浙江省紹興縣楊汛橋鎮(zhèn)八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 專題提升三 以特殊平行四邊形為背景的計(jì)算與證明試題 (新版)浙教版

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1、 專題提升三 以特殊平行四邊形為背景的計(jì)算與證明 類型一 特殊平行四邊形的閱讀理解問題 1. 閱讀下列材料: 我們定義:若一個(gè)四邊形的一條對(duì)角線把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形,則稱這條對(duì)角線叫這個(gè)四邊形的和諧線,這個(gè)四邊形叫做和諧四邊形.如正方形就是和諧四邊形. 結(jié)合閱讀材料,完成下列問題: (1)下列哪個(gè)四邊形一定是和諧四邊形( ) A. 平行四邊形 B. 矩形 C. 菱形 D. 以上答案都不對(duì) (2)如圖,等腰Rt△ABD中,∠BAD=90°. 若點(diǎn)C為平面上一點(diǎn),AC為凸四邊形ABCD的和諧線,且AB=BC

2、,請(qǐng)直接寫出∠ABC的度數(shù). 2. 一張長(zhǎng)方形紙片,剪下一個(gè)正方形,剩下一個(gè)長(zhǎng)方形,稱為第一次操作;在剩下的矩形紙片中再剪下一個(gè)正方形,剩下一個(gè)矩形,稱為第二次操作;若在第n次操作后,剩下的矩形為正方形,則稱原矩形為n階奇異矩形. 如圖1,矩形ABCD中,若AB=2,BC=6,則稱矩形ABCD為2階奇異矩形. (1)判斷與操作:如圖2,矩形ABCD長(zhǎng)為5,寬為2,它是奇異矩形嗎?如果是,請(qǐng)寫出它是幾階奇異矩形,并在圖中畫出裁剪線;如果不是,請(qǐng)說明理由; (2)探究與計(jì)算:已知矩形ABCD的一邊長(zhǎng)為20,另一邊長(zhǎng)為a(a<20),且它是3階奇異矩形,請(qǐng)畫出矩形ABCD及

3、裁剪線的示意圖,并在圖的下方寫出a的值. 3. 如圖,△ABC中,已知∠BAC=45°,AD⊥BC于D,BD=2,DC=3,求AD的長(zhǎng). 小萍同學(xué)靈活運(yùn)用軸對(duì)稱知識(shí),將圖形進(jìn)行翻折變換,巧妙地解答了此題. 請(qǐng)按照小萍的思路,探究并解答下列問題: (1)分別以AB、AC為對(duì)稱軸,畫出△ABD、△ACD的軸對(duì)稱圖形,D點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為E、F,延長(zhǎng)EB、FC相交于G點(diǎn),求證:四邊形AEGF是正方形; (2)設(shè)AD=x,建立關(guān)于x的方程模型,求出x的值. 類型二 特殊平行四邊形的探究性問題 4. 如圖,△ABC中,點(diǎn)O為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

4、過點(diǎn)O作直線MN∥BC,設(shè)MN交∠BCA的外角平分線CF于點(diǎn)F,交∠ACB內(nèi)角平分線CE于點(diǎn)E. (1)求證:EO=FO; (2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),四邊形AECF是矩形?并證明你的結(jié)論; (3)若AC邊上存在點(diǎn)O,使四邊形AECF是正方形,猜想△ABC的形狀并證明你的結(jié)論. 5. 翻閱第四章同步,我們?cè)鲞^以下題目: 在此基礎(chǔ)上,思考并解答以下新問題: (1)當(dāng)∠BAC=60°時(shí),四邊形ADEF是平行四邊形嗎?請(qǐng)說明理由; (2)當(dāng)△ABC滿足什么條件,四邊形ADEF是菱形?請(qǐng)說明理由; (3)當(dāng)△ABC滿足什么條件,四邊形ADEF是矩形?請(qǐng)說明理由; (4

5、)當(dāng)△ABC滿足什么條件,四邊形ADEF是正方形?請(qǐng)說明理由. 6. 如圖,正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上,連結(jié)BE,DG,觀察猜想BE與DG之間的大小關(guān)系與位置關(guān)系,并證明你的猜想. 7. 如圖1,在正方形ABCD中,E、F分別是邊AD、DC上的點(diǎn),且AF⊥BE. (1)求證:AF=BE; (2)如圖2,在正方形ABCD中,M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA上的點(diǎn),且MP⊥NQ.MP與NQ是否相等?并說明理由. 8. 如圖,AB∥CD,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在AB,CD上,連結(jié)EF,∠

6、AEF、∠CFE的平分線交于點(diǎn)G,∠BEF、∠DFE的平分線交于點(diǎn)H. (1)求證:四邊形EGFH是矩形; (2)小明在完成(1)的證明后繼續(xù)進(jìn)行了探索,過G作MN∥EF,分別交AB,CD于點(diǎn)M,N,過H作PQ∥EF,分別交AB,CD于點(diǎn)P,Q,得到四邊形MNQP,此時(shí),他猜想四邊形MNQP是菱形,請(qǐng)?jiān)谙铝锌蛑醒a(bǔ)全他的證明思路. 由AB∥CD,MN∥EF,PQ∥EF,易證四邊形MNQP是平行四邊形,要證?荀MNQP是菱形,只要證MN=NQ,由已知條件 ,MN ∥EF,故只要證GM=FQ,即證△MGE≌△QFH,易證 、 . 故只要證∠

7、MGE=∠QFH,易證∠MGE=∠GEF,∠QFH=∠EFH, ,即可得證. 參考答案 專題提升三 以特殊平行四邊形為背景的計(jì)算與證明 1. (1)C (2)∵等腰Rt△ABD中,∠BAD=90°,∴AB=AD. ∵AC為凸四邊形ABCD的和諧線,且AB=BC,∴分三種情況討論:若AD=CD,如圖1,則凸四邊形ABCD是正方形,∠ABC=90°;若AD=AC,如圖2,則AB=AC=BC,△ABC是等邊三角形,∠ABC=60°;若AC=DC,如圖3,則可求得∠ABC=150°. 2. (1)矩形ABCD是3階奇異矩形,裁剪線的示意圖如下: (2)

8、裁剪線的示意圖如下: 3. (1)證明:由題意可得:△ABD≌△ABE,△ACD≌△ACF. ∴∠DAB=∠EAB,∠DAC=∠FAC,又∠BAC=45°,∴∠EAF=90°. 又∵AD⊥BC,∴∠E=∠ADB=90°,∠F=∠ADC=90°. ∴四邊形AEGF是矩形,又∵AE=AD,AF=AD,∴AE=AF. ∴矩形AEGF是正方形. (2)設(shè)AD=x,則AE=EG=GF=x. ∵BD=2,DC=3,∴BE=2,CF=3,∴BG=x-2,CG=x-3,在Rt△BGC中,BG2+CG2=BC2,∴(x-2)2+(x-3)2=52. 化簡(jiǎn)得,x2-5x-6=0,解得x1=6,x2=-1(

9、舍去),所以AD=x=6. 4. (1)∵CE平分∠ACB,∴∠ACE=∠BCE,∵M(jìn)N∥BC,∴∠OEC=∠ECB,∴∠OEC=∠OCE,∴OE=OC,同理,OC=OF,∴OE=OF; (2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)處時(shí),四邊形AECF是矩形. 如圖AO=CO,EO=FO,∴四邊形AECF為平行四邊形,設(shè)△ABC的外角為∠ACG,∵CE平分∠ACB,∴∠ACE=∠ACB,同理,∠ACF=∠ACG,∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=(∠ACB+∠ACG)=×180°=90°,∴四邊形AECF是矩形; (3)△ABC是直角三角形,∵四邊形AECF是正方形,∴AC⊥EN,故∠AOM=90°,∵M(jìn)N

10、∥BC,∴∠BCA=∠AOM,∴∠BCA=90°,∴△ABC是直角三角形. 5. (1)不是,此時(shí)∠FAD=180°,四邊形ADEF將變成一線段; (2)當(dāng)△ABC滿足AB=AC且∠BAC≠60°時(shí),四邊形ADEF是菱形,理由略; (3)當(dāng)△ABC滿足∠BAC=150°時(shí),四邊形ADEF是矩形,理由略; (4)當(dāng)△ABC滿足AB=AC且∠BAC=150°時(shí),四邊形ADEF是正方形,理由略. 6. BE=GD,BE⊥DG,延長(zhǎng)GD交BE于點(diǎn)H,先證△BCE≌△DCG,得BE=DG,∠CDG=∠EBC. ∵∠CDG+∠CGD=90°,∴∠CGD+∠EBC=90°,∴∠GHB=90°,∴B

11、E⊥GD. 7. (1)在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAE=∠D=90°,∴∠DAF+∠BAF=90°,∵AF⊥BE,∴∠ABE+∠BAF=90°,∴∠ABE=∠DAF, ∵在△ABE和△DAF中,∠ABE=∠DAF,AB=AD,∠BAE=∠D,∴△ABE≌△DAF(ASA),∴AF=BE; (2)MP與NQ相等. 理由如下:如圖,過點(diǎn)A作AF∥MP交CD于F,過點(diǎn)B作BE∥NQ交AD于E,∵AB∥CD,AD∥BC,∴四邊形AMPF與四邊形BNQE是平行四邊形,∴AF=PM,BE=NQ,∵在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAE=∠D=90°,∴∠DAF+∠BAF=90°,∵

12、AF⊥BE,∴∠ABE+∠BAF=90°,∴∠ABE=∠DAF,∵在△ABE和△DAF中,∠ABE=∠DAF,AB=AD,∠BAE=∠D,∴△ABE≌△DAF(ASA),∴AF=BE,∴MP=NQ. 8. (1)證明:∵EH平分∠BEF,∴∠FEH=∠BEF,∵FH平分∠DFE,∴∠EFH=∠DFE,∵AB∥CD,∴∠BEF+∠DFE=180°,∴∠FEH+∠EFH=(∠BEF+∠DFE)=×180°=90°,∵∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°,∴∠EHF=180°-(∠FEH+∠EFH)=180°-90°=90,同理可得:∠EGF=90°,∵EG平分∠AEF,∴∠GEF=∠AEF,∵EH平分∠BEF,∴∠FEH=∠BEF,∵點(diǎn)A、E、B在同一條直線上,∴∠AEB=180°,∴∠FEG+∠FEH=(∠AEF+∠BEF)=×180°=90°,即∠GEH=90°,∴四邊形EGFH是矩形; (2)答案不唯一:由AB∥CD,MN∥EF,PQ∥EF,易證四邊形MNQP是平行四邊形,要證MNQP是菱形,只要證MN=NQ,由已知條件FG平分∠CFE,MN∥EF,故只要證GM=FQ,即證△MGE≌△QFH,易證GE=FH,∠GME=∠FQH,故只要證∠MGE=∠QFH,易證∠MGE=∠GEF,∠QFH=∠EFH,∠GEF=∠EFH,即可得證. 7

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