3、養(yǎng)室,一面靠現(xiàn)有墻(墻足夠長),中間用一道墻隔開,并在如圖所示的三處各留1 m寬的門.已知計(jì)劃中的材料可建墻體(不包括門)總長為27 m,則能建成的飼養(yǎng)室面積最大為 m2.?
8.如圖,Rt△OAB的頂點(diǎn)A(-2,4)在拋物線y=ax2(a≠0)上,將Rt△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△OCD,邊CD與該拋物線交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 .?
三、解答題
9.如圖,需在一面墻上繪制幾個(gè)相同的拋物線型圖案.按照?qǐng)D中的直角坐標(biāo)系,最左邊的拋物線可以用y=ax2+bx(a≠0)表示.已知拋物線上B,C兩點(diǎn)到地面的距離均為 m,到墻邊的距離分別為 m, m.
(1)求該
4、拋物線的函數(shù)關(guān)系式,并求圖案最高點(diǎn)到地面的距離;
(2)若該墻的長度為10 m,則最多可以連續(xù)繪制幾個(gè)這樣的拋物線型圖案?
B組 提升題組
一、選擇題
1.下列關(guān)于二次函數(shù)y=ax2-2ax+1(a>1)的圖象與x軸交點(diǎn)的判斷,正確的是( )
A.沒有交點(diǎn)
B.有一個(gè)交點(diǎn),且它位于y軸右側(cè)
C.有兩個(gè)交點(diǎn),且它們均位于y軸左側(cè)
D.有兩個(gè)交點(diǎn),且它們均位于y軸右側(cè)
2.(2018棗莊)下圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分,且過點(diǎn)A(3,0),二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x=1,下列結(jié)論正確的是( )
A.b2<
5、4ac B.ac>0
C.2a-b=0 D.a-b+c=0
3.(2018濰坊)已知二次函數(shù)y=-(x-h)2(h為常數(shù)),當(dāng)自變量x的值滿足2≤x≤5時(shí),與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最大值為-1,則h的值為( )
A.3或6 B.1或6 C.1或3 D.4或6
4.(2018菏澤)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則一次函數(shù)y=bx+a與反比例函數(shù)y=在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象大致是( )
二、填空題
5.(2017青島)若拋物線y=x2-6x+m與x軸沒有交點(diǎn),則m的取值范圍是 .?
6.(2018淄博)已知拋物線y=x2+2x-3與x軸交于A,
6、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),將這條拋物線向右平移m(m>0)個(gè)單位,平移后的拋物線與x軸交于C,D兩點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)),若B,C是線段AD的三等分點(diǎn),則m的值為 .?
三、解答題
7.(2017廣東)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=-x2+ax+b交x軸于A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn),點(diǎn)P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn),直線BP與y軸相交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線y=-x2+ax+b的解析式;
(2)當(dāng)點(diǎn)P是線段BC的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,求sin∠OCB的值.
8.(2018陜西)已知拋物線L:y=x2+x-6與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(
7、點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),并與y軸相交于點(diǎn)C.
(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo),并求△ABC的面積;
(2)將拋物線L向左或向右平移,得到拋物線L',且L'與x軸相交于A'、B'兩點(diǎn)(點(diǎn)A'在點(diǎn)B'的左側(cè)),并與y軸相交于點(diǎn)C',要使△A'B'C'和△ABC的面積相等,求所有滿足條件的拋物線的函數(shù)表達(dá)式.
二次函數(shù)的綜合應(yīng)用培優(yōu)訓(xùn)練
一、選擇題
1.向上發(fā)射一枚炮彈,經(jīng)x秒后的高度為y千米,且時(shí)間與高度的關(guān)系為y=ax2+bx.若此炮彈在第7秒與第14秒時(shí)的高度相等,則在下列哪一個(gè)時(shí)間的高度是最高的 ( )
A.第9.5秒 B.第10秒
8、
C.第10.5秒 D.第11秒
2.煙花廠為成都春節(jié)特別設(shè)計(jì)制作了一種新型禮炮,這種禮炮的升空高度h(m)與飛行時(shí)間t(s)的關(guān)系式是h=-t2+12t+30,若這種禮炮在升空到最高點(diǎn)時(shí)引爆,則從點(diǎn)火升空到引爆需要的時(shí)間為( )
A.3 s B.4 s C.5 s D.6 s
3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分如圖所示,x=-1是對(duì)稱軸,下列結(jié)論:①<0;②a-b+c=-9a;③若(-3,y1),是拋物線上兩點(diǎn),則y1>y2;④將拋物線沿x軸向右平移一個(gè)單位后得到的新拋物線的表達(dá)式為y=a(x2-9).其中正確的是( )
A.①②③ B.①③④
C.①
9、②④ D.①②③④
二、填空題
4.科學(xué)家為了推測(cè)最適合某種珍奇植物生長的溫度,將這種植物分別放在不同溫度的環(huán)境中,經(jīng)過一定時(shí)間后,測(cè)試出這種植物高度的增長情況,部分?jǐn)?shù)據(jù)如表:
溫度t/℃
-4
-2
0
1
4
植物高度增長量l/mm
41
49
49
46
25
科學(xué)家經(jīng)過猜想并推測(cè)出l與t之間是二次函數(shù)關(guān)系.由此可以推測(cè)最適合這種植物生長的溫度為 ℃.?
5.如圖,直線y=mx+n與拋物線y=ax2+bx+c交于A(-1,p),B(4,q)兩點(diǎn),則關(guān)于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解集是 .?
三、解答題
6.旅游公司在
10、景區(qū)內(nèi)配置了50輛觀光車供游客租賃使用,假定每輛觀光車一天內(nèi)最多只能出租一次,且每輛車的日租金x(元)是5的倍數(shù).發(fā)現(xiàn)每天的運(yùn)營規(guī)律如下:當(dāng)x不超過100元時(shí),觀光車能全部租出;當(dāng)x超過100元時(shí),每輛車的日租金每增加5元,租出去的觀光車就會(huì)減少1輛.已知所有觀光車每天的管理費(fèi)是1 100元.
(1)優(yōu)惠活動(dòng)期間,為使觀光車全部租出且每天的凈收入為正,則每輛車的日租金至少應(yīng)為多少元?(注:凈收入=租車收入-管理費(fèi))
(2)當(dāng)每輛車的日租金為多少元時(shí),每天的凈收入最多?
7.我國中東部地區(qū)霧霾天氣趨于嚴(yán)重,環(huán)境治理已刻不容緩.我市某電器商場(chǎng)根據(jù)民眾健康需要,代理銷售某種家用
11、空氣凈化器,其進(jìn)價(jià)是200元/臺(tái).經(jīng)過市場(chǎng)銷售后發(fā)現(xiàn):在一個(gè)月內(nèi),當(dāng)售價(jià)是400元/臺(tái)時(shí),可售出200臺(tái),且售價(jià)每降低10元/臺(tái),就可多售出50臺(tái).供貨商規(guī)定這種空氣凈化器售價(jià)不能低于300元/臺(tái),代理銷售商每月要完成不低于450臺(tái)的銷售任務(wù).
(1)試確定月銷售量y(臺(tái))與售價(jià)x(元/臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求售價(jià)x的范圍;
(3)當(dāng)售價(jià)x(元/臺(tái))定為多少時(shí),商場(chǎng)每月銷售這種空氣凈化器所獲得的利潤w(元)最大?最大利潤是多少?
8.如圖,直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A和B(4,m)兩點(diǎn),點(diǎn)P是線段AB上異于A、B的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P
12、作PC⊥x軸于點(diǎn)D,交拋物線于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)是否存在這樣的P點(diǎn),使線段PC的長有最大值?若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
9.如圖,直線y=-x+3與x軸,y軸分別交于B(3,0),C(0,3)兩點(diǎn),拋物線y=ax2+bx+c過A(1,0),B,C三點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)M是拋物線在x軸下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)M作MN∥y軸交直線BC于點(diǎn)N,求線段MN的最大值;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)MN取得最大值時(shí),在拋物線的對(duì)稱軸l上是否存在點(diǎn)P,使△PBN是以BN為腰的等腰三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),
13、若不存在,請(qǐng)說明理由.
10.如圖,在矩形OABC中,點(diǎn)O為原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,8),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,0).拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、C,與AB交于點(diǎn)D.
(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)點(diǎn)P為線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合),點(diǎn)Q為線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),AQ=CP,連接PQ,設(shè)CP=m,△CPQ的面積為S.
①求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式;
②當(dāng)S最大時(shí),在拋物線y=-x2+bx+c的對(duì)稱軸l上是否存在點(diǎn)F,使△DFQ為直角三角形,若存在,請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
11.如圖1,平面直角坐標(biāo)系
14、中,二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B、C,其中點(diǎn)A(0,8),OB=OA.
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)若OD=OB,點(diǎn)F為該二次函數(shù)在第二象限內(nèi)圖象上的動(dòng)點(diǎn),E為DF的中點(diǎn).
①當(dāng)△CEF的面積最大時(shí),求出點(diǎn)E的坐標(biāo);
②如圖2,將△CEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°,C點(diǎn)落在M處,若M點(diǎn)恰好在該拋物線上,求出此時(shí)△CEF的面積.
12.如圖,直線y=-x+2與x軸交于B點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),A點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0).
(1)求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(2)在直線BC上方的拋物線上有一點(diǎn)D,過D作DE⊥BC于E,作DF∥
15、y軸交BC于F,求△DEF周長的最大值;
(3)在滿足第(2)問的條件下,在線段BD上是否存在一點(diǎn)P,使∠DFP=∠DBC.若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
13.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=x+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C.拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是x=-且經(jīng)過A、C兩點(diǎn),與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B.
(1)求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的表達(dá)式;
(2)若點(diǎn)P為直線AC上方的拋物線上的一點(diǎn),連接PA,PC,BC.求四邊形PABC面積的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)拋物線上是否存在點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MN垂直x軸于點(diǎn)N,使得
16、以點(diǎn)A,M,N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
第12講 二次函數(shù)
A組 基礎(chǔ)題組
一、選擇題
1.C 當(dāng)x=1時(shí),y=a+2a-1+a-3>0,解得a>1,又根據(jù)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可得-<0,=<0,所以這條拋物線的頂點(diǎn)一定在第三象限,故選C.
2.D A.由圖象開口可知:a<0,
由對(duì)稱軸可知:->0,
∴b>0,
∴由拋物線與y軸的交點(diǎn)可知:c>0,
∴abc<0,故A正確;
B.由圖象可知:x=-1時(shí),y<0,
∴y=a-b+c<0,
∴a+c2,
17、∵a<0,
∴4ac-b2<8a,
∴b2+8a>4ac,故C正確;
D.對(duì)稱軸x=-<1,a<0,
∴2a+b<0,故D錯(cuò)誤.
故選D.
3.A 4.A 5.D
二、填空題
6.答案 -3
18、)2+75,
故飼養(yǎng)室的最大面積為75平方米.
8.答案 (,2)
解析 ∵Rt△OAB的頂點(diǎn)A(-2,4)在拋物線y=ax2(a≠0)上,∴4=4a,解得a=1,∴拋物線的解析式為y=x2,
∵AB⊥x軸,
∴B(-2,0),
∴OB=2,
∵將Rt△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△OCD,
∴D點(diǎn)在y軸上,且OD=OB=2,
∴D(0,2),
∵DC⊥OD,
∴DC∥x軸,
∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,代入y=x2,
得2=x2,解得x=(負(fù)值舍去),
∴P(,2).
三、解答題
9.解析 (1)根據(jù)題意得B,C,
把B,C代入y=ax2+bx(a≠0)得
19、解得
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-x2+2x,
∴圖案最高點(diǎn)到地面的距離==1 m.
(2)令y=0,即-x2+2x=0,
解得x1=0,x2=2,
∵10÷2=5,
∴最多可以連續(xù)繪制5個(gè)這樣的拋物線型圖案.
B組 提升題組
一、選擇題
1.D ∵a>1,
∴Δ=(-2a)2-4a=4a(a-1)>0,
∴ax2-2ax+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,即函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),
x=>0,故選D.
2.D ∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),
∴b2-4ac>0,即b2>4ac,所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤;
∵拋物線開口向上,
∴a>0,
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方,
∴c
20、<0,
∴ac<0,所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤;
∵二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x=1,
∴-=1,∴2a+b=0,所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤;
∵拋物線過點(diǎn)A(3,0),二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x=1,
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(-1,0),
∴a-b+c=0,所以D選項(xiàng)正確.
故選D.
3.B 對(duì)于二次函數(shù)y=-(x-h)2(h為常數(shù)),當(dāng)x=h時(shí),函數(shù)有最大值0,又當(dāng)自變量x的值滿足2≤x≤5時(shí),與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最大值為-1,故h<2或h>5.當(dāng)h<2,2≤x≤5時(shí),y隨x的增大而減小,故當(dāng)x=2時(shí),y有最大值,此時(shí)-(2-h)2=-1,解得h1=1,h2=3(舍去);當(dāng)h>5,2≤x≤5時(shí)
21、,y隨x的增大而增大,故當(dāng)x=5時(shí),y有最大值,此時(shí)-(5-h)2=-1,解得h1=6,h2=4(舍去),綜上可知h=1或6.故選B.
4.B ∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開口向上,
∴a>0,
∵該拋物線對(duì)稱軸位于y軸的右側(cè),
∴a、b異號(hào),即b<0.
∵當(dāng)x=1時(shí),y<0,
∴a+b+c<0.
∴一次函數(shù)y=bx+a的圖象經(jīng)過第一、二、四象限,
反比例函數(shù)y=的圖象分布在第二、四象限,
故選B.
二、填空題
5.答案 m>9
解析 ∵拋物線y=x2-6x+m與x軸沒有交點(diǎn),
∴Δ<0,
即(-6)2-4×1×m<0,
解得m>9.
6.答案 2
解
22、析 如圖,∵B,C是線段AD的三等分點(diǎn),
∴AC=BC=BD,
由題意得:AC=BD=m,
當(dāng)y=0時(shí),x2+2x-3=0,
(x-1)(x+3)=0,
x1=1,x2=-3,
∴A(-3,0),B(1,0),
∴AB=3+1=4,
∴AC=BC=2,
∴m=2,
故答案為2.
三、解答題
7.解析 (1)把A(1,0),B(3,0)代入拋物線y=-x2+ax+b,
得解得
∴拋物線的解析式為y=-x2+4x-3.
(2)當(dāng)點(diǎn)P是線段BC的中點(diǎn)時(shí),
易得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為,
當(dāng)x=時(shí),y=,
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
(3)由(2)得點(diǎn)C的坐標(biāo)為,
∴OC=,
23、又OB=3,
∴BC==.
∴sin∠OCB===.
8.解析 (1)令y=0,得x2+x-6=0,
解得x=-3或x=2,
∴A(-3,0),B(2,0).
∴AB=5,
令x=0,得y=-6,
∴C(0,-6),
∴OC=6,
∴S△ABC=AB·OC=×5×6=15.
(2)由題意得A'B'=AB=5.
要使S△A'B'C'=S△ABC,只要拋物線L'與y軸的交點(diǎn)為C'(0,-6)或C'(0,6)即可.
設(shè)所求拋物線L':y=x2+mx+6,y=x2+nx-6.
∵拋物線L'與拋物線L的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同,
∴=,=,
解得m=±7,n=±1(n=1舍去).
24、
∴拋物線L'的函數(shù)表達(dá)式為y=x2+7x+6,y=x2-7x+6或y=x2-x-6.
二次函數(shù)的綜合應(yīng)用培優(yōu)訓(xùn)練
一、選擇題
1.C 當(dāng)x=7時(shí),y=49a+7b;
當(dāng)x=14時(shí),y=196a+14b.
根據(jù)題意得49a+7b=196a+14b,
∴b=-21a,
根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性及拋物線的開口方向,
得當(dāng)x=-=10.5時(shí),y最大,即高度最高.
故選C.
2.B ∵禮炮在升空到最高點(diǎn)時(shí)引爆,且二次函數(shù)圖象的開口向下,
∴高度h取最大值時(shí),t=-,
即t=-=4.
故選B.
3.D ∵二次函數(shù)的圖象開口向下,
∴a<0,
∵拋物線與y軸的正半軸相
25、交,
∴c>0,
∴<0,故①正確;
∵拋物線的對(duì)稱軸x=-=-1,
∴b=2a,
當(dāng)x=2時(shí),y=0,
∴4a+2b+c=0,
∴4a+4a+c=0,
∴c=-8a,
∴a-b+c=-9a,故②正確;
∵拋物線的對(duì)稱軸為x=-1,∴當(dāng)x=-1時(shí),拋物線有最大值,-3距離-1有2個(gè)單位長度,距離-1有個(gè)單位長度,
∴y1>y2,故③正確;
設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)2+k,
將拋物線沿x軸向右平移一個(gè)單位后得出平移后的解析式y(tǒng)=ax2+k,
∵c=-8a,
∴a+k=-8a,
∴k=-9a,
∴將拋物線沿x軸向右平移一個(gè)單位后得到的新拋物線的表達(dá)式為y
26、=ax2-9a,即y=a(x2-9),故④正確.
正確結(jié)論為①②③④.故選D.
二、填空題
4.答案 -1
解析 設(shè)l=at2+bt+c(a≠0),將(0,49),(1,46),(4,25)代入后得方程組
解得
所以l與t之間的二次函數(shù)解析式為l=-t2-2t+49,
當(dāng)t=-=-1時(shí),l有最大值50,
即最適合這種植物生長的溫度是-1 ℃.
5.答案 x<-1或x>4
解析 由題圖可知,當(dāng)x<-1或x>4時(shí),直線y=mx+n的圖象在拋物線y=ax2+bx+c的上方,
∴不等式mx+n>ax2+bx+c的解集為x<-1或x>4.
三、解答題
6.解析 (1)由題意
27、知,若觀光車能全部租出,則00,
解得x>22,
∵x是5的倍數(shù),
∴每輛車的日租金至少應(yīng)為25元.
(2)設(shè)每天的凈收入為y元,
當(dāng)0100時(shí),
y2=x-1 100
=50x-x2+20x-1 100
=-x2+70x-1 100
=-(x-175)2+5 025,
當(dāng)x=175時(shí),y2的最大值為5 025,
5 025>3 900,
故當(dāng)每輛車的日租金為175元時(shí),每天的凈
28、收入最多,是5 025元.
7.解析 (1)根據(jù)題中條件售價(jià)每降低10元/臺(tái),月銷售量就可多售出50臺(tái),
則月銷售量y(臺(tái))與售價(jià)x(元/臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系式為y=200+50×,化簡(jiǎn)得y=-5x+2 200.
(2)根據(jù)供貨商規(guī)定這種空氣凈化器售價(jià)不能低于300元/臺(tái),代理銷售商每月要完成不低于450臺(tái)的銷售任務(wù),
則
解得300≤x≤350.
所以售價(jià)x的范圍為300≤x≤350.
(3)w=(x-200)(-5x+2 200),
整理得w=-5(x-320)2+72 000.
∵x=320在300≤x≤350內(nèi),
∴當(dāng)x=320時(shí),w有最大值,為72 000,
即售
29、價(jià)定為320元/臺(tái)時(shí),商場(chǎng)每月銷售這種空氣凈化器所獲得的利潤w最大,最大利潤是72 000元.
8.解析 (1)∵B(4,m)在直線y=x+2上,
∴m=6,即B(4,6),
∵A和B(4,6)在拋物線y=ax2+bx+6上,
∴
解得
∴拋物線的解析式為y=2x2-8x+6.
(2)存在.
設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(n,n+2),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(n,2n2-8n+6),
∴PC=(n+2)-(2n2-8n+6)=-2n2+9n-4=-2+,
∵-2<0,
∴拋物線開口向下,有最大值,
∴當(dāng)n=時(shí),線段PC的長有最大值.
9.解析 (1)由題意將點(diǎn)A(1,0)、B(3,0)、C
30、(0,3)代入拋物線y=ax2+bx+c中,
得解得
∴拋物線的解析式為y=x2-4x+3.
(2)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,m2-4m+3),
∵M(jìn)N∥y軸,
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(m,-m+3).
∵A(1,0),B(3,0)在拋物線上且點(diǎn)M是拋物線在x軸下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
∴1
31、解得n=±,
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或.
②當(dāng)PN=BN,
即=時(shí),
解得n=,
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或.
綜上可知:在拋物線的對(duì)稱軸l上存在點(diǎn)P,使△PBN是以BN為腰的等腰三角形,點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或.
10.解析 (1)將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式,得
解得
∴拋物線的解析式為y=-x2+x+8.
(2)①∵OA=8,OC=6,
∴AC==10,
過點(diǎn)Q作QE⊥BC與E點(diǎn),
則sin∠ACB===,
∴=,
∴QE=(10-m),
∴S=·CP·QE=m×(10-m)=-m2+3m.
②∵S=·CP·QE=m×(10-m)=-m2+3m=-(m-5)2+
32、,
∴當(dāng)m=5時(shí),S取最大值;
在拋物線對(duì)稱軸l上存在點(diǎn)F,使△DFQ為直角三角形,
∵拋物線y=-x2+x+8的對(duì)稱軸為x=,D的坐標(biāo)為(3,8),
Q的坐標(biāo)為(3,4),
當(dāng)∠FDQ=90°時(shí),F1,
當(dāng)∠FQD=90°時(shí),則F2,
當(dāng)∠DFQ=90°時(shí),設(shè)F,
則FD2+FQ2=DQ2,
即+(8-n)2++(n-4)2=16,
解得n=6±,
∴F3,F4,
滿足條件的點(diǎn)F共有四個(gè),分別為
F1,F2,
F3,F4,6-.
11.解析 (1)∵OA=8,
∴OB=OA=4,
∴B(4,0),
∵y=-x2+bx+c的圖象過點(diǎn)A(0,8),B(4,0)
33、,
∴
解得
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x2-x+8.
(2)①當(dāng)y=0時(shí),-x2-x+8=0,
解得x1=4,x2=-8,
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(-8,0),
∵D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4),
∴設(shè)直線CD的解析為y=kx+d(k≠0),
故
解得
故直線DC的解析為y=x+4.
如圖,過點(diǎn)F作y軸的平行線交DC于點(diǎn)P,
設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為,則P點(diǎn)坐標(biāo)為,
則FP=-m2-m+4,
∴S△FCD=·FP·OC=×-m2-m+4×8=-m2-6m+16,
∵E為FD中點(diǎn),
∴=×=-m2-3m+8=-(m+3)2+,
當(dāng)m=-3時(shí),有最大值,
∴-m2-m+8=-×9+3+
34、8=,
E點(diǎn)縱坐標(biāo)為×=,
∴F,
∴E.
②∵F點(diǎn)坐標(biāo)為,
C點(diǎn)坐標(biāo)為(-8,0),D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4),
∴M,
又∵M(jìn)點(diǎn)在拋物線上,
∴-(m+8)2-(m+8)+8=-m2-m+12,
解得m=-7,
故=-m2-3m+8=.
12.解析 (1)直線y=-x+2與x軸交于B(2,0),與y軸交于C(0,2),
設(shè)過A、B、C的拋物線的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),
把A(-1,0),B(2,0),C(0,2)的坐標(biāo)代入,
解得a=-1,b=1,c=2,
∴拋物線的解析式為y=-x2+x+2.
(2)設(shè)D(x,-x2+x+2),F(x,-x+2)
35、,
∴DF=(-x2+x+2)-(-x+2)=-x2+2x,
所以x=1時(shí),DF最大=1,
∵OB=OC,
∴△OBC為等腰直角三角形,
∵DE⊥BC,DF∥y軸,
∴∠DFE=∠OCB=45°,
∴△DEF為等腰直角三角形,
∴△DEF周長的最大值為1+.
(3)存在.
如圖,
當(dāng)△DEF周長最大時(shí),D(1,2),F(1,1).延長DF交x軸于H,作PM⊥DF于M,
則DB=,DH=2,OH=1,
當(dāng)∠DFP=∠DBC時(shí),△DFP∽△DBF,
∴=,
∴DP=,
∴===,
∴PM=,DM=,
∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為OH+PM=1+=,
P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為DH
36、-DM=2-=,
∴P.
13.解析 (1)對(duì)于y=x+2,當(dāng)x=0時(shí),y=2,當(dāng)y=0時(shí),x=-4,∴C(0,2),A(-4,0),
由拋物線的對(duì)稱性可知:點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x=-對(duì)稱,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0).
∵拋物線y=ax2+bx+c過A(-4,0),
B(1,0),
∴可設(shè)拋物線解析式為y=a(x+4)(x-1),
又∵拋物線過點(diǎn)C(0,2),
∴2=-4a,
∴a=-,
∴y=-x2-x+2.
(2)設(shè)P.
過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q,
∴Q,
∴PQ=-m2-m+2-
=-m2-2m,
∵=×PQ×(xC-xA)=×PQ×4
=2PQ=-m
37、2-4m=-(m+2)2+4,
∴當(dāng)m=-2時(shí),△PAC的面積有最大值4,
易知S△ACB=×OC×AB
=×2×5
=5.
則四邊形PABC面積的最大值是9,
此時(shí)P(-2,3).
(3)存在.
在Rt△AOC中,tan∠CAO=,
在Rt△BOC中,tan∠BCO=,
∴∠CAO=∠BCO,
∵∠BCO+∠OBC=90°,
∴∠CAO+∠OBC=90°,
∴∠ACB=90°,
∴△ABC∽△ACO∽△CBO,
如下圖:
①當(dāng)M點(diǎn)與C點(diǎn)重合,即M(0,2)時(shí),△MAN∽△BAC;
②根據(jù)拋物線的對(duì)稱性,當(dāng)M(-3,2)時(shí),△MAN∽△ABC;
③當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí),設(shè)Mn,-n2-n+2,則N(n,0),
∴MN=n2+n-2,AN=n+4,
當(dāng)=時(shí),MN=AN,即n2+n-2=(n+4),
整理得n2+2n-8=0,
解得n1=-4(舍),n2=2,
∴M(2,-3);
當(dāng)=時(shí),MN=2AN,即n2+n-2=2(n+4),
整理得n2-n-20=0,
解得n1=-4(舍),n2=5,
∴M(5,-18).
綜上所述,存在M1(0,2),M2(-3,2),M3(2,-3),M4(5,-18),使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.
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（泰安專版）2019版中考數(shù)學(xué) 第一部分 基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān) 第三章 函數(shù)及其圖象 第12講 二次函數(shù)精練
