人教版八級上《第章軸對稱》單元測試(三)含答案解析

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1、《第13章 軸對稱》 　 一、選擇題 1．下列圖案中的兩個圖形成軸對稱的一項是（　?。? A． B． C． D． 2．下列說法：①線段AB、CD互相垂直平分，則AB是CD的對稱軸，CD是AB的對稱軸；②如果兩條線段相等，那么這兩條線段關(guān)于直線對稱；③角是軸對稱圖形，對稱軸是這個角的平分線．其中錯誤的個數(shù)有（　?。? A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 3．下列軸對稱圖形中，對稱軸條數(shù)最少的是（　?。? A．等腰直角三角形 B．等邊三角形 C．正方形 D．長方形 4．一個等腰三角形的一邊長是7cm，另一邊長為5cm，那么這個等腰三角形的周長是（　?。? A．12cm B．17c

2、m C．19cm D．17cm或19cm 5．如果等腰三角形的一個底角為α，那么（　?。? A．α不大于45° B．0°＜α＜90° C．α不大于90° D．45°＜α＜90°24 6．如圖，已知等邊△ABC，點O是BC上任意一點，OE、OF分別與兩邊垂直，等邊三角形的高為1，則OE+OF的值為（　?。﹚ A．0.5 B．1 C．2 D．不確定t 7．等邊三角形的兩條高線相交成鈍角的度數(shù)是（　?。﹉ A．105° B．120° C．135° D．150°Y 8．等腰三角形的一個角是50°，則它一腰上的高與底邊的夾角是（　　）6 A．25° B．40° C．25°或40° D．

3、不能確定O 9．在平面直角坐標系xoy中，已知點A（2，﹣2），在y軸上確定點P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點P有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個I 10．如圖，△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線對稱，下列結(jié)論中：a ①△ABC≌△A′B′C′；h ②∠BAC′=∠B′AC；P ③l垂直平分CC′；6 ④直線BC和B′C′的交點不一定在l上，y 正確的有（　?。? A．4個 B．3個 C．2個 D．1個8 　 二、填空題．Z 11．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，則BC=　?。甼 12．已知等腰三角形的周

4、長為13，其中一邊長為3，其它兩邊的長為　?。? 13．等腰三角形的兩個內(nèi)角的比是1：2，則這個等腰三角形的頂角的度數(shù)是　?。? 14．如圖，若△ACD的周長為7cm，DE為AB邊的垂直平分線，則AC+BC=　　cm．A 15．如圖，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，則∠MEF=　　．f 16．如圖，AB=AC，F(xiàn)D⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD=145°，則∠EDF=　　度．A 　 三、解答題= 17．要在河邊修建一個水泵站，分別向張村、李莊送水（如圖）． 修在河邊什么地方，可使所用水管最短？試在圖中確定水泵站的位置，并說明你的理由．= 18

5、．如圖AB=AD，AD∥BC，求證：BD平分∠ABC．（寫出每步證明的重要依據(jù)） 19．如圖，已知D、E兩點在線段BC上，AB=AC，AD=AE． 證明：BD=CE． 20．在等邊△ABC中，D是AC的中點，E是BC延長線上一點，且CE=CD，請說明DB=DE的理由． 21．如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E分別在AC、AB邊上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度數(shù)． 22．如圖在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF為AB的垂直平分線，EF交BC于點F，交AB于點E．求證：BF=FC． 23．如圖、已知∠AOB=30°，OC平分∠AOB，

6、P為OC上任意一點，PD∥OA交OB于D，PE⊥OA于E．如果OD=4cm，求PE的長． 24．如圖，△ABC是等邊三角形，D、E分別是BC、AC上的點，BD=CE，求∠AFE的度數(shù)． 12283577 25．已知：如圖，△ABC和△BDE都是等邊三角形，且A，E，D三點在一直線上．請你說明 DA﹣DB=DC． 26．已知，如圖，△ABC是正三角形，D，E，F(xiàn)分別是各邊上的一點，且AD=BE=CF．請你說明△DEF是正三角形． 　 12283577 《第13章 軸對稱》 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．下列圖案中的兩個圖形成軸對稱的一項是（　　）

7、A． B． C． D． 【考點】軸對稱圖形． 【分析】直線兩旁的部分能夠互相重合的兩個圖形叫做這兩個圖形成軸對稱． 【解答】解：A、是平移變換，不符合題意； B、是軸對稱變換，符合題意； C、是平移變換，不符合題意； D、是中心對稱變換，不符合題意． 故選B． 【點評】考查了圖形的三種變換：平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)． 　 2．下列說法：①線段AB、CD互相垂直平分，則AB是CD的對稱軸，CD是AB的對稱軸；②如果兩條線段相等，那么這兩條線段關(guān)于直線對稱；③角是軸對稱圖形，對稱軸是這個角的平分線．其中錯誤的個數(shù)有（　　） A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 【考點】軸對稱圖

8、形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解． 如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸． 【解答】解：①線段AB、CD互相垂直平分，則線段AB所在的直線是線段CD的對稱軸，線段CD所在的直線是線段AB的對稱軸，故錯誤； ②如平行四邊形的一組對邊符合兩條線段相等，但不關(guān)于任何一條直線對稱，錯誤； ③角是軸對稱圖形，對稱軸是這個角的平分線所在的直線，錯誤． 錯誤的個數(shù)是3個，故選D． 【點評】掌握好軸對稱的概念． 軸對稱的關(guān)鍵是尋找對稱軸，兩邊圖象折疊后可重合．并且注意對稱軸一定是直線． 　 3．下列軸對稱圖形中，對稱軸條數(shù)最少的是

9、（　?。? A．等腰直角三角形 B．等邊三角形 C．正方形 D．長方形 【考點】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解，確定各個圖形有幾條對稱軸． 【解答】解：A、等腰直角三角形有一條對稱軸； B、等邊三角形有三條； C、正方形有四條； D、長方形有兩條對稱軸． 故選A． 【點評】掌握好軸對稱的概念． 軸對稱的關(guān)鍵是尋找對稱軸，兩邊圖象折疊后可重合． 　 4．一個等腰三角形的一邊長是7cm，另一邊長為5cm，那么這個等腰三角形的周長是（　?。? A．12cm B．17cm C．19cm D．17cm或19cm 【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系． 【分

10、析】分別從腰長是7cm，底邊長為5cm，與腰長是5cm，底邊長為7cm，去分析求解即可求得答案． 【解答】解：若腰長是7cm，底邊長為5cm，則這個等腰三角形的周長是：7+7+5=19（cm）； 若腰長是5cm，底邊長為7cm，則這個等腰三角形的周長是：7+5+5=17（cm）； 綜上所述，這個等腰三角形的周長是17cm或19cm． 故選D．12283577 【點評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)．此題比較簡單，注意掌握分類討論思想的應用是解此題的關(guān)鍵． 　 5．如果等腰三角形的一個底角為α，那么（　?。? A．α不大于45° B．0°＜α＜90° C．α不大于90° D．45°＜α

11、＜90° 【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理． 【專題】計算題． 【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理進行分析即可． 【解答】解：等腰三角形的底角相等，一個底角是α，則另一底角也一定是α，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得三個內(nèi)角的和是180°，因而兩底角的和2α一定滿足：0＜2α＜180°，則0°＜α＜90°．故選B． 【點評】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理及等腰三角形的性質(zhì)的運用． 　 6．如圖，已知等邊△ABC，點O是BC上任意一點，OE、OF分別與兩邊垂直，等邊三角形的高為1，則OE+OF的值為（　?。? A．0.5 B．1 C．2 D．不確定 【考點】

12、等邊三角形的性質(zhì)；特殊角的三角函數(shù)值． 【分析】利用等邊三角形的特殊角求出OE與OF的和，可得出其與三角形的高相等，進而可得出結(jié)論． 【解答】解：∵OE⊥AB，OF⊥AC，∠B=∠C=60°， ∴OE=OB?sin60°=OB，同理OF=OC． ∴OE+OF=（OB+OC）=BC． 在等邊△ABC中，高h=AB． ∴OE+OF=h． 故選B． 【點評】熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)． 　 7．等邊三角形的兩條高線相交成鈍角的度數(shù)是（　?。? A．105° B．120° C．135° D．150° 【考點】等邊三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理． 【專題】計算題． 【分析】根據(jù)等

13、邊三角形三線合一的性質(zhì)，高線即是角平分線，再利用三角形的內(nèi)角和定理知鈍角的度數(shù)是120°． 【解答】解：∵等邊△ABC的兩條高線相交于O ∴∠OAB=∠OBA=30° ∴∠AOB=180°﹣∠OAB﹣∠OBA=120° 故選B 【點評】此題主要考查了等邊三角形三線合一的性質(zhì)，比較簡單． 　 8．等腰三角形的一個角是50°，則它一腰上的高與底邊的夾角是（　　） A．25° B．40° C．25°或40° D．不能確定 【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理． 【專題】計算題． 【分析】題中沒有指明該角是頂角還是底角，則應該分情況進行分析，從而得到答案． 【解答】解

14、：當?shù)捉鞘?0°時，則它一腰上的高與底邊的夾角是90°﹣50°=40°； 當頂角是50°時，則它的底角就是（180°﹣50°）=65°則它一腰上的高與底邊的夾角是90°﹣65°=25°； 故選C． 【點評】此題主要考查了學生的三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180° 　 9．在平面直角坐標系xoy中，已知點A（2，﹣2），在y軸上確定點P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點P有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【考點】等腰三角形的判定；坐標與圖形性質(zhì)． 【分析】如果OA為等腰三角形的腰，有兩種可能，以O(shè)為圓心OA為半徑的圓弧與y軸有兩個交點，以A為圓心A

15、O為半徑的圓弧與y軸有一個交點；如果OA為等腰三角形的底，只有一種可能，作線段OA的垂直平分線，與y軸有一個交點；符合條件的點一共4個． 【解答】解：分二種情況進行討論： 當OA為等腰三角形的腰時，以O(shè)為圓心OA為半徑的圓弧與y軸有兩個交點，以A為圓心AO為半徑的圓弧與y軸有一個交點； 當OA為等腰三角形的底時，作線段OA的垂直平分線，與y軸有一個交點． ∴符合條件的點一共4個． 故選D． 【點評】本題考查了等腰三角形的判定及坐標與圖形的性質(zhì)；針對線段OA在等腰三角形中的地位，分類討論用畫圓弧的方式，找與y軸的交點，比較形象易懂． 　 10．如圖，△ABC和△A′B′C′關(guān)于直

16、線對稱，下列結(jié)論中： ①△ABC≌△A′B′C′； ②∠BAC′=∠B′AC； ③l垂直平分CC′； ④直線BC和B′C′的交點不一定在l上， 正確的有（　?。? A．4個 B．3個 C．2個 D．1個 【考點】軸對稱的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)關(guān)于某直線成軸對稱的兩個圖形能夠完全重合對各小題分析判斷即可得解． 【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線l對稱， ∴①△ABC≌△A′B′C′，正確； ②∠BAC=∠B′AC′， ∴∠BAC+∠CAC′=∠B′AC′+∠CAC′， 即∠BAC′=∠B′AC，正確； ③l垂直平分CC′，正確； ④應為：直線BC和B′C

17、′的交點一定在l上，故本小題錯誤． 綜上所述，結(jié)論正確的是①②③共3個． 故選B． 【點評】本題考查軸對稱的性質(zhì)與運用，對應點的連線與對稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點到兩個對應點之間的距離相等，對應的角、線段都相等． 　 二、填空題． 11．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，則BC=　2?。? 【考點】含30度角的直角三角形． 【分析】根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)直接求解即可． 【解答】解：根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可知：BC=AB=2． 故答案為：2． 【點評】本題考查了含30度角的

18、直角三角形的性質(zhì)，比較容易解答，要求熟記30°角所對的直角邊是斜邊的一半． 　 12．已知等腰三角形的周長為13，其中一邊長為3，其它兩邊的長為　5，5?。? 【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系． 【分析】由于長為3的邊可能為腰，也可能為底邊，故應分兩種情況討論． 【解答】解：當腰為3時，另一腰也為3，則底為13﹣2×3=7， ∵3+3=6＜7， ∴這樣的三邊不能構(gòu)成三角形． 當?shù)诪?時，腰為（13﹣3）÷2=5， ∴以3，5，5為邊能構(gòu)成三角形． 故答案為：5，5． 【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，

19、分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵． 　 13．等腰三角形的兩個內(nèi)角的比是1：2，則這個等腰三角形的頂角的度數(shù)是　90°或36°?。? 【考點】等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)已知條件，根據(jù)比先設(shè)出三角形的兩個角，然后進行討論，即可得出頂角的度數(shù)． 【解答】解：在△ABC中，設(shè)∠A=x，∠B=2x，分情況討論： 當∠A=∠C為底角時，x+x+2x=180°解得，x=45°，頂角∠B=2x=90°； 當∠B=∠C為底角時，2x+x+2x=180°解得，x=36°，頂角∠A=x=36°． 故這個等腰三角形的頂角度數(shù)為90°或36°．

20、 故答案為：36°或90°． 【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；若題目中沒有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時要注意分情況進行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關(guān)鍵． 　 14．如圖，若△ACD的周長為7cm，DE為AB邊的垂直平分線，則AC+BC=　7　cm． 【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】由已知條件，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到AD=BD，進行等量代換后可得答案． 【解答】解：∵DE為AB邊的垂直平分線 ∴DA=DB ∵△ACD的周長為7cm ∴AD+AC+CD=AC+BC=7． 故填7． 【點評】此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識

21、；利用垂直平分線的性質(zhì)后進行線段的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵． 　 15．如圖，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，則∠MEF=　75°　． 【考點】等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)已知條件，利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和外角之間的關(guān)系進行計算． 【解答】解：∵AB=BC=CD=DE=EF，∠A=15°， ∴∠BCA=∠A=15°， ∴∠CBD=∠BDC=∠BCA+∠A=15°+15°=30°， ∴∠BCD=180°﹣（∠CBD+∠BDC）=180°﹣60°=120°， ∴∠ECD=∠CED=180°﹣∠BCD﹣∠BCA=180°﹣120°﹣15°=45°

22、， ∴∠CDE=180°﹣（∠ECD+∠CED）=180°﹣90°=90°， ∴∠EDF=∠EFD=180°﹣∠CDE﹣∠BDC=180°﹣90°﹣30°=60°， ∴∠MEF=∠EFD+∠A=60°+15°=75°． 故答案為：75°． 【點評】主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和外角之間的關(guān)系． （1）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和； （2）三角形的內(nèi)角和是180度．求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是180°這一隱含的條件． 　 16．如圖，AB=AC，F(xiàn)D⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD=145°，則∠EDF=　55　度． 【考點】等腰三角形

23、的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理． 【分析】首先求出∠C的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠A，從而利用四邊形內(nèi)角和定理求出∠EDF． 【解答】解：∵∠AFD=145°，∴∠CFD=35° 又∵FD⊥BC于D，DE⊥AB于E ∴∠C=180°﹣（∠CFD+∠FDC）=55° ∵AB=AC ∴∠B=∠C=55°，∴∠A=70° 根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°可得： ∠EDF=360°﹣（∠AED+∠AFD+∠A）=55° ∴∠EDF為55°． 故填55． 【點評】本題考查的是四邊形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)；解題關(guān)鍵是先求出∠A的度數(shù)，再利用四邊形的內(nèi)角和定理求出所求角． 　

24、三、解答題 17．要在河邊修建一個水泵站，分別向張村、李莊送水（如圖）． 修在河邊什么地方，可使所用水管最短？試在圖中確定水泵站的位置，并說明你的理由． 【考點】軸對稱-最短路線問題． 【分析】可作B點關(guān)于小河的對稱點B′，連接B′A與小河的交點P，就是所求． 【解答】解：先作點B關(guān)于河岸的對稱點，然后連接此對稱點與點A，交河岸于點P，點P即為所求． 【點評】本題考查路程最短的問題，實質(zhì)利用了線段垂直平分線的性質(zhì)，是考試中經(jīng)常出現(xiàn)的問題． 　 18．如圖AB=AD，AD∥BC，求證：BD平分∠ABC．（寫出每步證明的重要依據(jù)） 【考點】等腰三角形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)

25、． 【專題】證明題． 【分析】由于AB=AD，利用等邊對等角可得∠ABD=∠ADB，而AD∥BC，利用平行線性質(zhì)，可得∠ABD=∠CBD，等量代換可得∠ABD=∠CBD，從而可知BD是∠ABC的角平分線． 【解答】證明：∵AB=AD（已知）， ∴∠ABD=∠ADB（等邊對等角）， ∵AD∥BC（已知）， ∴∠ADB=∠CBD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）， ∴∠ABD=∠CBD（等量代換）， ∴BD平分∠ABC．（角平分線定義） 【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義． 　 19．如圖，已知D、E兩點在線段BC上，AB=AC，AD=AE． 證明：B

26、D=CE． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】過A作AF⊥BC于F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出BF=CF，DF=EF，相減即可求出答案． 【解答】證明： 過A作AF⊥BC于F， ∵AB=AC，AD=AE，AF⊥BC， ∴BF=CF，DF=EF， ∴BF﹣DF=CF﹣EF， ∴BD=CE． 【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定的應用，等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合． 　 20．在等邊△ABC中，D是AC的中點，E是BC延長線上一點，且CE=CD，請說明DB=DE的理由． 【考點】等邊三角形的

27、性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)可得∠CBD=30°，∠ACB=60°，根據(jù)CD=CE可得∠CDE=∠CED，根據(jù)∠CDE+∠CED=∠ACB即可解題． 【解答】解：∵等邊三角形三線合一， ∴BD為∠ABC的角平分線， ∴∠CBD=30°，∠ACB=60°， ∵CD=CE， ∴∠CDE=∠CED， ∵∠CDE+∠CED=∠ACB， ∴∠CDE=∠CED=30°， ∴∠CBD=∠CED=30°， ∴BD=DE． 【點評】本題考查了等邊三角形各邊相等的性質(zhì)，等腰三角形底角相等的性質(zhì)，本題中求證∠CBD=∠CED是解題的關(guān)鍵． 　 21．如圖

28、，在△ABC中，AB=AC，D、E分別在AC、AB邊上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度數(shù)． 【考點】三角形的外角性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理． 【分析】根據(jù)同一個三角形中等邊對等角的性質(zhì)，設(shè)∠ABD=x，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)，則可用x的代數(shù)式表示∠A、∠ABC、∠C，再在△ABC中，運用三角形的內(nèi)角和為180°，可求∠A的度數(shù)． 【解答】解：∵DE=EB ∴設(shè)∠BDE=∠ABD=x， ∴∠AED=∠BDE+∠ABD=2x， ∵AD=DE， ∴∠AED=∠A=2x， ∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x， ∵BD=BC， ∴∠C=∠BDC=3x， ∵AB=AC， ∴

29、∠ABC=∠C=3x， 在△ABC中，3x+3x+2x=180°， 解得x=22.5°， ∴∠A=2x=22.5°×2=45°． 【點評】①幾何計算題中，如果依據(jù)題設(shè)和相關(guān)的幾何圖形的性質(zhì)列出方程（或方程組）求解的方法叫做方程的思想； ②求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是180°”這一隱含的條件； ③三角形的外角通常情況下是轉(zhuǎn)化為內(nèi)角來解決． 　 22．如圖在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF為AB的垂直平分線，EF交BC于點F，交AB于點E．求證：BF=FC． 【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形． 【分析】連接AF，根據(jù)等腰三角

30、形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠B=∠C=30°，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得出BF=AF，推出∠BAF=∠B=30°，求出∠FAC=90°，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出即可． 【解答】證明：連接AF， ∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°， ∵EF為AB的垂直平分線， ∴BF=AF， ∴∠BAF=∠B=30°， ∴∠FAC=120°﹣30°=90°， ∵∠C=30°， ∴AF=CF， ∵BF=AF， ∴BF=FC． 【點評】本題考查了線段垂直平分線，等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應用，主要考查學生綜合運用性質(zhì)

31、進行推理和計算的能力． 　 23．如圖、已知∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P為OC上任意一點，PD∥OA交OB于D，PE⊥OA于E．如果OD=4cm，求PE的長． 【考點】含30度角的直角三角形；角平分線的性質(zhì)． 【分析】過P作PF⊥OB于F，根據(jù)角平分線的定義可得∠AOC=∠BOC=15°，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DPO=∠AOP=15°，從而可得PD=OD，再根據(jù)30度所對的邊是斜邊的一半可求得PF的長，最后根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求得PE的長． 【解答】解：過P作PF⊥OB于F， ∵∠AOB=30°，OC平分∠AOB， ∴∠AOC=∠BOC=15°， ∵PD∥OA，

32、 ∴∠DPO=∠AOP=15°， ∴∠BOC=∠DPO， ∴PD=OD=4cm， ∵∠AOB=30°，PD∥OA， ∴∠BDP=30°， ∴在Rt△PDF中，PF=PD=2cm， ∵OC為角平分線，PE⊥OA，PF⊥OB， ∴PE=PF， ∴PE=PF=2cm． 【點評】此題主要考查：（1）含30°度的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半． （2）角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等． 　 24．如圖，△ABC是等邊三角形，D、E分別是BC、AC上的點，BD=CE，求∠AFE的度數(shù)． 【考點】全等三角形的判定與

33、性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得AB與BC的關(guān)系，∠ABC與∠C的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的判定，可得△ABD與△BCE的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得∠BAD與∠EBC的關(guān)系，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得答案． 【解答】解；△ABC是等邊三角形， ∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°． 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD=∠CBE． 由三角形彎角的性質(zhì)得∠AFE=∠BAF+∠ABF， ∠AFE=∠CBE+∠ABF=60°． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，先證明三角形全等，在證明全等三角形的對應角相

34、等，最后由三角形的外角的性質(zhì)得出答案． 　 25．已知：如圖，△ABC和△BDE都是等邊三角形，且A，E，D三點在一直線上．請你說明 DA﹣DB=DC． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得AB與BC的關(guān)系，BD、BE、DE的關(guān)系，根據(jù)三角形全等的判定，可得△ABE與△CBD的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得對應邊相等，根據(jù)線段的和差，等量代換，可得證明結(jié)果． 【解答】證明：△ABC和△BDE都是等邊三角形， ∴AB=BC，BE=BD=DE（等邊三角形的邊相等）， ∠ABC=∠EBD=60°（等邊三角形的角是60°）． ∴

35、∠ABC﹣∠EBC=∠EBD﹣∠EBC ∠ABE=CBD （等式的性質(zhì)）， 在△ABE和△CBD中， ， ∴△ABE≌△CBD（SAS） ∴AE=DC（全等三角形的對應邊相等）． ∵AD﹣DE=AE（線段的和差） ∴AD﹣BD=DC（等量代換）． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，先證明三角形全等，再證明全等三角形的對應邊相等，最后等量代換． 　 26．已知，如圖，△ABC是正三角形，D，E，F(xiàn)分別是各邊上的一點，且AD=BE=CF．請你說明△DEF是正三角形． 【考點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】根據(jù)等邊△ABC中AD=BE=CF，證得△ADE≌△BEF≌△CFD即可得出△DEF是等邊三角形． 【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，且AD=BE=CF， ∴AE=BF=CD， 又∵∠A=∠B=∠C=60°， ∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS）， ∴DF=ED=EF， ∴△DEF是等邊三角形． 【點評】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和全等三角形判定，根據(jù)已知得出△ADE≌△BEF≌△CFD是解答此題的關(guān)鍵．