馮恩信電磁場與電磁波 課后習(xí)題問題詳解

word習(xí)題1.1 ，求:(a) A和B的大小模； (b) A和B的單位矢量；(c)；(d) ；(e)A和B之間的夾角；(f) A在B上的投影。解：(a) A和B的大小(b) A和B的單位矢量(c)(d) (e)A和B之間的夾角 根據(jù)得(f) A在B上的投影A、B和C在同一平面，證明A·(BC)=0。 證明：設(shè)矢量A、B和C所在平面為平面A=、B和C，證明這三個(gè)矢量都是單位矢量，且三個(gè)矢量是共面的。證明：1三個(gè)矢量都是單位矢量2三個(gè)矢量是共面的1.4 ；，當(dāng)時(shí)，求。解：當(dāng)時(shí)，所以A、B和C形成一個(gè)三角形的三條邊，并利用矢積求此三角形的面積。證明 ：因?yàn)樗匀齻€(gè)矢量A、B和C形成一個(gè)三角形此三角形的面積為1.6 P點(diǎn)和Q點(diǎn)的位置矢量分別為和，求從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的距離矢量與其長度。 解：從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的距離矢量為從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的距離為1.7 求與兩矢量A和B都正交的單位矢量。解：設(shè)矢量與兩矢量A和B都正交，如此 1 21+2 得 31+32得 4如果矢量是單位矢量，如此所以 1.8將直角坐標(biāo)系中的矢量場分別用圓柱和圓球坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分量表示。解：在圓柱坐標(biāo)系中在圓球坐標(biāo)系中1.9 將圓柱坐標(biāo)系中的矢量場用直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分量表示。解：根據(jù)1得又因?yàn)?2利用2式可得1.10 將圓球坐標(biāo)系中的矢量場用直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分量表示。解：根據(jù)1得又因?yàn)?得 =1.11 計(jì)算在圓柱坐標(biāo)系中兩點(diǎn)和之間的距離。解：兩點(diǎn)和之間的距離為1.12空間中同一點(diǎn)上有兩個(gè)矢量，取圓柱坐標(biāo)系，A，B，求:(a) A+B； (b) AB； (c) A和B的單位矢量； (d) A和B之間的夾角； (e) A和B的大??； (f) A在B上的投影。解：(a)(b)(c)(d)A和B之間的夾角(e) A和B的大小(f) A在B上的投影=1.13 矢量場中，取圓柱坐標(biāo)系，在點(diǎn)矢量為A，在點(diǎn)矢量為B；求:(a)A+B； (b) A·B；(c) A和B之間的夾角。解：轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系(a)A+B(b) A·B(c) A和B之間的夾角1.14 計(jì)算在圓球坐標(biāo)系中兩點(diǎn)和之間的距離與從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的距離矢量。解：根據(jù)圓球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系1.15空間中的同一點(diǎn)上有兩個(gè)矢量，取圓球坐標(biāo)系，A，B，求:(a) A+B； (b) A·B； (c) A和B的單位矢量； (d) A和B之間的夾角； (e) A和B的 大?。?(f) A在B上的投影。解：(a)A+B (b) A·B(c) A和B的單位矢量；(d) A和B之間的夾角(e) A和B的 大小(f) A在B上的投影1.16 求的梯度。解：1.17 求標(biāo)量場在點(diǎn)(1,1,1)沿方向的變化率。解：所以 ，利用圓柱坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系，推導(dǎo)。解：在直角坐標(biāo)系中1 2345由2、3式可得6789由15式得而再由69式可得 =1.19 求的梯度。解：1.20 由，利用圓球坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系，推導(dǎo)。解：1.21 求的梯度。解：1.22 求梯度，其中為常數(shù)。解：1.23在圓球坐標(biāo)系中，矢量場為，其中為常數(shù)，證明矢量場對(duì)任意閉合曲線的環(huán)量積分為零，即 。證明：根據(jù)斯托克思定理：=0所以 =01.23 證明1；2。證明：121.24 由A推導(dǎo)。解：圖11推導(dǎo)和。解：1由得 2 1.26 計(jì)算如下矢量場的散度a) b) c) 解：a)b) c)1.27 計(jì)算散度，其中為常矢量。解：1.28 由推導(dǎo)。解：1.29 a) (r) b) (r)= c) (r)=求。解：a)b)c) 1.30求矢量場穿過由確定的區(qū)域的封閉面的通量。解：解法1：為半徑為1的圓弧側(cè)面；為側(cè)平面；下端面；上端面。=解法2：1.31由(A)推導(dǎo)A。解：1設(shè)，為邊長為和的，中心在的矩形回路2設(shè)，為邊長為和的，中心在的矩形回路3設(shè)，為邊長為和的，中心在的矩形回路因此1.32計(jì)算矢量場的旋度解：1.33計(jì)算解：1.34 ，計(jì)算解：對(duì)于任意矢量，假如=01.35 證明矢量場E=既是無散場，又是無旋場。證：1.36 E=，求E和E。解： 1.37 證明。解：1.38 計(jì)算解：根據(jù)亥姆霍茲定理其中因?yàn)?，因此；?duì)于所以 1.39計(jì)算解：根據(jù)亥姆霍茲定理其中因?yàn)?，因此；?duì)于所以第2章習(xí)題2-1.真空中有四個(gè)點(diǎn)電荷，分別位于(1,0,0)，(0,1,0)，(-1,0,0,)，(0,-1,0)點(diǎn)，求(0,0,1)點(diǎn)的電場強(qiáng)度。解：2-2.線電荷密度為的均勻線電荷圍成如下列圖的幾種形狀，求P點(diǎn)的電場強(qiáng)度。 a b c題2-2圖解：(a) 由對(duì)稱性(b) 由對(duì)稱性(c) 建立坐標(biāo)系如下列圖，兩條半無限長線電荷產(chǎn)生的電場為半徑為a的半圓環(huán)線電荷產(chǎn)生的電場為總電場為2-3.真空中無限長的半徑為a的半邊圓筒上電荷密度為，求軸線上的電場強(qiáng)度。解:在無限長的半邊圓筒上取寬度為的窄條,此窄條可看作無限長的線電荷,電荷線密度為,對(duì)積分,可得真空中無限長的半徑為a的半邊圓筒在軸線上的電場強(qiáng)度為題2-3圖 題24圖2-4.真空中無限長的寬度為a的平板上電荷密度為，求空間任一點(diǎn)上的電場強(qiáng)度。解:在平板上處取寬度為的無限長窄條，可看成無限長的線電荷，電荷線密度為，在點(diǎn)處產(chǎn)生的電場為其中 ；對(duì)積分可得無限長的寬度為a的平板上的電荷在點(diǎn)處產(chǎn)生的電場為2-5.真空中電荷分布為r為場點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，a，b為常數(shù)。求電場強(qiáng)度。解：由于電荷分布具有球?qū)ΨQ性，電場分布也具有球?qū)ΨQ性，取一半徑為 r 的球面，利用高斯定理等式左邊為 半徑為 r 的球面的電量為因此，電場強(qiáng)度為2-6.在圓柱坐標(biāo)系中電荷分布為r為場點(diǎn)到z軸的距離，a為常數(shù)。求電場強(qiáng)度。解: 由于電荷分布具有軸對(duì)稱性，電場分布也具有軸對(duì)稱性，取一半徑為 r ,單位長度的圓柱面，利用高斯定理等式左邊為半徑為r 、高為1的圓柱面的電量為因此，電場強(qiáng)度為2-7. 在直角坐標(biāo)系中電荷分布為求電場強(qiáng)度。解: 由于電荷分布具有面對(duì)稱性，電場分布也具有面對(duì)稱性，取一對(duì)稱的方形封閉面,利用高斯定理,穿過面積為 S的電通量為,方形封閉面的電量為因此，電場強(qiáng)度為2-8. 在直角坐標(biāo)系中電荷分布為求電場強(qiáng)度。題28圖解: 由于電荷分布具有面對(duì)稱性，電場分布也具有面對(duì)稱性，取一對(duì)稱的方形封閉面,利用高斯定理,穿過面積為 S的電通量為,方形封閉面的電量為 因此，電場強(qiáng)度為 2-9.在電荷密度為常數(shù)半徑為a的帶電球中挖一個(gè)半徑為b的球形空腔，空腔中心到帶電球中心的距離為c(b+c<a)。求空腔中的電場強(qiáng)度。題2-9圖解:由電場的疊加性,空腔中某點(diǎn)的電場等于完全均勻填充電荷的大球在該點(diǎn)的電場與完全均勻填充負(fù)電荷的小球在該點(diǎn)的電場之和。利用高斯定理，可求得完全均勻填充電荷的大球在該點(diǎn)的電場為完全均勻填充負(fù)電荷的小球在該點(diǎn)的電場為所以，空腔中某點(diǎn)的電場為為從球心指向空腔中心的矢量。2-10.電場分布為求電荷分布。題210圖解:由得2-11. 在圓柱坐標(biāo)中，電場分布為 其中為常數(shù)。求電荷分布。解: 由，得在， 在圓柱坐標(biāo)系在，因此 在r=a，r=b2-12.假如在圓球坐標(biāo)系中電位為求電荷分布。解:由得體電荷密度對(duì)求拉普拉斯運(yùn)算得 因此 下面計(jì)算r=a，r=b的分界面上的面電荷。面電荷密度2-13.分別計(jì)算方形和圓形均勻線電荷在軸線上的電位。(a) (b)解:(a) 方形均勻線電荷在軸線上的電位方形每條邊均勻線電荷的電位其中 方形均勻線電荷在軸線上的電位為(b) 圓形均勻線電荷在軸線上的電位2-14.計(jì)算題2-5給出的電荷分布的電位。解: 題2-5給出的電荷分布的電場為由電位的定義,電位為對(duì)于r>a對(duì)于r<a2-15 四偶極子電荷與圓球坐標(biāo)位置為，求處的電位。解：其中 ；=2-16.電場強(qiáng)度為，試求點(diǎn)(0,0,0)與點(diǎn)(1,2,1)之間的電壓。題216圖解：解法1：從點(diǎn)(0,0,0)到點(diǎn)(1,2,1)的路徑取(0,0,0)到點(diǎn)(1,0,0)-+點(diǎn)(1,0,0)到點(diǎn)(1,2,0)-+點(diǎn) (1,2,0)到點(diǎn)(1,2,1)解2 2-17.在球坐標(biāo)中電場強(qiáng)度為，試求點(diǎn)與點(diǎn)之間的電壓。解：從點(diǎn)到點(diǎn)的路徑取到點(diǎn)+點(diǎn)到點(diǎn)+點(diǎn)到點(diǎn)2-18.在圓柱坐標(biāo)中電場強(qiáng)度為，試求點(diǎn)與點(diǎn)之間的電壓。解：點(diǎn)到點(diǎn)之間路徑取到點(diǎn)+點(diǎn)到點(diǎn)2-19.半徑為a，長度為L的圓柱介質(zhì)棒均勻極化，極化方向?yàn)檩S向，極化強(qiáng)度為(為常數(shù))。求介質(zhì)中的束縛電荷。解: (1)介質(zhì)中的束縛電荷體密度為(2) 介質(zhì)外表的束縛電荷面密度為在圓柱介質(zhì)棒的側(cè)面上束縛電荷面密度為零;在上下端面上束縛電荷面密度分別為.2-20.求上題中的束縛電荷在軸線上產(chǎn)生的電場。解： 上下端面上束縛電荷產(chǎn)生的電場 由例題，圓盤形電荷產(chǎn)生的電場為式中a 為圓盤半徑.對(duì)上式做變換,可上端面上束縛電荷產(chǎn)生的電場為同理,做變換,可下端面上束縛電荷產(chǎn)生的電場為上下端面上束縛電荷產(chǎn)生的總電場為2-21.半徑為a的介質(zhì)球均勻極化，求束縛電荷分布。解:(1)介質(zhì)中的束縛電荷體密度為(2) 介質(zhì)外表的束縛電荷面密度為2-22.求上題中束縛電荷在球中心產(chǎn)生的電場。解:介質(zhì)外表的束縛電荷在球心產(chǎn)生的電場在介質(zhì)球外表取半徑為寬度為的環(huán)帶,可看成半徑為,電荷線密度為的線電荷圓環(huán),例中給出了線電荷圓環(huán)的電場,對(duì)積分得題2-22圖2-23.無限長的線電荷位于介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)中，線電荷密度為常數(shù)，求介質(zhì)中的電場強(qiáng)度。解: 設(shè)無限長的線電荷沿 z軸放置, 利用高斯定理,容易求得介質(zhì)中的電場強(qiáng)度為為場點(diǎn)到線電荷的距離.2-24. 半徑為a的均勻帶電球殼，電荷面密度為常數(shù)，外包一層厚度為d、介電常數(shù)為的介質(zhì)，求介質(zhì)外的電場強(qiáng)度。解:由于電荷與介質(zhì)分布具有球?qū)ΨQ性，取半徑為 r的球面，采用高斯定理上式左右兩邊分別為 由此得 因?yàn)?，所?2-25.兩同心導(dǎo)體球殼半徑分別為a、b，兩導(dǎo)體之間介質(zhì)的介電常數(shù)為，、外導(dǎo)體球殼電位分別為。求兩導(dǎo)體球殼之間的電場和球殼面上的電荷面密度。解：設(shè)導(dǎo)體帶電荷為 q，由于電荷與介質(zhì)分布具有球?qū)ΨQ性，取半徑為 r的球面，采用高斯定理，兩導(dǎo)體球殼之間的電場為兩導(dǎo)體球殼之間的電壓為得出 所以球殼面上的電荷面密度為2-26兩同心導(dǎo)體球殼半徑分別為a、b，兩導(dǎo)體之間有兩層介質(zhì)，介電常數(shù)為、，介質(zhì)界面半徑為c，外導(dǎo)體球殼電位分別為。求兩導(dǎo)體球殼之間的電場和球殼面上的電荷面密度以與介質(zhì)分界面上的束縛電荷面密度。解：設(shè)導(dǎo)體帶電荷為 q，由于電荷與介質(zhì)分布具有球?qū)ΨQ性，取半徑為 r的球面，采用高斯定理可得，兩導(dǎo)體球殼之間的電場為兩導(dǎo)體球殼之間的電壓為2-27圓柱形電容器，外導(dǎo)體半徑分別為a、b，兩導(dǎo)體之間介質(zhì)的介電常數(shù)為，介質(zhì)的擊穿場強(qiáng)為，求此電容器的耐壓。解：設(shè)圓柱形電容器長度為L，導(dǎo)體電量為，利用高斯定理，可得外導(dǎo)體間的電壓為 因此 所以電場可表示為導(dǎo)體外表的電場為 所以如果介質(zhì)的擊穿場強(qiáng)為，如此電容器的耐壓為2-28真空中一外半徑分別為a、b的介質(zhì)球殼，介電常數(shù)為，在球心放一電量為q的點(diǎn)電荷。1用介質(zhì)中的高斯定理求電場強(qiáng)度；2求介質(zhì)中的極化強(qiáng)度和束縛電荷。解：1由題意，電場具有球?qū)ΨQ結(jié)構(gòu)。采用高斯定理，在半徑為r的球面上由得2 這里 2-29 某介質(zhì)的介電常數(shù)為，和均為常數(shù)，假如介質(zhì)中的電場強(qiáng)度為恒值且只有分量，證明 。證： 2-30 .有三層均勻介質(zhì)，介電常數(shù)分別為,取坐標(biāo)系使分界均平行于xy面。三層介質(zhì)中均為勻強(qiáng)場，且，求。解：因?yàn)槿龑咏橘|(zhì)中均為勻強(qiáng)場，設(shè)第二、三層介質(zhì)中的電場強(qiáng)度分別為；由邊界條件可得，由邊界條件，可得，即；所以 ，2-31 .半徑為a的導(dǎo)體球中有兩個(gè)半徑均為b的球形腔，在其中一個(gè)空腔中心有一個(gè)電量為q的點(diǎn)電荷在該球形空腔中心，如下列圖，如果導(dǎo)體球上的總電量為0，求導(dǎo)體球腔中與球外的電場強(qiáng)度。解：1在有點(diǎn)電荷的空腔中，由于對(duì)稱性，電場強(qiáng)度為，為從空腔中心指向該空腔中場點(diǎn)的位置矢量。2在另一沒有點(diǎn)電荷的空腔中，由于靜電屏蔽，該空腔中的電場強(qiáng)度為零。3在導(dǎo)體球外，由于導(dǎo)體球?yàn)榈任惑w，除了導(dǎo)體球面上外，導(dǎo)體球外沒有電荷，因此導(dǎo)體球外電場具有球?qū)ΨQ性，且導(dǎo)體球上的電量為q,所以導(dǎo)體球外的電場強(qiáng)度為r為導(dǎo)體球心到場點(diǎn)的距離。題2.31圖題2.32圖2-32 .同軸圓柱形電容器外半徑分別為a、b，導(dǎo)體之間一半填充介電常數(shù)為的介質(zhì)，另一半填充介電常數(shù)為的介質(zhì)。當(dāng)電壓為V時(shí)，求電容器中的電場和電荷分布。解：設(shè)同軸電容器長度為，導(dǎo)體上的電量為q,在外導(dǎo)體之間取半徑為 r的圓柱面，利用高斯定理在兩個(gè)半柱面上，電場強(qiáng)度分別相等，上式變?yōu)橛山橘|(zhì)邊界條件，可得外導(dǎo)體之間的電壓為 由此得，從而得電荷分布為介質(zhì)側(cè)；介質(zhì)側(cè)2-33 z>0半空間為介電常數(shù)為的介質(zhì)，z<0半空間為介電常數(shù)為的介質(zhì)，當(dāng)(1)電量為q的點(diǎn)電荷放在介質(zhì)分界面上；(2)電荷線密度為的均勻線電荷放在介質(zhì)分界面上。求電場強(qiáng)度。解：1電量為q的點(diǎn)電荷放在介質(zhì)分界面上以點(diǎn)電荷為中心作以半徑為r的球，利用高斯定理設(shè)上、下半球面上的電位移矢量分別、，根據(jù)對(duì)稱性，在上、下半球面上大小分別相等，有=根據(jù)邊界條件，因此2電荷線密度為的均勻線電荷放在介質(zhì)分界面上 以線電荷為軸線作以半徑為r單位長度的圓柱面，利用高斯定理設(shè)上、下半柱面上的電位移矢量分別、，根據(jù)對(duì)稱性，在上、下半柱面上大小分別相等，有=根據(jù)邊界條件，因此2-34.面積為A，間距為d的平板電容器電壓為V，介電常數(shù)為厚度為t的介質(zhì)板分別按如圖a、b所示的方式放置在兩導(dǎo)電平板之間。分別計(jì)算兩種情況下電容器中電場與電荷分布。題4圖解：a設(shè)導(dǎo)體板之間介質(zhì)與空氣中的電場分別為、，那么、滿足關(guān)系 邊界條件求解以上兩式得； 根據(jù)導(dǎo)體外表上的邊界條件，在上、下導(dǎo)體外表上的電荷面密度為 (b) 由圖可見，導(dǎo)體板之間介質(zhì)與空氣中的電場為根據(jù)導(dǎo)體外表上的邊界條件，在上、下導(dǎo)體板與空氣的界面上的電荷面密度為在上、下導(dǎo)體板與介質(zhì)的界面上的電荷面密度為2-35 在外半徑分別為和之間的圓柱形區(qū)域無電荷，在半徑分別為和的圓柱面上電位分別為和0。求該圓柱形區(qū)域的電位和電場。解：由電荷分布可知，電位僅是的函數(shù)，電位滿足拉普拉斯方程，方程為解微分方程得利用邊界條件得 ， 因此2-36在半徑分別為和的兩同軸導(dǎo)電圓筒圍成的區(qū)域，電荷分布為，為常數(shù)，假如介質(zhì)介電常數(shù)為，導(dǎo)體電位為V，外導(dǎo)體電位為0。求兩導(dǎo)體間的電位分布。解：由電荷分布可知，電位僅是的函數(shù)，電位滿足泊松方程解微分方程得利用邊界條件得 ， 2-37 兩塊電位分別為0和V的半無限大的導(dǎo)電平板構(gòu)成夾角為的角形區(qū)域，求該角形區(qū)域中的電位分布。 c b a題7圖題8 圖解：由題意，在圓柱坐標(biāo)系中，電位僅是的函數(shù)，在導(dǎo)電平板之間電位方程為其通解為 由邊界條件 ，得所以，2-38 .由導(dǎo)電平板制作的金屬盒如下列圖，除盒蓋的電位為V外，其余盒壁電位為0，求盒電位分布。解：用別離變量法，可得電位的通解為利用邊界條件，可求出系數(shù) m、n為奇數(shù) m、n為偶數(shù)2-39 在的勻強(qiáng)電場中沿z軸放一根半徑為a的無限長導(dǎo)電圓柱后，求電位與電場。解：由別離變量法，無限長導(dǎo)電圓柱外的電位的通解為 1設(shè)，當(dāng)時(shí)的電位等于無導(dǎo)電圓柱的電位，即 2要使式1的電位在時(shí)等于式2，可得到系數(shù)，再由導(dǎo)體界面的邊界條件得因此，電位的特解為2-40 .在無限大的導(dǎo)電平板上方距導(dǎo)電平板h處平行放置無限長的線電荷，電荷線密度為，求導(dǎo)電平板上方的電場。解:用鏡像法,導(dǎo)電平板的影響等效為鏡像位置的一個(gè)電荷線密度為-的線電荷, 導(dǎo)電平板上方的電場為式中、分別為線電荷與其鏡像線電荷到場點(diǎn)的距離矢量。2-41 由無限大的導(dǎo)電平板折成的角形區(qū)，在該角形區(qū)中某一點(diǎn)()有一點(diǎn)電荷q，用鏡像法求電位分布。解：如圖將空間等分為8個(gè)區(qū)，在每個(gè)區(qū)中以原來的導(dǎo)電面為鏡面可以依次找到鏡像位置，原電荷的位置為()，另外7個(gè)鏡像電荷在圓柱坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為：()，()，()，()，()，()，()。鏡像電荷為對(duì)于場點(diǎn)，電荷到場點(diǎn)的距離矢量為；如此場點(diǎn)的電場為題2-41圖題2-42圖2-42 半徑為a，帶電量為Q的導(dǎo)體球附近距球心f處有一點(diǎn)電荷q，求點(diǎn)電荷q所受的力。解：點(diǎn)電荷q 受到的力場有兩局部，一局部等效為鏡像電荷的力，另一局部等效為位于球中心的點(diǎn)電荷的力。由鏡像法，鏡像電荷的大小和位置分別為由于包圍導(dǎo)體球的總電量為Q，所以位于位于球中心的點(diǎn)電荷=Q-;因此點(diǎn)電荷q 受到的力為2-43 外半徑分別為a、b的導(dǎo)電球殼距球心為d(d<a)處有一點(diǎn)電荷q，當(dāng)(1)導(dǎo)電球殼電位為零；(2)導(dǎo)電球殼電位為V；(3)導(dǎo)電球殼上的總電量為Q；分別求導(dǎo)電球殼外的電位分布。題2-43圖解：1導(dǎo)電球殼電位為零由于導(dǎo)電球殼電位為零，導(dǎo)電球殼外無電荷分布，因此導(dǎo)電球殼外的電位為零。導(dǎo)電球殼的電位的電位由導(dǎo)電球殼的點(diǎn)電荷和導(dǎo)電球殼壁上的電荷產(chǎn)生，而導(dǎo)電球殼壁上的電荷可用位于導(dǎo)電球殼外的鏡像電荷等效，兩個(gè)電荷使導(dǎo)電球殼壁面上的電位為零，因此鏡像電荷的大小、距球心的距離分別為；導(dǎo)電球殼的電位為其中、分別為場點(diǎn)與點(diǎn)電荷與鏡像電荷的距離，用圓球坐標(biāo)表示為2導(dǎo)電球殼電位為V 當(dāng)導(dǎo)電球殼電位為V時(shí)，從導(dǎo)電球外看，導(dǎo)電球面是等位面，且導(dǎo)電球外的電位是球?qū)ΨQ的，其電位滿足 利用邊界條件得 導(dǎo)體球殼的電位可看成兩局部的疊加，一局部是有點(diǎn)電荷但球殼為零時(shí)的電位，這一局部的電位同前；另一局部是無點(diǎn)電荷但球殼電位為V時(shí)的電位，這一局部的電位為V。因此導(dǎo)電球殼電位為V時(shí)，導(dǎo)電球殼的電位為其中、分別為場點(diǎn)與點(diǎn)電荷與鏡像電荷的距離。(3)導(dǎo)電球殼上的總電量為Q當(dāng)導(dǎo)電球殼上的總電量為Q時(shí)，從導(dǎo)電球外看，導(dǎo)電球面是等位面，且導(dǎo)電球外的電位是球?qū)ΨQ的，導(dǎo)電球殼的總電量為Q+q,其電位滿足導(dǎo)電球殼上的電位為同上得，導(dǎo)電球殼的電位為2-44 無限大導(dǎo)電平面上有一導(dǎo)電半球，半徑為a，在半球體正上方距球心與導(dǎo)電平面h處有一點(diǎn)電荷q，求該點(diǎn)電荷所受的力。題2-44圖解：要使導(dǎo)體球面和平面上的電位均為零，應(yīng)有三個(gè)鏡像電荷，如下列圖。三個(gè)鏡像電荷的電量和位置分別為點(diǎn)電荷q所受的力為三個(gè)鏡像電荷的電場力，即力的正方向向上。2-45無限大導(dǎo)電平面上方平行放置一根半徑為a的無限長導(dǎo)電圓柱，該導(dǎo)電圓柱軸線距導(dǎo)電平面為h，求導(dǎo)電圓柱與導(dǎo)電平面之間單位長度的電容。解：如果無限長導(dǎo)電圓柱上有電荷線密度，導(dǎo)電平面可用鏡像位置的線電荷等效，鏡像電荷線密度為-。由導(dǎo)體圓柱的鏡像法可求得導(dǎo)體圓柱的電位，那么，單位導(dǎo)體圓柱與導(dǎo)電平面之間的電容為題2-45圖2-46 z>0半空間為介電常數(shù)為的介質(zhì)，z<0半空間為介電常數(shù)為的介質(zhì)，在界面兩邊距界面為h的對(duì)稱位置分別放置電量分別為和的點(diǎn)電荷。分別計(jì)算兩個(gè)點(diǎn)電荷所受得力。解：利用鏡像法，計(jì)算z>0半空間的場時(shí)，原來的問題可等效為圖2-46(b)，計(jì)算z<0半空間的場時(shí)，原來的問題可等效為圖2-46(c)。這樣上半空間的電位可表示為式中為到場點(diǎn)的距離，為的鏡像位置的電荷到場點(diǎn)的距離；下半空間的電位可表示為式中為到場點(diǎn)的距離，為的鏡像位置的電荷到場點(diǎn)的距離。利用邊界條件，和得由此得和所受的斥力分別為(a) (b) (c)題2-46圖2-47.兩同心導(dǎo)體球殼半徑分別為a、b，兩導(dǎo)體之間介質(zhì)的介電常數(shù)為，求兩導(dǎo)體球殼之間的電容。解：設(shè)導(dǎo)體帶電荷為 q，由于電荷與介質(zhì)分布具有球?qū)ΨQ性，取半徑為 r的球面，采用高斯定理，兩導(dǎo)體球殼之間的電場為兩導(dǎo)體球殼之間的電壓為兩導(dǎo)體球殼之間的電容為 2-48兩同心導(dǎo)體球殼半徑分別為a、b，兩導(dǎo)體之間有兩層介質(zhì)，介電常數(shù)為、，介質(zhì)界面半徑為c，求兩導(dǎo)體球殼之間的電容。解：設(shè)導(dǎo)體帶電荷為 q，由于電荷與介質(zhì)分布具有球?qū)ΨQ性，取半徑為 r的球面，采用高斯定理可得，兩導(dǎo)體球殼之間的電場為兩導(dǎo)體球殼之間的電壓為兩導(dǎo)體球殼之間的電容為 2-49 面積為A，間距為d的導(dǎo)電平板之間放置介電常數(shù)為，厚度為t的介質(zhì)板，如圖a、b所示。分別計(jì)算兩種情況下導(dǎo)電平板之間的電容。題2-49圖解：a設(shè)導(dǎo)體板之間介質(zhì)與空氣中的電場分別為、，那么、滿足關(guān)系 邊界條件求解以上兩式得； 根據(jù)導(dǎo)體外表上的邊界條件，在上、下導(dǎo)體外表上的電荷面密度為電容為 (b) 由圖可見，導(dǎo)體板之間介質(zhì)與空氣中的電場為根據(jù)導(dǎo)體外表上的邊界條件，在上、下導(dǎo)體板與空氣的界面上的電荷面密度為在上、下導(dǎo)體板與介質(zhì)的界面上的電荷面密度為電容為 2-50 兩塊沿方向無限延伸的導(dǎo)電平板夾角為，與和的圓柱面相截，兩板之間的電壓為V，。忽略邊緣效應(yīng)，求兩塊板間的電位分布，電場，以與單位長度的電容。解：在圓柱坐標(biāo)系中，電位只和有關(guān)，在兩塊導(dǎo)電平板之間此方程的通解為利用邊界條件，得電場強(qiáng)度為板上單位長度的電量為板上單位長度的電容為2-51 真空中半徑為a的導(dǎo)體球電位為V，求電場能量。解：用兩種方法求解。1） 用電位求電場能量2） 用電場強(qiáng)度求電場能量導(dǎo)體球的電場強(qiáng)度為零，導(dǎo)體球外的電場強(qiáng)度為電場能量為2-52 .圓球形電容器導(dǎo)體的外半徑為a，外導(dǎo)體的半徑為b，外導(dǎo)體之間填充兩層介電常數(shù)分別為、的介質(zhì)，界面半徑為c，電壓為V。求電容器中的電場能量。解：設(shè)圓球形電容器導(dǎo)體上的電荷為 q，由高斯定理可求得在外導(dǎo)體之間從而可求得外導(dǎo)體之間的電壓為圓球形電容器的電容為電場能量為2-53 長度為d的圓柱形電容器導(dǎo)體的外半徑為a，外導(dǎo)體的半徑為b，外導(dǎo)體之間填充兩層介電常數(shù)分別為、的介質(zhì)，界面半徑為c，電壓為V。求電容器中的電場能量。解：設(shè)圓柱形電容器導(dǎo)體上的電荷為q，用高斯定理，在外導(dǎo)體之間外導(dǎo)體之間的電壓為外導(dǎo)體之間的電容為電場能量為 2-54 兩個(gè)點(diǎn)電荷電量均為，放在介電常數(shù)為的介質(zhì)中，間距為，求互位能。解： 兩個(gè)點(diǎn)電荷的互位能為將一個(gè)點(diǎn)電荷從無限遠(yuǎn)移到和另一個(gè)間距為處外力做的功2-55 兩尺寸為a×a的平行導(dǎo)電平板之間距離為d，帶電量分別為,當(dāng)將介電常數(shù)為的介質(zhì)板插入導(dǎo)電板之間深度為x時(shí)，分別求介質(zhì)板所受的電場力。題2.55 圖解：設(shè)空氣填充局部和介質(zhì)填充局部導(dǎo)電平板上的電荷密度分別為、由導(dǎo)體邊界條件得，；由介質(zhì)邊界條件得或，因此空氣填充局部和介質(zhì)填充局部導(dǎo)電平板上的電量分別為，。由與得平行導(dǎo)電平板之間的電場能量為由虛功原理，對(duì)于常電荷系統(tǒng)，介質(zhì)所受的沿x方向電場力為第3章習(xí)題3-1 半徑為的薄圓盤上電荷面密度為，繞其圓弧軸線以角頻率旋轉(zhuǎn)形成電流，求電流面密度。解：圓盤以角頻率旋轉(zhuǎn)，圓盤上半徑為處的速度為，因此電流面密度為3-2 在銅中，每立方米體積約有個(gè)自由電子。如果銅線的橫截面為，電流為。計(jì)算1） 電流密度； 2） 電子的平均漂移速度；解：1電流密度 2) 電子的平均漂移速度， 3-3 一寬度為傳輸帶上電荷均勻分布，以速度勻速運(yùn)動(dòng)，形成的電流，對(duì)應(yīng)的電流強(qiáng)度為，計(jì)算傳輸帶上的電荷面密度。解：電流面密度為 因?yàn)?所以 3-4 如果是運(yùn)動(dòng)電荷密度，是運(yùn)動(dòng)電荷的平均運(yùn)動(dòng)速度，證明：證：如果是運(yùn)動(dòng)電荷密度，是運(yùn)動(dòng)電荷的平均運(yùn)動(dòng)速度，如此電流密度為代入電荷守恒定律得3-5 由的鐵制作的圓錐臺(tái)，高為，兩端面的半徑分別為和。求兩端面之間的電阻。解：用兩種方法，2設(shè)流過的電流為，電流密度為電場強(qiáng)度為 電壓為 3-6 在兩種媒質(zhì)分界面上，媒質(zhì)1的參數(shù)為，電流密度的大小為，方向和界面法向的夾角為；媒質(zhì)2的參數(shù)為。求媒質(zhì)2中的電流密度的大小、方向和界面法向的夾角，以與界面上的電荷面密度。解：根據(jù)邊界條件，媒質(zhì)2中的電流密度和界面法向的夾角為，3-7 同軸電纜導(dǎo)體半徑為，外導(dǎo)體半徑為，外導(dǎo)體之間有兩層媒質(zhì)。層從到，媒質(zhì)的參數(shù)為；外層從到，媒質(zhì)的參數(shù)為；求（1） 每區(qū)域單位長度的電容；（2） 每區(qū)域單位長度的電導(dǎo)；（3） 單位長度的總電容；（4） 單位長度的總電導(dǎo)。解： 外導(dǎo)體之間的兩層媒質(zhì)是非理想的，那么設(shè)同軸電纜、外導(dǎo)體之間單位長度的漏電流為那么在半徑為的圓柱面上電流均勻，電流密度為電場強(qiáng)度為 第一層的電壓為 第二層的電壓為 第一層單位長度的電導(dǎo)為 第二層單位長度的電導(dǎo)為 單位長度的總電導(dǎo)為 利用靜電比擬第一層單位長度的電容為 第二層單位長度的電容為 單位長度的總電容為 3-8 在上題中，當(dāng)同軸電纜長度為，外導(dǎo)體之間的電壓為，利用邊界條件求界面上的電荷面密度。解： 由上題，因此 3-9 兩同心導(dǎo)體球殼，導(dǎo)體球殼半徑為，外導(dǎo)體球殼半徑為。兩同心導(dǎo)體球殼之間填充兩層媒質(zhì)，層從到，媒質(zhì)的參數(shù)為；外層從到，媒質(zhì)的參數(shù)為；求同心導(dǎo)體球殼（1） 每區(qū)域的電容；（2） 每區(qū)域的電導(dǎo)；（3） 總電容；（4） 總電導(dǎo)。解： 外導(dǎo)體之間的兩層媒質(zhì)是非理想的，那么設(shè)同心導(dǎo)體球殼之間的漏電流為 那么在半徑為的圓球面上電流均勻，電流密度為電場強(qiáng)度為 第一層媒質(zhì)的電壓為 第二層媒質(zhì)的電壓為 第一層媒質(zhì)單位長度的電導(dǎo)為 第二層媒質(zhì)單位長度的電導(dǎo)為 單位長度的總電導(dǎo)為 利用靜電比擬 第一層單位長度的電容為 第二層單位長度的電容為 單位長度的總電容為 其中 3-10 上題中，外導(dǎo)體之間的電壓為，利用邊界條件求界面上的電荷面密度。解： 由上題，因此 3-11 平板電容器兩導(dǎo)電平板之間為三層非理想介質(zhì)，厚度分別為電導(dǎo)率分別為，平板面積為S，如果給平板電容器加電壓V，求平板之間的電場。解：設(shè)導(dǎo)電平板之間三層非理想介質(zhì)中的電場均為勻強(qiáng)電場，分別為、，根據(jù)電壓關(guān)系和邊界條件，、滿足以下關(guān)系解此方程組得3-12 在§例2中，如果在弧形導(dǎo)電體兩弧面之間加電壓，求該導(dǎo)電體沿徑向的電阻。解：設(shè)流過兩弧面的電流為I。作以與兩弧面同軸的半徑為的弧面，流過此弧面的電流密度為，如此由 得由此得 兩弧面之間的電壓為 該導(dǎo)電體沿徑向的電阻為 3-13 圓球形電容器導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為c，外導(dǎo)體之間填充兩層介電常數(shù)分別為，電導(dǎo)分別為的非理想介質(zhì)，兩層非理想介質(zhì)分界面半徑為b，如果外導(dǎo)體間電壓為V，求電容器中的電場與界面上的電荷密度。解：由于圓球形電容器填充兩層非理想介質(zhì)，有電流流過，設(shè)電流為I。在圓球形電容器取一半徑為的球面，流過此球面的電流密度為，如此由得 或 電場強(qiáng)度為電壓為 由此求出電流與電壓的關(guān)系后，電場為導(dǎo)體外表的電荷密度為外導(dǎo)體外表的電荷密度為媒質(zhì)分界面的駐立電荷密度為3-14求3-11題中電容器的漏電導(dǎo)。解：由3-2題得流過電容器的電流為所以 3-15求3-13題中圓球形電容器的電容與漏電導(dǎo)。解：此圓球形電容器的電容與漏電導(dǎo)是并串聯(lián)的形式如下列圖。；3-16分別求3-11題與3-13題中電容器的損耗功率。解：13-11題23-13題3-17邊長均為a的正方體導(dǎo)電槽中充滿電導(dǎo)率為的電解液，除導(dǎo)電板蓋的電位為V外，槽的其余五個(gè)邊界面電位為零。求電解液中的電位。解：此題電位所滿足的方程和邊界條件與題2-33一樣，因此其解也與題2-33一樣。3-18將半徑為a的半個(gè)導(dǎo)電球剛好埋入電導(dǎo)率為的大地中，如下列圖。求接地電阻。解：設(shè)從地線流出的電流為I，在大地中作與導(dǎo)體球同心，半徑為的半球面，在此半球面上電流密度一樣，顯然滿足關(guān)系電場強(qiáng)度為 導(dǎo)電球的電位為 因此導(dǎo)電球的接地電阻為題3-18 圖3-19在電導(dǎo)率為的大地深處，相距d平行放置半徑均為a的無限長導(dǎo)體圓柱。求導(dǎo)體圓柱之間單位長度的漏電導(dǎo)。解：用靜電比擬法。此問題可與介質(zhì)中的平行雙導(dǎo)線比擬，其電導(dǎo)與電容的關(guān)系為因?yàn)榻橘|(zhì)中的平行雙導(dǎo)線單位長度的電容為因此，埋地導(dǎo)體圓柱之間單位長度的漏電導(dǎo)為63 / 63