2019屆中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專項二 解答題專項 十、二次函數(shù)與幾何圖形綜合題課件.ppt

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專項二解答題專項 十 二次函數(shù)與幾何圖形綜合題 針對陜西中考第24題 中考解讀 中考解讀 二次函數(shù)與幾何圖形綜合題為陜西中考解答題必考題 題位為第24題 分值為10分 涉及求點的坐標(biāo) 求函數(shù)解析式 利用待定系數(shù)法 三角形的全等和相似的性質(zhì)和判定 等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)和判定 特殊四邊形 平行四邊形 矩形 菱形 正方形 的性質(zhì)和判定 點的存在性 兩點之間線段最短 垂線段最短 面積的最值等 這類題目結(jié)構(gòu)新穎 形式美觀 動靜結(jié)合 解法活而不難 但有較強的綜合性 要逐步突破 其主要考查類型為 1 二次函數(shù)與圖形判定 2 二次函數(shù)與相似三角形 全等三角形 3 二次函數(shù)與圖形面積 4 二次函數(shù)與圖形變換 5 二次函數(shù)與最值問題 解答題專項 核心素養(yǎng)及解題思想和方法1 核心素養(yǎng) 數(shù)學(xué)抽象 數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)運算 直觀想象 2 數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想 3 常用解題方法 代數(shù)法和幾何法 類型1二次函數(shù)與圖形判定 解答題專項 代數(shù)模型一 平面直角坐標(biāo)系中兩點距離公式 代數(shù)模型二 中點坐標(biāo)公式 解答題專項 代數(shù)模型三 平行四邊形四頂點坐標(biāo)模型 解答題專項 幾何模型一 兩圓一線法 精確定位 兩定一動 型等腰三角形 含等邊三角形 存在性問題中的動點坐標(biāo) 問題情境 如圖 已知點A B和直線l 在l上求作點P 使 PAB為等腰三角形 問題探究 如圖 分別以點A B為圓心 以線段AB為半徑作圓 再作線段AB的中垂線 兩圓和AB的中垂線分別與直線l的交點均為符合條件的P點 問題解決 利用 兩圓一線 法確定符合條件的動點 然后分別表示出點A B P的坐標(biāo) 再表示出線段AB AP BP的長度 由三條線段關(guān)系 AB AP或AB BP或PA PB 建立等量關(guān)系 解決問題 等量關(guān)系可利用 1 勾股定理建立 2 方程思想建立 3 成比例線段或相似關(guān)系建立 解答題專項 幾何模型特例一在平面直角坐標(biāo)系中 已知點A 3 0 B 0 4 在x軸上找一點P 使 ABP為等腰三角形 求滿足條件的所有P點坐標(biāo) 方法一 代數(shù)法 由于動點P在x軸上 設(shè)P m 0 由兩點距離公式表示AB AP BP 然后列方程可得 舉一反三 如果P點在坐標(biāo)軸上 滿足條件的點有幾個 方法二 兩圓一線 法精確定位 可直接口算出圓與x軸交點坐標(biāo) 一線 與x軸交點坐標(biāo)可用勾股定理構(gòu)建方程求解 如圖 由勾股定理可知AB 5 當(dāng)AB AP1 AP3 5時 易得P1 8 0 P3 2 0 當(dāng)AB BP4時 P4 3 0 當(dāng)AP2 BP2時 設(shè)在Rt P2OB中 P2 m 0 由勾股定理 得 m 3 2 m2 42 解得m 76 所以P2 解答題專項 幾何模型二 一圓兩線 法 精確定位 兩定一動 型直角三角形存在性問題中的動點坐標(biāo) 問題情境 如圖 已知點A B和直線l 在l上求作點P 使 PAB為直角三角形 問題探究 如圖 先以AB為直徑作圓與直線l相交 再分別過A B作線段AB的垂線 垂線和圓與直線l的交點即為所求的P點 問題解決 分別表示出點A B P的坐標(biāo) 再表示出線段AB AP BP的長度 根據(jù)圖形特殊性分別建立等量關(guān)系 等量關(guān)系可利用 1 AB2 AP2 BP2或AP2 AB2 BP2或BP2 AB2 AP2 即勾股定理 2 相似 常見一線三等角 3 三角函數(shù) 解答題專項 幾何模型特例二如圖11 在平面直角坐標(biāo)系中 已知點A 3 0 B 0 4 在坐標(biāo)軸上找一點C 使 ABC為直角三角形 求滿足條件的所有C點坐標(biāo) 簡析 本例可采用 代數(shù)法 借助兩點距離公式 用勾股定理建立等量模型 分類討論求解 也可采用 一圓兩線 法 方法一 代數(shù)法 利用兩點距離公式分別表示出AB AC BC 然后利用勾股定理建立等量關(guān)系即可解決問題 解答題專項 方法二 一圓兩線 法 如圖12 精確畫圖后 利用相似或勾股定理求出符合條件的點的坐標(biāo) 通解通法 解特殊三角形點的存在性問題有兩種方法 1 代數(shù)法盲解盲算 代數(shù)法一般分三步 羅列三邊長 分類列方程 等量關(guān)系有勾股定理 相似 三角函數(shù)等 求解并檢驗 2 幾何法 即 兩圓一線 和 一圓兩線 精準(zhǔn)定位 分三步 分類 畫圖 計算 解題過程中 二者有效結(jié)合 有力彰顯數(shù)形結(jié)合思想 幾何模型三 平行線構(gòu)造 法 精確確定 三定一動 型或 兩定兩動 型特殊四邊形 包括菱形 矩形 正方形 這里以平行四邊形為例 存在性問題 問題情境 如圖13 已知平面內(nèi)不共線的三點A B C或兩點A B 求作一點或兩點C P 使得A B C P四個點組成平行四邊形 問題探究 1 如圖14 順次連接AB BC CA 分別過A B C作對邊的平行線 三條平行線交點即為所求點P 解答題專項 2 對于已知兩點 求兩點C P 題目中的C P兩動點位置受某種條件約束 如圖15 若以AB為一邊 根據(jù)題目約束條件 可將AB進(jìn)行上下左右平移 找到適合條件的兩個點的坐標(biāo) 如圖16 若以AB為對角線 找出AB中點 旋轉(zhuǎn)經(jīng)過中點的直線 尋找適合條件的兩個點的坐標(biāo) 問題解決 1 用四頂點坐標(biāo)公式解決 三定一動 平行四邊形存在性問題的方法 直接利用平行四邊形四頂點坐標(biāo)模型為等量關(guān)系列方程求出P點坐標(biāo) 2 轉(zhuǎn)化成點的平移 平行 的幾何模型求出點的坐標(biāo) 2 用四頂點坐標(biāo)模型解決 兩定兩動 平行四邊形存在性問題的方法 首先確定已知兩個點坐標(biāo) 設(shè)出一個特殊位置的動點坐標(biāo) 然后確定相對頂點 分三種情況分類討論 把第四個點的坐標(biāo)用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示 最后代入相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式即可求出待定點的坐標(biāo) 解答題專項 幾何模型特例三如圖17 在平面直角坐標(biāo)系中 已知點A 1 0 B 2 2 C 0 3 在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點D 使得以A B C D四點組成的四邊形為平行四邊形 簡析 如圖18 分別過A B C三點作對邊的平行線 三條平行線互相交于點D1 D2 D3 方法一 如圖19 以D1點為例 在平行四邊形ABD1C中 以AB為一邊時 設(shè)D1 xD yD 這里點A與點D1 點C與點B為對應(yīng)頂點 利用四頂點坐標(biāo)公式 易得D1 解答題專項 點坐標(biāo) 以D3點為例 AB為對角線 這里點A與點B 點C與點D3為對應(yīng)頂點 用上述方法易得D3點坐標(biāo) 方法二 平移法 如圖19 以AB為一邊時 以D1點為例 首先確定點D1與點C在同一條直線上 且CD1 AB 故A 1 0 平移法 秒殺D1點坐標(biāo) 本題還可以利用點D1與點B在同一條直線上 且得D1點坐標(biāo) 以AB為對角線時 以D3點為例 通過構(gòu)造 BGD3 COA 易得D3點坐標(biāo) 通解通法 平行四邊形的存在性問題 可以利用上述 平行線 構(gòu)造法和對角線互相平分來精確確定適合條件的點的存在性問題 然后利用全等或平移 平行 相關(guān)性質(zhì)求出相應(yīng)點的坐標(biāo) 也可以利用代數(shù)模型求解 三定一動 或 兩定兩動 平行四邊形存在性問題代數(shù)法求解步驟 1 寫出或設(shè)出三個 兩個 頂點的坐標(biāo) 2 確定對應(yīng)頂點 利用對應(yīng)頂點建立等量關(guān)系 直接求出或用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出第四個點的坐標(biāo) 3 將設(shè)出的點的坐標(biāo)代入相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式 求出待定點的坐標(biāo) 解答題專項 例1如圖 拋物線y 2x2 bx c與x軸交于A 2 0 B 1 0 兩點 交y軸于點C 1 求該拋物線的解析式 2 在拋物線的對稱軸上是否存在一點P 使 BCP為等腰三角形 若存在 求出P點坐標(biāo) 若不存在 說明理由 解答題專項 解答題專項 解答題專項 解答題專項 類型2二次函數(shù)與相似三角形 全等三角形 核心素養(yǎng)及解題思想和方法1 核心素養(yǎng) 數(shù)學(xué)抽象 數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)運算 直觀想象 2 常用解題思想 數(shù)形結(jié)合思想 分類討論思想 方程思想 3 常用解題方法 代數(shù)法和幾何法 代數(shù)模型1 如果給定的兩個點的縱坐標(biāo)相同 如 x1 y x2 y 則可以得到對稱軸為直線x 2 一次函數(shù)y kx n k 0 的圖像l與二次函數(shù)y ax2 bx c a 0 的圖像C的交點 由方程組的解的數(shù)目來確定 1 方程組有兩組不同的解時 l與C有兩個交點 2 方程組只有一組解時 l與C只有一個交點 3 方程組無解時 l與C沒有交點 解答題專項 幾何模型 三角形相似模型 解答題專項 知識必備及方法歸納 1 相似的判定 a 兩邊對應(yīng)成比例 夾角相等的兩個三角形相似 b 兩角對應(yīng)相等兩個三角形相似 c 三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似 d 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似 e 如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例 那么這兩個直角三角形相似 2 相似 與 一般地 若 ABC與 DEF相似 則不存在對應(yīng)關(guān)系 需分類討論 若 ABC DEF 則具備對應(yīng)關(guān)系 只有一種情況 不需討論 通解通法 1 兩個定三角形是否相似 1 已知一角相等 等角分顯性和隱性 方法為 運用兩點間的距離公式求出已知角的兩條夾邊 若是 相似 對應(yīng)成比例有兩種情況 分類求解 若是 則對應(yīng)成比例只有一種情形 利用定角定比結(jié)論 即確定的角 其三角函數(shù)值確定 巧用三角函數(shù)求解 2 若無角相等的情形 運用兩點間的距離公式求出兩個三角形各邊的長 看看是否成比例 若成比例 則相似 否則不相似 解答題專項 2 一個定三角形和動三角形相似 1 已知有一個角相等的情形 先借助于相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式 把動點坐標(biāo)表示出來 用字母表示 然后把兩個目標(biāo)三角形 題中要求相似的那兩個三角形 中相等的那個已知角作為夾角 分別計算或表示出夾角的兩邊 讓形成相等的夾角的那兩邊對應(yīng)成比例 要注意是否有兩種情況 列出方程 解此方程即可求出動點的橫坐標(biāo) 進(jìn)而求出縱坐標(biāo) 注意去掉不合題意的點 2 未知是否有一角相等的情形 這種情形在相似中屬于高端問題 破解方法是 在定三角形中 由各個頂點坐標(biāo)求出定三角形三邊的長度 用觀察法得出某一個角可能是特殊角 再為該角尋找一個直角三角形 用三角函數(shù)的方法得出特殊角的度數(shù) 在動點坐標(biāo)用字母表示后 分析在動三角形中哪個角可以和定三角形中的那個特殊角相等 借助特殊角 為動點尋找一個直角三角形 求出動點坐標(biāo) 從而轉(zhuǎn)化為已知有一個角相等的兩個定三角形是否相似的問題 只需再驗證已知角的兩邊是否成比例 若成比例 則所求動點坐標(biāo)符合題意 否則這樣的點不存在 簡稱 找特角 求 動 點標(biāo) 再驗證 或稱為 一找角 二求標(biāo) 三驗證 解答題專項 例2如圖 在平面直角坐標(biāo)系中 直線y x 2與x軸交于點A 與y軸交于點C 拋物線y ax2 bx c的對稱軸是直線x 且經(jīng)過A C兩點 與x軸的另一交點為B 1 直接寫出點B的坐標(biāo) 求拋物線的解析式 2 拋物線上是否存在點M 過點M作MN x軸于點N 使得以點A M N為頂點的三角形與 ABC相似 若存在 求出點M的坐標(biāo) 若不存在 請說明理由 解答題專項 解答題專項 解答題專項 類型3二次函數(shù)與圖形面積核心素養(yǎng)及解題思想和方法1 核心素養(yǎng) 數(shù)學(xué)抽象 數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)運算 直觀想象 2 數(shù)學(xué)思想方法 數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想 3 常用解題方法 寬高模型和平行線構(gòu)造模型 代數(shù)模型 解答題專項 幾何模型寬高模型如圖 已知 ABC 分別過A B C三點向水平直線l作垂線 垂足分別為D E F AE交BC于點K 設(shè)DF a AK h 則S ABC h a 我們把DF叫水平寬 AK叫鉛垂高 結(jié)論推導(dǎo) 任意三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半 平行線構(gòu)造模型如圖 在平面直角坐標(biāo)系中 拋物線交x軸于A B 點C在x軸下方的拋物線上 在拋物線上找一點P 使S ACP S ACB 平行構(gòu)圖 因為 ACP和 ACB同底 若面積相等 則高線相等 所以過B點在AC上方作直線l1 AC 在AC下方作直線l2 AC 且直線l1 l2到AC距離相等 其他倍比關(guān)系同上法 解答題專項 通解通法 設(shè)拋物線解析式為y ax2 bx c 直線AC的解析式為y kx m 1 如圖 水平寬鉛垂高模型 以P2點為例 首先設(shè)出待求點P2的坐標(biāo)為 x ax2 bx c G x kx m S ACP S ACB 同底 則鉛垂高相等 P2G kx m ax2 bx c 那么 yc kx m ax2 bx c 列方程求解 2 如圖 因為l1 AC 以P1為例 利用平行關(guān)系和點B坐標(biāo) 求出直線l1解析式 然后聯(lián)立直線l1解析式與拋物線解析式 解方程組得出P1點坐標(biāo) 解答題專項 例3 2015 陜西中考 在平面直角坐標(biāo)系中 拋物線y x2 5x 4的頂點為M 與x軸交于A B兩點 與y軸交于C點 1 求點A B C的坐標(biāo) 2 求拋物線y x2 5x 4關(guān)于坐標(biāo)原點O對稱的拋物線的函數(shù)解析式 3 設(shè) 2 中所求拋物線的頂點為M 與x軸交于A B 兩點 與y軸交于C 點 在以A B C M A B C M 這八個點中的四個點為頂點的平行四邊形中 求其中一個不是菱形的平行四邊形的面積 解答題專項 解答題專項 類型4二次函數(shù)與圖形變換核心素養(yǎng)及解題思想和方法1 核心素養(yǎng) 數(shù)學(xué)抽象 數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)運算 直觀想象 2 數(shù)學(xué)思想方法 數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想 3 平移模型 旋轉(zhuǎn)模型和軸對稱模型 一 平移模型如圖 在平面直角坐標(biāo)系中 點A 0 yA B xB 0 C xC 0 將 ABC向右平移m個單位長度 再向下平移n個單位長度 此時點A m yA n B xB m n C xC m n 注 平移不改變圖形的形狀和大小 解答題專項 通解通法 1 知識必備 根據(jù)圖形平移的性質(zhì) 平移不改變圖形的形狀和大小 拋物線平移的過程中 形狀 大小 開口均不變 即a的值不變 2 如圖 拋物線C1 y ax2 bx c向右平移m個單位長度 再向上平移n個單位長度 求平移后的拋物線C2的解析式或滿足某個特殊圖形相應(yīng)條件的問題 解法 當(dāng)平移距離一定時 拋物線C1平移到拋物線C2后 易得點C 的坐標(biāo) a的值不變 設(shè)C2 y ax2 b x c 利用頂點坐標(biāo)公式即可求出待定系數(shù)b c 的值 當(dāng)平移距離待定時 設(shè)出相應(yīng)點的坐標(biāo) 利用特殊圖形的性質(zhì) 列方程建立等量關(guān)系解題 二 旋轉(zhuǎn)模型如圖 在平面直角坐標(biāo)系中 點A 0 yA B xB 0 C xC 0 將 ABC繞點B順 解答題專項 或逆 時針旋轉(zhuǎn)180 此時點A 2xB yA C 2xB xC 0 注 旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小 通解通法 1 知識必備 初中階段旋轉(zhuǎn)一般旋轉(zhuǎn)180 實際上指的是關(guān)于某個點成中心對稱 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) 旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小 拋物線在旋轉(zhuǎn)過程中 形狀 大小不變 開口方向相反 兩拋物線關(guān)于某個點成中心對稱 特例 關(guān)于原點對稱 a的值變?yōu)橄喾磾?shù) 頂點的橫 縱坐標(biāo)互為相反數(shù) 2 如圖 拋物線C1 y ax2 bx c繞點A旋轉(zhuǎn)180 得到拋物線C2 求旋轉(zhuǎn)后的拋物線C2的解析式或滿足某個特殊圖形相應(yīng)條件的問題 解法 1 確定原拋物線的旋轉(zhuǎn)中心 2 拋物線C2的二次項系數(shù)為 a 利用中心對稱的性質(zhì)構(gòu)造全等求出相應(yīng)點的坐標(biāo)或設(shè)出相應(yīng)點的坐標(biāo) 利用特殊圖形的性質(zhì) 列方程建立等量關(guān)系解題 解答題專項 三 軸對稱模型如圖 在平面直角坐標(biāo)系中 點A 0 yA B xB 0 C xC 0 ABC與 AB C 關(guān)于y軸對稱 此時點B xB 0 C xC 0 注 軸對稱又稱折疊 對稱或翻折 通解通法 1 知識必備 根據(jù)軸對稱的性質(zhì) 成軸對稱圖形的兩個圖形 形狀 大小不變 對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分 如圖 拋物線C1 y ax2 bx c沿直線x m對折得到拋物線C2 求折疊后的拋物線C2的解析式或滿足某個特殊圖形相應(yīng)條件的問題 解法 1 確定原拋物線特殊點的坐標(biāo) 2 拋物線C2的二次項系數(shù)為a 利用軸對稱的性質(zhì)和兩拋物線的對稱軸 求出相應(yīng)點的坐標(biāo)或設(shè)出相應(yīng)點的坐標(biāo) 利用特殊圖形的性質(zhì) 列方程建立等量關(guān)系解題 解答題專項 例4如圖 已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中 已知拋物線y x2 bx c經(jīng)過點A 2 2 對稱軸是直線x 1 頂點為B 1 求這條拋物線的表達(dá)式和點B的坐標(biāo) 2 點M在對稱軸上 且位于頂點上方 設(shè)它的縱坐標(biāo)為m 連接AM 用含m的代數(shù)式表示 AMB的正切值 3 將該拋物線向上或向下平移 使得新拋物線的頂點C在x軸上 原拋物線上一點P平移后的對應(yīng)點為點Q 如果OP OQ 求點Q的坐標(biāo) 解答題專項 解答題專項 類型5二次函數(shù)與線段最值 面積最值問題核心素養(yǎng)及解題思想和方法1 核心素養(yǎng) 數(shù)學(xué)抽象 數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)運算 直觀想象 2 數(shù)學(xué)思想方法 數(shù)形結(jié)合思想 分類討論思想 轉(zhuǎn)化思想 3 常用解題方法 代數(shù)法和幾何法 一 二次函數(shù)與線段最值問題常見模型一 問題情境 如圖 在平面直角坐標(biāo)系中 拋物線與x軸交于A B兩點 與y軸交于點C 在對稱軸上找一點P 使PA PC的值最小或 PA PC 的值最大 求適合條件的點P的坐標(biāo)或最值 通解通法 1 知識必備 1 兩點之間 線段最短 2 二次函數(shù)頂點式 2 拋物線中的 兩定一動 型 將軍飲馬 和線段之差最大問題 解答題專項 問題解決 1 拋物線上的將軍飲馬 1 找點 如圖 找出點A關(guān)于對稱軸的對稱點A 連接A C與對稱軸交于點P 點P即為所求 2 說理 在 APC中 AC為定值 要使周長最小 那么AP CP最小即可 由軸對稱的性質(zhì) 得AP A P 即AP CP A P CP A C 最小 3 求解 代數(shù)法 用兩點的距離公式分別求出A C和AC的長 可得最小周長 然后利用直線A C的解析式即可求出點P的坐標(biāo) 幾何法 用勾股定理分別求出A C和AC的長 可得最小周長 然后利用相似即可求出點P的坐標(biāo) 2 線段之差最大 1 找點 如圖 延長AC交拋物線的對稱軸于點P 則 PA PC 的值最大 2 說理 在拋物線的對稱軸上找一點P 連接PC PA 當(dāng)A C P三點不在同一直線上時 PA PC AC 當(dāng)A C P三點在同一直線上時 PA PC AC PA PC AC 3 求解 求出直線AC的解析式 運用勾股定理即可求出點P的坐標(biāo) 解答題專項 常見模型二 問題情境 1 如圖 在平面直角坐標(biāo)系中 拋物線與x軸的一個交點為B 與y軸交于點C 頂點坐標(biāo)為F 點P為對稱軸上一點 點H為BF上一點 求BP PH的最小值 2 如圖 在平面直角坐標(biāo)系中 拋物線與x軸的一個交點為B 與y軸交于點C 點P為拋物線上一點 當(dāng)點C到BP的距離最大時 求滿足條件的直線BP的解析式及點P的坐標(biāo) 通解通法 1 知識必備 1 垂線段最短 2 在直角三角形中 斜邊大于直角邊 2 拋物線中 一定兩動 型和 斜大于直 問題 解答題專項 問題解決 1 一定兩動 型問題 1 找點 如圖 要求BP PH最短 由題意可知 B為定點 P H為特定條件的兩個動點 方法為 找出點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點A 過點A作AH BF交BF于點H 交拋物線的對稱軸于點P 點P即為所求 2 說理 由作圖可知 PB PA BP PH AH 又 AH BF AH最短 BP PH的值最小 3 求解 先求出直線BF的解析式 由AH BF求出直線AH的解析式 點P在對稱軸上 利用AH的解析式求出點P的坐標(biāo)即可解決問題 2 斜大于直 問題 如圖 由題意 得C B兩點確定 相當(dāng)于直線BP繞BC旋轉(zhuǎn)過程中 當(dāng)BP CB時 點C到BP的距離最大 理論依據(jù) 斜大于直 方法為 先求出BC的解析式 再由BP BC求出BP的解析式 然后聯(lián)立BP與拋物線的解析式 即可求得點P的坐標(biāo) 此外 二次函數(shù)與滿足某一條件的鉛垂高最大問題也是中考經(jīng)?？疾榈念}目 常與面積最值問題結(jié)合考查 這里不再一一贅述 解答題專項 二 二次函數(shù)與面積最值問題常見模型三 問題情境 在平面直角坐標(biāo)系中 如圖 拋物線y ax2 bx c與x軸交于A B兩點 與y軸交于點D 在拋物線上找一點C 使得 ACD的面積最大 求點C的坐標(biāo)或S ACD的面積的最大值 通解通法 1 知識必備 1 S 底 高 水平寬 鉛垂高 2 二次函數(shù)頂點式 3 符合某種條件的一次函數(shù)與二次函數(shù)聯(lián)立求交點坐標(biāo)和一元二次方程根的判別式 4 兩直線平行時 k值相等 斜率相等 2 拋物線中 兩定一動 型面積問題 注 一動實際上是滿足條件的唯一點的存在問題探究 本質(zhì)上屬于特殊定點的存在性問題 解答題專項 問題解決 首先設(shè)出滿足條件的點P的坐標(biāo) x ax2 bx c 方法1 割補法 把所求圖形的面積適當(dāng)割補 轉(zhuǎn)化成有利于面積表達(dá)的常規(guī)幾何圖形 解析 如圖 過點C作x軸的垂線 交x軸于點F S ACD S四邊形AODC S梯形CFOD S CDE S AEF 實際上采用的是轉(zhuǎn)化思想 化斜為直法解題 方法2 平寬垂高 模型 此種解法思路更為簡潔 如圖 水平寬 AO 鉛垂高 CE 易得直線AD的解析式 由已知設(shè)點C的坐標(biāo)得出點E的坐標(biāo) CE的長度很容易用代數(shù)式表示出來 AO已知 則用 平寬垂高 易建立S ACD與x之間的二次函數(shù)表達(dá)式 配成頂點式 則易得點C的坐標(biāo)或 ACD面積的最大值 解答題專項 方法3 切線法模型 若要使 PBC的面積最大 只需要BC的高最大 過點P作BC的平行線l 當(dāng)直線l與拋物線有唯一交點時 BC的高最大 此時 PBC的面積最大 先求出直線BC的解析式 由直線l BC 可得k的值相等 再將直線l的解析式與二次函數(shù)的解析式聯(lián)立后 令b2 4ac 0時 利用方程求解 得出直線l中b的值 易得結(jié)論 滿足特征的面積最值問題除了以上常用方法以外 有時還可以根據(jù)題目特點通過靈活轉(zhuǎn)化角的方法運用三角函數(shù)解決問題 解答題專項 例5已知拋物線y 2x2 bx c與y軸交于點B 0 4 與x軸交于點A 2 0 拋物線的頂點為D 1 求拋物線的表達(dá)式及點C D的坐標(biāo) 2 連接BC 在拋物線的對稱軸上是否存在一點P 使 CPB的周長最小 若存在 求出點P的坐標(biāo) 若不存在 請說明理由 3 點M為AB上一個動點 過點M作ME x軸 交x軸于點E 交拋物線于點F 線段MF是否存在最大值 若存在 求出最大值 若不存在 請說明理由 解答題專項