浙江省2018年中考數學總復習 第三章 函數及其圖象 第12講 函數概念與平面直角坐標系講解篇

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1、 第12講　函數概念與平面直角坐標系 1．平面直角坐標系 考試內容 考試 要求 定義 平面內，兩條互相 、原點 的數軸組成平面直角坐標系．坐標平面內的點與 實數對一一對應． b 坐標系內點的坐標特征 第一象限 ；第二象限 ；第三象限 ；第四象限 ． c 坐標軸上點的坐標特征 x軸負半軸 ；x軸正半軸 ；y軸負半軸 ；y軸正半軸 ；原點 ．

2、象限角平分線上點的坐標特征 一、三象限角平分線上的點，橫坐標與縱坐標____________________； 二、四象限角平分線上的點，橫坐標與縱坐標 ． 注意點 坐標軸上的點不屬于任何象限． 2.點到坐標軸以及原點的距離 考試內容 考試 要求 到x軸的距離 點P(a，b)到x軸的距離為____________________. c 到y(tǒng)軸的距離 點P(a，b)到y(tǒng)軸的距離為 ． 到原點的距離 點P(a，b)到原點的距離為 ． 3.平移與對稱點的坐標

3、 考試內容 考試 要求 點的平移 將點P(x，y)向右(或向左)平移a個單位，得對應點坐標為____________________； 將點P(x，y)向上(或向下)平移b個單位，得對應點坐標為 ． c 關于坐標軸對稱 點P(x，y)關于x軸的對稱點坐標為____________________； 點P(x，y)關于y軸的對稱點坐標為 ． 關于原點對稱 點P(x，y)關于原點對稱的點坐標為 ． 4.函數的有關概念 考試內容 考試 要求 自變量與函數 一般

4、地，在某個變化過程中，如果有兩個變量x和y，如果對于x的每一個值，y都有 的值與之對應，那么y是x的函數，其中x是自變量． b c 函數的表示方法 列表法、圖象法、解析法． 函數自變量的取值范圍 ①函數解析式是整式，自變量取值是____________________； ②函數解析式是分式，自變量取值使得____________________； ③函數解析式是偶次根式，自變量要使得____________________為非負數； ④來源于實際問題的函數，自變量要使得實際問題有意義、式子有意義． 函數的圖象 一般地，對于一個函數，如果把

5、自變量與函數的每對對應值分別作____________________坐標、____________________坐標，那么坐標平面內由這些點組成的圖象，就是這個函數的圖象． 考試內容 考試 要求 基本 思想 數形結合，為分析問題和解決問題創(chuàng)造了直觀形象的有利條件，如用函數圖象解答相關問題是典型的數形結合思想的應用． c 基本 方法 平行于x軸的直線上的點的縱坐標相等；平行于y軸的直線上的點的橫坐標相等． 1．(2015·金華)點P(4，3)所在的象限是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．第

6、一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．(2017·湖州)在平面直角坐標系中，點P(1，2)關于原點的對稱點P′的坐標是(　　) A．(1，2) B．(－1，2) C．(1，－2) D．(－1，－2) 3．(2017·紹興)均勻地向一個容器注水，最后把容器注滿，在注水過程中，水面高度h隨時間t的變化規(guī)律如圖所示(圖中OABC為折線)，這個容器的形狀可以是(　　) 4．(2015·臺州)如圖，這是臺州市地圖的一部分，分別以正東、正北方向為x軸、y軸的正方向建立直

7、角坐標系，規(guī)定一個單位長度表示1km，甲、乙兩人對著地圖如下描述路橋區(qū)A處的位置．則椒江區(qū)B處的坐標是____________________． 【問題】點P(m，1－2m)是平面直角坐標系上一點，回答下列問題： (1)若點P在第四象限，則m的取值范圍是________； (2)若點Q(3，4)，且PQ∥x軸，則m的值是________； (3)點P關于x軸的對稱點為M(－1，－3)，則m的值是________； (4)請你再提出幾個與點P有關的問題． 【歸納】通過開放式問題解答和聯(lián)想可以對本講知識作條理性的歸納和疏理． 類型一　建立坐標系確定位置

8、關系 　(1)(2017·濰坊)小瑩和小博士下棋，小瑩執(zhí)白子，小博士執(zhí)黑子．如圖，棋盤中心黑子的位置用(－1，0)表示，右下角黑子的位置用(0，－1)表示．小瑩將第4枚白子放入棋盤后，所有棋子構成一個軸對稱圖形．他放的位置是(　　)　 A．(－2，1) B．(－1，1) C．(1，－2) D．(－1，－2) (2)以下是甲、乙、丙三人看地圖時對四個地標的描述： 甲：從學校向北直走500公尺，再向東直走100公尺可到圖書館． 乙：從學校向西直走300公尺，再向北直走200公尺可到郵局． 丙：郵局在火車站西方200公尺處． 根

9、據三人的描述，若從圖書館出發(fā)，判斷下列哪一種走法，其終點是火車站(　　) A．向南直走300公尺，再向西直走200公尺 B．向南直走300公尺，再向西直走600公尺 C．向南直走700公尺，再向西直走200公尺 D．向南直走700公尺，再向西直走600公尺 (3)某雷達探測目標得到的結果如圖所示，若記圖中目標A的位置為(3，30°)，目標B的位置為(2，180°)，目標C的位置為(4，240°)，則圖中目標D的位置可記為________． 【解后感悟】(1)首先確定x軸、y軸的位置，然后根據軸對稱圖形的定義判斷；(2)根據描述畫出示意圖是解題的關鍵；(3)閱讀理解定義，結合圖形

10、直觀地解答． 1．(1)如圖為小杰使用手機內的通訊軟件跟小智對話的記錄． 根據圖中兩人的對話記錄，若下列有一種走法能從郵局出發(fā)走到小杰家，則此走法為(　　) A．向北直走700公尺，再向西直走100公尺 B．向北直走100公尺，再向東直走700公尺 C．向北直走300公尺，再向西直走400公尺 D．向北直走400公尺，再向東直走300公尺 (2)如圖是紹興市行政區(qū)域圖，若上虞市區(qū)所在地用坐標表示為(1，2)，諸暨市區(qū)所在地用坐標表示為(－5，－2)，那么嵊州市區(qū)所在地用坐標可表示為____________________． (3)如圖，在平面內，兩條直線l1，l

11、2相交于點O，對于平面內任意一點M，若p，q分別是點M到直線l1，l2的距離，則稱(p，q)為點M的“距離坐標”．根據上述規(guī)定，“距離坐標”是(2，1)的點共有____________________個． 類型二　平面直角坐標系中點的坐標特征 　(1)(2017·寧波模擬)點P(a，a－3)在第四象限，則a的取值范圍是________． (2)(2017·蕭山模擬)已知點A是直線x＝2上的點，且到x軸的距離等于3，則點A的坐標為________． (3)(2017·通川模擬)已知點P的坐標(2－a，3a＋6)，且點P到兩坐標軸的距離相等，則點P的坐標是________． 【解后感悟】

12、(1)各象限內點的坐標的符號特征是解題的關鍵；(2)點到x軸的距離等于縱坐標的絕對值，到y(tǒng)軸的距離等于橫坐標的絕對值是解題的關鍵；(3)點到兩坐標軸的距離相等，即到坐標軸形成的角的兩邊距離相等，這個點一定在各象限的角平分線上. 2．(1)(2017·威海模擬)若點A(a＋1，b－2)在第二象限，則點B(－a，b＋1)在第____________________象限． (2)(2017·溫州模擬)已知點P在第二象限，且P到x軸的距離為3，到y(tǒng)軸的距離為4，則P點的坐標為____________________． (3)(2017·臺州模擬)在平面直角坐標系內，以點P(1，1)為圓心、為半徑

13、作圓，則該圓與y軸的交點坐標是____________________． (4)(2017·宜賓模擬)如果點P(x，y)的坐標滿足x＋y＝xy，那么稱點P為和諧點．請寫出一個和諧點的坐標：____________________. 類型三　點的對稱和平移 　(1)在平面直角坐標系中，點P(3，－2)關于x軸的對稱點是________，關于y軸的對稱點是________，關于原點的對稱點是________，將點P先向右平移3個單位，再向下平移2個單位，則平移后點P的坐標為________． (2)點P(4，5)關于直線x＝1的對稱點的坐標是________，關于直線y＝－2的對稱點的坐標

14、是________． 【解后感悟】(1)關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數；關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數；關于原點對稱的點的橫坐標與縱坐標都互為相反數；關于平移，根據“橫坐標，左－，右＋，縱坐標，上＋，下－”的原則進行對坐標的變化；(2)點的對稱和平移規(guī)律是解題的關鍵，關于直線x＝a的對稱點的坐標用畫圖方法解決． 3．(1)(2017·蕭山模擬)點(a－2，b＋2)經過平移變換得到點(a，b)，則這個平移變換是(　　) A．先向左平移2個單位長度，再向下平移2個單位長度 B．先向左平移2個單位長度，再向上平移2個單位長度 C．先向右平移2個單位長度，

15、再向下平移2個單位長度 D．先向右平移2個單位長度，再向上平移2個單位長度 (2)(2017·上海模擬)已知點P(3，2)，則點P關于y軸的對稱點P1的坐標是____________________，點P關于原點O的對稱點P2的坐標是____________________． (3)(2017·南京模擬)將點A(3，2)沿x軸向左平移4個單位長度得到點A′，點A′關于y軸對稱的點的坐標是____________________． 類型四　確定自變量的取值范圍及函數圖象 　(1)(2016·南寧)下列各曲線中表示y是x的函數的是(　　) 【解后感悟】注意函數的意義反映在圖象上簡單

16、的判斷方法是：作垂直x軸的直線在左右平移的過程中與函數圖象只會有一個交點． (2)(2015·內江)函數y＝＋中自變量x的取值范圍是(　　) A．x≤2 B．x≤2且x≠1 C．x＜2且x≠1 D．x≠1 【解后感悟】本題是函數自變量的范圍，一般從三個方面考慮： (1)當函數表達式是整式時，自變量可取全體實數； (2)當函數表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0； (3)當函數表達式是二次根式時，被開方數非負． 　(2015·臺州)圖1中的摩天輪可抽象成一個圓，圓上一點離地面的高度y(m)與旋轉時間x(min)之間的關系如

17、圖2所示． (1)根據圖2填表： x(min) 0 3 6 8 12 … y(m) … (2)變量y是x的函數嗎？為什么？ (3)根據圖中的信息，請寫出摩天輪的直徑． 　　　　　　　　 【解后感悟】此類題主要是函數圖象的讀圖能力和函數與實際問題結合的應用．要能根據函數圖象的性質和圖象上的數據分析得出函數的類型和所需要的條件，結合實際意義得到正確的結論．而本題是函數圖象的動點問題，解決函數圖象的動點問題關鍵是發(fā)現y隨x的變化而變化的趨勢． 4． (1)(2015·呼和浩特)如果兩個變量x、y之間的函數關系如圖所示，則函數值

18、y的取值范圍是(　　) A．－3≤y≤3 B．0≤y≤2 C．1≤y≤3 D．0≤y≤3 (2)(2015·荊門)在一次800米的長跑比賽中，甲、乙兩人所跑的路程s(米)與各自所用時間t(秒)之間的函數圖象分別為線段OA和折線OBCD，則下列說法正確的是(　　) A．甲的速度隨時間的增加而增大 B．乙的平均速度比甲的平均速度大 C．在起跑后第180秒時，兩人相遇 D．在起跑后第50秒時，乙在甲的前面 類型五　求點的坐標問題 　(1)已知點A(4，－3)，B(x，－3)，若AB∥x軸，且線段AB的長為5，x＝________. (2)如圖，在平面直角坐標系中，點A

19、(2，0)，B(0，4)，作△BOC，使△BOC與△ABO全等，則點C坐標為________________． (3)在平面直角坐標系中，已知點A(－，0)，B(，0)，點C在坐標軸上，且AC＋BC＝6，寫出滿足條件的所有點C的坐標______． 【解后感悟】(1)平行于x軸得出縱坐標相等是關鍵，作出圖形更形象直觀，要注意全面考慮到各種情況；(2)解題的關鍵在于根據點C的位置分情況討論全等三角形；(3)解題時，要分類討論，以防漏解． 5．(1)在平面直角坐標系xOy中，已知點A(2，3)，在坐標軸上找一點P，使得△AOP是等腰三角形，則這樣的點P共有_______________

20、_____個． (2)(2017·杭州模擬)已知點P在直角坐標系中的坐標為(0，1)，O為坐標原點，∠QPO＝150°，且P到Q的距離為2，則Q的坐標為____________________． 【探索規(guī)律題】 (2015·河南)如圖，在平面直角坐標系中，半徑均為1個單位長度的半圓O1，O2，O3，…組成一條平滑的曲線，點P從原點O出發(fā)，沿這條曲線向右運動，速度為每秒個單位長度，則第2015秒時，點P的坐標是(　　) A．(2014，0) B．(2015，－1) C．(2015，1) D．(2016，0) 【方法與對策】本題是坐標

21、位置確定，根據題目信息探究點的坐標的變化規(guī)律，并理解每4秒為一個循環(huán)組依次循環(huán)，這是解題的關鍵．這類探索規(guī)律題是中考的熱點題． 【求實際問題時忽視自變量的范圍】 【問題】矩形的周長是8 cm，設一邊長為x(cm)，另一邊長為y(cm)． (1)求y關于x的函數關系式； (2)作出函數的圖象． 參考答案 第12講　函數概念與平面直角坐標系 【考點概要】 1．垂直　重合　有序　(＋，＋)　(－，＋)　(－，－)　(＋，－)　(－，0)　(＋，0)　(0，－)　(0，＋)　(0，0) 相等　互為相反數　2.|b|　|a|　　3.(x＋

22、a，y)[或(x－a，y)]　(x，y＋b)[或(x，y－b)]　(x，－y)　(－x，y)　(－x，－y)　4.唯一確定　全體實數 分母不等于0　被開方數　點的橫　縱 【考題體驗】 1．A　2.D　3.D　4.(10，8) 【知識引擎】 【解析】(1)m＞；　(2)－1.5；　(3)－1；　(4)如：點P到x軸的距離是2，則m的值是________．(－或) 【例題精析】 例1　(1)B；(2)A；(3)(5，120°)．　例2　(1)∵點P(a，a－3)在第四象限，∴得0＜a＜3.故答案為0＜a＜3；　(2)∵點A是直線x＝2上的點，且到x軸的距離等于3，∴點A的橫坐標為2，

23、縱坐標為±3，∴點A的坐標為(2，3)或(2，－3)．故答案為(2，3)或(2，－3)；　(3)∵點P到兩坐標軸的距離相等就是橫縱坐標相等或互為相反數，∴有以下兩種情況：①橫縱坐標相等時，即當2－a＝3a＋6時，解得a＝－1，∴點P的坐標是(3，3)；②橫縱坐標互為相反數時，即當(2－a)＋(3a＋6)＝0時，解得a＝－4，∴點P的坐標是(6，－6)．故答案為(3，3)或(6，－6)．　例3　(1)(3，2)，(－3，－2)，(－3，2)，(6，－4)；(2)(－2，5)，(4，－9)．　例4　(1)根據函數的意義可知：對于自變量x的任何值，y都有唯一的值與之相對應，故D正確．故選D.　(2)

24、2－x≥0且x－1≠0，解得：x≤2且x≠1，故選B.　例5　(1)表格中分別填寫：5，70，5，54，5.　(2)變量y是x的函數．理由：因為在這個變化過程中，對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，所以變量y是x的函數．　(3)摩天輪的直徑是70－5＝65m.　例6　 (1)－1或9；(2)如圖，點C在x軸負半軸上時，∵△BOC與△ABO全等，∴OC＝OA＝2，∴點C(－2，0)；點C在第一象限時，∵△BOC與△ABO全等，∴BC＝OA＝2，OB＝BO＝4，∴點C(2，4)；點C在第二象限時，∵△BOC與△ABO全等，∴BC＝OA＝2，OB＝BO＝4，∴點C(－2，4)；

25、綜上所述，點C的坐標為(－2，0)或(2，4)或(－2，4)．故答案為：(－2，0)或(2，4)或(－2，4)； (3)如圖，①當點C位于y軸上時，設C(0，b)．則＋＝6，解得b＝2或b＝－2，此時C3(0，2)或C4(0，－2)．如圖，②當點C位于x軸上時，設C(a，0)．則|－－a|＋|a－|＝6，即2a＝6或－2a＝6，解得a＝3或a＝－3，此時C1(－3，0)或C2(3，0)．綜上所述，點C的坐標是：(0，2)，(0，－2)，(－3，0)，(3，0)．故答案是：(0，2)，(0，－2)，(－3，0)，(3，0)． 【變式拓展】 1．(1)A　(2)(0，－3)　(3)4　2

26、.(1)一　(2)(－4，3) (3)(0，3)，(0，－1)　(4)(2，2)　3.(1)C　(2)(－3，2) (－3，－2)　(3)(1，2)　4.(1)D　(2)D　5.(1)8 (2)(1，1＋)或(－1，1＋) 【熱點題型】 【分析與解】由題意得半圓周的周長是π，四分之一圓周是π，因為半徑為1，根據P點的速度得：1秒時P點坐標是(1，1)；2秒時P點坐標是(2，0)；3秒時P點坐標是(3，－1)；4秒時P點坐標是(4，0)；5秒時P點坐標是(5，1)…，當秒數為偶數時，P點落在x軸上，P點橫坐標和秒數相同，縱坐標是0，所以排除A，D；P點落在第一象限的秒數是1，5，9，13…，第n個點的規(guī)律是4n－3；P點落在第四象限的秒數是3，7，11，15…第n個點的規(guī)律是4n－1；當4n－3＝2015時，n不是整數值，4n－1＝2015時，n是整數值，故第2015秒落在第四象限，∴P(2015，－1)，故選B. 【錯誤警示】 (1)由題意，得2(x＋y)＝8，則y＝4－x，據實際情況，x，y表示矩形的邊長，則即解得故自變量x的取值范圍為0