高三數(shù)學(xué)高考一本通立體幾何第一輪復(fù)習(xí)課件 第5課時(shí) 二面角

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1、考考 點(diǎn)點(diǎn) 詮詮 釋釋知知 識(shí)識(shí) 整整 合合基基 礎(chǔ)礎(chǔ) 再再 現(xiàn)現(xiàn) 例例 題題 精精 析析精精 彩彩 小小 結(jié)結(jié)第第3 3課時(shí)課時(shí) 二面角考點(diǎn)詮釋 掌握異面直線所成角及其求法；掌握斜線在平面上的掌握異面直線所成角及其求法；掌握斜線在平面上的射影的概念，斜線與平面所成角的概念及其求法，掌射影的概念，斜線與平面所成角的概念及其求法，掌握公式握公式cos =cos 1cos 2 ，會(huì)用這個(gè)公式解決一些，會(huì)用這個(gè)公式解決一些問題；掌握二面角的概念，二面角的平面角的概念及問題；掌握二面角的概念，二面角的平面角的概念及其求法，會(huì)作二面角的平面角其求法，會(huì)作二面角的平面角考點(diǎn)詮釋 1、這部分知識(shí)是高考命題的

2、熱點(diǎn)之、這部分知識(shí)是高考命題的熱點(diǎn)之一，在高考試題中年年有，次次出，一，在高考試題中年年有，次次出，解決這些問題的關(guān)鍵是理解線線角，解決這些問題的關(guān)鍵是理解線線角，線面角，面面角的定義依定義作出有線面角，面面角的定義依定義作出有關(guān)角，然后抓住有關(guān)的三角形來解決，關(guān)角，然后抓住有關(guān)的三角形來解決，題型多為選擇題與填空題，或?yàn)榻獯痤}型多為選擇題與填空題，或?yàn)榻獯痤}的一問。題的一問?？键c(diǎn)詮釋 2、二面角是高考試題中出現(xiàn)頻率較高的題，它常常與其他兩種、二面角是高考試題中出現(xiàn)頻率較高的題，它常常與其他兩種空間結(jié)合考查，出現(xiàn)形式有求二面角的大小或已知二面角求其他空間結(jié)合考查，出現(xiàn)形式有求二面角的大小或已知

3、二面角求其他兩種空間角的大小。常以幾何體為依托，特別是柱體、錐體中的兩種空間角的大小。常以幾何體為依托，特別是柱體、錐體中的有關(guān)線線、線面、面面角問題往往與距離或體積結(jié)合在一起考查。有關(guān)線線、線面、面面角問題往往與距離或體積結(jié)合在一起考查。知識(shí)整合 1、兩條異面直線所成的角、兩條異面直線所成的角（1）定義：）定義：直線直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，分，分別引直線別引直線a/ /a，b/b，我們把直線，我們把直線a/和和b/所成所成的銳角（或直角）叫做異面直線的銳角（或直角）叫做異面直線a和和b所成的角。所成的角。（2）關(guān)于這個(gè)定義有兩點(diǎn)是應(yīng)該知道的：）關(guān)

4、于這個(gè)定義有兩點(diǎn)是應(yīng)該知道的：直線直線 a/和和b/所成銳角（或直角）的大小，只由所成銳角（或直角）的大小，只由異面直線異面直線a，b相互位置來確定與點(diǎn)相互位置來確定與點(diǎn)O的選擇無關(guān)的選擇無關(guān)異面直線異面直線a和和b所成角的范圍是所成角的范圍是(0o，90o ，異，異面直線所成的角不能為面直線所成的角不能為00，否則就成了兩條平行，否則就成了兩條平行直線，當(dāng)這個(gè)角取直線，當(dāng)這個(gè)角取900時(shí)，稱為兩條異面直線互相時(shí)，稱為兩條異面直線互相垂直。垂直。知識(shí)整合 2 2、直線和平面所成角、直線和平面所成角 （1 1）定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影）定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影 所成的

5、銳角，所成的銳角，叫做這條直線與這個(gè)平面所成的角。叫做這條直線與這個(gè)平面所成的角。 一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是直角；一條直線和一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是直角；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是0 0的角。的角。 （2 2）關(guān)于這個(gè)定義有兩點(diǎn)應(yīng)該知道：）關(guān)于這個(gè)定義有兩點(diǎn)應(yīng)該知道： 直線和平面所成角的范圍應(yīng)是直線和平面所成角的范圍應(yīng)是000 0，90900 0. 斜線和平面所成的角是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成斜線和平面所成的角是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的角中最小的。其中的角中最小的。其中“經(jīng)

6、過斜足經(jīng)過斜足”這個(gè)限制可以去掉。這個(gè)限制可以去掉。知識(shí)整合 3 3、二面角及其平面角、二面角及其平面角 （1 1）定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖）定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面。叫做二面角的面。 （2 2）二面角及其平面角：一個(gè)平面垂直于二面角的棱，）二面角及其平面角：一個(gè)平面垂直于二面角的棱，且與兩個(gè)半平面分別交于射線且與兩個(gè)半平面分別交于射線OAOA、OBOB、O O為垂足，則為垂足，則AOBAOB叫做二面角的平面角。叫做二面角的平面角。 （3 3）關(guān)于二

7、面角及其平面角的概念應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：）關(guān)于二面角及其平面角的概念應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： 二面角的平面角的大小與垂直于棱的平面的位置無關(guān)；二面角的平面角的大小與垂直于棱的平面的位置無關(guān)； 二面角的大小是用它的平面角的大小來度量的，二面二面角的大小是用它的平面角的大小來度量的，二面角的平面角是多少度，就說這個(gè)二面角是多少度；角的平面角是多少度，就說這個(gè)二面角是多少度； 二面角的平面角所在平面垂直于棱。二面角的平面角所在平面垂直于棱?；A(chǔ)再現(xiàn)基礎(chǔ)再現(xiàn) 1、一個(gè)二面角的兩個(gè)面分別平行于另一個(gè)二面角的兩個(gè)面，、一個(gè)二面角的兩個(gè)面分別平行于另一個(gè)二面角的兩個(gè)面，那么這兩個(gè)二面角（那么這兩個(gè)二面角（ ） A：相等

8、：相等 B：互補(bǔ)：互補(bǔ) C：相等或互補(bǔ)：相等或互補(bǔ) D：無法確定：無法確定 2、若正三棱錐的一個(gè)側(cè)面的面積與底面面積之比等于、若正三棱錐的一個(gè)側(cè)面的面積與底面面積之比等于 ，則，則這個(gè)三棱錐的側(cè)面積和底面這個(gè)三棱錐的側(cè)面積和底面 所成的二所成的二 面角為（面角為（ ） A：30 B： C： D：60l l l l31arccos 31arccos 32arccos 32CD基礎(chǔ)再現(xiàn)基礎(chǔ)再現(xiàn) 3、正四棱錐的相鄰兩側(cè)面所成的二面角一定是（、正四棱錐的相鄰兩側(cè)面所成的二面角一定是（ ） A：銳角：銳角 B：直角：直角 C：鈍角：鈍角 D：均有可能：均有可能 4、己知直線、己知直線 與平面與平面 成成

9、45角，直線角，直線m ，若直線，若直線 在在 內(nèi)的射影與直線內(nèi)的射影與直線m也成也成45 角，角， 則則 與與m所成的角是（所成的角是（ ） A：30 B：45 C：60 D：90l l l lllllCC例題精析 例例1：（：（2001年全國）在正三棱柱年全國）在正三棱柱ABCA1B1C1中，若中，若AB BB1，則，則AB1與與C1B所成的角的大小為所成的角的大小為 。 分析分析1：利用平移法作出異面直線所成的角。：利用平移法作出異面直線所成的角。 分析分析2：利用三垂線定理判斷是否垂直。：利用三垂線定理判斷是否垂直。 分析分析3；利用補(bǔ)形法。；利用補(bǔ)形法。2評析：求兩異面直線所成的角一

10、般方評析：求兩異面直線所成的角一般方法是平移法法是平移法,有些問題表面看是求異面有些問題表面看是求異面直線所成的角，但實(shí)際上是垂直問題，直線所成的角，但實(shí)際上是垂直問題，可利用三垂線定理來確定?？衫萌咕€定理來確定。例題精析 例例2：如圖；空間四邊形：如圖；空間四邊形ABCD中，中，ABCD，AB與與CD成成30角，角，E、F分別是分別是AD、BC的中點(diǎn)。的中點(diǎn)。 （1）求異面直線）求異面直線EF與與AB所成角所成角 （2）求異面直線）求異面直線AF、CE所成角所成角 （3）求）求CE與底面與底面BCD所成的角所成的角 分析：條件中有中線，可利用中位線平移直線，但要注意異面直分析：條件中有中

11、線，可利用中位線平移直線，但要注意異面直線所成角的范圍，求直線與平面所成角，關(guān)鍵是找到平面的垂線。線所成角的范圍，求直線與平面所成角，關(guān)鍵是找到平面的垂線。評析：評析：1、求異面直線所成的角，或應(yīng)用異、求異面直線所成的角，或應(yīng)用異面直線所成的角進(jìn)行解題時(shí)，應(yīng)先作出面直線所成的角進(jìn)行解題時(shí)，應(yīng)先作出（或找出）兩條異面直線所成的角，但所（或找出）兩條異面直線所成的角，但所得的平面角可能是所求的角，也可能是其得的平面角可能是所求的角，也可能是其補(bǔ)角。這一點(diǎn)要認(rèn)真對待，以免誤解。補(bǔ)角。這一點(diǎn)要認(rèn)真對待，以免誤解。2、求直線與平面所成角的三個(gè)步驟、求直線與平面所成角的三個(gè)步驟“作作證證求求”一定要清晰、

12、準(zhǔn)確、完整。一定要清晰、準(zhǔn)確、完整。例題精析 例例3：如圖：已知：如圖：已知ABCD為邊長為為邊長為a的正方形，的正方形，PA 面面ABCD，E為為BC中點(diǎn)中點(diǎn) （1）求）求PCD與面與面ABCD所成角所成角 （2）求）求BPCD大小大小 （3）求）求PAB與與PCD所成角所成角 （4）求）求PED與與ABCD所成角的大小所成角的大小 （5）求）求PED與面與面PAB所成角大小所成角大小例題精析 例例4：如圖：如圖： 是是120的二面角，的二面角，A、B兩點(diǎn)在棱兩點(diǎn)在棱上，上，AB2，D在在 內(nèi)三角形內(nèi)三角形ABD是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， DAB90，C在在 內(nèi)內(nèi)ABD是等腰直角三

13、角形是等腰直角三角形 ACB90 （1）求）求DC與平面與平面 所成角（所成角（2）求二面角）求二面角 的的大小大?。?）求異面直線）求異面直線AB、CD所成角所成角 分析：關(guān)鍵是判斷過分析：關(guān)鍵是判斷過D點(diǎn)垂直于點(diǎn)垂直于 平面平面 的垂線的垂足位置。的垂線的垂足位置。BACD例題精析例題精析 5.在棱長為在棱長為a的正方體的正方體ABCDABCD中，中，E、F分別是分別是BC、AD的中點(diǎn)的中點(diǎn)(1)求證：四邊形求證：四邊形BEDF是菱形；是菱形；(2)求直線求直線AC與與DE所成的角；所成的角；(3)求直線求直線AD與平面與平面BEDF所成的角所成的角.【解題回顧】對于第【解題回顧】對于第(

14、1)小題，若僅由小題，若僅由BE=ED=DF=FB就斷定就斷定BEDF是菱形，那是不對的，因存是菱形，那是不對的，因存在四邊相等的空間四邊形，所以必須證在四邊相等的空間四邊形，所以必須證B、E、D、F四點(diǎn)共面四點(diǎn)共面. 第第(3)小題應(yīng)用了課本一道習(xí)題的結(jié)論，小題應(yīng)用了課本一道習(xí)題的結(jié)論，才證明了才證明了AD在平面在平面BEDF內(nèi)的射影在內(nèi)的射影在BD上上返回返回精彩小結(jié) 1、求異面直線所成角的主要方法、求異面直線所成角的主要方法 （1）平移法：作出異面直線所成的角的基本方法是平）平移法：作出異面直線所成的角的基本方法是平移法，也就是把兩條異面直線平移成兩條相交直線，兩移法，也就是把兩條異面直

15、線平移成兩條相交直線，兩條異面直線所成的角就是這兩條相交直線所成的角（或條異面直線所成的角就是這兩條相交直線所成的角（或其補(bǔ)角）。其補(bǔ)角）。 有兩點(diǎn)值得注意：有兩點(diǎn)值得注意： 把異面直線平移成相交直線后，相交直線所成的角可把異面直線平移成相交直線后，相交直線所成的角可能是鈍角，而異面直線所成的角只能是銳角或直角，所能是鈍角，而異面直線所成的角只能是銳角或直角，所以平移后得到的角是異面直線所成角的補(bǔ)角。以平移后得到的角是異面直線所成角的補(bǔ)角。 點(diǎn)點(diǎn)O的選擇對于夾角的大小來說相當(dāng)關(guān)鍵，為了易于的選擇對于夾角的大小來說相當(dāng)關(guān)鍵，為了易于求出夾角的大小，點(diǎn)求出夾角的大小，點(diǎn)O常選在異面直線中的一條上；

16、若常選在異面直線中的一條上；若是在幾何體中作異面直線的夾角，點(diǎn)是在幾何體中作異面直線的夾角，點(diǎn)O經(jīng)常選在幾何體經(jīng)常選在幾何體的特殊點(diǎn)上，如棱（或?qū)蔷€）的端點(diǎn)、中點(diǎn)等特殊點(diǎn)。的特殊點(diǎn)上，如棱（或?qū)蔷€）的端點(diǎn)、中點(diǎn)等特殊點(diǎn)。精彩小結(jié) 2、求直線和平面所成角的方法、求直線和平面所成角的方法 （1）斜線和平面所成角的作法是：）斜線和平面所成角的作法是： 如圖，設(shè)直線如圖，設(shè)直線 與平面與平面 斜交，斜交，O為斜足，為斜足，在在 上取異于上取異于O的點(diǎn)的點(diǎn)A，由點(diǎn)，由點(diǎn)A引平面引平面 的垂的垂線，垂足為線，垂足為B， AOB就是斜線與平面所成的角。其中點(diǎn)就是斜線與平面所成的角。其中點(diǎn)A應(yīng)應(yīng)根據(jù)問題的

17、條件選在根據(jù)問題的條件選在 上的適當(dāng)位置。上的適當(dāng)位置。 作法的關(guān)鍵在于確定平面的垂線作法的關(guān)鍵在于確定平面的垂線AB，實(shí)際操，實(shí)際操作應(yīng)按以下步驟進(jìn)行：作應(yīng)按以下步驟進(jìn)行：lll精彩小結(jié) 首先查看已知條件和題目所給的圖形中是否已有所需要的垂線。首先查看已知條件和題目所給的圖形中是否已有所需要的垂線。 當(dāng)已知條件和題目所給的圖形沒有所需要的垂線時(shí)，應(yīng)考慮能當(dāng)已知條件和題目所給的圖形沒有所需要的垂線時(shí)，應(yīng)考慮能否利用兩平面垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行補(bǔ)作。否利用兩平面垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行補(bǔ)作。 若無法利用兩平面垂直的性質(zhì)定理作出所需要的垂線，必須直若無法利用兩平面垂直的性質(zhì)定理作出所需要的垂線，必須直接由點(diǎn)

18、向平面引垂線時(shí)，應(yīng)考慮垂足的位置。接由點(diǎn)向平面引垂線時(shí)，應(yīng)考慮垂足的位置。精彩小結(jié) （2）求直線和平面所成角的方法：）求直線和平面所成角的方法： 射影法：主要是根據(jù)定義作出斜線在平面內(nèi)的射影，從而作出射影法：主要是根據(jù)定義作出斜線在平面內(nèi)的射影，從而作出線面角，并在直角三角形內(nèi)求解。線面角，并在直角三角形內(nèi)求解。 用公式用公式 求之。求之。1coscos2cos 精彩小結(jié) 3、求二面角大小的一般方法。、求二面角大小的一般方法。二面角的大小是用它的平面角來度量的。二面角的大小是用它的平面角來度量的。如何找（或作）出二面的平面角，并且求如何找（或作）出二面的平面角，并且求出其大小，主要有以下幾種方

19、法：出其大小，主要有以下幾種方法：精彩小結(jié) （1）定義法：直接在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)），分別在）定義法：直接在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)），分別在兩個(gè)半平面中作棱的垂線，得出平面角。用定義法，要認(rèn)真觀察兩個(gè)半平面中作棱的垂線，得出平面角。用定義法，要認(rèn)真觀察圖形的特性。圖形的特性。 （2）三垂線法：已知二面角其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到另一個(gè)面的垂）三垂線法：已知二面角其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到另一個(gè)面的垂線，用三垂線定理或其逆定理作出平面角。線，用三垂線定理或其逆定理作出平面角。 （3）垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過兩垂線）垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過兩垂線作平面與兩個(gè)半平面的交線所成的角即為平面角。由此可知，二作平面與兩個(gè)半平面的交線所成的角即為平面角。由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直。面角的平面角所在的平面與棱垂直。 （4）射影法：利用面積射影公式）射影法：利用面積射影公式 射射 投投 ， 其中其中 為平為平面角的大小，此方法不必在圖中畫出平面角來。面角的大小，此方法不必在圖中畫出平面角來。SScos精彩小結(jié) 4、對于未給棱的二面角求法，一般情況下，首先作棱，、對于未給棱的二面角求法，一般情況下，首先作棱，在有利條件下，利用射影公式求更方便。在有利條件下，利用射影公式求更方便。