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1、第二知識塊 函數(shù)的概念與根本初等函數(shù)I、導數(shù)及其應用
第1課時 函數(shù)的概念和圖象、函數(shù)的表示方法、映射的概念
一、填空題
1．(2022·湖北武漢二中高三期中)函數(shù)f(x)＝＋lg(3x＋1)的定義域是________．
解析：要使函數(shù)有意義，必須且只須解得－a，那么實數(shù)a的取值范圍是________．
解析：易知f(a)>a?
2、或解之即得不等式的解集為(－∞，－1)．
答案：(－∞，－1)
4．(蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高三教學情況調(diào)查(一))某市出租車收費標準如下：起步價為8
元，起步里程為3 km(不超過3 km按起步價付費)；超過3 km但不超過8 km時，超過
局部按每千米2.15元收費；超過8 km時，超過局部按每千米2.85元收費，另每次乘
坐需付燃油附加費1元．現(xiàn)某人乘坐一次出租車付費22.6元，那么此次出租車行駛了
________ km.
解析：設乘客每次乘坐需付費用為f(x)元，由題意可得：
令f(x)＝22.6，解得x＝9.,
答案：9
5.函數(shù)f ：x {1,2,
3、3}→{1,2,3}滿足f[f(x)]＝f(x)，那么這樣的函數(shù)共有________個．
解析：從{1,2,3}到{1,2,3}的所有函數(shù)中，所有“三對一〞的共3個，滿足f [f(x)]＝
f(x)；,“二對一，一對一〞滿足條件f [f(x)]＝f (x)的共有＝6(個)；“一對一〞滿足
條件f[f(x)]＝f(x)的只有一個．由分類計數(shù)原理知，滿足f[f(x)]
＝f(x)的函數(shù)共10個．
答案：10
6.(2022·連云港模擬)對于函數(shù)f(x)，在使f(x)≥M恒成
立的所有常數(shù)M中，我們把M中的最大值稱為函數(shù)f(x)的“下確界〞，那么函數(shù)f(x)＝
的
4、下確界為________．
答案：
7．(2022·甘肅會寧四中高三期中)定義在區(qū)間(－1,1)上的函數(shù)f(x)滿足2f(x)－f(－x)＝
lg(x＋1)，那么f(x)的解析式為________．
解析：∵對任意的x∈(－1,1)有－x∈(－1,1)，
由2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)①
得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)②
①×2＋②消去f(－x)，得3f(x)＝2lg(x＋1)＋lg(－x＋1)
∴f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)(－1＜x＜1)．
答案：f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)(－1＜x＜1)
二、解答題
8
5、．(經(jīng)典題)求以下函數(shù)的定義域．
(1)y＝ln(＋)；(2)y＝＋lgcos x.
解：依據(jù)真數(shù)大于零，分母非零，偶次被開方因式非負進行求解．
(1)
∴函數(shù)定義域為[－4,0)∪(0,1)．
(2)由得.
借助于數(shù)軸，解這個不等式組，得函數(shù)的定義域為∪∪.
9．假設函數(shù)f(x)的值域為，求函數(shù)F(x)＝f(x)＋的值域．
解：令f(x)＝t，t∈，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y＝t＋在的值域．又y′＝1－＝
，當t∈，y′≤0，y＝t＋為減函數(shù)，當t∈[1,3]，y′≥0，y＝t＋在[1,3]
上為增函數(shù)，
故t＝1時ymin＝2，t＝3時y＝為最大．∴y＝t
6、＋，t∈的值域為.
10．(2022·山東青島質(zhì)檢題)函數(shù)f(x)的定義域為x∈，求g(x)＝f(ax)＋f
(a＞0)的定義域．
解：設u1＝ax，u2＝，那么g(x)＝f(u1)＋f(u2)，且u1、u2∈.
∴，?
(1) 當a≥1時，不等式組的解為－≤x≤；(2)當0＜a＜1時，不等式組的解為
－≤x≤.
∴當a≥1時，g(x)的定義域為；當0＜a＜1時，g(x)的定義域為.
1．求以下函數(shù)的值域．
(1)y＝；(2)y＝＋.
解：(1)觀察函數(shù)式，可用判別式法將的函數(shù)式變形為yx2＋2yx＋3y＝2x2＋4x－7，
(y－2)x2＋2(y
7、－2)x＋3y＋7＝0.
顯然y≠2(用判別式之前，首先必須討論x2的系數(shù))．將上式視作關(guān)于x的一元二次方
程．
∵x∈R，即上述關(guān)于x的一元二次方程有實根，∴[2(y－2)]2－4(y－2)(3y＋7)≥0.
解這個不等式得－≤y≤2.又y≠2，∴函數(shù)的值域為.
(2)∵y2＝2＋2，∴2≤y2≤2＋1＋x＋1－x＝4，故≤y≤2.
即函數(shù)的值域為[，2]．
2．函數(shù)f(x)＝ .
(1)假設f(x)的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)假設f(x)的定義域為[－2，－1]，求實數(shù)a的取值范圍．
解：(1)①假設1－a2＝0，即a＝±1，(ⅰ)當a＝1時，f(x)＝，定義域為R，符合；
(ⅱ)當a＝－1時，f(x)＝，定義域不為R，不合題意．
②假設1－a2≠0，g(x)＝(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6為二次函數(shù)，
∵f(x)的定義域為R，∴g(x)≥0對x∈R恒成立，
∴??－≤a＜1，
綜合①②得a的取值范圍是.
(2)命題等價于不等式(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6≥0的解集為[－2,1]，顯然1－a2≠0，
∴1－a2<0且x1＝－2，x2＝1是方程(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6＝0的兩根，
∴?解得a＝2.
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