能力 解 因?yàn)?cos2C 1 2sin2C 14 及 0 C 所以 sinC 104 解 當(dāng) a 2 2sinA sinC 時(shí) 由正弦定理 acsinAiC 得 c 4 由 cos2C 2cos2C 1 14 J 及 0 C 得 cosC 6 由余弦定理 c2 a2 b2 2abcosC 得 b2 b 12 0 解得 b 6或 2 所以 b b 6 c 4 或 c 4 2010 全國卷 2 理數(shù) 17 本小題滿分 10 分 ABC 中 D為邊 上的一點(diǎn) 3BD 5sin13 3cos5ADC 求 命題意圖 本試題主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系 兩角和差公式和正弦定理在解三角形中 的應(yīng)用 考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí) 基本技能的掌握情況 參考答案 由 cos ADC 0 知 B 由已知得 cosB sin ADC 從而 sin BAD sin ADC B sin ADCcosB cos ADCsinB 由正弦定理得 所以 點(diǎn)評(píng) 三角函數(shù)與解三角形的綜合性問題 是近幾年高考的熱點(diǎn) 在高考試題中頻繁出 現(xiàn) 這類題型難度比較低 一般出現(xiàn)在 17 或 18 題 屬于送分題 估計(jì)以后這類題型仍會(huì)保 留 不會(huì)有太大改變 解決此類問題 要根據(jù)已知條件 靈活運(yùn)用正弦定理或余弦定理 求 邊角或?qū)⑦吔腔セ?2010 陜西文數(shù) 17 本小題滿分 12 分 在 ABC 中 已知 B 45 D 是 BC 邊上的一點(diǎn) AD 10 AC 14 DC 6 求 AB 的長(zhǎng) 解 在 ADC 中 AD 10 AC 14 DC 6 由余弦定理得 cos 22ADC 1036912 ADC 120 ADB 60 在 ABD 中 AD 10 B 45 ADB 60 由正弦定理得 sinsiBAD AB 310ii6256ss45AD 2010 遼寧文數(shù) 17 本小題滿分 12 分 在 BC 中 abc 分別為內(nèi)角 ABC 的對(duì)邊 且 2sin sin 2 sinAb 求 的大小 若 i1 試判斷 的形狀 解 由已知 根據(jù)正弦定理得 cbca 2 2 即 bca 22 由余弦定理得 Acos2 故 10 2cosA 由 得 sinsinisin22CB 又 sin CB 得 1B 因?yàn)?90 0 故 所以 A 是等腰的鈍角三角形 2010 遼寧理數(shù) 17 本小題滿分 12 分 在 ABC 中 a b c 分別為內(nèi)角 A B C 的對(duì)邊 且2sin sin 2 sin aBcb 求 A 的大小 求 i的最大值 解 由已知 根據(jù)正弦定理得 2 2 abcbc 即 22abc 由余弦定理得 2cosA 故 1cos2A A 120 6 分 由 得 insin 60 BCB 31cosin2i 60 B 故當(dāng) B 30 時(shí) sinB sinC 取得最大值 1 12 分 2010 全國卷 2 文數(shù) 17 本小題滿分 10 分 ABC 中 D為邊 上的一點(diǎn) 3D 5sin13B 3cos5ADC 求 解析 本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系 正弦定理與余弦定理的基礎(chǔ)知識(shí) 由 與 的差求出 BA 根據(jù)同角關(guān)系及差角公式求出 的正弦 在三角 形 ABD 中 由正弦定理可求得 AD 2010 江西理數(shù) 17 本小題滿分 12 分 已知函數(shù) 21cotsinisin4fxxmx 1 當(dāng) m 0 時(shí) 求 fx在區(qū)間 38 上的取值范圍 2 當(dāng) tan2 時(shí) 5 fa 求 m 的值 解析 考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn) 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì) 已知三角函數(shù)值求值問題 依托 三角函數(shù)化簡(jiǎn) 考查函數(shù)值域 作為基本的知識(shí)交匯問題 考查基本三角函數(shù)變換 屬于 中等題 解 1 當(dāng) m 0 時(shí) 22cos 1cos2in insiinsx xfxxx 1 2sin 1 4x 由已知 3 84x 得 22 1 x 從而得 f的值域?yàn)?2 0 2 2cos1insi sin 4xfxmx 化簡(jiǎn)得 1 1 co 2 當(dāng) tan 得 22sitasinn5a 3cos2a 代入上式 m 2 2010 安徽文數(shù) 16 本小題滿分 12 分 ABC 的面積是 30 內(nèi)角 ABC所對(duì)邊長(zhǎng)分別為 abc 12os3A 求 若 1cb 求 a的值 命題意圖 本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 三角形面積公式 向量的數(shù)量積 利用 余弦定理解三角形以及運(yùn)算求解能力 解題指導(dǎo) 1 根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系 由 12cos3A 得 sin的值 再根據(jù) ABC 面 積公式得 56bc 直接求數(shù)量積 BC 由余弦定理 2cosab 代入已 知條件 及 求 a 的值 解 由 12os3A 得 215sin 3 又 in0bc 56bc 12os43BC 22caA 12 cos 156 53bA 5 規(guī)律總結(jié) 根據(jù)本題所給的條件及所要求的結(jié)論可知 需求 b的值 考慮已知ABC 的面積是 30 1cos3 所以先求 sin的值 然后根據(jù)三角形面積公式得bc 的值 第二問中求 a 的值 根據(jù)第一問中的結(jié)論可知 直接利用余弦定理即可 2010 重慶文數(shù) 18 本小題滿分 13 分 小問 5 分 小問 8 分 設(shè) 的內(nèi)角 A B C 的對(duì)邊長(zhǎng)分別為 a b c 且 3 2 3c 3 2a 4 bc 求 sinA 的值 求 2sin si 441co2ABC 的值 2010 浙江文數(shù) 18 本題滿分 在 ABC 中 角 A B C 所對(duì)的邊分別為 a b c 設(shè) S 為 ABC 的面積 滿足 223 4Sabc 求角 C 的大小 求 sinAB 的最大值 2010 重慶理數(shù) 16 本小題滿分 13 分 I 小問 7 分 II 小問 6 分 設(shè)函數(shù) 2coscos 3xfxR I 求 fx的值域 II 記 ABC 的內(nèi)角 A B C 的對(duì)邊長(zhǎng)分別為 a b c 若f 1 b 1 c 3 求 a 的值 2010 山東文數(shù) 17 本小題滿分 12 分 已知函數(shù) 2 sin cosfxxx 0 的最小正周期為 求 的值 將函數(shù) yf的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 12 縱坐標(biāo)不變 得到 函數(shù) ygx 的圖像 求函數(shù) gx 在區(qū)間 0 16 上的最小值 2010 北京文數(shù) 15 本小題共 13 分 已知函數(shù) 2 cosinfxx 求 3 的值 求 fx的最大值和最小值 解 22cosin3 314 1 cos fxxx 2cs R 因?yàn)?ox 所以 當(dāng) cs1x 時(shí) fx取最大值 2 當(dāng) cos0 x 時(shí) f 去最小值 1 2010 北京理數(shù) 15 本小題共 13 分 已知函數(shù) x f2cosin4cosx 求 3 的值 求 x f的最大值和最小值 解 I 2392cosin4cos1334 II 2 1 fxxx 2cs 73 o 3x xR 因?yàn)?cs 1 所以 當(dāng) x 時(shí) fx取最大值 6 當(dāng) 2cos3x 時(shí) fx取最小值73 2010 四川理數(shù) 19 本小題滿分 12 分 證明兩角和的余弦公式 C cos cossin 1 由 C 推導(dǎo)兩角和的正弦公式 Sincosi 2 已知 ABC 的面積 1 32SAB 且 35csB 求 cosC 本小題主要考察兩角和的正 余弦公式 誘導(dǎo)公式 同角三角函數(shù)間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)及 運(yùn)算能力 解 1 如圖 在執(zhí)教坐標(biāo)系 xOy 內(nèi)做單位圓 O 并作出角 與 使角 的始邊 為 Ox 交 O 于點(diǎn) P1 終邊交 O 于 P2 角 的始邊為 OP2 終邊交 O 于 P3 角 的始邊為 OP1 終邊交 O 于 P4 則 P1 1 0 P2 cos sin P3 cos sin P 4 cos sin 由 P1P3 P 2P4 及兩點(diǎn)間的距離公式 得 cos 1 2 sin 2 cos cos 2 sin sin 2 展開并整理得 2 2cos 2 2 cos cos sin sin cos cos cos sin sin 4 分 由 易得 cos sin sin 2 cos sin cos 2 cos cos cos sin sin sin cos cos sin 6 分 2 由題意 設(shè) ABC 的角 B C 的對(duì)邊分別為 b c 則 S 12bcsinA ABC bccosA 3 0 A 0 2 cosA 3sinA 又 sin2A cos 2A 1 sinA 10 cosA 310 由題意 cosB 35 得 sinB 4 cos A B cosAcosB sinAsinB 10 故 cosC cos A B cos A B 12 分 2010 天津文數(shù) 17 本小題滿分 12 分 在 ABC 中 cosC 證明 B C 若 csA 13 求 sin 4B3 的值 解析 本小題主要考查正弦定理 兩角和與差的正弦 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 二倍 角的正弦與余弦等基礎(chǔ)知識(shí) 考查基本運(yùn)算能力 滿分 12 分 證明 在 ABC 中 由正弦定理及已知得 sinBC co 于是 sinBcosC cosBsinC 0 即 sin B C 0 因?yàn)?從而 B C 0 所以 B C 解 由 A B C 和 得 A 2B 故 cos2B cos 2B cosA 13 又 0 2B ACOOAC 故 且 對(duì) 于 線 段 上 任 意 點(diǎn) P有 O 而小艇的最 高航行速度只能達(dá)到 30 海里 小時(shí) 故輪船與小艇不可能在 A C 包含 C 的任意位置相 遇 設(shè) D 90 103tanRtD 則 在 中 OD 103cos 由于從出發(fā)到相遇 輪船與小艇所需要的時(shí)間分別為 tt 和 tv 所以 103tan 103cosv 解得 1533 0 sin sin 2vv 又 故 從而 9 ta 由 于 時(shí) 取 得 最 小 值 且最小值為 3 于是 當(dāng) 30 時(shí) 103tnt 取得最小值 且最小值為 2 此時(shí) 在 OAB 中 20AB 故可設(shè)計(jì)航行方案如下 航行方向?yàn)楸逼珫| 航行速度為 30 海里 小時(shí) 小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇 2010 安徽理數(shù) 16 本小題滿分 12 分 設(shè) ABC 是銳角三角形 abc分別是內(nèi)角 ABC所對(duì)邊長(zhǎng) 并且2 2sini sin sin3A 求角 的值 若 1 7BCa 求 bc 其中 c 2010 江蘇卷 17 本小題滿分 14 分 某興趣小組測(cè)量電視塔 AE 的高度 H 單位 m 如示意圖 垂直放置的標(biāo)桿 BC 的高度 h 4m 仰角 ABE ADE 1 該小組已經(jīng)測(cè)得一組 的值 tan 1 24 tan 1 20 請(qǐng)據(jù)此算出 H 的值 2 該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后 認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離 d 單位 m 使 與 之差較大 可以提高測(cè)量精確度 若電視塔 的實(shí)際高度為 125m 試問 d 為多少時(shí) 最大 解析 本題主要考查解三角形的知識(shí) 兩角差的正切及不等式的應(yīng)用 1 tantanHHAD 同理 tanHAB tanhD AD AB DB 故得 tth 解得 41 24tt0 因此 算出的電視塔的高度 H 是 124m 2 由題設(shè)知 dAB 得 tan tHhdADBd 2tantan 1t 1HhdhdHd 2 Hhdh 當(dāng)且僅當(dāng) 152h 時(shí) 取等 號(hào) 故當(dāng) 5 時(shí) tan 最大 因?yàn)?02 則 02 所以當(dāng) 5d 時(shí) 最大 故所求的 d是 m 2010 江蘇卷 23 本小題滿分 10 分 已知 ABC 的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù) 1 求證 cosA 是有理數(shù) 2 求證 對(duì)任意正整數(shù) n cosnA 是有理數(shù) 解析 本題主要考查余弦定理 數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識(shí) 考查推理論證的能力與分析問題 解決問題的能力 滿分 10 分 方法一 1 證明 設(shè)三邊長(zhǎng)分別為 abc 22osbcaA bc是有理數(shù) 22bca 是有理數(shù) 分母 2為正有理數(shù) 又有理數(shù)集對(duì)于除法的具有封閉 性 22c 必為有理數(shù) cosA 是有理數(shù) 2 當(dāng) 1n 時(shí) 顯然 cosA 是有理數(shù) 當(dāng) 時(shí) 2oscs1A 因?yàn)?cosA 是有理數(shù) cos2A也是有理數(shù) 假設(shè)當(dāng) k 時(shí) 結(jié)論成立 即 coskA cos 1 k 均是有理數(shù) 當(dāng) 1n 時(shí) cs1csoinkA 1o s cos 2kAkA 1cs1cosco2kk 解得 s A cosA coskA 1 均是有理數(shù) cosco 1 kAk 是有理數(shù) cos 1 kA 是有理數(shù) 即當(dāng) n 時(shí) 結(jié)論成立 綜上所述 對(duì)于任意正整數(shù) n cosnA 是有理數(shù) 方法二 證明 1 由 AB BC AC 為有理數(shù)及余弦定理知22cosABC 是有理數(shù) 2 用數(shù)學(xué)歸納法證明 cosnA 和 sinA 都是有理數(shù) 當(dāng) 1n時(shí) 由 1 知 co是有理數(shù) 從而有 2sin1cosAA 也是有理數(shù) 假設(shè)當(dāng) k 時(shí) sk和 ink 都是有理數(shù) 當(dāng) 1n 時(shí) 由 co1cosisnAA si sin s i cos ins coAkkkkAk 及 和歸納假設(shè) 知 和 ins1 都是有理數(shù) 即當(dāng) 1k 時(shí) 結(jié)論成立 綜合 可知 對(duì)任意正整數(shù) n cosnA 是有理數(shù)