《幾何畫板》教程——從入門到精通

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1 幾何畫板 教程 從入門到精通 用幾何畫板做數(shù)理實(shí)驗(yàn) 首先請(qǐng)下載安裝好幾何畫板軟件 打開幾何畫板 可以看到如下的窗口 各部分的功能如圖所示 圖 1 0 1 我們主要認(rèn)識(shí)一下工具箱和狀態(tài)欄 其它的功能在今后的學(xué)習(xí)過程中將學(xué)會(huì)使用 2 案例一 四人分餅 有一塊厚度均勻的三角形薄餅 現(xiàn)在要把它 平均分給四個(gè)人 應(yīng)該如何分 圖 1 1 1 思路 這個(gè)問題在數(shù)學(xué)上就是如何把一個(gè)三角形分成面積相等的四部分 方案一 畫三角形的三條中位線 分三角形所成的四部 分面積相等 其實(shí)四個(gè)三角形全等 如圖 1 1 2 圖 1 1 2 方案二 四等分三角形的任意一邊 由等底等高的三角 形面積相等 可以得出四部分面積相等 如圖 1 1 3 圖 1 1 3 用幾何畫板驗(yàn)證 第一步 打開幾何畫板程序 這時(shí)出現(xiàn)一個(gè)新繪圖文件 說明 如果幾何畫板程序已經(jīng)打開 只要由菜單 文件 新繪圖 也可以新建一個(gè)繪圖文件 第二步 1 在工具箱中選取 畫線段 工具 2 在工作區(qū)中按住鼠標(biāo)左鍵拖動(dòng) 畫出一條線段 如圖 1 1 4 注意 在幾何畫板中 點(diǎn)用一個(gè)空心的圈表示 圖 1 1 4 第三步 1 選取 文本 工具 2 在畫好的點(diǎn)上單擊左 鍵 可以標(biāo)出兩點(diǎn)的標(biāo)簽 如圖 1 1 5 注意 如果再點(diǎn)一次 又可以隱藏標(biāo)簽 如果想改標(biāo)簽 為其它字母 可以這樣做 用 文本 工具雙擊顯示的標(biāo)簽 在彈出的對(duì)話框中進(jìn) 行修改 本例中我們不做修改 如圖 1 1 6 A B 圖 1 1 5 3 圖 1 1 6 在后面的操作中 請(qǐng)觀察圖形 根據(jù)需要標(biāo)出點(diǎn)或線的 標(biāo)簽 不再一一說明 第四步 1 再次選取 畫線段 工具 移動(dòng)鼠標(biāo)與點(diǎn) A 重合 按左鍵拖動(dòng)畫出線段 AC 2 畫線段 BC 標(biāo) 出標(biāo)簽 C 如圖 1 1 7 注意 在熟悉后 可以先畫好首尾相接的三條線段后再 標(biāo)上標(biāo)簽更方便 A B C 圖 1 1 7 第五步 1 用 選擇 工具單擊線段 AB 這時(shí)線段上 出現(xiàn)兩個(gè)正方形的黑塊 表示線段處于被選取狀態(tài) 2 由菜單 作圖 中點(diǎn) 畫出線段 AB 的中點(diǎn) 標(biāo) 上標(biāo)簽 得如圖 1 1 8 注意 如果被選取的是點(diǎn) 點(diǎn)的外面會(huì)有一個(gè)粗黑圓圈 在幾何畫板中 選取線段是不包括它的兩個(gè)端點(diǎn)的 以 后的問題都是這樣 如果不小心多選了某個(gè)對(duì)象 可以 按 Shift 鍵后用左鍵再次單擊該對(duì)象取消選取 A B C D 圖 1 1 8 第六步 用同樣的方法畫出其它兩邊的中點(diǎn) 得如圖 1 1 9 技巧 最快的方法是 按住 Shift 不放 用 選擇 工 具分別點(diǎn)擊三條線段 可以同時(shí)選取這三條線段 再由 作圖 畫中點(diǎn) 或按快捷鍵 Ctrl M 就可以同 時(shí)畫好三條邊的中點(diǎn) A B C D EF 圖 1 1 9 第七步 用 畫線段 工具連結(jié) DE EF FD 得如圖 1 1 10 技巧 畫線段的另一方法 在保證畫線工具出現(xiàn)的是 畫線段 按鈕 不必選取 的前提下 選取兩點(diǎn)后 由菜單 作圖 畫線段 或按快捷 鍵 Ctrl L 可以畫出連結(jié)兩點(diǎn)的線段 A B C D EF 圖 1 1 10 4 本例最快的做法 1 選取 畫點(diǎn) 工具 按住 Shift 鍵不放在工作區(qū)中畫 三個(gè)點(diǎn) 這時(shí)三個(gè)頂點(diǎn)都保持選取狀態(tài) 2 按 Ctrl L 可以同時(shí)畫出三條邊并且三邊同時(shí)被選取 3 按 Ctrl M 可以同時(shí)畫出三邊中點(diǎn)且三中點(diǎn)同時(shí)被 選取 4 按 Ctrl L 可以同時(shí)畫出小三角形三條邊 標(biāo)上標(biāo)簽 即可 第八步 1 按住 Shift 鍵不放 用 選擇 工具選取點(diǎn) A D F 2 由菜單 作圖 多邊形內(nèi)部 填充 多邊形內(nèi)部 3 保持內(nèi)部的選取狀態(tài) 由菜單 度量 面積 可以量出 ADF 的面積 如圖 1 1 11 A B C D EF ADF 0 77 cm2 圖 1 1 11 第九步 1 用同樣的方法 填充并度量三角形 BDE ECF DEF 2 選取 DEF 的內(nèi)部 由菜 單 顯示 顏色 選擇其它顏色 如藍(lán)色 得到如圖 1 1 12 A B C D EF ADF 0 77 cm2 DBE 0 77 cm2 ECF 0 77 cm2 DEF 0 77 cm2 圖 1 1 2 注意 在制作過程中 要經(jīng)常保存文件 以免因意外原因造成文件丟失 以下每一個(gè)例子都是這樣 不再加以說明 歸納結(jié)論 拖動(dòng)頂點(diǎn) A B C 中的任一個(gè) 可以改變?nèi)切蔚拇笮『托螤?請(qǐng)觀察不同情況下 四部分的面 積是否總是相等 這樣做可以完成分餅的任務(wù)嗎 說明 這是通過實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律 不能保證結(jié)論一定是正確 一般來(lái)說 有一些結(jié)果經(jīng)過了 人類的長(zhǎng)期實(shí)踐 大家都公認(rèn)了它的正確性 這時(shí)會(huì)把這個(gè)結(jié)論作為公理直接使用 而大多數(shù)情況下 實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)果仍然需要進(jìn)行推理證明 那么 實(shí)驗(yàn)有什么用呢 實(shí)驗(yàn)可以幫助我們認(rèn)識(shí)規(guī)律 更容 易接受知識(shí) 并且常?？梢宰屛覀冋业浇鉀Q問題的方向 如有問題 請(qǐng)到 幾何畫板分版 下載案例一供參考 練習(xí) 1 對(duì)于方案二 四等分面積的問題就轉(zhuǎn)化為四等分線段的問題 四等分線段可以用哪些方法 5 2 為了方便在改變等分的份數(shù) 例如要分成五份 時(shí)方法仍然能用 這里介紹利用平行線等分線段的 方法把一條線段四等分 第一步 1 選取 畫射線 工具 2 移動(dòng)鼠標(biāo)到與點(diǎn) A 重合 按住左鍵拖動(dòng) 畫出一條以點(diǎn) A 為端點(diǎn)的射線 AD 得如圖 1 1 13 A B C D 圖 1 1 13 第二步 1 選取 畫點(diǎn) 工具 移動(dòng)鼠標(biāo)到射線 AD 上 在靠近點(diǎn) A 處單擊畫出一個(gè)點(diǎn) E 得如圖 1 1 14 2 按住 Shift 鍵不放 用 選擇 工具 依次選取點(diǎn) A E 由菜單 變換 標(biāo)記向量 A E 說明 標(biāo)記了一個(gè)向量后 可以在后面的平移變換中按 這個(gè)向量來(lái)平移 保證出現(xiàn)若干段相等的線段 標(biāo)記向量時(shí) 一定要注意選選擇點(diǎn)的先后順序 EA B C D 圖 1 1 14 第三步 1 用 選擇 工具選取點(diǎn) E 由菜單 變換 平移 在彈出的對(duì)話框中點(diǎn) 確定 即可得一 點(diǎn) 2 選取 做同樣的操作可以得 這樣做下去 直到得到你想要的若干段相等的線段 這 里是四段 如圖 1 1 15 E E D A B C E E 圖 1 1 15 第四步 1 連結(jié) B 2 同時(shí)選取線段 B 點(diǎn) E 由菜單 作圖 平行線 畫出了一 組平行線 如圖 1 1 16 A B C D E E E E 圖 1 1 16 6 第五步 1 用 選擇 工具單擊平行線和 AB 相交處 得到三個(gè)四等分點(diǎn) 2 選取所有平行線 射線 AD 及 AD 上的點(diǎn) 除 A 外 由菜單 顯示 隱藏 對(duì)象 可以隱藏制作過程中 的輔助線 得如圖 1 1 17 以下只要連結(jié)點(diǎn) C 和三個(gè)四等分點(diǎn)就行了 注意 在最后結(jié)果中不需要看到的對(duì)象 一般是把它隱 藏 如果你選取后刪去了它 你會(huì)發(fā)現(xiàn)你要的四等分點(diǎn) 也會(huì)消失 這是因?yàn)檫@些點(diǎn)是受輔助線控制的 隱藏的 對(duì)象只是看不到 但它仍然起作用 隱藏和刪除是不同 的 如有問題 請(qǐng)到 幾何畫板分版 下載 案例一的練習(xí)供參考 A B C 圖 1 1 17 自己比較一下這兩種方法 在只需要四等分的情況下 哪種方法方便 在需要其它等分的情況 下 哪種方法更具有一般性 案例二 三角形的內(nèi)角和 現(xiàn)有一塊三角形的木板 用來(lái)制作一個(gè)半圓形的木 蓋 請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)浪費(fèi)比較小并且便于施工的方案 圖 1 2 1 思路 以三角形較短一邊的一半為半徑 以三個(gè)頂點(diǎn)為圓心畫弧 得到三個(gè)扇形后拼成半圓 如圖 1 2 2 圖 1 2 2 那么 如何知道拼成的一定是一個(gè)半圓呢 下面用幾何畫板做一個(gè)實(shí)驗(yàn)來(lái)說明 方案 畫一個(gè)三角形 量三個(gè)內(nèi)角的度數(shù) 用幾何畫板的計(jì)算功能計(jì)算三個(gè)內(nèi)角的和 如果對(duì)于任意 的三角形 總有內(nèi)角和是 1800 那么說明拼成的一定是一個(gè)半圓形 用幾何畫板驗(yàn)證 第一步 新建一個(gè)幾何畫板繪圖文件 畫出三角形 ABC 7 第二步 1 選取 選擇 工具 按住 Shift 不放 依次選取點(diǎn) B A C 2 由菜單中的 度量 角度 量出 BAC 的度數(shù) 用同樣的方法度量其它兩個(gè)角 如圖 1 2 3 說明 由于每個(gè)人畫的圖不同 度數(shù)不一定和圖 1 2 3 一樣 注意 選一個(gè)角的關(guān)鍵是角的頂點(diǎn)要第二個(gè)選 A B C BAC 45 0 ABC 74 6 ACB 60 4 圖 1 2 3 第三步 由菜單 度量 計(jì)算 彈出一個(gè)計(jì) 算器 依次點(diǎn)擊 BAC ABC ACB 確定 如圖 1 2 4 說明 BAC 在本例中是 BAC 45 0 0 這里用省略號(hào)表示 是因?yàn)槊?個(gè)人畫的圖不同 量出的度數(shù)有可能不同 以后 類似的問題都這樣來(lái)表示 技巧 彈出計(jì)算器的方法有 1 由菜單 度量 計(jì)算 2 雙擊工作區(qū)中的任一度量值 如 BAC 3 在工作區(qū)中擊鼠標(biāo)右鍵 由 度量 計(jì)算 A B C BAC 45 0 ABC 74 6 ACB 60 4 BAC ABC ACB 180 0 圖 1 2 4 歸納結(jié)論 請(qǐng)按要求操作后填寫下表 序號(hào) 操 作 現(xiàn)象 三個(gè)角的和等于 1 觀察 BAC ABC ACB 2 用鼠標(biāo)拖動(dòng)其中一個(gè)頂點(diǎn)改變?nèi)切巫兂赦g角三角形 BAC ABC ACB 3 用鼠標(biāo)拖動(dòng)其中一個(gè)頂點(diǎn)改變?nèi)切巫兂芍苯侨切?BAC ABC ACB 4 用鼠標(biāo)拖動(dòng)其中一個(gè)頂點(diǎn)任意改變?nèi)切蔚男螤?三個(gè)內(nèi)角的和總是 結(jié)論 三角形的內(nèi)角和總是 如有問題 請(qǐng)到 幾何畫板分版 下載案例二供參考 練習(xí) 1 自己畫一個(gè)凸四邊形 度量它的內(nèi)角 計(jì)算內(nèi)角和 驗(yàn)證凸四邊形的內(nèi)角和是 3600 如有問題 請(qǐng)到 幾何畫板分版 下載案例二練習(xí) 1 供參考 2 用 選擇 工具同時(shí)選取點(diǎn) A B 由菜單 度量 距離 可以度量出線段 AB 的長(zhǎng)度 請(qǐng)你 8 用上面所學(xué)的知識(shí)驗(yàn)證 三角形的兩邊之和大于第三邊 三角形的兩邊之差小于第三邊 如有問題 請(qǐng)到 幾何畫板分版 下載案例二練習(xí) 2 供參考 9 案例三 最佳行走路線 如圖 1 3 1 你身在草原上 現(xiàn)在要走到公路邊去等車 請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)最佳行走路線 圖 1 3 1 思路 把人所處位置看作一個(gè)點(diǎn) 公路看作一條直線 行走的路線看作線段 由垂線段最短可以找到 最佳行走路線 方案 畫一條直線 過直線外一點(diǎn)引直線的垂線段和斜線段 度量線段的長(zhǎng) 動(dòng)態(tài)驗(yàn)證垂線段最短 用幾何畫板驗(yàn)證 第一步 新建一個(gè)幾何畫板繪圖文件 第二步 1 按住工具箱中的畫線工具不放 在彈出 的工具條中選取 畫直線 工具 按住鼠標(biāo)左鍵拖動(dòng) 畫出一條直線 2 用 畫點(diǎn) 工具在直線外畫一點(diǎn) 如圖 1 3 2 A B C 圖 1 3 2 第三步 1 按 Shift 鍵 用鼠標(biāo)選取點(diǎn) C 和直線 AB 不要選取點(diǎn) A 和 B 2 由菜單 作圖 垂線 畫出了過點(diǎn) C 垂直于 AB 的直線 如圖 1 3 3 說明 雖然點(diǎn) A B 在直線 AB 上 但選取直線時(shí)并 沒有選取直線上的點(diǎn) 在后面的學(xué)習(xí)中 如果要求選 取直線 線段 圓等對(duì)象 這時(shí)不要把對(duì)象上的點(diǎn)也 選取 除非特別指明要選取這些點(diǎn) A B C 圖 1 3 3 第四步 1 用 選擇 工具單擊垂足處 定義出垂 足 標(biāo)上標(biāo)簽 D 2 選取垂線 CD 不要選取點(diǎn) C D 點(diǎn) A B 由 顯示 隱藏 把選取的對(duì)象隱藏 用 文本 工具在直線上點(diǎn)一下 標(biāo)出直線的標(biāo)簽 j 3 選 畫 線段 工具 連結(jié)線段 CD 如圖 1 3 4 說明 點(diǎn) A B 是控制直線 AB 的點(diǎn) 通過拖動(dòng)這兩 j C D E 1 3 4 10 點(diǎn) 可以改變直線的方向和位置 一般情況下 如果 不想再改變直線的位置 或不再畫其它線經(jīng)過這兩個(gè) 點(diǎn) 可以在制作完成后把它隱藏 第五步 1 選取 畫線段 工具 2 移動(dòng)鼠標(biāo)到點(diǎn) C 處 按下左鍵拖動(dòng) 當(dāng)鼠標(biāo)位于直線 j 上時(shí)松開 如圖 1 3 5 技巧 CE 是直線 j 的斜線段 所以要保證一個(gè)端點(diǎn)是 C 另一個(gè)端點(diǎn) E 只能在直線 j 上移動(dòng) 怎樣才能保證 呢 在畫圖的過程中 移動(dòng)鼠標(biāo)到點(diǎn) C 時(shí) 注意觀 察狀態(tài)欄中有 從點(diǎn) C 這時(shí)按下左鍵可以保證一個(gè) 端點(diǎn)為 C 移動(dòng)鼠標(biāo)到直線 j 時(shí) 狀態(tài)欄中有 到點(diǎn) 位于直線 j 時(shí)松開 這樣點(diǎn) E 一定在直線上 不能 拖到直線外 在幾何畫板中 狀態(tài)欄的作用非常重要 j C D E 圖 1 3 5 第六步 同時(shí)選取點(diǎn) C D 由 度量 距離 量出 CD 同理量出 CE 如圖 1 3 6 j C D E CD 1 68 cm CE 2 16 cm 圖 1 3 6 歸納結(jié)論 拖動(dòng)點(diǎn) E 在直線 j 上移動(dòng) 觀察 CD 與 CE 的大小 什么時(shí)候 CE CD 除了這個(gè)位置外的其它位置 CD 與 CE 哪一個(gè)比較大 以上操作說明 從直線處一點(diǎn)引直線的所有線段中 最短 因而最佳行走路線是走點(diǎn)到直線 的垂線段 如有問題 請(qǐng)到 幾何畫板分版 下載實(shí)例三供參考 練習(xí) 1 在圖 1 3 6 的基礎(chǔ)上 增加一個(gè)點(diǎn) F 通過度量 CDF CEF 如圖 1 3 7 拖動(dòng)點(diǎn) E 觀察什么 情況下兩個(gè)角相等 除了 CD 外 CE 在其它位置能和直線 j 垂直嗎 j C D EF CD 1 68 cm CE 2 16 cm CDF 90 CEF 51 圖 1 3 7 如有問題 請(qǐng)到 幾何畫板分版 下載案例三練習(xí)供參考 11 案例四 橫梁有多長(zhǎng) 如圖 1 4 1 一個(gè)三角形屋架 屋面 的寬度是 13 米 立柱長(zhǎng) 5 米 那么 橫梁有多長(zhǎng) 圖 1 4 1 思路 這是直角三角形中應(yīng)用勾股定理的問題 那么 是不是任意的直角三角形三邊都有這種關(guān)系 方案 大家都已經(jīng)證明過勾股定理 但現(xiàn)在我們用不同的方法來(lái)重新認(rèn)識(shí)一下這個(gè)老朋友 用幾何畫 板畫一個(gè)直角三角形 度量三條邊 計(jì)算兩直角邊的平方和 計(jì)算斜邊的平方 不斷改變圖形的大小 形狀 但保持直角不變 驗(yàn)證定理是否總是成立 用幾何畫板驗(yàn)證 第一步 新建一個(gè)幾何畫板繪圖文件 第二步 在工作區(qū)中畫一條線段 AB 如圖 1 4 2 BA 圖 1 4 2 第三步 1 按住 Shift 用 選擇 工具選取點(diǎn) A 和 線段 AB 2 由菜單 作圖 垂線 作出點(diǎn) A 垂直于線段 AB 的直線 如圖 1 4 3 注意 不要選另外一個(gè)端點(diǎn) B 那樣過 B 點(diǎn)也會(huì)有一 條直線與 AB 垂直 本例中我們不需要同時(shí)畫兩條垂 線 技巧 只有這樣畫的圖才能在你拖動(dòng)點(diǎn)改變圖形的大 小和形狀時(shí)總是保持垂直的關(guān)系 如果只是畫出一條 自己看上去 垂直 的直線 就不能在改變形狀時(shí)保 持垂直關(guān)系 BA 圖 1 4 3 第三步 1 選 畫點(diǎn) 工具 2 移動(dòng)鼠標(biāo)到垂線上 單擊 如圖圖 1 4 4 注意 觀察狀態(tài)欄中出現(xiàn) 點(diǎn)位于直線上 時(shí)單擊 這樣畫的點(diǎn)永遠(yuǎn)位于直線上 不會(huì)拖到外面 A B C 圖 1 4 4 第三步 1 選取垂線 CD 由 顯示 隱藏直線 把垂線隱藏 2 用畫線段工具畫出線段 AC 線 段 BC 如圖 1 4 5 技巧 最后的圖中應(yīng)該是線段 但為了保證變化過程 中保持垂直關(guān)系 必須先畫輔助垂線 最后在不需要 時(shí)把它隱藏 A B C 圖 1 4 5 12 第四步 用 文本 工具單擊三角形的三邊 得到如 圖 1 4 6 所示 j m n A B C 圖 1 4 6 第五步 用 文本 工具雙擊標(biāo)簽 n 在彈出的對(duì)話框中作如 下改動(dòng) 如圖 1 4 7 圖 1 4 7 用同樣的方法改 j 為 c 改 m 為 b 如圖 1 4 8 說明 這樣做是為了照顧我們的數(shù)學(xué)習(xí)慣 或者是題目本身的 要求 這種改點(diǎn)或線的標(biāo)簽的方法 在操作過程中會(huì)經(jīng)常用到 c b a A B C 圖 1 4 8 第七步 同時(shí)選取線段 a b c 由菜單 度量 長(zhǎng)度 可以同時(shí)量出三條邊的長(zhǎng)度 如圖 1 4 9 c b a A B C c 2 70 cm a 3 03 cm b 1 39 cm 圖 1 4 9 第八步 彈出計(jì)算器 依次點(diǎn)擊 b 2 c 2 然后按 確定 可以計(jì) 算出 b2 c2 的值 同樣可以算出 a2 的值 得到如圖 1 4 10 說明 這里 表示乘方運(yùn)算 c b a A B C c 2 70 cm a 3 03 cm b 1 39 cm b2 c2 9 20 cm2 a2 9 20 cm2 圖 1 4 10 13 歸納結(jié)論 序號(hào) 操 作 現(xiàn)象 b2 c2 與 a2 相等嗎 1 觀察 b2 c2 a2 2 用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn) B 到另一位置 b2 c2 a2 3 用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn) B 到另一位置 b2 c2 a2 4 任意拖動(dòng)三角形頂點(diǎn)改變直角三角形的形狀 結(jié)論 b2 c2 a2 可以看到 總是有兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 本例中的橫梁用勾股定理算得一半為 12 米 全長(zhǎng)為 24 米 如有問題 請(qǐng)到 幾何畫板分版 下載實(shí)例四供參考 練習(xí) 1 量出直角三角形的兩銳角的度數(shù) 驗(yàn)證直角三角形的兩銳角互余 如有問題 請(qǐng)到 幾何畫板分版 下載案例四練習(xí) 1 供參考 2 學(xué)畫一個(gè)矩形 先完成本例到第三步得圖 1 4 11 這里只是把原來(lái)的點(diǎn) C 改成了 D A B D 圖 1 4 11 1 選取點(diǎn) D 和線段 AB 由 作圖 平行線 畫出過 D 平行 AB 的直線 2 選取點(diǎn) B 和直線 AD 同樣畫出過點(diǎn) B 平行于 AD 的直線 3 用 選擇 工具定義出第四個(gè)頂點(diǎn) 標(biāo)記標(biāo)簽為 C 如 圖 1 4 12 A B D C 圖 1 4 12 4 隱藏三條直線 畫出線段 AD DC CB 即得 矩形 ABCD 如圖 1 4 13 說明 拖動(dòng)點(diǎn) A B 可以改變矩形的大小和位置并可 以旋轉(zhuǎn)一定的角度 拖動(dòng)點(diǎn) D 只能改變矩形在縱向上 的大小 拖動(dòng)點(diǎn) C 不會(huì)改變矩形的大小 但可以改變 矩形的位置 但無(wú)論如何改變 這個(gè)圖形一定是矩形 你可以通過度量角和邊來(lái)證實(shí)這一點(diǎn) A B D C 圖 1 4 13 3 先畫出如圖 1 4 14 的圖形 然后用類似于第 2 題的方法畫一個(gè)平行四邊形 A B C 圖 1 4 14 14 案例五 三角形的高 三角形的高可能出現(xiàn)在哪些位置 思路 應(yīng)該對(duì)于直角 銳角 鈍角三種不同類形的三角作不同的回答 方案 如果用筆在紙上畫圖 只能三種類型中各畫一個(gè)圖來(lái)說明 現(xiàn)在借助幾何畫板 我們可以 動(dòng)態(tài)地改變?nèi)切蔚男螤?使不同類形的三角形的高可以動(dòng)態(tài)改變 用幾何畫板驗(yàn)證 第一步 1 選取 畫點(diǎn) 工具畫三個(gè)點(diǎn) 2 選取 畫直線 工具后 什么都不用做 3 選取 選擇 工具 在屏幕上拉一個(gè)虛線框框住畫好的三點(diǎn) 4 由菜單 作圖 畫直線 快捷鍵是 Ctrl L 可 以畫出過這三點(diǎn)的三條直線 標(biāo)上標(biāo)簽 如圖 1 5 1 技巧 1 如果要選取的對(duì)象比較多 可以用 選擇 工具在工作區(qū)中拉一個(gè)虛線框框住這些對(duì)象 這時(shí)可 能會(huì)多選了一些你并不想選的 可以按 Shift 鍵后 單擊該對(duì)象取消選擇狀態(tài) 2 上面第二步選 畫直 線 工具的操作會(huì)影響菜單中會(huì)不會(huì)出出 畫直線 的選項(xiàng) 如果你沒有做這一步 菜單中通常出現(xiàn) 畫 線段 也就是說 幾何畫板中的有些菜單命令和按鈕 的顯示狀態(tài)是相關(guān)的 A B C 1 5 1 第二步 過點(diǎn) A 作直線 BC 的垂線 并單擊垂足 定 義出垂足 D 用同樣的方法作出垂線 BE 和 CF 如圖 1 5 2 A B CD E F 圖 1 5 2 第三步 按住 Shift 鍵 用 選擇 工具選取所有的直 線 注意不要選到點(diǎn) 由菜單 顯示 隱藏直線 可以隱藏所有直線 得到如圖 1 5 3 B CD E F A 圖 1 5 3 15 第四步 1 同時(shí)選取點(diǎn) A B 2 選取 畫線段 工具 然后按 Ctrl L 畫出線段 AB 3 用同樣的方 法畫出線段 BC AC AD BE CF 得到如圖 1 5 4 技巧 上面說 Ctrl L 是畫直線 但當(dāng)你先畫了 畫線 段 的工具后 它的功能會(huì)自動(dòng)變邊畫線段 注意 為什么不一開始就畫三條線段組成三角形呢 這是本例的要點(diǎn) 因?yàn)槿绻婚_始畫的是線段 點(diǎn) D E F 被定義為垂線和線段的交點(diǎn) 如果你拖動(dòng)三 角形變?yōu)殁g角三角形 垂線和線段沒有交點(diǎn) 這樣會(huì) 導(dǎo)致有兩條高消失 現(xiàn)在的點(diǎn) D E F 分別是垂線和 直線的交點(diǎn) 再拉動(dòng)三角形成鈍角三角形時(shí) 高不會(huì) 消失 A B CD E F 圖 1 5 4 第五步 1 拖動(dòng)點(diǎn) A 使 ACB 變成鈍角 如圖 1 5 5 2 選取 點(diǎn) C 和 D 按 Ctrl L 畫出線段 CD 3 保持線段 CD 的選取狀態(tài) 由菜單 顯示 線型 虛 線 改 CD 為虛線 符合通常的習(xí) 慣 用同樣的方法畫線虛線段 CE A B C D E F A B C D E F 圖 1 5 5 第六步 拖動(dòng)點(diǎn) A 使使 ABC 變成鈍角后用同樣的方 法作出虛線段 BF 最后完成圖 1 5 6 A B CD E F 圖 1 5 6 歸納結(jié)論 序號(hào) 操 作 三角形三條高的 位置 三條高 或高的延長(zhǎng) 線 交于一點(diǎn)嗎 1 觀察 2 用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn) C 到另一位置 使 ABC 仍為銳角三角形 再觀 察 3 用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn) A 到另一位置 使 ABC 變?yōu)橹苯侨切?再觀 察 4 用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn) A 到另一位置 使 ABC 為鈍角 再觀察 結(jié)論 三角形的三條高或高的延長(zhǎng)線 16 如有問題 請(qǐng)到 幾何畫板分版 下載案例五供參考 練習(xí) 觀察三角形的三條中線 三條角平分線的位置關(guān)系 其中畫中點(diǎn)的方法 選取線段 由菜單 作圖 中點(diǎn) 或按 Ctrl M 可以作出線段的中 點(diǎn) 接著就可以畫中線了 畫角平分線的方法 如按 Shift 依次點(diǎn)選點(diǎn) B A C 可以作出 BAC 的平分線 確定角平 分線和對(duì)邊的交點(diǎn)后 隱藏角平分線 再連出線段就行了 1 請(qǐng)自己畫一個(gè)三角形作出它的三條中線 然后按要求填寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告 序號(hào) 操 作 三角形三條中線 的位置 三條中線交于一點(diǎn)嗎 1 觀察 2 用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn) C 到另一位置 使 ABC 仍為銳角三角形 再觀 察 3 用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn) A 到另一位置 使 ABC 變?yōu)橹苯侨切?再觀 察 4 用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn) A 到另一位置 使 ABC 為鈍角 再觀察 結(jié)論 三角形的三條中線 如有問題 請(qǐng)到 幾何畫板分版 下載案例五練習(xí) 1 供參考 2 請(qǐng)自己畫一個(gè)三角形 作出它的三條角平分線 然后按要求填寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告 序號(hào) 操 作 三角形三條角平 分線的位置 三條角平分線交于一 點(diǎn)嗎 1 觀察 2 用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn) C 到另一位置 使 ABC 仍為銳角三角形 再觀 察 3 用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn) A 到另一位置 使 ABC 變?yōu)橹苯侨切?再觀 察 4 用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn) A 到另一位置 使 ABC 為鈍角 再觀察 結(jié)論 三角形的三條角平分線 如有問題 請(qǐng)到 幾何畫板分版 下載案例五練習(xí) 2 供參考 17 案例六 掛畫的學(xué)問 要把一幅畫掛在墻上 畫的上下邊框要和橫梁平行 左右與立柱的距離相等 應(yīng)該如何釘 上掛釘 圖 1 6 1 思路 這個(gè)問題可以轉(zhuǎn)化為和線段的垂直平分線有關(guān)的問題 方案 掛繩拉緊后 掛點(diǎn)到像框邊框兩端的距離應(yīng)該相等 考慮到平行和等距的條件 只要橫梁的中 垂線與邊框中垂線二線合一就行了 所以只要畫橫梁的中垂線 把掛繩的中點(diǎn)定位在橫梁中垂線上即 可 下面驗(yàn)證 線段垂直平分線上的點(diǎn) 到線段兩端的距離相等 用幾何畫板驗(yàn)證 第一步 畫一條線段 AB 如圖 1 6 2 A B 圖 1 6 2 第二步 1 用選擇工具選取線段 AB 2 由菜單 作圖 中點(diǎn) 快捷鍵是 Ctrl M 畫出線段 AB 的中點(diǎn) C 如圖 1 6 3 注意 不要多選其他對(duì)象 如果你多選了其他對(duì)象 中點(diǎn) 這個(gè)選項(xiàng)是灰色的不可用 一般來(lái)說 只要 選擇的對(duì)象不符合要求的條件 就不可能使用相應(yīng)的 菜單項(xiàng) A BC 如圖 1 6 3 18 第三步 1 用 選擇 工具按住左鍵拉一個(gè)框經(jīng)過 點(diǎn) C 和線段 AB 但不要框住 A B 兩點(diǎn) 這樣可以 同時(shí)選取點(diǎn) C 和線段 AB 2 由菜單 作圖 垂 線 畫出過點(diǎn) C 垂直于線段 AB 的垂線 即是線段 AB 的垂直平分線 如圖 1 6 4 注意 如果你畫的圖不是這樣 過點(diǎn) A 或 B 也有了垂 線 那是因?yàn)槟愣噙x了點(diǎn) A 或點(diǎn) B A BC 圖 1 6 4 第四步 選取 畫點(diǎn) 工具 在中垂線上畫一點(diǎn) 標(biāo) 記為 P 如圖 1 6 5 A BC P 圖 1 6 5 第五步 1 畫出線段 PA PB 2 選取點(diǎn) P A 由菜 單 度量 距離 量得 PA 同樣量出 PB 第六步 1 同時(shí)選取點(diǎn) P 和中垂線 2 由菜單 編輯 操作類按鈕 動(dòng)畫 在彈出的對(duì)話框中 設(shè)置如 圖 1 6 6 圖 1 6 6 這樣在屏幕上會(huì)出出一個(gè) 動(dòng)畫 按鈕 當(dāng)雙擊這個(gè)按鈕 時(shí) 點(diǎn) P 會(huì)在直線上雙向地移動(dòng) 便于我們動(dòng)態(tài)地觀察 最后結(jié)果如圖 1 6 7 注意 不要多選其它對(duì)象 這里只需要點(diǎn) P 在中垂線上運(yùn) 動(dòng) A BC P PA 2 59 cm PB 2 59 cm 圖 1 6 7 歸納結(jié)論 序號(hào) 操 作 現(xiàn)象 結(jié)論 是否相等 1 拖動(dòng)點(diǎn) P 到另一位置 這時(shí) PA PB PA PB 2 拖動(dòng)點(diǎn) P 到第二個(gè)位置 這時(shí) PA PB PA PB 3 拖動(dòng)點(diǎn) P 到第三個(gè)位置 這時(shí) PA PB PA PB 4 雙擊 動(dòng)畫 按鈕 點(diǎn) P 在 AB 的中垂 線上不停的運(yùn)動(dòng) PA PB 19 結(jié)論 只要點(diǎn) P 在線段 AB 的中垂線上 實(shí)驗(yàn)過程中 PA PB 如有問題 請(qǐng)到 幾何畫板分版 下載案例六供參考 練習(xí) 1 我們將在前面作圖的基礎(chǔ)上 進(jìn)一步驗(yàn)證等腰三角形 等邊三角形的一些性質(zhì) 第七步 1 選取垂直平分線 將它隱藏 2 畫出線 段 PC 得到如圖 1 6 8 A BC P PA 2 59 cm PB 2 59 cm 圖 1 6 8 第八步 用量距離的方法量 AC BC 量 PAB PBA APB PCB APC BPC 的度數(shù) 得到如圖 1 6 9 A BC P PA 3 17 cm PB 3 17 cm AC 1 47 cm BC 1 47 cm PAB 62 47 PBA 62 47 PCB 90 00 APC 27 53 BPC 27 53 BPA 55 06 圖 1 6 9 歸納結(jié)論 序號(hào) 操 作 現(xiàn)象 結(jié)論 1 PA 和 PB 總是相等嗎 PAB 是 三角形 2 PAB 和 PBA 總是相等嗎 等腰三角形的兩底角 3 PCB 總是等于 90 度嗎 PC 是等腰三角底邊上 的 4 AC 和 CB 的長(zhǎng)總是相等嗎 PC 是等腰三角形底邊上的 5 用鼠標(biāo)拖動(dòng) 或雙擊動(dòng) 畫按鈕 不斷地改變點(diǎn) P 位置 APC 和 BPC 總是相 等嗎 PC 是等腰三角形頂角 的 結(jié)論 等腰三角形的兩底角 底邊上的高 底邊上的中線 頂角平分線三線 也可以拖動(dòng)使 APB 60 0 再觀察邊角的變化 如有問題 請(qǐng)到 幾何畫板分版 下載案例六練習(xí) 1 供參考 2 學(xué)畫一個(gè)菱形 接第 1 題 先畫出如圖 1 6 10 的圖形 由于點(diǎn) P 在線段 AB 的垂直平分線上 所以 PA PB 20 BA C P 圖 1 6 10 1 選擇線段 AB 由 變換 標(biāo)記鏡面 標(biāo)記 AB 為鏡面 線段上出現(xiàn)閃爍后消失的兩個(gè) 方框 說明 標(biāo)記鏡面后 一個(gè)對(duì)象如果關(guān)于這個(gè)鏡面反射 這時(shí)就好象人照鏡子一樣 人離鏡面近 人像離鏡面也近 用數(shù)學(xué)的說法 鏡面就是對(duì)稱軸 反射可以得到對(duì)稱點(diǎn)或?qū)ΨQ圖形 技巧 標(biāo)記鏡面的另兩種方法 1 直接雙擊直線 線段 射線 2 選取直線 線段 射 線 后用快捷鍵 Ctrl G 2 同時(shí)選取點(diǎn) P 線段 PA PC PB 3 由 變換 反射 得到如圖 1 6 11 4 用 文本 工具改各點(diǎn)標(biāo)簽為你想要的 例如得 圖 1 6 12 說明 在幾何畫板中 畫特殊四邊形的方法不只一種 但不管用哪種方法 都要符合圖形的幾何關(guān)系 也就 是當(dāng)改變大小了位置時(shí) 矩形仍是矩形 菱形仍是菱 形 BA C P CA O D B 圖 1 6 11 圖 1 6 12 如有問題 請(qǐng)到 幾何畫板分版 下載案例六練習(xí) 2 供參考 21 案例七 抽水房的位置 在一條河的同一旁有兩個(gè)村莊 A 和 B 現(xiàn)在要在河邊建一個(gè)抽水房 應(yīng)該建在什么位置 才能使所用的水管的錢最少 圖 1 7 1 思路 用錢最少 一般要求所用的水管最短 轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題 即是在表示河流的直線上找一個(gè)點(diǎn) C 使 AC BC 最小 方案 作點(diǎn) A 關(guān)于河流的對(duì)稱點(diǎn) A 連 A B 交河流于 C 計(jì)算 AC CB 在河流上另取一點(diǎn) D 計(jì)算 AD DB 通過拖動(dòng)點(diǎn) D 在直線上移動(dòng) 驗(yàn)證 AC CB 最小 從而說明 C 為最佳點(diǎn) 用幾何畫板驗(yàn)證 第一步 1 畫出表示村莊的點(diǎn) A B 2 畫一 條直線表示河流 隱藏直線上的兩個(gè)點(diǎn) 設(shè)置直線的 標(biāo)簽為 河流 如圖 1 7 2 說明 標(biāo)簽可以用中文表示 這種技巧常用來(lái)標(biāo)注點(diǎn) 或線等對(duì)象的功能 例如 給某一點(diǎn)標(biāo)上 拖動(dòng)我改 變圖形 B A 圖 1 7 2 第二步 1 選取表示河流的直線 2 由菜單 變換 標(biāo)記鏡面 直線上出現(xiàn)閃爍后 消失的兩個(gè)方框 第三步 1 選取點(diǎn) A 由菜單 變換 反射 得點(diǎn) A 關(guān)于直線 河流 的對(duì)稱點(diǎn) 2 用文本工 具標(biāo)出標(biāo)簽 默認(rèn)的是字母 A 得到如圖 1 7 3 A B A 圖 1 7 3 22 第四步 1 用 畫線段 工具連結(jié) A B 2 用 選擇 工具在線段和河流相交處單擊 作出線段和 河流的交點(diǎn) 標(biāo)出交點(diǎn)的標(biāo)簽 C 如圖 1 7 4 A B A C 圖 1 7 4 第五步 1 用 畫點(diǎn) 工具在河流上畫一個(gè)點(diǎn) 標(biāo) 記為 D 2 用 畫線段 工具連結(jié) AC AD BD A D 如圖 1 7 5 A B A C D 圖 1 7 5 第六步 1 同時(shí)選取點(diǎn) A 點(diǎn) C 2 由菜單 度量 距離 量出 AC 3 用同樣的方法量出 A C CB AD A D DB 如圖 1 7 6 說明 量出點(diǎn) A C 的距離 由數(shù)學(xué)定義 可知 這就是線段的長(zhǎng) 量線段的長(zhǎng)還可 以直接選取線段 AC 不要選取點(diǎn) A C 度量 長(zhǎng)度 但這樣的方 法無(wú)法直接量出圖 1 7 6 中 CB 的長(zhǎng) 還 要進(jìn)一步作圖 A B A C D AC 0 45 cm A C 0 45 cm CB 0 92 cm AD 0 89 cm A D 0 89 cm DB 0 63 cm 圖 1 7 6 第七步 1 調(diào)出計(jì) 算器 2 依次點(diǎn)擊 AC CB 確定 可 以計(jì)算出 AC CB 的值 3 同樣去計(jì)算 A C CB AD DB A D DB 拖動(dòng)到適當(dāng)位 置得到如圖 1 7 8 A B A C D AC 0 45 cm A C 0 45 cm CB 0 92 cm AD 0 89 cm A D 0 89 cm DB 0 63 cm AC CB 1 37 cm A C CB 1 37 cm AD DB 1 52 cm A D DB 1 52 cm 圖 1 7 8 23 歸納結(jié)論 一 序號(hào) 操 作 現(xiàn)象 D 點(diǎn)是否是最佳點(diǎn) 1 觀察 AC CB AD DB 2 拖動(dòng)點(diǎn) D 遠(yuǎn)離點(diǎn) C 上面的兩個(gè)和差距 變 大或小 3 拖動(dòng)點(diǎn) D 靠近點(diǎn) C 上面的兩個(gè)和差距 變 大或小 4 拖動(dòng)點(diǎn) D 與點(diǎn) C 重合 上面的兩個(gè)和 結(jié)論 以上現(xiàn)象說明 只有取點(diǎn) 處 才能使所用的水管最短 二 序號(hào) 操 作 現(xiàn)象 有無(wú)相等的關(guān)系 1 觀察 AC CB A C CB AD DB A D DB 2 拖動(dòng)點(diǎn) D 遠(yuǎn)離點(diǎn) C AC CB A C CB AD DB A D DB 3 拖動(dòng)點(diǎn) D 靠近點(diǎn) C AC CB A C CB AD DB A D DB 4 拖動(dòng)點(diǎn) D 與點(diǎn) C 重合 AC CB A C CB AD DB A D DB 結(jié)論 以上現(xiàn)象說明 研究 AC CB AD DB 的關(guān)系 可以轉(zhuǎn)為研究 A C CB 和 A D DB 的關(guān)系 而這個(gè)關(guān)系可以簡(jiǎn)單地用三角形的兩邊之和 第三邊 來(lái)說明 如有問題 請(qǐng)到 幾何畫板分版 下載案例七供參考 練習(xí) 畫一條直線 在直線的一旁畫一個(gè)三角形 標(biāo)記直線為 鏡面 即對(duì)稱軸 選取三角形的全 部 包括頂點(diǎn)和邊 反射 出它關(guān)于直線對(duì)稱的圖形 1 用鼠標(biāo)拖動(dòng)改變?nèi)切蔚男螤?體會(huì) 對(duì)稱的圖形是全等形 2 連結(jié)對(duì)稱點(diǎn) 通過過量角和量線段 體會(huì) 對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分 如有問題 請(qǐng)到 幾何畫板分版 下載案例七練習(xí)供參考 24 案例八 選擇廠址 如圖 河南區(qū)新建一個(gè)工廠 在公路西側(cè) 到公路的 距離與到河岸的距離相等 并且與河上公路橋的距離 為 300 米 在圖上標(biāo)出工廠的位置 并說明理由 比 例尺是 1 20000 圖 1 8 1 思路 這里可以把橋看作是一個(gè)角的頂點(diǎn) 河岸和公路分別是角的兩邊 問題轉(zhuǎn)化為 在角平分線上 找一點(diǎn) 使它到頂點(diǎn)的距離是 300 米 方案 1 畫出角的平分線 以頂點(diǎn)為圓心 2 1 5cm 為半徑畫圓 定義圓與角平分線的交點(diǎn)即 為所求 用幾何畫板驗(yàn)證 第一步 新建一個(gè)幾何畫板文件 第二步 選 畫射線 工具 畫一個(gè)角 如圖 1 8 2 A B C 圖 1 8 2 第三步 1 用 選擇 工具依次選取點(diǎn) B A C 2 由菜單 作圖 角平分線 畫 出了 BAC 的平分線 如圖 1 8 3 A B C 圖 1 8 3 25 第四步 用 畫點(diǎn)工具 在角平分線上畫一個(gè)點(diǎn) 標(biāo) 出標(biāo)簽 得到如圖 1 8 4 A B C D 圖 1 8 4 第五步 1 用 選擇 工具同時(shí)選取點(diǎn) D 和射線 AB 2 由 作圖 垂線 畫出過點(diǎn) D 垂直 于射線 AB 的直線 3 用 選擇 工具單擊垂足處 定義表示垂足的點(diǎn) 并用 文本 工具標(biāo)上標(biāo)簽 4 選取畫好的垂線 把它隱藏 并用 畫線段 工 具畫出垂線段 DE 用同樣的方法畫出垂線段 DF 得 到如圖 1 8 5 A B C D EF 圖 1 8 5 第六步 1 選取點(diǎn) D 和射線 AD 2 由 編輯 操作類按鈕 動(dòng)畫 在彈出的對(duì)話框中設(shè)置 點(diǎn) D 在射線 AD 上雙向慢速運(yùn)動(dòng) 得到如圖 1 8 6 A B C D EF 圖 1 8 6 第七步 度量出 AED AFD 線段 DE DF 最后的結(jié)果如圖 1 8 7 操作驗(yàn)證 雙擊 動(dòng)畫 按鈕或用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn) D 移 動(dòng) 可以發(fā)現(xiàn) DE DF 總是分別垂直于角的兩邊 并且 DE DF 這說明了我們要找的點(diǎn)可以定位于角 平分線上 A B C D EF AED 90 00 AFD 90 00 DF 1 27 cm DE 1 27 cm 圖 1 8 7 第八步 在工作區(qū)中畫一條線段 GH 量出距離 通過 調(diào)整 G H 的位置 使 GH 1 5cm 如圖 1 8 8 說明 取 GH 1 5cm 是因?yàn)楸壤呤?1 20000 A B C D EF G H AED 90 00 AFD 90 00 DF 1 27 cm DE 1 27 cm GH 1 50 cm 圖 1 8 8 26 第九步 1 同時(shí)選取點(diǎn) A 和線段 GH 不要選點(diǎn) G 和 H 2 由 作圖 以圓心和半徑畫圓 得到一個(gè)以點(diǎn) A 為圓心 半徑是 1 5cm 的圓 3 用 選 擇 工具單擊圓與角平分線的相交處 定義 出的交點(diǎn) I 即為所求 如圖 1 8 9 A B C D EF G H I AED 90 00 AFD 90 00 DF 1 43 cm DE 1 43 cm GH 1 50 cm 如圖 1 8 9 第十步 1 選取圓把它隱藏 2 度量 AI 3 選取點(diǎn) I 和射線 AB 由 度量 距離 可以量出點(diǎn) I 到射線的距離 同 理量出點(diǎn)到角的另一邊的距離 如圖 1 8 10 由圖可知 點(diǎn) I 為所求的點(diǎn) 說明 本例是為了幫助學(xué)習(xí)角平分線的有關(guān) 作圖 復(fù)習(xí)角平分線的性質(zhì) 所以設(shè)計(jì)了較 多的步驟 如果只是為了解決問題本身 可 以在畫好角平分線后轉(zhuǎn)入第八步 可以快速 確定出點(diǎn) I A B C D EF G H I AED 90 00 AFD 90 00 DF 1 43 cm DE 1 43 cm GH 1 50 cm I AC 0 98 cm I AB 0 98 cm AI 1 50 cm 圖 1 8 10 如有問題 請(qǐng)到 幾何畫板分版 下載案例八供參考 練習(xí) 1 如圖 1 8 11 是兩個(gè)互為鄰補(bǔ)角的角 分別畫出它們的角平分線 驗(yàn)證所畫角平分線的關(guān)系 A BO C 圖 1 8 11 如有問題 請(qǐng)到 幾何畫板分版 下載案例八練習(xí) 1 供參考 2 驗(yàn)證平行線的性質(zhì) 第一步 1 畫一條直線 2 在直線外畫一點(diǎn) 如圖 1 8 12 A B C 圖 1 8 12 27 第二步 1 選取點(diǎn) C 和直線 AB 2 由 作圖 平行線 得如圖 1 8 13 A B C 圖 1 8 13 第三步 畫第三條直線和這兩條平行線相交 最后完 成如圖 1 8 14 A B C DE F 圖 1 8 14 請(qǐng)自己度量同位角 內(nèi)錯(cuò)角 同旁內(nèi)角 計(jì)算同旁內(nèi)角的和 拖動(dòng)點(diǎn)改變圖形 驗(yàn)證平行線的性質(zhì) 如有問題 請(qǐng)到 幾何畫板分版 下載案例八練習(xí) 2 供參考 28 案例九 古建筑的窗格 在古建筑中 ?？梢钥吹竭@樣的窗格 如圖 1 9 1 這 其中有什么數(shù)學(xué)知識(shí)呢 圖 1 9 1 思路 外圈是一個(gè)矩形 相當(dāng)于連結(jié)矩形四邊的中點(diǎn) 得到一個(gè)四邊形 再連結(jié)它的四邊的中點(diǎn) 方案 1 先畫一個(gè)平行四邊形 順次連結(jié)四邊中點(diǎn) 再順次連結(jié)所得四邊形四邊中點(diǎn) 度量三個(gè)四 邊形的四邊和一個(gè)內(nèi)角 此步可以用來(lái)說明 順次連結(jié)平行四邊形四邊中點(diǎn)得到什么樣的圖形 2 通過拖動(dòng)點(diǎn)的位置 使最大的四邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為 900 這時(shí)可以觀察里面的兩個(gè)四邊形 此步可以說明 順次連結(jié)矩形四邊中點(diǎn)得到什么樣的圖形 順次連結(jié)菱形四邊中點(diǎn)得到什么樣的 圖形 3 繼續(xù)拖動(dòng)點(diǎn)的位置 保持最大四邊形的內(nèi)角是 900 的前提下 使它的鄰邊相等 這時(shí)最大的四邊 形是正方形 此步可以說明 順次連結(jié)正方形四邊中點(diǎn)得到什么樣的圖形 用幾何畫板驗(yàn)證 第一步 畫一個(gè)平行四邊形 1 先畫好線段 AB BC 2 分別過點(diǎn) C 作線段 AB 的平行線 過點(diǎn) A 作 線段 BC 的平行線 3 用 選擇 工具定義得交點(diǎn) D 如圖 1 9 2 A B CD 圖 1 9 2 第二步 1 隱藏直線 AD DC 2 連結(jié)線段 AD DC 得如圖 1 9 3 注意 隱藏直線時(shí)不要誤選點(diǎn) A D C 這三點(diǎn)不能 隱藏 A B CD 圖 1 9 3 第三步 1 選取平行四邊形的四邊 由 作圖 中點(diǎn) 畫出四邊中點(diǎn) 用線段順次連結(jié) 2 再選取所連四條線段 同樣定義中點(diǎn) 順次連結(jié) 如圖 1 9 4 A B CD E FH G I JK L 圖 1 9 4 29 第四步 1 同時(shí) 選點(diǎn) A B 由 度 量 距離 量 出 AB 的長(zhǎng) 用同樣 的方法量出每個(gè)四 邊形的四條邊 2 按住 Shift 依 次選點(diǎn) D A B 量出 DAB 同樣 量 HEF KLI 得如圖 1 9 5 A B CD E FH G I JK L AB 2 46 cm DC 2 46 cm BC 2 04 cm AD 2 04 cm DAB 64 91 HE 1 22 cm GF 1 22 cm EF 1 90 cm HG 1 90 cm HEF 101 76 LI 1 23 cm KJ 1 23 cm IJ 1 02 cm LK 1 02 cm KLI 64 91 圖 1 9 5 歸納結(jié)論 1 拖動(dòng)點(diǎn) C 改變平行四邊形 ABCD 的大小和位置 可以看到 ABCD 總是平行四邊形 四邊形 EFGH 是 四邊形 I JKL 是 說明順次連結(jié)平行四邊形的四邊中 點(diǎn) 所得的圖形是 2 拖動(dòng)點(diǎn) C 使 DAB 90 0 這時(shí) ABCD 是 形 四邊形 EFGH 是 四邊形 IJKL 是 說明順次連結(jié)矩形四邊中點(diǎn)得 順次連結(jié)菱形四邊中點(diǎn)得 3 拖動(dòng)點(diǎn) C 保持 DAB 90 0 同時(shí)使 AB AD 這時(shí) ABCD 是 形 四邊形 EFGH 是 四邊形 I JKL 是 說明順次連結(jié)正方形四邊中點(diǎn)得 如有問題 請(qǐng)到 幾何畫板分版 下載案例九供參考 練習(xí) 1 1 畫一個(gè)四邊形 順次連結(jié)四邊中點(diǎn) 如圖 1 9 6 看得到的 GFEH 什么樣的圖形 請(qǐng)度量 GFEH 的邊長(zhǎng)來(lái)說明 2 拖動(dòng)點(diǎn) A 成圖 1 9 7 位置 GFEH 還是平行四邊形嗎 3 拖動(dòng)點(diǎn) A 成圖 1 9 8 位置 GFEH 還是平行四邊形嗎 以上操作說明 四條線段首尾相接 不一定是凸四邊形 順次連結(jié)各線段中點(diǎn)所得的圖形是 A B CD E F G H 圖 1 9 6 D C B A H G F E 圖 1 9 7 A B C D EF G H 圖 1 9 8 如有問題 請(qǐng)到 幾何畫板分版 下載案例八練習(xí) 1 供參考 2 更深入的探究 順次連結(jié)什么樣的四邊形的四邊中點(diǎn)可以得到矩形 菱形 正方形 1 連結(jié)得正方形 第一步 畫一條線段 AB 在 AB 上畫一點(diǎn) C 如圖 1 9 9 A BC 圖 1 9 9 第二步 用 選擇 工具雙擊點(diǎn) C 標(biāo)記點(diǎn) C 為中心 下面將要進(jìn)行的旋轉(zhuǎn)是繞點(diǎn) C 進(jìn)行的 技巧 標(biāo)記一點(diǎn)為中心的另兩種方法是 30 1 選取一個(gè)點(diǎn) 由 變換 標(biāo)記中心 2 選取一個(gè)點(diǎn) 按快捷鍵 Ctrl F 第三步 選取點(diǎn) A B 由 變換 旋轉(zhuǎn) 在彈 出的對(duì)話框中設(shè)置如圖 1 9 10 得到如圖 1 9 11 圖 1 9 10 說明 這樣做的目的是保證兩條線段垂直且相等 A BC B A 圖 1 9 11 第四步 選取點(diǎn) A B 由 變換 平移 在彈 出的對(duì)話框中做如圖 1 9 12 設(shè)置 得圖 1 9 13 圖 1 9 12 說明 如果我們直接由剛才的四個(gè)點(diǎn)連結(jié)得四邊形 會(huì)得到一個(gè)梯形 平移的目的在于 平移后 A B 仍 垂直且等于 AB 但四邊形不再是梯形 這時(shí)可以得 到一個(gè)比較一般的四邊形 A BC B A B A 圖 1 9 13 31 第五步 隱藏 A B 連結(jié) AA A B AB BB 如圖 1 9 14 A BC B A 圖 1 9 14 第六步 作四邊形各邊中點(diǎn) 連結(jié)如圖 1 9 15 以下請(qǐng)自己度量 DEFG 的四邊和一個(gè)內(nèi)角 通過拖動(dòng) 點(diǎn) C 改變圖形 只要四邊形的對(duì)角線垂且相等 順次連結(jié)四邊中點(diǎn)所 得圖形是 A B C B A D E FG 圖 1 9 15 2 自己畫兩條垂直但不相等的相交線段 以它們?yōu)閷?duì)角線畫出四邊形 看看順次連結(jié)四邊中點(diǎn)得什 么樣的圖形 3 畫兩條相等但不垂直的相交直線 以它們?yōu)閷?duì)角線畫出四邊形 看看順次連結(jié)四邊中點(diǎn)得什么樣 的圖形 提示 在第 1 小題中旋轉(zhuǎn)時(shí)不要轉(zhuǎn) 900 改為其它度數(shù)即可 如有問題 請(qǐng)到 幾何畫板分版 下載案例八練習(xí) 2 供參考 32 案例十 成功之路不只一條 以幾何畫板為工具 你會(huì)用多少種方法來(lái)畫一個(gè)正方形 思路 無(wú)論你用什么方法 你必須保證這樣的結(jié)果 畫好的正方形在改變大小和位置時(shí) 仍然是一個(gè) 正方形 也就是說 四邊相等 四個(gè)角是直角 對(duì)角線互相垂直平分且相等 這些性質(zhì)仍然保持 下面給出一些方案 如果你能看懂 自己完成 否則請(qǐng)參考后面的詳細(xì)步驟 方案一 1 畫一條線段 2 作出線段的中點(diǎn) 3 標(biāo)記中點(diǎn)為 中心 4 選取線段和它的 兩個(gè)端點(diǎn) 由 變換 旋轉(zhuǎn) 在彈出的對(duì)話框中設(shè)置 按 90 度旋轉(zhuǎn) 5 連結(jié)旋轉(zhuǎn)后兩條線 段的端點(diǎn) 方案二 1 畫一條線段 2 標(biāo)記線段的一個(gè)左端點(diǎn)為 中心 3 選取線段和右端點(diǎn) 按上 面介紹的方法把它們旋轉(zhuǎn) 90 度 4 標(biāo)記右端點(diǎn)為 中心 5 選取線段和左端點(diǎn) 按上面的方 法旋轉(zhuǎn) 90 度 6 連出第四條邊 方案三 1 畫一條直線 在這條直線上畫一點(diǎn) 2 過這一點(diǎn)畫已知直線的垂線 3 以垂足為 圓心畫一個(gè)圓 4 定義出圓和兩條直線的交點(diǎn) 5 順次連結(jié)四個(gè)交點(diǎn) 隱藏不需要的對(duì)象 方案四 1 畫一個(gè)圓 標(biāo)記圓心為中心 2 在圓上畫一點(diǎn) 選取這個(gè)點(diǎn) 由 變換 旋轉(zhuǎn) 設(shè)置旋轉(zhuǎn) 90 度 這時(shí)得到另一個(gè)點(diǎn) 3 保持新得到的點(diǎn)的選取狀態(tài) 把它又旋轉(zhuǎn) 90 度 得到第 三個(gè)頂點(diǎn) 4 連結(jié)四個(gè)頂點(diǎn) 隱藏不需要的對(duì)象 在這里提出你的新方案 以上四種雖然都能畫出正方形 但畫好的四邊形在控制大小和位置時(shí)有的比較方便 有的不是很方便 請(qǐng)自己比較哪些方案比較方便 用幾何畫板驗(yàn)證 方案一的驗(yàn)證 第一步 畫一條線段 AB 作出它的中點(diǎn) C 用 選 擇 工具雙擊點(diǎn) C 點(diǎn) C 被標(biāo)記為中心 如圖 1 10 1 A BC 圖 1 10 1 第二步 選取點(diǎn) A B 和線段 AB 由 變換 旋 轉(zhuǎn) 在彈出的對(duì)話框中設(shè)置 按 90 度旋轉(zhuǎn) 如圖 1 10 2 A BC B A 圖 1 10 2 第三步 改標(biāo)簽為我們常用的 如圖 1 10 2 A CO D B 圖 1 10 2 33 第四步 最后連結(jié)得如圖 1 10 3 說明 拖動(dòng)點(diǎn) C 或 A 可以把正方形 擺正 A CO D B 圖 1 10 3 方案二的驗(yàn)證 用幾何畫板學(xué)習(xí)到現(xiàn)在 相信大家會(huì)有一個(gè)感覺 幾何畫板中為什么不能直接畫出矩形 正方形等特 殊圖形 其實(shí)是可以的 但是這個(gè)功能需要自己把畫圖的過程保存為一個(gè)記錄文件 然后在 對(duì)象參 數(shù)設(shè)置 面板中設(shè)置好使用記錄文件的路徑 這時(shí)工具箱中會(huì)多出一個(gè)按鈕 可以通過這個(gè)按鈕調(diào) 用記錄文件 這時(shí)可以快速畫好一個(gè)特殊的圖形 如何制作一個(gè)記錄文件 第一步 1 新建一個(gè)幾何畫板文件 2 選取 文件 新記錄 這時(shí)窗口變成如圖 1 10 4 左邊是繪圖窗口 右邊是記錄窗口 注意 繪圖文件是擴(kuò)展名是 gsp 記錄文件的擴(kuò)展名是 gss 圖 1 10 4 第二步 點(diǎn)一下記錄窗口中的 記錄 按鈕 記錄窗口變成如圖 1 10 5 圖 1 10 5 第三步 點(diǎn)擊 繪圖 窗口 在窗口中畫一個(gè)線段 如圖 1 10 6 圖 1 10 6 34 第四步 1 用 選擇 工具雙擊左邊端點(diǎn) 標(biāo)記此 點(diǎn)為 中心 2 選取右邊的端點(diǎn)和線段 由 變 換 旋轉(zhuǎn) 在彈出的對(duì)話框中設(shè)置 按 90 度旋 轉(zhuǎn) 得如圖 1 10 7 圖 1 10 7 第五步 1 用 選擇 工具雙擊右邊端點(diǎn) 標(biāo)記此 點(diǎn)為 中心 2 選取左邊的端點(diǎn)和線段 由 變 換 旋轉(zhuǎn) 在彈出的對(duì)話框中設(shè)置 按 90 度 旋轉(zhuǎn) 得如圖 1 10 8 圖 1 10 8 第六步 1 連出最后一邊 得圖 1 10 9 2 單擊 記錄窗口 中的停止按鈕 結(jié)束記錄的錄 制 3 在保持 記錄窗口 是活動(dòng)窗口的前提下 由 文件 存盤 彈出 文件另存為 窗口 默認(rèn) 的文件名是 記錄 01 gss 可以改為 正方形 gss 默認(rèn)的位置是幾何畫板的安裝目錄 不用修改直接點(diǎn) 確定 以上的工作已經(jīng)錄制好一個(gè)記錄并保存 下面學(xué)習(xí)如 何從工作箱中調(diào)用這個(gè)記錄 圖 1 10 9 如何設(shè)置記錄工具所在目錄 第七步 1 由 顯示 參數(shù)選擇 彈出一個(gè)對(duì)話框 2 在對(duì)話框中點(diǎn) R 其他 按鈕 又彈出一個(gè) 高級(jí)參數(shù)選擇 對(duì)話框 請(qǐng)注意 記錄工具目錄 這一部分 如圖 1 10 10 圖 1 10 10 第八步 1 單擊 設(shè)置 按鈕 彈出選擇目錄對(duì)話框 選擇目錄為你剛才存放記錄 正方形 gss 的文件夾 2 點(diǎn) 確定 按鈕關(guān)掉第三個(gè)對(duì)話框 再點(diǎn) 繼續(xù) 按鈕關(guān)掉第二個(gè)對(duì)話框 最后點(diǎn) 確定 關(guān)閉第一個(gè)對(duì)話框 完成記錄工具目錄的設(shè)置 說明 這個(gè)操作只需設(shè)置一次 以后制作好的目錄都存在已設(shè)置好的文件夾中 就可以方便的調(diào) 用了 如何使用記錄工具 第九步 當(dāng)你正確設(shè)置好后 工具箱中會(huì)多出一個(gè)按 鈕 點(diǎn)擊這個(gè)按鈕 出現(xiàn)圖 1 10 11 點(diǎn)取正方形這一項(xiàng) 然后在窗口中按鼠標(biāo)左鍵拖動(dòng) 可以快速畫出一個(gè)正方形 35 圖 1 10 11 練習(xí) 1 自己錄制一個(gè)畫矩形的記錄 存放在正方形記錄所在文件夾 2 錄制一個(gè)畫正三角形的記錄 3 錄制一個(gè)畫平行四邊形的記錄 4 錄制你常用的其它圖形的記錄 36 案例十一 圓周角與圓心角 方案 畫一個(gè)圓 畫出一段弧所對(duì)的圓心角和圓周角 驗(yàn)證同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半 用幾何畫板驗(yàn)證 第一步 新建一個(gè)幾何畫板文件 第二步 1 選取 圓畫 工具 2 按住鼠標(biāo)左 鍵在工作區(qū)中拖動(dòng) 可以畫一個(gè)圓 3 標(biāo)出標(biāo)簽并 改為所要的 如圖 1 11 1 這時(shí)同時(shí)會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)點(diǎn) 一個(gè)是圓心 一個(gè)是圓上的 點(diǎn) 這兩個(gè)點(diǎn)可以用來(lái)控制圓的大小和位置 在下面 的作圖過程中 一般不要用到圓上的這一點(diǎn) 以免在 拖動(dòng)的過程中改變了圓的大小 O G 圖 1 11 1 第三步 用 畫點(diǎn) 工具 在圓上畫出三個(gè)點(diǎn) 標(biāo)上 標(biāo)簽并改為點(diǎn) P A B 得到如圖 1 11 2 O GA B P 圖 1 11 2 第四步 連結(jié) PA PB OA OB 度量 AOB APB 得到如圖 1 11 3 O GA B P AOB 83 18 APB 41 59 圖 1 11 3 第五步 由菜單 度量 計(jì)算 彈出幾何畫板的 計(jì)算器 依次點(diǎn)取 APB AOB 確定 可以計(jì)算出兩個(gè)角的比 得到如圖 1 11 4 O GA B P AOB 83 18 APB 41 59