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1、第11章 三角形
一．選擇題
1．如圖所示的圖形中，三角形共有（ ）
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
2．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝30°，∠DAC＝45°，則∠B的度數(shù)為（ ?。?
A．60° B．65° C．70° D．75°
3．如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°．AD是角平分線，則∠ADC的度數(shù)為（ ?。?
A．25° B．50° C．65° D．70°
4．如圖，∠ABC和∠ACB的外角平分線相交于點D，設∠BDC＝α，那么∠A等于（ ?。?
A．90°﹣α B．90°﹣α C．180°﹣α D．180°﹣2α
5．
2、如圖，BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，則∠A+∠P＝（ ?。?
A．70° B．80° C．90° D．100°
6．如果三角形的兩邊長分別為7和9．那么第三邊的長可能是下列數(shù)據(jù)中的（ ?。?
A．2 B．13 C．16 D．18
7．一個正多邊形的外角等于36°，則這個正多邊形的內(nèi)角和是（ ?。?
A．1440° B．1080° C．900° D．720°
8．已知三角形三邊長分別為3，x，5，若x為正整數(shù)，則這樣的三角形個數(shù)為（ ?。?
A．2 B．3 C．5 D．7
9．如圖，在△ABC中，∠A＝50°，
3、∠1＝30°，∠2＝40°，∠D的度數(shù)是（ ?。?
A．110° B．120° C．130° D．140°
10．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20°，則∠B＝（ ?。?
A．45° B．60° C．50° D．55°
二．填空題
11．用火柴棒搭三角形時，大家都知道，3根火柴棒只能搭成1種三角形，不妨記作它的邊長分別為1，1，1；4根火柴棒不能搭成三角形；5根火柴棒只能搭成一種三角形，其邊長分別為2，2，1；6根火柴棒只能搭成一種三角形，其邊長分別為2，2，2；7根火柴棒只能搭成2種三角形，其邊長分別為3，3，1和3，2，2；…
4、；那么30根火柴棒能搭成三角形個數(shù)是 ．
12．如圖所示，∠ACD是△BC的外角，∠A＝45°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于點E．∠E＝ ?。?
13．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，點D在AB邊上，連接CD，若△ACD為直角三角形，則∠BCD的度數(shù)為 ?。?
14．某數(shù)學學習小組發(fā)現(xiàn)：通過連多邊形的對角線，可以把多邊形內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和問題．如果從某個多邊形的一個頂點出發(fā)的對角線共有3條，那么該多邊形的內(nèi)角和是 度．
15．三角形中，如果有一個內(nèi)角是另外一個內(nèi)角的3倍，我們把這個三角形叫做“三倍角三角形”．在一個
5、“三倍角三角形”中有一個內(nèi)角為60°，則另外兩個角分別為 ?。?
三．解答題
16．如圖所示，BD是△ABC的中線，AD＝2，AB+BC＝5，求△ABC的周長．
17．如圖，已知在△ABC中，CE是外角∠ACD的平分線，BE是∠ABC的平分線．
（1）求證：∠A＝2∠E，以下是小明的證明過程，請在括號里填寫理由．
證明：∵∠ACD是△ABC的一個外角，∠2是△BCE的一個外角，（已知）
∴∠ACD＝∠ABC+∠A，∠2＝∠1+∠E（ ?。?
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∠E＝∠2﹣∠1（等式的性質(zhì)）
∵CE是外角∠ACD的平分線，BE是∠ABC的平分線（已知）
∴
6、∠ACD＝2∠2，∠ABC＝2∠1（ ?。?
∴∠A＝2∠2﹣2∠1（ ）
＝2（∠2﹣∠1）（ ?。?
＝2∠E（等量代換）
（2）如果∠A＝∠ABC，求證：CE∥AB．
18．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一點，且∠ACD＝∠B，求證：CD⊥AB．
19．一個多邊形的內(nèi)角和加上它的外角和等于900°，求此多邊形的邊數(shù)．
20．在銳角△ABC中，點D是∠ABC、∠ACB的平分線的交點．
（1）如圖1，點E是△ABC外角∠MBC、∠NCB的三等分線的交點，且∠EBC＝∠MBC，∠ECB＝∠NCB，若∠BAC＝60°，則∠BDC＝
7、 °，∠BEC＝ °；
（2）如圖2，銳角△ABC的外角∠ACG的平分線與BD的延長線交于點F，在△DCF中，如果有一個角是另一個角的4倍，試求出∠BAC的度數(shù)．
參考答案
一．選擇題
1． C．
2． A．
3．C．
4． D．
5． C．
6． B．
7． A．
8． C．
9． B．
10． C．
二．填空題
11． 19個．
12． 22.5°
13．40°或10°．
14． 720．
15． 100°，20°或90°，30°．
三．解答題
16．解：因為BD是△ABC的中線，
所以點D是AC的中點，
所以AC＝2AD
8、＝4，
所以△ABC的周長為AB+BC+AC＝5+4＝9．
17．解：（1）∵∠ACD是△ABC的一個外角，∠2是△BCE的一個外角，（已知），
∴∠ACD＝∠ABC+∠A，∠2＝∠1+∠E（三角形外角的性質(zhì)），
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∠E＝∠2﹣∠1（等式的性質(zhì)），
∵CE是外角∠ACD的平分線，BE是∠ABC的平分線（已知），
∴∠ACD＝2∠2，∠ABC＝2∠1（角平分線的性質(zhì) ），
∴∠A＝2∠2﹣2∠1（ 等量代換），
＝2（∠2﹣∠1）（提取公因數(shù)），
＝2∠E（等量代換）；
（2）由（1）可知：∠A＝2∠E
∵∠A＝∠ABC，∠ABC＝2∠ABE，
9、∴2∠E＝2∠ABE，
即∠E＝∠ABE，
∴AB∥CE．
18．證明：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠ACD＝∠B，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴CD⊥AB．
19．解：設這個多邊形的邊數(shù)是n，
則（n﹣2）?180°+360°＝900°，
解得n＝5．
故此多邊形的邊數(shù)為5．
20．解：（1）∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
又∵點D是∠ABC、∠ACB的平分線的交點，
∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，
∴△BCD中，∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣（∠ABC
10、+∠ACB）＝180°﹣60°＝120°；
∵∠EBC＝∠MBC，∠ECB＝∠NCB，
∴∠EBC+∠ECB＝（∠MBC+∠NCB）＝（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）＝（360°﹣120°）＝80°，
∴△BCE中，∠E＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣80°＝100°；
故答案為：120，100；
（2）由（1）可得，∠BDC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，
∴∠FDC＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A，
∵∠FCG是△BCF的外角，∠ACG是△ABC的外角，
∴∠F＝∠FCG﹣∠FBC，∠A＝
11、∠ACG﹣∠ABC，
又∵BF平分∠ABC，F(xiàn)C平分∠ACG，
∴∠FBC＝∠ABC，∠FCG＝∠ACG，
∴∠F＝∠FCG﹣∠FBC＝∠ACG﹣∠ABC＝（∠ACG﹣∠ABC）＝∠A，
∵DC平分∠ACB，F(xiàn)C平分∠ACG，
∴∠DCF＝∠ACD+∠ACF＝∠BCG＝90°，
在△DCF中，如果有一個角是另一個角的4倍，則
①當∠FDC＝4∠F時，90°﹣∠A＝4×∠A，
解得∠A＝36°；
②當∠F＝4∠FDC時，∠A＝4×（90°﹣∠A），
解得∠A＝144°；
③當∠DCF＝4∠FDC時，90°＝4×（90°﹣∠A），
解得∠A＝135°；
④當∠DCF＝4∠F時，90°＝4×∠A，
解得∠A＝45°；
綜上所述，銳角△ABC中∠BAC的度數(shù)為36°或45°．
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