浙江省2018年中考數學總復習 第五章 基本圖形(二)第24講 圓的有關計算講解篇

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1、 第24講　圓的有關計算 圓的弧長及扇形面積公式 考試內容 考試 要求 圓的半徑是R，弧所對的圓心角度數是n b 弧長公式 弧長l＝ 扇形面 積公式 S扇＝＝lR 拓展 求運動所形成的路徑長或面積時，關鍵是理清運動所形成圖形的軌跡變化，特別是扇形，需要理清圓心與半徑的變化． 考試內容 考試 要求 基本 思想 轉化思想：處理不規(guī)則圖形的面積時，注意利用割補法與等積變換轉化為規(guī)則圖形，再利用規(guī)則圖形的公式求解． c 1． (2017·衢州)運用圖形變化的方法研究下列問題：如圖，AB是⊙O的直徑，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF

2、，AB＝10，CD＝6，EF＝8.則圖中陰影部分的面積是(　　) A.π B．10π C．24＋4π D．24＋5π 2．(2017·溫州)已知扇形的面積為3π，圓心角為120°，則它的半徑為____________________． 3．(2017·臺州)如圖，扇形紙扇完全打開后，外側兩竹條AB，AC的夾角為120°，AB長為30cm，則弧BC的長為____________________cm.(結果保留π) 【問題】(1)如圖，將長為8cm的鐵絲首尾相接圍成半徑為2cm的扇形．則S扇形＝__

3、______cm2. (2) 通過(1)解答，你能聯想扇形等相關的哪些知識． 【歸納】通過開放式問題，歸納、疏理扇形的弧長公式、面積公式的計算． 類型一　弧長的計算 　(2016·湖州)如圖，已知四邊形ABCD內接于圓O，連結BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°. (1)求證：BD＝CD； (2)若圓O的半徑為3，求的長． 【解后感悟】本題運用弧長的計算公式，解答本題關鍵是根據題意得出圓心角及半徑． 1． (1)(2015·紹興)如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，⊙O的半徑為2，∠B＝135°，則的長(　　) A．2π

4、 B．π C. D. (2) 如圖，某廠生產橫截面直徑為7cm的圓柱形罐頭，需將“蘑菇罐頭”字樣貼在罐頭側面．為了獲得較佳視覺效果，字樣在罐頭側面所形成的弧的度數為90°，則“蘑菇罐頭”字樣的長度為(　　) A.cm B.cm C.cm D．7πcm 2．如圖，△ABC是正三角形，曲線CDEF…叫做“正三角形的漸開線”，其中，，，…的圓心按點A，B，C循環(huán)．如果AB＝1，那么曲線CDEF的長是　　　　　　　　(結果保留π)．

5、 類型二　扇形面積的計算 　(2016·黃石)如圖所示，正方形ABCD對角線AC所在直線上有一點O，OA＝AC＝2，將正方形繞O點順時針旋轉60°，在旋轉過程中，正方形掃過的面積是　　　　　　　　. 【解后感悟】求不規(guī)則圖形的面積，常轉化為易解決問題的基本圖形，然后求出各圖形的面積，通過面積的和差求出結果；陰影部分一般都是不規(guī)則的圖形，不能直接用公式求解，通常有兩條思路，一是轉化成規(guī)則圖形面積的和、差；二是進行圖形的割補．扇形面積公式和弧長公式容易混淆，S扇形＝πR2＝lR. 3． 如圖，在?ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以點A為圓心，AD的長為半徑畫弧交AB

6、于點E，連結CE，則陰影部分的面積是____________________(結果保留π)． 4．(2017·麗水模擬)如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是邊AC上的一點，連結BD，使∠A＝2∠1，E是BC上的一點，以BE為直徑的⊙O經過點D. (1)求證：AC是⊙O的切線； (2)若∠A＝60°，⊙O的半徑為2，求陰影部分的面積．(結果保留根號和π) 類型三　圓與正多邊形的計算 　如圖，正六邊形ABCDEF中，AB＝2，點P是ED的中點，連結AP，則AP的長為(　　) A．2 B．4 C.

7、 D. 【解后感悟】本題是正六邊形的有關計算，運用正六邊形的性質將正六邊形轉化為直角三角形或等邊三角形是解題的關鍵． 5． (2015·金華)如圖，正方形ABCD和正△AEF都內接于⊙O，EF與BC、CD分別相交于點G、H，則的值是(　　) A. B. C. D．2 6．(1)如圖，⊙O的半徑為1cm，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，則圖中陰影部分面積為　　　　　　　　cm2.(結果保留π) (2)(2015·深圳模擬)如圖一組有規(guī)律的正多邊形，各正多邊形中的陰影部分

8、面積均為a，按此規(guī)律；則第n個正多邊形的面積為____________________． 類型四　平面圖形的運動問題 　如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，邊CD在直線l上，將矩形ABCD沿直線l作無滑動翻滾，當點A第一次翻滾到點A1位置時，則點A經過的路線長為________． 【解后感悟】本題運用了弧長的計算、矩形的性質以及旋轉的性質；根據題意畫出點A運動軌跡，是突破解題難點的關鍵． 7．如圖，BD是汽車擋風玻璃前的刮雨刷．如果BO＝65 cm，DO＝15 cm，當BD繞點O旋轉90°時，求刮雨刷BD掃過的面積． 　　　　　　　　 【探索研究題

9、】 如圖，已知邊長為2的正三角形ABC頂點A的坐標為(0，6)，BC的中點D在y軸上，且在點A下方，點E是邊長為2，中心在原點的正六邊形的一個頂點，把這個正六邊形繞中心旋轉一周，在此過程中DE的最小值為(　　) A．3 B．4－ C．4 D．6－2 【方法與對策】這是兩個正多邊形通過直角坐標系的組合，然后利用旋轉變換設置問題，利用幾何最值求解，這類題型是中考命題的方向． 【忽視關鍵位置的運動路徑】 如圖，將半徑為2cm的圓形紙板沿著長和寬分別為16cm和12cm的矩形的外側滾動一周并回到開始的

10、位置，圓心所經過的路線長是________cm. 參考答案 第24講　圓的有關計算 【考題體驗】 1．A　2.3　3.20π 【知識引擎】 【解析】(1)由題意知，弧長＝8－2×2＝4cm，扇形的面積是×4×2＝4cm2，故答案為：4cm2.　(2)扇形的弧長及面積等相關知識． 【例題精析】 例1　(1)∵四邊形ABCD內接于圓O，∴∠DCB＋∠BAD＝180°，∵∠BAD＝105°，∴∠DCB＝180°－105°＝75°，∵∠DBC＝75°，∴∠DCB＝∠DBC＝75°，∴BD＝CD；　(2)∵∠DCB＝∠DBC＝75°，∴∠BDC＝30°，由圓周角定理，得的度數為6

11、0°，故＝＝＝π，答：的長為π.　 例2　∵OA＝AC＝2，∴AB＝BC＝CD＝AD＝，OC＝4，S陰影＝π(42－22)＋()2＝2π＋2，故答案為：2π＋2.　 例3　∵△ABE、△APE為直角三角形，∴AE＝＝＝，∴AP＝＝＝，故選C. 　例4　∵四邊形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝3，∴BC＝AD＝3，∠ADC＝90°，對角線AC(BD)＝5.∵根據旋轉的性質知，∠ADA′＝90°，AD＝A′D＝BC＝3，∴點A第一次翻滾到點A′位置時，則點A經過的路線長為＝；同理，點A′第一次翻滾到點A″位置時，則點A′經過的路線長為＝2π，點A″第一次翻滾到點A1位置時，則點A″經過的

12、路線長為＝，則當點A第一次翻滾到點A1位置時，則點A經過的路線長為＋2π＋＝6π.故答案是6π. 【變式拓展】 1．(1)B　(2)B　2.4π　3.3－π 4. (1) 如圖，連結OD，∵OB＝OD，∴∠1＝∠2，∴∠DOC＝2∠1，∵∠A＝2∠1，∴∠A＝∠DOC，∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠C＝90°，∴∠DOC＋∠C＝90°，∴∠ODC＝90°∵OD為半徑，∴AC是⊙O的切線；　(2)∵∠A＝∠DOC＝60°，OD＝2，∴在Rt△ODC中，tan60°＝，DC＝ODtan60°＝2×＝2，∴SRt△ODC＝OD·DC＝×2×2＝2，S扇形ODE＝＝＝π，∴S陰影＝SRt△

13、ODC－S扇形ODE＝2－π.　 5. C　6.(1)　(2)a　 7.在△AOC和△BOD中，∵OC＝OD，AC＝BD，OA＝OB，∴△AOC≌△BOD，∴陰影部分的面積為扇環(huán)的面積，即S陰影＝S扇形AOB－S扇形COD＝π(OA2－OC2)＝π×(652－152)＝1000π(cm2)．答：刮雨刷BD掃過的面積是1000π cm2. 【熱點題型】 【分析與解】在正三角形ABC中，邊長為2，易得AD＝；在正六邊形繞中心O旋轉一周的過程中，若DE的值最小，則E點位于y軸的正半軸上，在正六邊形中易得OE＝2，此時DE＝AO－AD－OE＝6－－2＝4－.故選B. 【錯誤警示】圓心所經過的路線長為2×(16＋12)＋2π×2＝(4π＋56)(cm)． 8