（江蘇專版）2020年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第四單元 三角形 課時(shí)訓(xùn)練20 直角三角形與勾股定理

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1、 課時(shí)訓(xùn)練(二十)　直角三角形與勾股定理 (限時(shí):40分鐘) |夯實(shí)基礎(chǔ)| 1.能說明命題“對于任何實(shí)數(shù)a,|a|>-a”是假命題的一個反例可以是 ( ) A.a=-2 B.a=13 C.a=1 D.a=2 2.如圖K20-1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=65°,CD⊥AB,垂足為D,E是BC的中點(diǎn),連接ED,則∠EDC的度數(shù)是 (　　) 圖K20-1 A.25° B.30° C.50° D.65° 3.木桿AB斜靠在墻壁上,當(dāng)木桿的上端A沿墻壁NO豎直下滑時(shí),木桿的底端B也隨之沿著射

2、線OM方向滑動.下列圖中用虛線畫出木桿中點(diǎn)P隨之下落的路線,其中正確的是 ( ) 圖K20-2 4.[2016·連云港]如圖K20-3①,分別以直角三角形三邊為邊向外作等邊三角形,面積分別為S1,S2,S3;如圖②,分別以直角三角形三個頂點(diǎn)為圓心,三邊長為半徑向外作圓心角相等的扇形,面積分別為S4,S5,S6.其中S1=16,S2=45,S5=11,S6=14,則S3+S4= ( ) 圖K20-3 A.86 B.64 C.54 D.48 5.[2017·十堰]如圖K20-4,已知圓柱的底面直徑BC=6π,高AB=3,小

3、蟲在圓柱表面爬行,從C點(diǎn)爬到A點(diǎn),然后再沿另一面爬回C點(diǎn),則小蟲爬行的最短路程為 (　　) 圖K20-4 A.32 B.35 C.65 D.62 6.數(shù)學(xué)文化[2019·大慶] 我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股方圓圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖K20-5所示).如果大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,那么(a-b)2的值是　　　　.? 圖K20-5 7.[2019·宜賓] 如圖K20-6,已知直角三角形ABC中,CD是斜邊AB上的高,AC=4,BC=3,則AD=　　　　.? 圖K2

4、0-6 8.[2019·安順] 如圖K20-7,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,點(diǎn)D為斜邊BC上的一個動點(diǎn),過D分別作DM⊥AB于點(diǎn)M,作DN⊥AC于點(diǎn)N,連接MN,則線段MN的最小值為　　　　.? 圖K20-7 9.數(shù)學(xué)文化[2017·麗水]我國三國時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理,繪制了一幅“弦圖”,后人稱其為“趙爽弦圖”,如圖K20-8①所示.在圖②中,若正方形ABCD的邊長為14,正方形IJKL的邊長為2,且IJ∥AB,則正方形EFGH的邊長為　　　　.? 圖K20-8 10.如圖K20-9,折疊矩形紙片ABCD,得折痕BD,再折疊使AD邊與對角

5、線BD重合,得折痕DF.若AB=4,BC=2,則AF=　　　　.? 圖K20-9 11.如圖K20-10,在△ABC中,∠ACB=120°,BC=4,D為AB的中點(diǎn),DC⊥BC,則△ABC的面積是　　　　.? 圖K20-10 12.[2019·鄂州] 如圖K20-11,已知線段AB=4,O是AB的中點(diǎn),直線l經(jīng)過點(diǎn)O,∠1=60°,P點(diǎn)是直線l上一點(diǎn),當(dāng)△APB為直角三角形時(shí),BP=　　　　.? 圖K20-11 13.[2019·巴中]如圖K20-12,等腰直角三角板如圖K20-12放置,直角頂點(diǎn)C在直線m上,分別過點(diǎn)A,B作AE⊥直線m于點(diǎn)E,BD⊥直線m于點(diǎn)D.

6、(1)求證:EC=BD; (2)若設(shè)△AEC三邊分別為a,b,c,利用此圖證明勾股定理. 圖K20-12 14.[2017·徐州]如圖K20-13,已知AC⊥BC,垂足為C,AC=4,BC=33,將線段AC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到線段AD,連接DC,DB. (1)線段DC=　　　　;? (2)求線段DB的長度. 圖K20-13 |拓展提升| 15.[2015·徐州]如圖K20-14,正方形ABCD的邊長為1,以對角線AC為邊作第二個正方形ACEF,再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH,…,如此下去,第n個正方形的邊長為　　　　.? 圖K20-

7、14 16.[2018·成都]如圖K20-15,在矩形ABCD中,按以下步驟作圖:①分別以點(diǎn)A和C為圓心,以大于12AC的長為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)M和N;②作直線MN交CD于點(diǎn)E,若DE=2,CE=3,則矩形的對角線AC的長為　　　　.? 圖K20-15 17.[2018·重慶A卷]如圖K20-16,把三角形紙片折疊,使點(diǎn)B,點(diǎn)C都與點(diǎn)A重合,折痕分別為DE,FG,得到∠AGE=30°,若AE=EG=23厘米,則△ABC的邊BC的長為　　　　厘米.? 圖K20-16 【參考答案】 1.A　[解析]說明命題“對于任何實(shí)數(shù)a,|a|>-a”是假命題的一個反例可以是a=-2

8、,|-2|=2. 故選A. 2.D　[解析]因?yàn)镃D⊥AB,所以∠ADC=∠BDC=90°,所以∠ACD=90°-∠A=25°,因?yàn)椤螦CB=90°,所以∠DCE= 90°-∠ACD=65°,因?yàn)樵赗t△CDB中,E是BC的中點(diǎn),所以EC=ED,所以∠EDC=∠DCE=65°. 3.D　[解析]如圖,連接OP,由于OP是Rt△AOB斜邊上的中線,所以O(shè)P=12AB,不管木桿如何滑動,它的長度不變,即OP是一個定值,點(diǎn)P就在以O(shè)為圓心,以O(shè)P長為半徑的一段圓弧上,所以點(diǎn)P下落的路線是一段弧線.故選D. 4.C　[解析]如圖①,S1=34AC2,S2=34AB2,S3=34BC

9、2.∵AB2=AC2+BC2,∴S1+S3=34AC2+34BC2=34AB2=S2,∴S3=S2-S1. 如圖②,易求S4=S5+S6,∴S3+S4=S2-S1+S5+S6=45-16+11+14=54. 故選C. 5.D　[解析]把圓柱側(cè)面展開,展開圖如圖所示,點(diǎn)A,C的最短距離為線段AC的長.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,∵CB為底面半圓弧長,∴CB=3,∴AC=32,∴從C點(diǎn)爬到A點(diǎn),然后再沿另一面爬回C點(diǎn),則小蟲爬行的最短路程為2AC=62. 6.1　[解析](a-b)2=a2+b2-2ab,因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e為13,所以由勾股定理可得,a2+b2=1

10、3,直角三角形面積=(13-1)÷4=3,即12ab=3,所以ab=6,所以(a-b)2=a2+b2-2ab=13-12=1. 7.165　[解析]在Rt△ABC中,AB=AC2+BC2=5,易證△ADC∽△ACB,∴ACAD=ABAC,∴AD=AC2AB=165,故答案為:165. 8.125　[解析]連接AD,∵DM⊥AB,DN⊥AC, ∴∠AMD=∠AND=90°, 又∵∠BAC=90°,∴四邊形AMDN是矩形, ∴MN=AD. ∵∠BAC=90°,AB=3,AC=4,∴BC=5, 當(dāng)AD⊥BC時(shí),AD最短, 此時(shí)△ABC的面積=12BC·AD=12AB·AC, ∴AD

11、的最小值=AB·ACBC=125, ∴線段MN的最小值為125. 9.10　[解析]設(shè)直角三角形的勾(較短的直角邊)為a,股(較長的直角邊)為b,根據(jù)題意得a+b=14,b-a=2,解得a=6,b=8,由勾股定理得直角三角形的弦(斜邊)為62+82=100=10,即正方形EFGH的邊長為10. 10.5-1　[解析]在Rt△ABD中,AB=4,AD=BC=2,∴BD=AB2+AD2=42+22=25,由折疊的性質(zhì)可得,△ADF≌△EDF,∴ED=AD=2,EF=AF,∴EB=BD-ED=25-2,設(shè)AF=x,則EF=AF=x,BF=4-x,在Rt△EBF中,x2+(25-2)2=(4-x

12、)2,解得x=5-1,即AF=5-1. 11.83　[解析]∵DC⊥BC,∴∠BCD=90°,∵∠ACB=120°,∴∠ACD=30°, 延長CD到H使DH=CD,連接AH. ∵D為AB的中點(diǎn),∴AD=BD, 在△ADH與△BDC中,DH=CD,∠ADH=∠BDC,AD=BD, ∴△ADH≌△BDC(SAS), ∴AH=BC=4,∠H=∠BCD=90°, ∵∠ACH=30°, ∴CH=3AH=43, ∴CD=23, ∴△ABC的面積=2S△BCD=2×12×4×23=83,故答案為:83. 12.2或23或27　[解析]當(dāng)∠APB=90°時(shí),∵AO=OB=2,∠1=6

13、0°, ∴BP=OP=OB=2; 當(dāng)∠PAB=90°時(shí),∵∠AOP=60°, ∴AP=OA·tan∠AOP=23, ∴BP=AB2+AP2=27; 當(dāng)∠P'BA=90°時(shí),∵∠1=60°, ∴BP'=OB·tan∠1=23. 故答案為:2或23或27. 13.證明:(1)∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°, ∴AC=BC,∠ACE+∠BCD=90°. ∵AE⊥EC,∴∠EAC+∠ACE=90°, ∴∠BCD=∠CAE. ∵BD⊥CD,∴∠AEC=∠CDB=90°, ∴△AEC≌△CDB(AAS),∴EC=BD. (2)∵△AEC≌△CDB, ∴BD=

14、EC=a,CD=AE=b,BC=AC=c, ∵S梯形AEDB=12(AE+BD)ED=12(a+b)(a+b),S梯形AEDB=12ab+12c2+12ab, ∴12(a+b)(a+b)=12ab+12c2+12ab, 整理可得a2+b2=c2,勾股定理得證. 14.解:(1)4 (2)∵AC=AD,∠CAD=60°, ∴△CAD是等邊三角形, ∴CD=AC=4,∠ACD=60°,過點(diǎn)D作DE⊥BC于E. ∵AC⊥BC,∠ACD=60°,∴∠BCD=30°. 在Rt△CDE中,CD=4,∠BCD=30°, ∴DE=12CD=2,CE=23,∴BE=3, 在Rt△DEB中,

15、由勾股定理得DB=7. 15.(2)n-1　[解析] ∵正方形ABCD的邊長為1, ∴AC=AB2+BC2=2,∴第二個正方形的邊 長為2,同理得第三個正方形的邊長AE=2=(2)2,第四個正方形的邊長AG=22=(2)3,…,因此第n個正方形的邊長為(2)n-1,故答案為(2)n-1. 16.30　[解析]連接AE,由作圖可知MN為線段AC的垂直平分線,∴AE=CE=3,在Rt△ADE中,AE2=AD2+DE2,∴AD=AE2-DE2=5, 在Rt△ADC中,AC2=AD2+CD2, ∵CD=DE+CE=5, ∴AC=(5)2+52=30. 17.(43+6)　[解析]如圖,過點(diǎn)E作EM⊥AG于點(diǎn)M,則由AE=EG,得AG=2MG. ∵∠AGE=30°, EG=23厘米, ∴EM=12EG=3(厘米). 在Rt△EMG中,由勾股定理,得 MG=(23)2-(3)2=3(厘米),從而AG=6厘米. 由折疊可知,BE=AE=23厘米,GC=AG=6厘米. ∴BC=BE+EG+GC=23+23+6=43+6(厘米). 8