2021-2022年二年級數(shù)學 奧數(shù)講座 逆序推理法

2021-2022年二年級數(shù)學 奧數(shù)講座 逆序推理法逆序推理法，也叫逆推法或倒推法。簡單說，就是調(diào)過頭來往回想。例1 老師心中想了一個數(shù)，對他的學生說：“給這個數(shù)加上9，再取和的一半應是5?！彼袑W生們把這個數(shù)算出來。你會算嗎？解：用逆推法求解，就是這樣想：因為老師想的數(shù)加上9后之和的一半是5，那么和就應是 5×2=10；再往前逆推，在沒有加上9之前應是10-9=1，這就是老師心中想的數(shù)。讓我們再從另一種思路去想：首先，把老師想的數(shù)用代表，順著題意列式應有：（+9）÷2=5，我們可以叫它做順序式。然后，再把前面的逆推過程寫成算式，就應有：5×2-9=1，“1”就是方框所代表的數(shù)，所以把它寫在方框里。我們可以把這個算式叫做逆序式。把兩式進行對照比較（如下圖如示）可見：順序的運算結(jié)果（或最后結(jié)論）是逆序式的已知數(shù)據(jù)（或起始條件）；順序式中除以2變?yōu)槟嫘蚴街谐艘?；順序式中加上9變?yōu)槟嫘蚴街袦p去9；順序式中起始未知數(shù)變?yōu)槟嫘蚴街凶詈筮\算結(jié)果；總之，逆序式恰為順序式的逆運算。這就是逆推法的由來和實質(zhì)。例2 某數(shù)加上6，乘以6，減去6，除以6，最后結(jié)果等于6。問這個數(shù)是幾？解：依題意，寫出順序式，再接著寫出逆序式，（某數(shù)+6）×6-6÷6=6順序式（6×6+6）÷6-6=某數(shù)逆序式經(jīng)計算可知“某數(shù)”=1。例3 小勇拿了媽媽給的零花錢去買東西。他先用這些錢的一半買了玩具，之后又買了1元5角錢的小人書，最后還剩下3角錢。你知道媽媽給小勇多少錢嗎？解：可以這樣倒著想：小勇最后剩下3角錢，在買書之前的錢應是3角+1元5角=1元8角。這個數(shù)目是他買玩具后剩下的，買玩具前的錢數(shù)應當是：1元8角×2=3元6角。這就是媽媽給他的錢數(shù)。若畫出下面的圖就更清楚了。例4 小亮拿著1包糖，遇見好朋友A，分給了他一半；過一會又遇見好朋友B，把剩下的糖的一半分給了他；后來又遇到了好朋友C，把這時手中所剩下的糖的一半又分給了C，這時他自己手里只有一塊了。問在沒有分給A以前，小亮那包糖有幾塊？解：采用逆推法-從最后結(jié)果往前倒著推算。小亮最后手里只剩下一塊糖，這是分給C一半后所剩的數(shù)，則知遇見C之前小亮有糖：1×2=2（塊）。同理，遇到B之前有糖：2×2=4（塊）。遇到A之前有糖：4×2=8（塊）。即小亮未給小朋友前，那包糖應有8塊。例5 農(nóng)婦賣蛋，第一次賣掉籃中的一半又1個，第二次又賣掉剩下的一半又1個，這時籃中還剩1個。問原來籃中有蛋幾個？解：逆推：籃中最后（即第二次賣后）剩1個；第二次賣前籃中有（1+1）×2=4個；第一次賣前籃中有（4+1）×2=10個；即籃中有10個蛋。例6 某池中的睡蓮所遮蓋的面積，每天擴大1倍，20天恰好遮住整個水池，問若只遮住水池的一半需要多少天？解：倒著想。若是今天睡蓮把整個池面遮滿了，那么昨天睡蓮只遮住了水面的一半。今天是第20天，昨天就是第19天，也就是說睡蓮遮住一半池面需19天。例7 文化用品店新到一批日記本，上一周售出本數(shù)比總數(shù)的一半少12本；這一周售出的本數(shù)比所剩的一半多12本；結(jié)果還有19本。問這批日記本有多少？解：由圖上可見本周未售出時的一半是：19+12=31（本）；本周未售出時的總數(shù)是：31×2=62（本）；總數(shù)的一半是：62-12=50（本）；總本數(shù)是：50×2=100（本）。列出綜合算式：（19+12）×2-12×2=100（本）。答：這批日記本共有100本。例8 現(xiàn)有一堆棋子，把它分成三等份后還剩一顆；取出其中的兩份又分成三等份后還剩一顆；再取出其中的兩份再分成三等份后還剩一顆。問原來至少有多少顆棋子？解：題中有“至少”這一條。用逆推法從最后的最少棋子情況逆推。先畫線段圖依次表示分棋子的過程，見下圖：假設(shè)第三次分時，三等份中每分是1個棋子（最少），則此次分前應是3+1=4個；4÷2=2，則第二次分前應是2×3+1=7個，注意7是奇數(shù)（第二次分前的棋子是第一次分后的兩份，應是偶數(shù)所以不應是7，可見前面假設(shè)不對）。再假設(shè)第三次分時每等份是2個棋子，也不行。又假設(shè)第三次分時每等份是3個棋子，則有3×3+1=10；10÷2=5，5×3+1=16；16÷2=8，8×3+1=25；原來有棋子至少是25個。附送：2021-2022年二年級數(shù)學 奧數(shù)講座 速算與巧算1利用上一講得到的乘法運算定律和等差數(shù)列求和公式，可以使計算變得巧妙而迅速。例1 2×4×5×25×54=（2×5）×（4×25）×54 （利用了交換律和結(jié)合律）=10×100×54 =54000例2 54×125×16×8×625=54×（125×8）×（625×16） （利用了交換律和結(jié)合律）=54×1000×10000 =540000000例3 5×64×25×125 將64分解為2、4、8的連乘積是關(guān)鍵一步。=5×（2×4×8）×25×125 =（5×2）×（4×25）×（8×125） =10×100×1000=1000000例5 37×48×625=37×（3×16）×625 注意37×3=111=（37×3）×（16×625）=111×10000=1110000例6 27×25+13×25 逆用乘法分配律，這樣做叫提公因數(shù)=（27+13）×25 =40×25=1000例7 123×23+123+123×76 注意123=123×1；再提公因數(shù)123=123×23+123×1+123×76 =123×（23×1+76）=123×100=12300例8 81+991×9 把81改寫（叫分解因數(shù)）為9×9是為了下一步提出公因數(shù)9=9×9+991×9=（9+991）×9 =1000×9=9000例9 111×99=111×（100-1）=111×100-111=11100-111=10989例10 23×57-48×23+23=23×（57-48+1）=23×10=230例11 求1+2+3+24+25的和。解：此題是求自然數(shù)列前25項的和。方法1：利用上一講得出的公式和=（首項+末項）×項數(shù)÷21+2+3+24+25=（1+25）×25÷2=26×25÷2=325方法2：把兩個和式頭尾相加（注意此法多么巧妙?。┫胍幌耄@種頭尾相加的巧妙求和方法和前面的“拼補法”有聯(lián)系嗎？例12 求8+16+24+32+792+800的和。解：可先提公因數(shù)8+16+24+32+792+800=8×（1+2+3+4+99+100）=8×（1+100）×100÷2=8×5050=40400例13 某劇院有25排座位，后一排都比前一排多2個座位，最后一排有70個座位，問這個劇院一共有多少個座位？解：由題意可知，若把劇院座位數(shù)按第1排、第2排、第3排、第25排的順序?qū)懗鰜?，必是一個等差數(shù)列。那么第1排有多少個座位呢？因為：第2排比第1排多2個座位，2=2×1第3排就比第1排多4個座位，4=2×2第4排就比第1排多6個座位，6=2×3這樣，第25排就比第1排多48個座位，48=2×24。所以第1排的座位數(shù)是：70-48=22。再按等差數(shù)列求和公式計算劇院的總座位數(shù)：和=（22+70）×25÷2=92×25÷2=1150。