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1、三角形
04
三角形
限時:45分鐘 滿分:100分
一、選擇題(每題4分,共32分)
1.若一個角為65°,則它的補(bǔ)角的度數(shù)為 ( )
A.25° B.35° C.115° D.125°
2.下列各組線段中,能夠組成直角三角形的一組是 ( )
A.1,2,3 B.1,3,4
C.4,5,6 D.1,2,3
3.已知直線m∥n,將一塊含30°角的直角三角尺ABC按如圖D4-1方式放置(∠ABC=30°),其中A,B兩點分別落在直線m,n上.若∠1=20°,則∠2的度數(shù)為 ( )
圖D4-1
A.20° B.30° C.45° D.50°
2、4.如圖D4-2,在△ABC和△DEF中,AB=DE,∠B=∠DEF,添加下列條件,仍無法證明△ABC≌△DEF的是 ( )
圖D4-2
A.AC∥DF B.∠A=∠D
C.AC=DF D.∠ACB=∠F
5.如圖D4-3,直線l1∥l2∥l3,直線a,b與l1,l2,l3分別交于點A,B,C和點D,E,F.若ABBC=23,DE=4,則EF的長是 ( )
圖D4-3
A.83 B.203 C.6 D.10
6.下列命題中,真命題是 ( )
A.a2=(a)2一定成立
B.位似圖形不可能全等
C.正多邊形都是軸對稱圖形
D.圓錐的主視
3、圖一定是等邊三角形
7.如圖D4-4,AB⊥CD,且AB=CD,E,F是AD上兩點,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,則AD的長為 ( )
圖D4-4
A.a+c B.b+c C.a-b+c D.a+b-c
8.如圖D4-5,點A在線段BD上,在BD的同側(cè)作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE,CD與BE,AE分別交于點P,M.對于下列結(jié)論:
圖D4-5
①△BAE∽△CAD;②MP·MD=MA·ME;③2CB2=CP·CM.其中正確的是 ( )
A.①②③ B.① C.①② D.②③
二、填空題(每題4分
4、,共16分)
9.如圖D4-6,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D為AC的中點.若∠C=55°,則∠ABD= .?
圖D4-6
10.如圖D4-7,在△ABC中,∠ACB=90°,M,N分別是AB,AC的中點,延長BC至點D,使CD=13BD,連接DM,DN,MN.若AB=6,則DN= .?
圖D4-7
11.如圖D4-8,△AOB三個頂點的坐標(biāo)分別為A(8,0),O(0,0),B(8,-6),點M為OB的中點.以點O為位似中心,把△AOB縮小為原來的12,得到△A'OB',點M'為OB'的中點,則MM'的長為 .?
圖D4-8
12.如圖D4-
5、9,在?ABCD中,∠B=30°,AB=AC,O是兩條對角線的交點,過點O作AC的垂線分別交邊AD,BC于點E,F,點M是邊AB的一個三等分點,則△AOE與△BMF的面積比為 .?
圖D4-9
三、解答題(共52分)
13.(12分)如圖D4-10,在四邊形ABCD中,AD∥BC,連接AC,且AC=BC,在對角線AC上取點E,使CE=AD,連接BE.
(1)求證:△DAC≌△ECB;
(2)若CA平分∠BCD,且AD=3,求BE的長.
圖D4-10
14.(15分)如圖D4-11,點P是等邊三角形ABC內(nèi)一點,將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△BDC,連接
6、PD.
(1)求證:△DPC是等邊三角形;
(2)當(dāng)∠APC=150°時,試判斷△DPB的形狀,并說明理由;
(3)當(dāng)∠APB=100°且△DPB是等腰三角形時,求∠APC的度數(shù).
圖D4-11
15.(14分)如圖D4-12,在銳角三角形ABC中,點D,E分別在邊AC,AB上,AG⊥BC于點G,AF⊥DE于點F,∠EAF=∠GAC.
(1)求證:△ADE∽△ABC;
(2)若AD=3,AB=5,求AFAG的值.
圖D4-12
16.(11分)如圖D4-13是放在水平地面上的一把椅子的側(cè)面圖,椅子高為AC,椅面寬
7、為BE,椅腳高為ED,且AC⊥BE,AC⊥CD,AC∥ED.從點A測得點D,E的俯角分別為64°和53°.已知ED=30 cm,椅子的高AC約為多少?
參考數(shù)據(jù):tan53°≈43,sin53°≈45,tan64°≈2,sin64°≈910
圖D4-13
參考答案
1.C 2.D 3.D 4.C 5.C 6.C
7.D [解析] ∵AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,∴∠AFB=∠CED=90°,∠A+∠D=90°,∠C+∠D=90°.∴∠A=∠C.又∵AB=CD,∴△ABF≌△CDE.∴AF=CE=a,DE=BF=b.∵EF=c,∴AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-
8、c.故選D.
8.A [解析] 由已知,得AC=2AB,AD=2AE.∴ACAB=ADAE.∵∠BAC=∠EAD,∴∠BAE=∠CAD.∴△BAE∽△CAD,①正確.
∵△BAE∽△CAD,∴∠BEA=∠CDA.∵∠PME=∠AMD,∴△PME∽△AMD.∴MPMA=MEMD.∴MP·MD=MA·ME,②正確.
∵∠BEA=∠CDA,∠PME=∠AMD,∴∠MPE=∠MAD,P,E,D,A四點共圓.∴∠APD=∠AED=90°.∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90°,∴△CAP∽△CMA.∴AC2=CP·CM.∵AC=2BC,∴2CB2=CP·CM,③正確.故選A.
9.35
9、°
10.3
11.52或152 [解析] 如圖,在Rt△AOB中,OB=62+82=10.①當(dāng)△A'OB'在第四象限時,MM'=52;②當(dāng)△A″OB″在第二象限時,MM″=152.故答案為52或152.
12.3∶4 [解析] 設(shè)AB=AC=m,則BM=13m.∵O是兩條對角線的交點,∴OA=OC=12AC=12m.∵∠B=30°,AB=AC,∴∠ACB=∠B=30°.∵EF⊥AC,∴cos∠ACB=OCFC,即cos30°=12mFC.∴FC=33m.∵AE∥FC,∴∠EAC=∠FCA.又∵∠AOE=∠COF,AO=CO,∴△AOE≌△COF.∴AE=FC=33m.∴OE=12
10、AE=36m.∴S△AOE=12OA·OE=12×12m×36m=324m2.如圖,過點A作AN⊥BC于點N,∵AB=AC,∴BN=CN=12BC.∴BN=32AB=32m.∴BC=3m,∴BF=BC-FC=3m-33m=233m.過點M作MH⊥BC于點H.∵∠B=30°,∴MH=12BM=16m.∴S△BMF=12BF·MH=12×233m×16m=318m2.∴S△AOES△BMF=324m2318m2=34.故答案為3∶4.
13.解:(1)證明:∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ECB.
在△DAC和△ECB中,AD=CE,∠DAC=∠ECB,AC=BC,
∴△DAC≌△ECB(S
11、AS).
(2)∵CA平分∠BCD,∴∠ECB=∠DCA.
由(1)可知∠DAC=∠ECB,
∴∠DAC=∠DCA.∴CD=DA=3.
又由(1)可得△DAC≌△ECB,∴BE=CD=3.
14.解:(1)證明:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),得△APC≌△BDC,PC=DC,∠PCD=∠ACB.∵在等邊三角形ABC中,∠ACB=60°,∴∠PCD=60°.∴△DPC是等邊三角形.
(2)△DPB是直角三角形.理由:由旋轉(zhuǎn)得∠BDC=∠APC=150°,又由(1)知△DPC是等邊三角形,∴∠PDC=60°.∴∠BDP=∠BDC-∠PDC=90°.∴△DPB是直角三角形.
(3)設(shè)∠APC=x,則∠
12、BPD=200°-x,∠BDP=x-60°.①若PD=PB,則(200°-x)+2(x-60°)=180°,x=100°;②若PD=DB,則2(200°-x)+(x-60°)=180°,x=160°;③若PB=DB,則200°-x=x-60°,x=130°.
15.解:(1)證明:∵AG⊥BC,AF⊥DE,
∴∠AFE=∠AGC=90°.
∵∠EAF=∠GAC,∴∠AED=∠ACB.
又∵∠EAD=∠BAC,∴△ADE∽△ABC.
(2)由(1)可知,△ADE∽△ABC,
∴∠ADE=∠B.
又∵∠AFD=∠AGB=90°,
∴△AFD∽△AGB.∴AFAG=ADAB.
又∵AD=3,AB=5,∴AFAG=35.
16.解:∵AC⊥BE,AC⊥CD,
∴∠ACD=∠ABE=90°.∵AC∥DE,
∴∠CDE=180°-∠ACD=180°-90°=90°.
∴四邊形BCDE是矩形.
∴BC=DE=30,BE=CD.
在Rt△ABE中,∠AEB=53°,
∴BE=ABtan∠AEB=AC-BCtan53°≈AC-3043=34(AC-30).
在Rt△ACD中,∠ADC=64°,
∴CD=ACtan∠ADC=ACtan64°≈AC2.
∴AC2=3(AC-30)4.解得AC=90.
答:椅子的高AC約為90 cm.
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