2016屆高三數(shù)學(xué)人教A版一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)鞏固強(qiáng)化：第8章 第6節(jié)拋物線.doc

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第八章　第六節(jié) 一、選擇題 1．(文)(2013江西吉安模擬)若點(diǎn)P到點(diǎn)F(0,2)的距離比它到直線y＋4＝0的距離小2，則點(diǎn)P的軌跡方程為(　　) A．y2＝8x　　　　　　　 B．y2＝－8x C．x2＝8y　 D．x2＝－8y [答案]　C [解析]　由題意知點(diǎn)P到點(diǎn)F(0,2)的距離比它到直線y＋4＝0的距離小2，因此點(diǎn)P到點(diǎn)F(0,2)的距離與到直線y＋2＝0的距離相等，故點(diǎn)P的軌跡是以F為焦點(diǎn)，y＝－2為準(zhǔn)線的拋物線，∴P的軌跡方程為x2＝8y.選C． (理)(2013東北三校模擬)已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在拋物線上，且2x2＝x1＋x3，則有(　　) A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2 C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|　 D．|FP2|2＝|FP1||FP3| [答案]　C [解析]　拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－，由定義得|FP1|＝x1＋，|FP2|＝x2＋，|FP3|＝x3＋，則|FP1|＋|FP3|＝x1＋＋x3＋＝x1＋x3＋p,2|FP2|＝2x2＋p，由2x2＝x1＋x3，得2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|，故選C． 2．已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，P是拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是(　　) A．2　 B．3 C．　 D． [答案]　A [解析]　直線l2：x＝－1為拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線，由拋物線的定義知，P到l2的距離等于P到拋物線的焦點(diǎn)F(1,0)的距離，故本題化為在拋物線y2＝4x上找一個(gè)點(diǎn)P，使得P到點(diǎn)F(1,0)和直線l2的距離之和最小，最小值為F(1,0)到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離，即dmin＝＝2，故選A． [點(diǎn)評]　與拋物線有關(guān)的最值問題常見題型． (1)點(diǎn)在拋物線外，利用兩點(diǎn)間線段最短求最小值． ①已知點(diǎn)P是拋物線y2＝2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為(　　) A．　 B．3 C．　 D． [答案]　A [解析]　拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)為F(，0)，準(zhǔn)線是l，由拋物線的定義知，點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于它到準(zhǔn)線l的距離，因此要求點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值，可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離之和的最小值，結(jié)合圖形不難得知相應(yīng)的最小值就等于焦點(diǎn)F到點(diǎn)(0,2)的距離．因此所求的最小值等于＝，選A． ②(2013甘肅天水調(diào)研)已知P為拋物線y＝x2上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上的射影為M，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2,0)，則|PA|＋|PM|的最小值是________． [答案]　－1 [解析]　如圖，拋物線y＝x2，即x2＝4y的焦點(diǎn)F(0,1)，記點(diǎn)P在拋物線的準(zhǔn)線l：y＝－1上的射影為P′，根據(jù)拋物線的定義知，|PP′|＝|PF|， 則|PP′|＋|PA|＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝＝. 所以(|PA|＋|PM|)min ＝(|PA|＋|PP′|－1)min＝－1. (2)定點(diǎn)在拋物線內(nèi)，利用點(diǎn)到直線的垂線段最短求最小值． ③(2013河南洛陽、安陽統(tǒng)考)點(diǎn)P在拋物線x2＝4y的圖象上，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，點(diǎn)A(－1,3)，若使|PF|＋|PA|最小，則相應(yīng)P的坐標(biāo)為________． [答案]　(－1，) [解析]　由拋物線定義可知PF的長等于點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離，所以過點(diǎn)A作拋物線準(zhǔn)線的垂線，與拋物線的交點(diǎn)(－1，)即為所求點(diǎn)P的坐標(biāo)，此時(shí)|PF|＋|PA|最?。? ④已知拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又有點(diǎn)A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)． [分析]　拋物線上點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離d，求|PA|＋|PF|的問題可轉(zhuǎn)化為|PA|＋d的問題，運(yùn)用三點(diǎn)共線可使問題得到解決． [解析]　將x＝3代入拋物線方程y2＝2x， 得y＝，∵>2， ∴點(diǎn)A在拋物線內(nèi)部． 設(shè)拋物線上點(diǎn)P到準(zhǔn)線l：x＝－的距離為d， 由定義，知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d， 當(dāng)PA⊥l時(shí)，|PA|＋d最小，最小值為， 即|PA|＋|PF|的最小值為， 此時(shí)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，代入y2＝2x，得x＝2， 即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2)． (3)拋物線上動(dòng)點(diǎn)到定直線與拋物線準(zhǔn)線(或焦點(diǎn))距離和(或差)的最值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線距離最?。? ⑤已知P是拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l：2x－y＋3＝0和y軸的距離之和的最小值是(　　) A．　 B． C．2　 D．－1 [答案]　D [解析]　由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)．設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離為d，由拋物線的定義可知，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為|PF|－1，所以點(diǎn)P到直線l的距離與到y(tǒng)軸的距離之和為d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值為點(diǎn)F到直線l的距離，故d＋|PF|的最小值為＝，所以d＋|PF|－1的最小值為－1. (4)利用直角三角形斜邊大于直角邊求最小值． ⑥(2014陜西質(zhì)檢)已知點(diǎn)M(－3,2)是坐標(biāo)平面內(nèi)一定點(diǎn)，若拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)Q是該拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，則|MQ|－|QF|的最小值是(　　) A．　 B．3 C．　 D．2 [答案]　C [解析]　如圖，|MQ′|－|Q′F|＝|MQ′|－|Q′A′|＝|MA′|＝|NA|＝|NQ|－|AQ|≤|MQ|－|AQ|＝|MQ|－|QF|. (其中l(wèi)是拋物線的準(zhǔn)線，QA⊥l，垂足為A，Q′M⊥l垂足為A′，MN⊥QN)， ∵拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－， ∴|QM|－|QF|≥|xQ＋3|－|xQ＋|＝3－＝，選C． (5)與其他曲線有關(guān)的拋物線最值問題． ⑦(2014忻州聯(lián)考)已知P為拋物線y2＝4x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為圓x2＋(y－4)2＝1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線距離之和的最小值是________． [答案]　－1 [解析]　拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，圓x2＋(y－4)2＝1的圓心為C(0,4)，設(shè)點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線距離為d，根據(jù)拋物線的定義有d＝|PF|，∴|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|≥(|PC|－1)＋|PF|≥|CF|－1＝－1. (6)與平面向量交匯命題． ⑧已知點(diǎn)A(2,0)、B(4,0)，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線y2＝－4x上運(yùn)動(dòng)，則取得最小值時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)是______． [答案]　(0,0) [解析]　設(shè)P，則＝，＝，＝＋y2＝＋y2＋8≥8，當(dāng)且僅當(dāng)y＝0時(shí)取等號，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0)． 3．(文)(2013安徽省級示范高中聯(lián)考)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A是拋物線上的一點(diǎn)，與x軸正方向的夾角為60，則△OAF的面積為(　　) A．　 B．2 C．　 D．1 [答案]　C [解析]　由題意知，F(xiàn)(1,0)，過A作AD⊥x軸于D．令|FD|＝m，則|FA|＝2m，由拋物線的定義知|AF|＝p＋|FD|＝2＋m＝2m，即m＝2，所以|AD|＝2， S△OAF＝|OF||AD|＝12＝. (理)(2014湖北武漢調(diào)研)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若|PF|＝4，則△POF的面積為(　　) A．2　 B．2 C．2　 D．4 [答案]　C [解析]　設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則由拋物線的焦半徑公式得|PF|＝x0＋＝4，x0＝3，代入拋物線的方程，得|y0|＝2，S△POF＝|y0||OF|＝2，選C． 4．(文)(2014遼寧五校聯(lián)考)已知AB是拋物線y2＝2x的一條焦點(diǎn)弦，|AB|＝4，則AB中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是(　　) A．2　 B． C．　 D． [答案]　C [解析]　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋1 ＝4， ∴x1＋x2＝3，∴＝，即AB中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是. (理)(2014武昌模擬)直線y＝k(x－2)交拋物線y2＝8x于A，B兩點(diǎn)，若AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則弦AB的長為(　　) A．6　 B．10 C．2　 D．16 [答案]　B [解析]　將y＝k(x－2)代入y2＝8x中消去y得，k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴x1＋x2＝＝6，∴k＝2， ∴|AB|＝|x1－x2|＝＝＝10. 5．(文)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A為拋物線上一點(diǎn)，若＝－4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(　　) A．(2，2)　 B．(1，2) C．(1,2)　 D．(2,2) [答案]　B [解析]　設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0，y0)，∴y＝4x0① 又F(1,0)，∴＝(x0，y0)，＝(1－x0，－y0)， ∵＝－4，∴x0－x－y＝－4，② 解①②組成的方程組得或 [點(diǎn)評]　向量與解析幾何相結(jié)合，向量往往要化為坐標(biāo)的形式． (理)設(shè)M(x0，y0)為拋物線C：x2＝8y上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交，則y0的取值范圍是(　　) A．(0,2) 　 B．[0,2] C．(2，＋∞) 　 D．[2，＋∞) [答案]　C [解析]　設(shè)圓的半徑為r，因?yàn)镕(0,2)是圓心，拋物線C的準(zhǔn)線方程y＝－2.圓與準(zhǔn)線相切時(shí)半徑為4.若圓與準(zhǔn)線相交則r>4.又因?yàn)辄c(diǎn)M(x0，y0)為拋物線x2＝8y上一點(diǎn)，所以有x＝8y0.又點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2＋(y－2)2＝r2上．所以x＋(y0－2)2＝r2>16，所以8y0＋(y0－2)2>16，即有y＋4y0－12>0，解得y0>2或y0<－6(舍)， ∴y0>2.故選C． 6．(2013北京東城區(qū)統(tǒng)一檢測)已知拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)F與雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K，點(diǎn)A在拋物線上且|AK|＝|AF|，則△AFK的面積為(　　) A．4　　　 B．8　　　 C．16　　 D．32 [答案]　D [解析]　由題意知，拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)．作AA′垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足為A′，根據(jù)拋物線定義知|AA′|＝|AF|，所以在△AA′K中，|AK|＝|AA′|，故∠KAA′＝45，此時(shí)不妨認(rèn)為直線AK的傾斜角為45，則直線AK的方程為y＝x＋4，代入拋物線方程y2＝16x中，得y2＝16(y－4)，即y2－16y＋64＝0，解得y＝8，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,8)，故△AFK的面積為S△AFK＝|FK||yA|＝88＝32. 二、填空題 7．(2013遼寧大連一模)已知直線l與拋物線y2＝8x交于A，B兩點(diǎn)，且l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(8,8)，則線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是________． [答案]　 [解析]　由y2＝8x知2p＝8，∴p＝4，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0)． 由題設(shè)可知，直線l的斜率存在，設(shè)l的方程為y＝k(x－2)，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(8,8)，(xB，yB)． 又點(diǎn)A(8,8)在直線l上，∴8＝k(8－2)， 解得k＝. ∴直線l的方程為y＝(x－2)．① 將①代入y2＝8x，整理得2x2－17x＋8＝0， 則8＋xB＝，∴xB＝. ∴線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是 ＋＝＋2＝. [解法探究]　求得xB＝后，進(jìn)一步可得yB＝－2， ∴|AB|＝. ∴AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線距離d＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|＝. 8．(2014山東廣饒一中期末)拋物線y2＝8x的頂點(diǎn)為O，A(1,0)，過焦點(diǎn)且傾斜角為的直線l與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，則△AMN的面積是________． [答案]　4 [解析]　焦點(diǎn)F(2,0)，直線l：x＝y(tǒng)＋2，代入拋物線y2＝8x，消去x，得y2－8y－16＝0.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1＋y2＝8，y1y2＝－16.∴|y1－y2|＝＝8.故△AMN的面積S＝1|y1－y2|＝4. 9．(文)已知拋物線型拱橋的頂點(diǎn)距離水面2m時(shí)，測量水面寬為8m，當(dāng)水面上升m后，水面的寬度是________m. [答案]　4 [解析]　建立平面直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)開始時(shí)水面與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為A，由題意可知A(4，－2)，故可求得拋物線的方程為y＝－x2，設(shè)水面上升后交點(diǎn)為B，則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為－，代入拋物線方程y＝－x2可求出B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，所以水面寬為4m. (理)下圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2m，水面寬4m，水位下降1m后，水面寬________m. [答案]　2 [解析]　本題考查了拋物線方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用． 如圖建立坐標(biāo)系 設(shè)方程x2＝－2py(p>0)，由題意知點(diǎn)(2，－2)在拋物線上，可得p＝1， 則方程為x2＝－2y，當(dāng)y＝－3時(shí)，x＝， 所以水面寬2m. [點(diǎn)評]　拋物線方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用，關(guān)鍵是合理建立平面直角坐標(biāo)系，還要注意數(shù)據(jù)的實(shí)際意義． 三、解答題 10．(2013長春三校調(diào)研)在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M(2，－)，點(diǎn)F為拋物線C：y＝mx2(m>0)的焦點(diǎn)，線段MF恰被拋物線C平分． (1)求m的值； (2)過點(diǎn)M作直線l交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，設(shè)直線FA、FM、FB的斜率分別為k1、k2、k3，問k1、k2、k3能否成公差不為零的等差數(shù)列？若能，求直線l的方程；若不能，請說明理由． [解析]　(1)由題得拋物線C的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0，)，線段MF的中點(diǎn)N(1，－)在拋物線C上， ∴－＝m,8m2＋2m－1＝0，∴m＝(m＝－舍去)． (2)由(1)知拋物線C：x2＝4y，F(xiàn)(0,1)． 設(shè)直線l的方程為y＋＝k(x－2)，A(x1，y1)、B(x2，y2)， 由得x2－4kx＋8k＋2＝0， Δ＝16k2－4(8k＋2)>0，∴k<或k>. 假設(shè)k1、k2、k3能成公差不為零的等差數(shù)列，則k1＋k3＝2k2. 而k1＋k3＝＋＝ ＝＝ ＝＝， k2＝－，∴＝－，8k2＋10k＋3＝0， 解得k＝－(符合題意)或k＝－(不合題意，舍去)． ∴直線l的方程為y＋＝－(x－2)，即x＋2y－1＝0. ∴k1、k2、k3能成公差不為零的等差數(shù)列，此時(shí)直線l的方程為x＋2y－1＝0. 一、選擇題 11．(文)若拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)是F，準(zhǔn)線是l，則經(jīng)過點(diǎn)F、M(4,4)且與l相切的圓共有(　　) A．0個(gè)　 B．1個(gè) C．2個(gè)　 D．3個(gè) [答案]　C [解析]　經(jīng)過F、M的圓的圓心在線段FM的垂直平分線上，設(shè)圓心為C，則|CF|＝|CM|，又圓C與l相切，所以C到l距離等于|CF|，從而C在拋物線y2＝4x上． 故圓心為FM的垂直平分線與拋物線的交點(diǎn)，顯然有兩個(gè)交點(diǎn)，所以共有兩個(gè)圓． (理)(2013烏魯木齊第一次診斷)設(shè)平面區(qū)域D是由雙曲線y2－＝1的兩條漸近線和拋物線y2＝－8x的準(zhǔn)線所圍成的三角形(含邊界與內(nèi)部)．若點(diǎn)(x，y)∈D，則x＋y的最小值為(　　) A．－1　　 B．0　　　 C．1　　　 D．3 [答案]　B [解析]　由題意知，雙曲線的漸近線方程為y＝x，拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝2，設(shè)z＝x＋y，得y＝－x＋z，平移直線y＝－x過點(diǎn)O(0,0)時(shí)，直線y＝－x＋z的縱截距最小，故zmin＝0. 12．(2014山東淄博一模)過拋物線y2＝4x焦點(diǎn)F的直線交其于A，B兩點(diǎn)，A在第一象限，B在第四象限，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|AF|＝3，則△AOB的面積為(　　) A．　 B． C．　 D．2 [答案]　C [解析]　設(shè)A(x0，y0)，由|AF|＝1＋x0＝3，得x0＝2，∴A(2,2)，直線AB的方程為y＝2(x－1)，與y2＝4x聯(lián)立，解得B(，－)．∴S△AOB＝1|2－(－)|＝. 13．(2014課標(biāo)全國Ⅱ理)設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為(　　) A．　 B． C．　 D． [答案]　D [解析]　由已知得F(，0)，故直線AB的方程為y＝tan30(x－)，即y＝x－. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 聯(lián)立 將①代入②并整理得x2－x＋＝0， ∴x1＋x2＝， ∴線段|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12. 又原點(diǎn)(0,0)到直線AB的距離為d＝＝. ∴S△OAB＝|AB|d＝12＝. 14．(2014課標(biāo)全國Ⅰ理)已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若＝4，則|QF|＝(　　) A．　 B． C．3　 D．2 [答案]　C [解析]　拋物線的焦點(diǎn)是F(2,0)，過點(diǎn)Q作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足是A，則|QA|＝|QF|，拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為G，因?yàn)椋?，∴＝，由于△QAP∽△FGP，所以可得＝＝，所以|QA|＝3，所以|QF|＝3. 二、填空題 15．已知拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)M(1，m)(m>0)到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線－y2＝1的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實(shí)數(shù)a的值是________． [答案]　 [解析]　根據(jù)拋物線定義可得，拋物線準(zhǔn)線方程為x＝－4，則拋物線方程為y2＝16x. 把M(1，m)代入y2＝16x得m＝4，即M(1,4)． 在雙曲線－y2＝1中，A(－，0)，則 kAM＝＝.解得a＝. 16．(文)(2013遼寧五校聯(lián)考)設(shè)拋物線x2＝12y的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)P(2,1)的直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，又知點(diǎn)P恰為AB的中點(diǎn)，則|AF|＋|BF|＝________. [答案]　8 [解析]　分別過點(diǎn)A，B，P作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為M，N，Q，根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，得|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝2|PQ|＝8. (理)(2014湖南理)如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a、b(a0)經(jīng)過C、F兩點(diǎn)，則＝________. [答案]　＋1 [解析]　由題可得C(，－a)，F(xiàn)(＋b，b)， ∵C、F在拋物線y2＝2px上，∴ ∴b2－2ab－a2＝0， ∴＝＋1，故填＋1. 三、解答題 17．(2014開封摸底考試)已知圓(x－a)2＋(y＋1－r)2＝r2(r>0)過點(diǎn)F(0,1)，圓心M的軌跡為C． (1)求軌跡C的方程； (2)設(shè)P為直線l：x－y－2＝0上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作曲線C的兩條切線PA，PB，當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)為直線l上的定點(diǎn)時(shí)，求直線AB的方程； (3)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí)，求|AF||BF|的最小值． [解析]　(1)依題意，由圓過定點(diǎn)F可知C的方程為x2＝4y. (2)拋物線C的方程為y＝x2，求導(dǎo)得y′＝x. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中y1＝，y2＝)，則切線PA，PB的斜率分別為x1，x2， 所以切線PA的方程為y－y1＝(x－x1)， 即x1x－2y－2y1＝0. 同理可得切線PB的方程為x2x－2y－2y2＝0. 因?yàn)榍芯€PA，PB均過點(diǎn)P(x0，y0)，所以x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0， 所以(x1，y1)，(x2，y2)為方程x0x－2y0－2y＝0的兩組解． 所以直線AB的方程為x0x－2y－2y0＝0. (3)由拋物線定義可知|AF|＝y(tǒng)1＋1，|BF|＝y(tǒng)2＋1， 所以|AF||BF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝y(tǒng)1y2＋(y1＋y2)＋1， 聯(lián)立方程，消去x整理得y2＋(2y0－x)y＋y＝0， 由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得y1＋y2＝x－2y0，y1y2＝y(tǒng)， 所以|AF||BF|＝y(tǒng)1y2＋(y1＋y2)＋1＝y(tǒng)＋x－2y0＋1. 又點(diǎn)P(x0，y0)在直線l上，所以x0＝y(tǒng)0＋2， 所以y＋x－2y0＋1＝2y＋2y0＋5＝2(y0＋)2＋， 所以當(dāng)y0＝－時(shí)，|AF||BF|取得最小值，且最小值為. 18．(文)若橢圓C1：＋＝1(00)的焦點(diǎn)在橢圓C1的頂點(diǎn)上． (1)求拋物線C2的方程； (2)若過M(－1,0)的直線l與拋物線C2交于E、F兩點(diǎn)，又過E、F作拋物線C2的切線l1、l2，當(dāng)l1⊥l2時(shí)，求直線l的方程． [解析]　(1)已知橢圓的長半軸長為a＝2，半焦距c＝， 由離心率e＝＝＝得，b2＝1. ∴橢圓的上頂點(diǎn)為(0,1)，即拋物線的焦點(diǎn)為(0,1)， ∴p＝2，拋物線的方程為x2＝4y. (2)由題知直線l的斜率存在且不為零，則可設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋1)，E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)， ∵y＝x2，∴y′＝x， ∴切線l1、l2的斜率分別為x1、x2， 當(dāng)l1⊥l2時(shí)，x1x2＝－1，即x1x2＝－4， 由得x2－4kx－4k＝0， 由Δ＝(－4k)2－4(－4k)>0，解得k<－1或k>0. 又x1x2＝－4k＝－4，得k＝1. ∴直線l的方程為y＝x＋1. (理)已知點(diǎn)C(1,0)，點(diǎn)A、B是⊙O：x2＋y2＝9上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，且滿足＝0，設(shè)P為弦AB的中點(diǎn)． (1)求點(diǎn)P的軌跡T的方程； (2)試探究在軌跡T上是否存在這樣的點(diǎn)：它到直線x＝－1的距離恰好等于到點(diǎn)C的距離？若存在，求出這樣的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由． [解析]　(1)法一：連接CP，由＝0知，AC⊥BC，∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|， 由垂徑定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，即|OP|2＋|CP|2＝9， 設(shè)點(diǎn)P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9， 化簡得，x2－x＋y2＝4. 法二：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)， 根據(jù)題意知，x＋y＝9，x＋y＝9,2x＝x1＋x2,2y＝y(tǒng)1＋y2， ∴4x2＝x＋2x1x2＋x，4y2＝y(tǒng)＋2y1y2＋y， 故4x2＋4y2＝(x＋y)＋(2x1x2＋2y1y2)＋(x＋y)＝18＋2(x1x2＋y1y2)，① 又∵＝0，∴(1－x1，－y1)(1－x2，－y2)＝0， ∴(1－x1)(1－x2)＋y1y2＝0，故x1x2＋y1y2＝(x1＋x2)－1＝2x－1， 代入①式得，4x2＋4y2＝18＋2(2x－1)， 化簡得，x2－x＋y2＝4. (2)根據(jù)拋物線的定義，到直線x＝－1的距離等于到點(diǎn)C(1,0)的距離的點(diǎn)都在拋物線y2＝2px上，其中＝1，∴p＝2，故拋物線方程為y2＝4x， 由方程組得，x2＋3x－4＝0， 解得x1＝1，x2＝－4， 由于x≥0，故取x＝1，此時(shí)y＝2， 故滿足條件的點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為(1，－2)和(1,2)．